必修二第八章《立體幾何初步》單元訓練題（高難度）（8）

一、單項選擇題（本大題共9小題，共45.0分）

1.已知球。表面上的四點A,B,C,P滿足AC=BC=&,AB=2,若四面體PABC體積的最大

值為|,則球。的表面積為（）

A.~7TB.曾兀C.777TD.87r

4916

2.如圖，已知三棱錐D—4BC,記二面角C-AB-D的平面角是。，直線OA與平面ABC所成的角

是％,直線D4與BC所成的角是。2，則（）

n

A.。2%B.。w%c.o>e2D.e<e2

3.三棱錐P-ABC中，PC1￥?ABC,且48=BC=C4=PC=2,則該三棱錐的外接球的表面

積是（）

A/B.4兀C.等D.等

4.下列命題中正確的是（）

A.三點確定一個平面

B.與一條直線都相交的三條平行直線確定一個平面

C.一條直線和一個點確定一個平面

D.兩條互相垂直的直線確定一個平面

5.已知直四棱柱4BCD-&B1GD1的側棱長為8,底面矩形的面積為16,一個小蟲從C點出發沿

直四棱柱側面繞行一周后到達線段CQ上一點何，若4M，平面則小蟲爬行的最短路程為

（）

A.8B.16C.2V65D.4V17

6.已知正方體的棱長為6,點尸是441的中點，點。是團BDG內的動點，若PQ1

BQ,則點Q到平面/1&GD1的距離的取值范圍是（）

A.[3,5]B.E，6C.[4,5]D.[273,6]

7.三棱錐P-ABC中，P41平面48。且P4=2,目48c是邊長為次的等邊三角形，則該三棱錐外

接球的表面積為（）

A47r

A-TB.47rC.87rD.207r

8.如圖，正方體的棱長為1,C,。分別是兩條棱的中點，A,B,

是頂點，那么點M到截面43CO的距離是（）

A於

C.；V2

4

DT

9.如圖,ABCD-48傳1。1是棱長為1的正方體,S-ABCD是高為1的正四棱錐,

若點S,A1，為，Q,5在同一個球面上，則該球的體積為（）

A

A型

*16

R497r

B-7TA4

C817T

?16

n2437r

D?西

二、填空題（本大題共10小題，共50.0分）

10.如圖，在棱長為1的正方體中，點尸是對角線AG上的動點（點尸與4cl不重

合）.則下面結論中正確的是

小與

(1)存在點P,使得平面4DP〃平面BiCD1

(2)存在點尸，使得4cl，平面&DP

(3)S],S2分別是在平面41占6。1，平面BBi/C上的正投影圖形的面積，對任意的點尸,

都有SiH52

(4)對任意的點P,△&DP的面積都不等于?

11.如圖，在三棱柱ABC-AiGCi中，各棱長都相等，側棱垂直于底面，點。是側面BBiGC的中心,

則A。與平面BBiGC所成角的大小是.

12.在矩形ABCQ中，AB<BC,現將△4BD沿矩形的對角線B。所在的直線進行翻折，在翻折的

過程中，給出下列結論：

①存在某個位置，使得直線AC與直線8。垂直；

②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；

③存在某個位置，使得直線40與直線BC垂直.

其中正確結論的序號是.

13.如圖,在長方體ABCD—ATBIGDI中,AB=3cm,AD=2cm,AAt=lcm,則三棱錐&-ABD1

的體積cm3.

14.點A,B,C,。均在同一球面上，4。_L平面ABC,其中△48C是等邊三角形，AD=2AB=6,

則該球的表面積為.

15.學生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術制作模型.如圖，該模型

為在圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分（正方體四個頂點在圓

錐母線上，四個頂點在圓錐底面上），圓錐底面直徑為10夜cm，高

為10cm.打印所用原料密度為0.9g/cm3,不考慮打印損耗，制作該

模型所需原料的質量為___g.（兀取3.14）

16.已知P,A,B,C,O是球。的球面上的五個點，四邊形ABCQ為梯形,4Z）〃BC,AB=DC=4D=2,

BC=PA=4,PA上面ABCD,則球O的體積為

17.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AiBiGDi中，點E是棱BC上的一點,

則三棱錐昂-的體積等于.

18.如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中：

①BM與EQ平行；②CN與BE是異面直線;

③CN與8M成60。；④DM與8N是異面直線;

以上四個命題中，正確命題的序號是.

