2024級強基班高一（下）第三次學月考試數學試題（時間：120分鐘滿分：150分）留意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用商關系和平方關系建立方程組可得答案.【詳解】因為，所以；因為，所以，解得；因為，所以，所以.故選：A.2.在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD確定是（）A.正方形 B.平行四邊形 C.矩形 D.菱形【答案】D【解析】【分析】由向量的運算可得，四邊形為平行四邊形；利用，說明四邊形對角線相互垂直，然后得到結果．【詳解】解：由,得可知，四邊形為平行四邊形；又由可知，四邊形對角線相互垂直，故四邊形為菱形．故選：D．3.若a，b為兩條異面直線，，為兩個平面，，，，則下列結論中正確的是()A.l至少與a，b中一條相交B.l至多與a，b中一條相交C.l至少與a，b中一條平行D.l必與a，b中一條相交，與另一條平行【答案】A【解析】【分析】此種類型的題可以通過舉反例推斷正誤.【詳解】因為a，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面沖突，故A對；當a、b為如圖所示的位置時，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據二倍角公式，結合同角三角函數的關系求解即可【詳解】因為，明顯，故，故選：A5.已知，，設，的夾角為，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據投影向量的求法求得正確答案.【詳解】在上的投影向量是：.故選：A6.已知A、B、C是直線上三個相異的點，平面內的點O不在此直線上，若正實數x、y滿意，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先依據平面對量線性運算得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，因為已知A、B、C是直線上三個相異的點，平面內的點O不在此直線上，所以.所以當且僅當，即時取等號.故選：D7.已知菱形的邊長為3，，沿對角線折成一個四面體，使平面垂直平面，則經過這個四面體全部頂點的球的體積為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設球心為，，則，，可得，求出，可得，即可求出球的體積．【詳解】是的中點，由題意可知：平面,如圖所示，設球心為，在平面中的射影為，是的中點，，則，,所以，球的體積為．故選：A．8.如圖，屋頂的斷面圖是等腰三角形，其中，橫梁的長為8米，，為了使雨水從屋頂（設屋頂頂面為光滑斜面）上盡快流下，則的值應為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據物體受力分析，利用二倍角的正弦公式化簡后，由正弦函數的性質求出雨水流下時間的最小值對應的值.【詳解】設雨水的質量為，下滑加速度為，，取的中點，連接.則,且.因為，所以；在直角三角形中，所以當,即時等號成立，故選：B.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.一組數據2，6，8，3，3，3，7，8，則（）A.這組數據的平均數是5 B.這組數據的方差是C.這組數據的眾數是8 D.這組數據的75百分位數是6【答案】AB【解析】【分析】將數據從小到大排列，依據數據特征，逐項推斷即可.【詳解】解：數據從小到大排列為：2，3，3，3，6，7，8，8，則這組數據的平均數為，故A項正確；這組數據的方差為：，故B項正確；這組數據中有3個3，2個8，1個2，1個6，1個7，所以眾數為3，故C項錯誤；因為，這組數據的75百分位數是7，故D項錯誤.故選：AB.10.在等腰直角三角形中，斜邊，向量，滿意，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先由，結合等腰直角三角形，可求出對應的模及其夾角，即可推斷A，由可推斷B；由可推斷C；由是否等于0可推斷D【詳解】由題意，等腰直角三角形，，，，又對A，，故A對；對B，，故B錯；對C，，故C對；對D，，故D對；故選：ACD11.已知函數的部分圖像如圖，下列結論正確的有（）A.是函數的一條對稱軸B.函數為奇函數C.函數在為增函數D.函數在區間上有個零點【答案】ACD【解析】【分析】由圖分別計算值，從而得，代入點計算可得值，從而得函數的解析式，利用三角函數的性質對選項逐一計算分析即可得答案.【詳解】由圖可知，，，得，所以，，得，因為，所以，所以得，則，所以是函數的一條對稱軸，故A正確；函數，所以函數偶函數，故B錯誤；，得，所以函數的單調遞增區間為，當時，函數的單調遞增區間為，所以函數在上為增函數，故C正確；當時，即，得，因為，可得的取值是，函數在區間上有個零點，故D正確；故選：ACD12.在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點M在線段PC上運動（不含端點），則（）A.存在點M使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線PC與直線AD所成角為D.當動點M到直線BD的距離最小時，過點A，D，M作截面交PB于點N，則四棱錐的體積是【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中點G，證明平面PGC，然后由線面垂直的性質定理推斷A，把四棱錐補形成一個如圖2的正方體，依據正方體的性質推斷BC，由平面PGC，當動點M到直線BD的距離最小時，從而得為PC的中點，N為QA的中點，再由體積公式計算后推斷D．【詳解】如圖1，取AD的中點G，連接GC，PG，BD，,則，因為平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，則．又因為，所以，又，平面，所以平面PGC．因為平面PGC，平面PGC，所以不成立，A錯誤．因為△APD為等腰直角三角形，將四棱錐的側面APD作為底面一部分，補成棱長為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．