排列與排列數(shù)

第1課時排列與排列數(shù)

必備知識?自主學(xué)習(xí)

導(dǎo)思什么是排列？所有對象有沒有順序關(guān)系？

L排列：從n個不同對象中，任取m(mSn)個對象，按照一定的順序

排成一列，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列.

2.相同排列的兩個條件

⑴對象相同.

(2)順序相同.

⑴排列中"一定順序〃的含義是什么？

提示：一定順序就是指排列中的對象與位置有關(guān)，當位置不同時排列

也就不同.

⑵排列定義中的兩個要素是什么？

提示：一是"取出不同的對象〃，二是"將對象按一定順序排列〃.

3.排列中對象所滿足的兩個特性

⑴無重復(fù)性：從n個不同對象中取出m(m4n)個不同的對象，否那么

不是排列問題.

⑵有序性：安排這m個對象時是有III頁序的，有序的就是排列，無序

的不是排列.檢驗它是否有順序的依據(jù)是變換對象的位置,看結(jié)果是

否發(fā)生變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序.

⑴每一個排列中對象的位置是確定的嗎？

提示：是，對象在排列中的位置不同排列也就不同.

⑵同一個排列中，同一個對象能重復(fù)出現(xiàn)嗎？

提示：由排列的定義知，在同一個排列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個對象.

4.排列數(shù)及排列數(shù)公式

排列數(shù)從n個不同對象中取出m個對象的所有排列的個

定義數(shù),稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù)

排列數(shù)

表示法

n個不同對象全部取出的一個排列，叫做n個對象

全排列

的一個全排列，且A：=nx(n-l)x-x3x2xl

階乘正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示

排歹乘積式A?=n(n-l)(n-2)?…

數(shù)公pm_n!

階乘式''(n—m)!

式

A；=nl,O!=l

備注n,mGN*,m<n

⑴"得到從n個不同的對象中取出m個對象的一個排列”的含義是什

么？

提示："得到從n個不同對象中取出m個對象的一個排列〃，包含兩

個方面：①從n個不同對象中取出m個對象；②按照一定順序排列.

(2)排列與排列數(shù)有何不同？

提示：排列與排列數(shù)是兩個不同的概念，"排列〃是指從n個不同對

象中取出m個對象按照一定順序排成一列，是一種排法；"排列數(shù)〃

是指從n個不同對象中取出m個對象所得不同排列的個數(shù)，是一個

數(shù)，用A：表示.

1.辨析記憶(對的打，〃，錯的打"x〃)

⑴由于排列數(shù)的階乘式是一個分式，所以其化簡的結(jié)果不一定是整

數(shù).(x)

提示：排列數(shù)是從假設(shè)干個對象中取出假設(shè)干個對象的排列的個數(shù),

所以排列數(shù)一定是整數(shù).

⑵在排列的問題中，總體中的對象可以有重復(fù).(X)

提示：在排列問題中總體內(nèi)對象不能重復(fù).

⑶用1,2,3這三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).123與321是不

相同的排列.M

提示：根據(jù)排列的定義可以判斷123與321是不同的排列.

⑷假設(shè)A,=10x9x8x7x6,那么n=10,m=6.(x)

提示：在A：中m表示連乘因數(shù)的個數(shù)，所以，n=10,m=5.

2.9xl0xllx???x20可表示為()

A.A20B.A20C.A20D.A20

【解析】選卷=20X19X18X-X(20-12+1)

=20xl9xl8x…x9.

3.如果An=15x14x13x12x11x10,那么n=,m=

【解析】15x14x13x12x11x10=A55，故n=15,m=6.