19.如圖，在長方體4BC0-4&口久中，40=DDi=1，AB=V3，

E,F,G分別為AB,BC,GA的中點，點P在平面ABC。內.若

直線D$〃平面EFG,則線段DiP的長度的最小值為.

三、解答題(本大題共H小題，共132.()分)

20.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC力是正方形，PDL氐面ABC。，PD=AB=2,E、F

分別為AB、PC的中點.

(I)證明：直線EF〃平面PA。；

(II)求三棱錐B-EFC的體積.

21.如圖，在多面體ABCCEF中，四邊形ABC。是矩形，在四邊形ABFE中，4B〃EF,N￡;4B=90°,

AB=4,AD=AE=EF=2,平面4BFE_1_平面ABS

(1)求證：4尸1平面8(7/：

(2)求多面體ABCDEF的體積.

22.已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO是矩形，且4D=2,AB=1,PAJL平面ABC。，E、F

分別是線段AB、BC的中點.

(1)證明：PF1FD

(2)若PA=1,求點4到平面PFD的距離.

23.如圖1,在直角梯形ABC。中，AD//BC,AB1BC,BD_LDC,點E是BC邊的中點，將△ABD沿

折起，使平面ABD_L平面BCD,連接4E,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.

(I)求證：AB_L平面AOC；

(II)若AD=1,AB=V2,求二面角B—AD-E的大小.

24.在三棱柱ABC-AiBiQ中，側面ACGAi1底面ABC,=BC=3,A1B=AC=4,4B=5,

E為AB的中點.

(1)求證：BQ〃平面4CE；

(2)求證：AXA_L平面A/C；

(3)求三棱錐4-ACE的體積.

25.已知四棱錐P-4BCD中，底面A8C。是邊長為2的正方形，PA=PD=a,CDLPD,E為

CD的中點.

(I)求證：PDJ_平面PAB；

(H)求三棱錐P-ABE的體積.

26.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面P4B_L平面ABC。，四邊形A8C。為正方形，△H4B為等邊

三角形，E是PB中點，平面AED與棱PC交于點F.

(1)求證：AD//EF;

(2)求證：PB平面4EFD;

(3)記四棱錐P-AEFC的體積為匕，四棱錐P-ABC。的體積為七,直接寫出卷的值.

27.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC力為正方形，P41底面

ABCD,PA=AB,E為線段尸8的中點，尸為線段BC上的動點.

(1)平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果垂直，請證明；如

果不垂直，請說明理由.

(2)若AB=3,尸為線段BC的三等分點，求多面體PAEFCO的體

積.

28.如圖所示，在四棱錐P—A8C0中，底面ABC。是邊長為1的正方形，PAIJgffiABCD,點M

是側棱PC的中點，AM上平面PBD.

(1)求PA的長：

(2)求棱PC與平面AMD所成角的正弦值.

29.設三棱錐P-4BC的每個頂點都在球。的球面上,AP/IB是面積為3遮的等邊三角形,4C18C,

AC=BC,且平面PZB1平面ABC.

(1)求球。的表面積;

(2)證明：平面POC_L平面ABC,且平面POC_L平面PA8.

(3)與側面P4B平行的平面a與棱4C,BC,PC分別交于。，E,F,求四面體。。所的體積的

最大值.

30.如圖，斜三棱柱ABC-力道￡中，△4BC是邊長為2的正三角形，。為BC的中點，&。_L平面

ABC,點M在AO上，AM=2MO,N為OQ與名。的交點，且BB】與平面ABC所成的角為也

47K----------------------

(1)求證：MN〃平面4CG41；

(2)求二面角①一OS-B的正弦值.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查多面體外接球表面積與體積的求法，是中檔題.

可知當平面A8P與平面ABC垂直時，四面體PABC體積最大，求出P到底面ABC的距離，設外接

球半徑為R,再由勾股定理列式求得凡則答案可求.

解：當平面A8P與平面A8C垂直時，四面體P48c的體積最大，

由AC=BC=VLAB=2,得4ACB=90°.

設點P到平面ABC的距離為兒

則!X|X>/2XV2X/I=|,解得h=2.

設四面體ABCP外接球的半徑為七則R2=(2-R)2+M,解得R=..

所以球O的表面積為47rx(|)2=m兀.

故選A.

2.答案：A

解析：

本題主要考查了直線與平面所成的角以及二面角，屬于中檔題.