如圖2，直線PC與直線AD所成角即為直線PC與直線BC所成角，為，C正確．如圖1，因為平面PGC，當動點M到直線BD的距離最小時，由上推導知，，，，，，，因此M為PC的中點．如圖3，由M為PC的中點，即為中點,平面即平面與的交點也即為與的交點,可知N為QA的中點，故，D正確．故選：BCD．【點睛】方法點睛：空間幾何體外接球問題，（1）干脆找尋球心位置，球心都在過各面外心用與該面垂直的直線上，（2）對特別的幾何體，經常通過補形（例如把棱錐）補成一個長方體或正方體，它們的外接球相同，而長方體（或正方體）的對角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知是銳角，，則的值是_________．【答案】##【解析】【分析】結合同角三角函數的基本關系式、兩角差的余弦公式求得正確答案.【詳解】由于是銳角，，所以，所以.故答案為：14.已知圓柱的底面半徑和母線長均為，，分別為圓、圓上的點，若，則異面直線，所成的角為_________.【答案】【解析】【分析】利用異面直線所成角的定義、勾股定理、余弦定理運算即可得解.【詳解】解：如上圖，過點作圓所在平面的垂線，垂足為，即是母線，連接，∵圓所在平面，∴，，所以四邊形是平行四邊形，，與所成的角就是或其補角；由題意可知，，，在直角中，，在等腰中，由余弦定理可得：，∴，又因異面直線夾角的范圍是，∴與所成的角是的補角，即.故答案為：.15.曲柄連桿機構的示意圖如圖所示，當曲柄在水平位置時，連桿端點在的位置，當自按順時針方向旋轉角時，和之間的距離是，若，，，則的值是_________．【答案】5【解析】【分析】依據余弦定理解決實際問題，干脆計算即可.【詳解】如下圖，在中，由余弦定理可知，另外，由圖可知，在點與點重合時，,故答案為：516.在中，有，則的最大值是_______【答案】##【解析】【分析】依據數量積的運算律化簡，結合數量積定義以及余弦定理可得，再利用余弦定理以及基本不等式即可求得答案.【詳解】在中，因為，所以，又，，所以，又中，，則，，，所以，即，，當且僅當即時取等號，結合即，明顯為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時，所以，即的最大值是．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知向量，滿意，，．求：（1）；（2）與的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據向量模的坐標運算以及向量的基本運算可以干脆求得；（2）依據向量數量積的定義進行計算即可得到結果.【小問1詳解】由，得，故，代入，，得，由，得【小問2詳解】由,由于，故與的夾角為.18.如圖，在三棱錐中，平面分別是的中點．求證：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由線面平行判定定理可得答案；（2）由線面垂直的判定定理和性質定理可得答案.【小問1詳解】如圖所示，在中，分別為的中點，．又平面平面，平面；【小問2詳解】在中，，，平面平面，又平面平面，平面．平面，在中，為的中點，，又平面平面，平面．19.已知函數．（1）求函數的最小值，并寫出當取最小值時x的取值集合；（2）若，，求的值．【答案】（1）最小值，（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式將函數化簡，再依據正弦函數的性質計算可得；（2）由，即可求出，再依據同角三角函數的基本關系求出，再依據二倍角公式求出、，最終利用兩角和的正弦公式計算可得；【小問1詳解】解：．當，即時，取得最小值．此時的取值集合為．【小問2詳解】解：由（1）知，，又，所以，即，因為，所以，所以，，所以．20.某探討小組經過探討發覺某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，須要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內勻整分布，以事務發生的頻率作為相應事務發生的概率．（1）當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；（2）設函數，當時，求的解析式，并求在區間的最小值．【答案】（1），；（2），最小值為．【解析】【分析】（1）依據題意由第一個圖可先求出，再依據其次個圖求出的矩形面積即可解出；（2）依據題意確定分段點，即可得出的解析式，再依據分段函數的最值求法即可解出．【小問1詳解】依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．【小問2詳解】當時，；當時，,故，所以在區間的最小值為．21.如圖，四棱錐的底面為菱形，，，，平面，點在棱上.（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的余弦.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面可得(線面垂直得線線垂直)；（2）先由已知得點是棱的中點，再通過構造點到面的垂線段，結合線面角的定義作出線面角，在直角三角形中計算即可.【小問1詳解】如圖，連接，因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】設點到平面的距離為，則三棱錐的體積，解得.因為平面，，所以，即是棱的中點.設，如圖，連接，則平面，所以，過點作的垂線，垂足為，連接，由（1）知，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，則為直線與平面的所成角，因為，，所以，又因為，因為，所以，所以，又，所以，在中，，所以直線與平面所成角的余弦值為.22.已知函數的最大值為，與直線的相鄰兩個交點的距離為.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數.（1）求的解析式.（2）若，且方程在上有實數解，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數的相關學問與