答案：156

關(guān)鍵能力?合作學(xué)習(xí)

類型一排列的有關(guān)概念（數(shù)學(xué)抽象）

1,判斷以下問題是否是排列問題：

⑴從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標平面內(nèi)的點的坐

標，可得多少個不同的點的坐標？

⑵從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開座談會，有多少種不同的抽

取方法？

⑶某商場有四個大門，假設(shè)從一個門進去，購置物品后再從另一個門

出來，不同的出入方式共有多少種？

【解析】⑴由于取出的兩數(shù)組成點的坐標與哪一個數(shù)為橫坐標，哪一

個數(shù)為縱坐標的順序有關(guān)，所以這是一個排列問題.

⑵因為從10名同學(xué)中抽取兩人去學(xué)校開座談會的方式不用考慮兩人

的順序，所以這不是排列問題.

⑶因為從一門進，從另一門出是有順序的，所以是排列問題.

綜上，⑴⑶是排列問題，⑵不是排列問題.

2.判斷以下問題是否為排列問題：

⑴北京、上海、重慶三個民航站之間直達航線的飛機票價格(假設(shè)來

回的票價相同)；

(2)選2個小組分別去植樹和種菜；

⑶選2個小組去種菜；

⑷選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；

⑸選3個人分別擔任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；

⑹某班40名學(xué)生在假期相互寫信.

【解析】⑴中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，

不存在順序問題，所以不是排列問題.

⑵植樹和種菜是不同的,存在W頁序問題，屬于排列問題.

⑶⑷不存在順序問題，不屬于排列問題.

⑸中每個人的職務(wù)不同，例如甲當班長或當學(xué)習(xí)委員是不同的，存在

順序問題，屬于排列問題.

(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排

列問題.

所以在上述各題中⑵⑸⑹屬于排列問題，⑴⑶⑷不是排列問題.

判斷一個具體問題是否為排列問題的方法

類型二"樹形圖〃解決排列問題（邏輯推理）

【典例】四個人A,B,C,D坐成一排照相有多少種坐法？將它們列

舉出來.

【思路導(dǎo)引】運用樹形圖一一列舉出來.

【解析】先安排A有4種坐法，安排B有3種坐法，安排C有2種

坐法,安排D有1種坐法,由分步乘法計數(shù)原理，有4x3x2xl=24

種.

畫出樹形圖：

由"樹形圖”可知，所有坐法為ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,

ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,

CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,

DCBA.

利用"樹形圖〃法解決簡單排列問題的適用范圍及策略

⑴適用范圍："樹形圖〃在解決排列對象個數(shù)不多的問題時，是一種

比擬有效的表示方式.

⑵策略：在操作中先將對象按一定順序排出，然后以先安排哪個對象

為分類標準進行分類，再安排第二個對象，并按此對象分類，依次進

行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出

排列.

1.假設(shè)直線Ax+By=0的系數(shù)A,B可以從2,3,5,7中取不同的

數(shù)值，可以構(gòu)成的不同直線的條數(shù)是0

A.12條B.9條C.8條D.4條

【解析】選A.畫樹形圖如下：

故共有12條.

2.寫出以下問題的所有排列：

⑴從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個

不同的兩位數(shù).

⑵由1,2,3,4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，試

全部列出.

【解析】⑴所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,

42,34,43,共有12個不同的兩位數(shù).

⑵畫出樹形圖，如下圖.

由上面的樹形圖可知，所有的四位數(shù)為：

1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,

2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,

4213,4231,4312,4321,共24個四位數(shù).

類型三排列數(shù)公式及其簡單應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象邏輯推理)

—.角度.1.一排列數(shù)公式

【典例】l.(x-2)(x-3)(x-4)?…?(x-15)(x￡N+,x>15)可表示為()

A-2B.Ax4.2

；

C.15D.A!15

【思路導(dǎo)引】

根據(jù)排列數(shù)公式求解.

【解析】選B.由題意x￡N+,x>15.其中最大的數(shù)(x-2)為n,那么m

=(x-2)-(x-15)+1=14.

所以(x-2)(x-3)(x-4)?…?(x-15)=Af2-

2.⑴計算A%和A二

⑵用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)-(69-n)(n￡N*且n<55).