解題時過點。作。6_1平面48(7于￡作。尸148,連結AE,EF,根據線面垂直的判定與性質可得

EFLAB,則NDFE=。，4￡ME=%,再根據尸與點A重合得0=%,點F與點A不重合得0>%,

從而得出。>

解：過點。作DE_L平面ABC于E,

作。尸148于F,連結AE,EF,

D

"ABu平面ABC,：.DELAB.

同理有DE1AE,DE1EF,

貝此OAE=%,

■■DEnDF=D,DE,DFc^pjgfDEF,

ABJ?平面DEF,

又EFu平面DEF,

則EF1AB,乙DFE=9,

當DALAB,即點F與點A重合時，9=01；

DEDE

當點尸與點A不重合時，sin。=sinZDFE=巖，sin仇=sinNDAE=右，

DFDA

因為DF＜DA,所以。＞%,

所以。＞%.

故選A.

3.答案：D

解析：

本題主要考查了空間幾何體的性質，考查三棱錐的外接球表面積，正確求出三棱錐的外接球半徑是

關鍵，屬于中檔題.根據已知條件得出A28C的外接圓的半徑，利用勾股定理得出外接球的半徑，

即可求出三棱錐的外接球表面積.

解：???AB=BC=AC=PC=2,

?1?sinC=T

ABC的外接圓的半徑=二一=2,

2sinC3

設三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為d,則R2=d2+(誓)2=(lpC)2+(第2=z

該三棱錐的外接球半徑為產=[,表面積為：4兀/?2=4兀*3=？兀,

故選￡).

4.答案：B

解析：

本題考查平面的概念與性質，考查推理能力和空間想象能力，屬于基礎題.

根據平面的概念與性質，逐項進行判斷即可.

解：若三點在同一條直線上，則可以確定無數個平面，A項錯誤；

顯然，與一條直線都相交的三條平行直線確定一個平面，并且四條直線都在這個平面上，8項正確;

若一個點在一條直線上，則可以確定無數個平面，C項錯誤；

若兩條直線異面垂直，則不能確定平面，。項錯誤.

故選民

5.答案：C

解析：

本題考查線面垂直的性質，直四棱柱的最短距離問題，屬于中檔題.

根據線面垂直的性質，得出直四棱柱的底面是正方形，再將直四棱柱的側面展開，從而求出最短路

程.

解：如圖，連接AC,BD,設。為AC與BD的交點,

???棱柱ABC。-48道1劣為直四棱柱，

：.GC平面ABCD,又BDu平面ABCD,

：.BD1GC,

"AM1平面4/0,BDu平面

BD1AM,又4MCGC=M,AMu平面人0口必，GCu平面ACCM],

BD_L平面4CG2,又ACu平面4CG4,

.-.BDLAC,又四邊形ABC。為矩形，

二四邊形ABCD為正方形，又四邊形ABCD的面積為16,

???AB=BC=CD=DA=4.AO=2>/2,

-AM_L平面4聞，Ar0u平面A/D,

AM1A^O,又44=8,

tanz.AA10-型*=tanz.MAC=—,

1AiAAC

即CM=W&*=2,

8

將直四棱柱4BCD-&BiGDi的側面沿CCi展成一個矩形，

可知小蟲爬行的最短路程為J(4X4"+22=2V65.

故選C.

6.答案：B

解析:

此題考查空間的距離，考查線面垂直的判斷及性質，關鍵是由線面垂直的判斷及性質得出。的軌跡.

解：如圖：

在正方體中取B/、8。中點R、0,及SC1的四等分點M,

PPi1BCi，PiM1BG，

所以BQ1PPM

則BQ1PM,

又0M1BC],

則BG±P0M,

所以當Q在線段上時，PQ1BCX,

、_QQ

則。到平面a/iCDi的距離最大、小值分別為M、。平面4B1GD1距離6X[=?6,

所以Q到平面&B1GD1的距離范圍為岑6].

故選B.

7.答案：C

解析：

本題考查構造直三棱柱求外接球的表面積，考查球的表面積公式，屬于中檔題，構造三棱柱48C-

PQR，

求出外接球的半徑，從而得到表面積.

解：構造直構造三棱柱力BC—PQR,取面ABC的中心”，取面PQR的中心K,連接”K,取HK的

中點0,

所以。為三棱錐外接球的球心，由P4=2,回ABC是邊長為舊的等邊三角形，

得到4H=yx(V3)2x|=6，OH=1,

所以三棱錐外接球的半徑為40“2+4“2=+(百)2=2,

所以三棱錐外接球的表面積為垢.2.2;麻，

故選C.

8.答案：B

解析：

本題主要考查了棱錐的體積的計算和空間中點到面的距離，屬于基礎題.

根據等體積法即可求出三棱錐M-ABC的高，利用與f8c=%-sc時即可答案.

解:因為C,。分別是兩條棱的中點，則四邊形A8C。為等腰梯形，因為48=&，CD，BC=在,

由平面幾何知識易求梯形的高九'=乎，所以S^BC=4X應X；魚=：,且SBCM=|xlxl=i,

設點M到平面ABCD的距離為h,

**,利用等體積法，^M-ABC=^A-BCM9

W：lsABC-h=lsBCM-AM,

可得：；x"=；x；,

3432

解得：九=|,

故選B.

9.答案：D

解析：

本題考查球的體積，考查學生的空間想象能力，求出球的半徑是關鍵.

根據已知條件確定球的半徑是解題關鍵.

解：設球的半徑為R,

?.?底面正方形的外接圓的半徑為更，

2

2

?,.由勾股定理可得R2=(曰)+(2-/?)2,

??.R=-

89

球的體積為“R3=售兀.

D1ZO

故選￡>.

10.答案：①②④

解析：

本題主要考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，三角形面積公式的應用，解題的關鍵是熟練掌

握線面垂直的判定，面面垂直的判定，三角形面積公式的判斷，屬于中檔題.

根據已知及線面垂直的判定，面面垂直的判定，三角形面積公式的判斷，可知結論正確的是哪幾個.

解：因為在棱長為1的正方體4BC0-&B1C1D1中，點M是對角線4cl上的動點，

所以①存在點使得平面aDM1平面BC］。；故①正確

②存在點例，使得DM〃平面&CD1；故②正確，

③△4DM的面積可能等于更；故③錯誤，

6

④若S1，52分別是A/liDM在平面4B1C1D1與平面BB1GC上的正投影的面積，則存在點使得S1

S2.故④正確.

故答案為①②④.

11.答案：60。

解析：

本題考查直線與平面所成的角，屬于基礎題.

取BC的中點E,可證得J?平面BBiG。，則乙4OE即直線A。與平面BBiGC所成的角，解三角形

可得結論.

解：設三棱柱的棱長為a.取BC的中點E,連接AE,DE.

由題意，可知4E1BC,因為側棱垂直于底面，所以

因為aBnBC=B,所以4E1平面BBiGC,所以々IDE即直線4。與平面BBiGC所成的角.

在Rt△力ED中，AE=—a，DE=\a,所以tan/AOE=鋁=遍，

22DE

所以NADE=60。.

12.答案：②

解析:

本題主要考查空間的線面和面面的垂直關系，翻折問題中的變與不變，空間想象能力和邏輯推理能

力，有一定難度，屬中檔題目.

先根據翻折前后的變量和不變量，計算幾何體中的相關邊長，若①成立，則需8。1EC,這與已知

矛盾；若②成立，則A在底面BCO上的射影應位于線段BC上，可證明位于BC中點位置，故②成

立；若③成立，則A在底面BCD上的射影應位于線段CO上，不成立.

解：如圖，AE1BD,CF1BD,

A

A___________________D

C

依題意不妨令，AB=1,BC=y[2,AE=CF=―,BE=EF=FD=―,

33

①若存在某個位置，使得直線AC與直線B。垂直，則???BD14E,

二BDJ■平面AEC,從而BD1EC,這與已知矛盾，排除①；

②若存在某個位置，使得直線A3與直線CD垂直，則CO_L平面A8C,平面ABC_L平面BCD,

取8c中點M,連接ME,則；.NAEM就是二面角4一BD-C的平面角，此角顯然存在,

即當4在底面上的射影位于BC的中點時，直線48與直線CD垂直，故②正確；

③，若存在某個位置，使得直線A。與直線BC垂直，則BC，平面ACQ,從而平面4CD，平面BCQ,

即A在底面BCD上的射影應位于線段CD上，這是不可能的，排除③；

故答案為②.

13.答案：1

解析：

本題考查了三棱錐的體積計算公式，屬于基礎題.

利用乙1-ABD1=即可得出.

解：由長方體的性質可得：點么到平面4BB14的距離為4￡>,

則％=VD]—ABB]

1

-§4。,S△ABB1

=ix2x1x3xl=l,

故答案為：1.