(3)化簡n(n+l)(n+2)(n+3)—(n+m).

【思路導(dǎo)引】

根據(jù)題中所求排列數(shù)的特點，選擇適宜的排列數(shù)公式求解.

【解析】(1)A；5=15X14X13=2730,

=6x5x4x3x2x1=720.

(2)因為55-n,56-n,-,69-n中的最大數(shù)為69-n,且共有(69

-n)-(55-n)+l=15(個)數(shù),

所以

(55-n)(56-n)??…(69-n)=Ag.n.

⑶由排例」數(shù)公式可知n(n+l)(n+2)(n+3)?…?(n+m)=.

…角度2…排列數(shù)公式的應(yīng)用

【典例】10個人走進只有6把不同椅子的屋子，假設(shè)每把椅子必須

且只能坐一人，共有多少種不同的坐法？

【思路導(dǎo)引】確定一共幾個人，需要選出幾個人參與排列，然后用排

列數(shù)公式求解.

【解析】坐在椅子上的6個人是走進屋子的10個人中的任意6個人,

假設(shè)把人抽象地看成元素，將6把不同的椅子當成不同的位置，那么

原問題抽象為從10個元素中取6個元素占據(jù)6個不同的位置.顯然

是從個元素中任取個元素的排列問題.從而，共有

106A!o=151

200(種)坐法.

1,排列數(shù)的計算方法

⑴排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進行，應(yīng)用時注意：連

續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列對象的總個

數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取對象的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆

用.

⑵應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公

因式，然后計算，這樣往往會減少運算量.

2.解簡單排列應(yīng)用題的思路

⑴認真分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有順序.

⑵如果是的話，再進一步分析，這里n個不同的對象指的是什么，以

及從n個不同的對象中任取m(mWn)個對象的每一種排列對應(yīng)的是什

么事件.

⑶運用排列數(shù)公式求解.

提醒：解答相關(guān)的應(yīng)用題時不要無視n為正整數(shù)這一條件.

=4A12，那么n等于

3x8!4x9!________4x3

【解析】由^~~~—(11-n)!，BP(ll-n)(10-n)

[9-n]!

1,因為n<9,所以解得n=7.

答案：7

2.某景觀湖內(nèi)有四個人工小島，為方便游客登島欣賞美景，現(xiàn)方案

設(shè)計三座景觀橋連通四個小島，且每個小島最多有兩座橋連接，那么

設(shè)計方案的種數(shù)最多是________種.

【解析】設(shè)4個小島分別為A,B,C,D,一個島最多建兩座橋，但

是下面這樣的兩個排列對應(yīng)一種建橋方法，A-BCD,D-C-B-A,要去

1

掉重復(fù)的這樣，因此有5xA；=12種方法.

答案：12

3.某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留

言，那么全班共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

【解析】Ai0=40x39=1560.

答案：1560

2A1+7A之

4.⑴計算工—乂2)解方程3A：=2A：+i+6A"

△2-A2

2A5+7A4

882x8x7x6x5x4+7x8x7x6x5

【解析】A8

88x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5

8x7x6x5x〔8+7〕

==1

8x7x6x5x〔24-9)

⑵由3A：=2A：+]+6A：,

得3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-1).

因為x>3,且x￡N*,

所以3(x-l)(x-2)=2(x+1)+6(x-1)即3x2-17x+10=0.解得x=5,

2

x=3倍去).所以x=5.

課堂檢測?素養(yǎng)達標

1.以下問題：

⑴從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組.

⑵從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項活動.

⑶從a,b,c,d四個字母中取出2個字母.

⑷從1,2,3,4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù).

其中是排列問題的有0

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解析】選B.⑴是排列問題，因為兩名同學(xué)參加的學(xué)習(xí)小組與順序有

關(guān).⑵不是排列問題，因為兩名同學(xué)參加的活動與順序無關(guān).⑶不

是排列問題，因為取出的