14.答案:487r

解析：

本題考查球的表面積，解決本題的關鍵在于對問題進行合理轉化，屬于中等題.

先利用正弦定理求出正三角形ABC的外接球的直徑2r,然后由已知條件得出三棱錐。-4BC的高九=

AD,最后利用公式2R=傳鏟"可計算出該三棱錐的外接球的半徑R,最后利用球體的表面積

公式可計算出答案.

解：由題意可知，△ABC是邊長為3的正三角形，該三角形的外接圓的直徑為2「=看=2百，三棱

錐。-ABC的高為九=AD=6,

22

所以，三棱錐。-ABC的外接球的直徑為2R=J(2r)2+F=J(2A/3)+6=4遮，

2

因此，該球的表面積為4兀產=7rx(2R)2=兀x(4V3)=48v，

故答案為487r.

15.答案：358.5

解析:

本題考查正方體和圓錐的體積公式的應用，根據體積公式求出制作該模型所需材料的體積，再乘以

材料的密度即可得到答案，屬于中檔題.

解：設被挖去的正方體的棱長為xcm,圓錐底面半徑為r,

則鳧=U=受=婚，

rh57210

解得％=5.

所以制作該模型所需材料質量約為：

m==0.9-h—工，

二().3n-x50x10-0.9x125=358.5(g).

故答案為358.5.

16.答案：上立兀

3

解析：

本題考查簡單組合體及其結構特征，球的表面積和體積，屬于中檔題.

先求出梯形ABC。的外接圓半徑，再求球的半徑，最后根據球的體積公式計算，即可得到的答案.

解：因為四邊形A8CD為梯形，AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4,易求梯形的高為我，

從而得NOCB=60°,Z.DBC=30°,/.BDC=Z.BAC=90。，

所以8c的中點M為梯形ABC。的外接圓圓心，外接圓的半徑為2,

又???PA1平面ABC。，BC=PA=4,所以RMP力D的外接圓半徑為遍,

球心到面PAD的距離為梯形的高為B，

所以球的半徑R=VT+3=2V2.

故球的面積為4兀/?2=絲包.

3

故答案為婚兀.

3

17.答案：J

6

解析：

本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養;

由VD1-B1c1E=利用等積法能求出三棱錐D「BWiE的體積.

解：???在棱長為1的正方體ABC。中，E是棱BC上的一點，

?1.E到平面&D1G的距離h=1,

SABMCI=-xlxl=-,

1111

?*,力i-BiQE=VE-BIDIG=3.°九=5X5X1=}

故答案為:.

6

18.答案：③④

解析：

本題考查異面直線的判定，異面直線及其所成的角，空間中直線與直

線之間的位置關系，幾何體的折疊與展開，考查空間想象能力，是基

礎題.

將展開圖復原為兒何體，如圖，根據正方體的幾何牲，分別四個命題

的真假，容易判斷選項的正誤，求出結果.

解：展開圖復原的正方體如圖，不難看出:

①BM與ED平行；錯誤的，是異面直線；

②CN與8E是異面直線，錯誤；是平行線;

③CN與成60。；正確；

④OM與BN是異面直線.正確，

判斷正確的答案為③④.

故答案為③④.

19.答案:-

2

解析：

本題考查線面平行的判定，三角形的面積公式，為較難題.

首先證明線面平行，可得點P在直線AC上，由己知和三角形的知識可得答案.

解：如圖，連接。遇，AC,DiC.因為E,F,G分別為AB,BC,6%的中點，

所以AC//EF.又4cu平面ACDi，EFC平面AC%,則EF〃平面4。名.

因為EG〃/ID]，所以同理得EG〃平面力CD】.又EFCEG=E,

所以平面力CDi〃平面EFG.因為點尸在平面ABC。內，直線QP〃平面EFG,

所以點尸在直線AC上.AD=DDr=1,AB=陋,

則A]=V2,AC=2,CDi=2,

SMDQ=：X/xJ22一（爭2=

V7L

故當&PLAC時，線段。1P的長度最小，由等面積法得最小值為了二=立.

2X22

故答案為多

AEB

20.答案：解：（I）證明：取PO的中點G,連AG,FG,

???F是PC中點，則R7〃CD且FG=|CD,

???在正方形A8CZ）中，E為A8中點，則AE〃C。且AE=|CD,

四邊形AErG是平行四邊形，

EF\\AG,

又丫EFC平面PAD,AGu平面PAD,

：.EF〃平面PAD；

(口)S、B「E=-x1X2=1,

VPD_L底面ABCD,且尸為PC中點，

F到平面BCE的距離為=1,

---%-EfV=^F-BCE=QSIIB'E?(\PD)=X-

即三棱錐8-EFC的體積為!.

解析：本題考查直線與平面平行的判定定理，空間幾何體的體積求法，考查空間想象能力以及計算

能力.

⑴取PD中點G,連接FG,AG,由三角形中位線定理可得FG〃OC,FG=|DC,結合已知可得FG=AE,

FG//AE,則四邊形AEFG為平行四邊形，則EF〃4G,再由線面平行的判定可得直線EF〃平面PAD；

(2)利用轉換三棱錐頂點即可求得體積，依題意得SABS-；x1x2L，點F到平面8CE的距離

為;PD=1,利用/_EFC=/_BEC求解可得.

21.答案：解：⑴??,平面ABFE_L平面A8C。，平面48尸En平面A----------

ABCD=AB,CBLAB,\//；

??.CBJ_平面ABFE,結合2/G平面ABFE,//X/7^\'Z

???AF1CB

在直角梯形ABFE中，AB"EF,LEAB=90°AE=EF=2

AF=yjAE2+EF2=2>/2/.FAB=45°

△4B尸中，AB=4,根據余弦定理得:

BF=y/AF2+AB2-2AF-AB=2^2

???BF2+AF2=AB2=AF1FB.

CBC\FB=B,

：.AF1平面BCF....（6分）

(2)分別取C￡>、AB中點G、H,連接GH、G尸和FH

由(1)的證明知三棱柱D4E-GHF是直三棱柱三棱柱DAE-GHF

1

V三棱柱DAE-GHF=SMED,EF=yD.4E,EF=4

又?.?平面4BFE_L平面ABCD,平面4BFEn平面力BCO=AB,

等腰中，中線

???FH，平面ABC。，FH是四棱錐F-BCGH的高線

118

"V四棱錐F_BCGH=QS矩形BCGH,FH=gGC?GH?FH

on

所以多面體ABC。。的體積V=V三棱肋AE-GHF+V四棱錐F-BCGH=3…("分)

解析：(1)首先利用平面A8FE與平面ABC。互相垂直，結合面面垂直的性質得到AF與CB垂直，

然后利用余弦定理在A4BF中計算出BF的長，^.]f0BF2+AF2=AB2,得出最后運用直

線與平面垂直的判定定理，得到4F1平面BCF；

(2)分別取CD、AB中點G、H,連接GH、G尸和FH,將多面體分割為一個直三棱柱和一個四棱錐.然

后利用(1)中的線面垂直、線線垂直關系和線段長度，分別計算出直三棱柱和四棱錐的體積，最后可

求出求多面體ABCDEF的體積.

本題是一道立體幾何的綜合題，著重考查了利用棱柱、棱錐、棱臺的體積公式求組合幾何體的面積、

體積問題和平面與平面垂直的性質及直線與平面垂直的判定等知識點，屬于中檔題.

22.答案：(1)證明：連接AF,則力尸=魚，DF=應,卜

又4D=2,。片+小二加，...°F1A?，/<\

又P4J_平面A8CDCF1P4又PAnAF=A,/.411_________

DFPAF,r/\\

又PFu平面PAF,

DF1PF.

(2)解：VP.AFD=lshAFD-=|x1x1=J,

^A-PFD=^P-AFD?

lz1c>1V6,1

J^A-PFD=g^APFD?九=§?萬*%

解得/=漁，

3

即點A到平面PFD的距離為漁.

3

解析：(1)連接4凡通過計算利用勾股定理證明OF12F,證明DF1P4推出DF1平面PA凡然

后證明OF1PF.

(2)通過以_PFD=Vp-AFD，轉化求解點A到平面PFD的距離即可.

本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質定理的應用，點到平面的距離距離的求法，考查計算

能力以及空間想象能力.

23.答案：解：(I)證明：???平面ABD1平面BC￡>,平面力BDn平面BCD=BD,DCc^fgfBCD,

又。BlDC,所以OC平面A8O,

因為力Bu平面A8￡),所以CO1B,

又4)1AB,DCdAD=D,DC,ADADC,

所以4B，平面AOC；

(H)???AB=夜，AD=1,DB=V3>

依題意△ABDfDCB,

所以冷*，畔=詈二或=遍，

以。為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標D-%yz,

則0(0,0,0),5(V3,0,0),C(0,V6,0),以苧,孚,0),4(今0凈,

屁=(今日,0),罰=等0凈,

由(I)知平面DAB的法向量芭=(0,1,0).

設平面AQE的法向量訪=(x,y,z)

z百

o

/m=一X+N/-6y-

.2

由l2

D罰E

n6

=X+V6-z-O

x一

m-33

令％=V6,可取福=(\/6,-v3,—\/3)?

所以cos<n,m>=

由圖可知二面角B-AD-E的平面角為銳角,

所以二面角B-AD-E的大小為60。.

解析：本題考查了空間線面垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題.

(I)只需證明DC_L4B,由4。148,DCnAD=D,得4B1平面ADC；

(H)易得CD=遙，建立空間直角坐標D-xyz,則。(0,0,0),B(6,0,0),C(0,V6,0),E(今今0)，

4(今0,9)，求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，求出cos<元示,，可得二面角B-AD-

E的大小為60。.

24.答案：證明：(1)連接AG，設4CCAG=F，則/為AG的"I--------------------------

因為E為AB的中點，/y/xy/

所以EF//BQ.X/A/

又BQC平面&CE,EFu平面&CE,

所以BCi〃平面&CE.B

(2)在△4BC中，由BC=3,AC=4,AB=5,得乙4cB=90。,即〉C14C；

在中，同理可得

因為側面4CC141，底面ABC,側面力CQ4iCI底面ABC=AC,BCu平面ABC,

所以BC1平面ACC/i.

乂44u平面4CC14,

所以BC1

又A/CBC=B,44BCu平面&BC,

所以1?平面&BC.

解：⑶因為4遇_L平面&BC,&Cu平面&BC,

所以4遇_L&C.

在直角△44修中，由441=3及4c=4,

得—^AC2—AA1—V42—32-V7?

所以匕1-4CE=2^At-ABC=J^B-AA^C

=j-|sC-5AX41C=|-3-(|-3-V7)=^.

解析：本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查三棱錐的體枳的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題.

(1)連接AG，設&Cn4G=F,則尸為力G的中點，從而EF〃BG曲此能證明8G〃平面&CE.

(2)推導出4clBC,ArALArB,BCLArA,由此能證明4送1平面&BC.

(3)推導出4〃1&C.再由1%-ACE=J匕1-ABC=2%一力41。，能求出三棱錐&-4CE的體積.

25.答案：(I)證明：在^PBC中，由P4=PD=&,BC=CD=2,CD1PD,

可得，PB2=PC2+BC2,PD2=PC2+DC2,

APC1BC,PC1CD,

又BCCCD=C,

又PDu平面PBC,

PD_L平面PAB；

(口)解：由E為PA中點，可知點E到平面ABC。

的距離等于點P到平面ABCD的距離的一半.

由（I）知PC1平面ABC。，

則0-48E=%-BDEWXS正方形ABCDXPC

=-X-X22X4=~.

323

故三棱錐P-ABE的體積為條

解析：（I）由已知求解三角形PCIBC,PCLCD,再由線面垂直的判定可得PC_L平面A8CD,進一

步得到PD，平面PAB；

（H）由E為PA中點，可知點E到平面ABCD的距離等于點P到平面ABC。的距離的一半，由（I）知

PC，平面ABCD,然后利用等積法求三棱錐P-BDE的體積.

本題考查面面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是

中檔題.

26.答案：解：（1）證明：因為ABCQ為正方形，所以AO〃BC.

因為4DC平面PBC,BCu平面PBC,

所以40〃平面PBC,

因為ADu平面AEFD,平面AEFD。平面PBC=EF,

所以4D〃EF；

（2）證明：A8CQ為正方形，

:.AD1AB,

???平面P4B，平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,

ADu平面ABCD,

???AD1平面PAB,

vPBu平面PAB,

AD1PB,

???△P4B為等邊三角形，E是PB中點，

???PBLAE,

vAEAEFD9ADAEFDfAEC\AD=Af

PBJL平面AEFD；

(3);ABC。為正方形,

AD//BC,

D匕-----------%

VAD,平面PBC,BCU平面PBC,

40〃平面PBC,

"ADu平面AEFD,平面4EFDn平面PBC=EF,

AD//EF,=yC-AEFDi

22

^E-ABC=^F-ADC=3^C-AEFD=三匕，

A^BC-AEFD=§匕，

則力-力BCD=匕+|匕=弓匕'

，幺=。

**V28*

解析：本題考查直線與平面平行的判定和性質，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能

力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題.

⑴先證明出4D〃平面PBC,即可得到4D〃EF；

(2)由438為正方形，可得40_L48.結合面面垂直的性質可得40，平面PZB.從而得到4D1PB.再

由已知證得P814E.由線面垂直的判定可得PBJL平面AEfA

(3)由條件知，9=%_AEFD，利用等積法把彩用匕表示，則段的值可求.

27.答案：解：(1)解法一：平面AEF與平面P8C互相垂直，

理由如下：\\\.

因為P4_L底面ABC。，BCu平面A8C￡),所以24_LBC.

因為A3CD為正方形，所以4B_LBC

AB

又24nAB=4且PA,ABu平面PAB,

所以BC1平面PAB.

因為AEu平面PAB,所以AE1BC.

因為PA=AB,E為線段PB的中點，所以AE1PB,

又PBCBC=B,且PB,BCu平面PBC,所以4E1平面P8C,

因為4Eu平面AEF,所以平面4EF，平面PBC.

解法二：平面AEF與平面P8C互相垂直，

理由如下：

因為PA1底面ABCD,PAu平面PAB,所以平面R4BJ-底面ABCD,

又平面P4Bn底面ABCD=4B,BCLAB,BCu平面ABCQ,

所以8c_L平面PA8.

因為AEu平面尸48,所以4E1BC,

因為P力=AB,E為線段PB的中點，所以4E1PB,

又PBCBC=B,且P8,BCu平面PBC,所以4EJ■平面P8C,

因為4Eu平面AEF,所以平面4EF，平面PBC.

(2)因為P4，底面ABC。，E為線段P8的中點，

所以點E到底面ABCD的距離為=|,

則Vp_48CD=§x3x3x3=9,

又尸為線段BC的三等分點，

當BF=：BC=1時，VE_ABF=iX(iX3X1)X|=2,

所以多面體PAEFCD的體積為VPTBCD-VE-ABF=9一;午，

當BF=扣。=2時，VE_ABF=iX(iX3X2)X|=|,

所以多面體PAEFCD的體積為/_.功~VE-ABF=9-|=y.

綜上，多面體PAEFCD的體積為？或厚

42

解析：(1)法一：推導出P41BC.4BJ.BC,從而BC_L平面PAB,進而4E1BC.推導出4E1PB,從

而AE1平面PBC,由此得到平面AEF，平面PBC.

法二：由PAJL底面ABC。，得平面P4BJL底面ABCD,由BCJ.4B,得BCJL平面P4B.從而AE18C,

推導出力E_LPB,從而4E_L平面P8C,由此得到平面AEF1平面PBC.

(2)點E到底面ABC。的距離為扣A=|,則"_謝0="3*3*3=9,由F為線段BC的三等分

點，根據BF=”C=1和BF=|BC=2兩種情況，分別求解多面體PAEFCD的體積.

本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、空間幾何體的體積等基礎

知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想等，考查的數學素

養主要有邏輯推理、直觀想象等.

28.答案：解：方法一：設PA=a.在四棱錐P-4BCD中，因為底面ABCO是邊長為

1的正方形，PAJ■底面A8C￡>,如圖，以A為坐標原點，AB,AD,AP分別

為x,y,z軸建立空間直角坐標系A-xyz,

則4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),P(0,0,a).

因為“是側棱尸C的中點，所以〃的坐標為?,*),

所以前=G，f~BD=(-1,1，0),'BP=(-1,0,a).

(1)因為4M，平面PBD,即祠_L平面PBD,

所以翔?前=宿?而=0.

所以—工+4=0,解得Q=l.

22

所以PA=1.

(2)設平面AMD的法向量為"=(x,y,z).

因為亦=(o,i,0)，祠=(m),

由/n?而=0,徨0=°，,.(y=o,

1n.祠=0,七(x+y+z)=0p,'[x+z=0.

取z=1,得％=-1,從而得到平面AMD的一個法向量n=(-1,0,1).

又渭所以cos<〃，詼>=晶=高=孚

設PC與平面AMD所成角的為。，則sin?=|cos<",CP>\=—.

13

因此，PC與平面AM。所成角的正弦值為理.

3

方法二：(1)設P4=a.連結AC,交20于點。.連結P。，與AM交于點G.在四棱錐P-4BC。中，因

為底面ABCD是邊長為1的正方形，所以4C=BD=VI，。是AC的中點，所以40=立.