3.2倍角公式和半角公式

3.2.1倍角公式

I學習目標］1.會從兩角和的正弦、余弦、正切公式導出二倍角的正弦、余弦、正切公式2

能熟練運用二倍角的公式進行簡單的恒等變換，并能靈活地將公式變形運用.

聲預習導學聾挑戰(zhàn)自我，點點落實__________________________________________________________

［知識鏈接］

1.兩角和公式與二倍角公式有聯(lián)系嗎？

答有聯(lián)系.在S“+mCa+/I,Ta+#中，令夕=a即可得S2“，C2?,T2a.

2.什么情況下sin2a=2sina,tan2a=2tana?

TTTT

答一般情況下，sin2a#2sina,例如sing#2sin不，只有當a=E(〃￡Z)時，sin2a=2sin

a才成立.只有當a=E(%eZ)時，tan2a=2tana成立.

［預習導引］

1?倍角公式

.c。..aa1.

；

(l)S2ft：sm2a=2smacosa,sin/cos]=]sina

(2)C2a：cos2a=cos%—sin2a=2cos」a-1=1—Zsi/a；

2lana

：tanla—

(3)T2a1—tan2a

2.倍角公式常用變形

一、sin2asin2a

(2)(sina±cosa)2=l±sjn2a；

.1—cos2a1+cos2a

(3)sin9-a_5,cos9-a=

(4)1-cosa=:2sin2^,l+cosQUZCOS2^.

尹課堂講義金重點難點，個個擊破__________________________________________________________

要點一給角求值問題

例1求下列各式的值:

/八?兀兀-?jlcc/.、2tan150

(l)sirrj5cos記：(2)1—2snr750°；(3)=7不;

141idn1DU

(4)^Tio^-^i(r:(5)cos20°cos40°cos800.

解(1)原式=，2-=4,

(2)原式=cos(2X75()o)=cos15000

=cos(4X360°+60°)=cos60°=；.

(3)原式=tan(2X150°)=tan300°

=tan(360°-60°)=一tan60。=一小.

cos10°-Ssin10°

(4)原式=sin10ocosio0

2(；cos10。一坐sin10。)

=sin10°cos10°

4(sin300cos"—cos300sin10。)

=2sin10°cos10°

4sin20°

一sin20。一生

…h(huán)上2sin20°cos20°-cos40°-cos80°

2sin40°?cos40°?cos80°

4sin20°

_2sin8008S800_sin160。」

=-8sin20°-=8sin20。，

規(guī)律方法此類題型(1)(2)⑶小題直接利用公式或逆用公式較為簡單，而(4)小題分式一般先

通分，再考慮結合三角函數公式的逆用從而使問題得解.而(5)小題通過觀察角度的關系，

發(fā)現(xiàn)其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得問題中可連用正弦二倍角公式，所以

在解題過程中要注意觀察式子的結構特點及角之間是否存在特殊的倍數關系，靈活運用公式

及其變形，從而使問題迎刃而解.

跟蹤演練1求下列各式的值.

7T37r

(l)sin(2)cos215°-cos275°；

oo

/i257ri-tan30°

(3)2cos方-1；(4)1_tan230o.

STL7T7ETT

解(l)Vsin-g-=sin^—g)=cosg,

..兀.3兀.兀711八.兀兀

..sinosin_&3--=s、i口noc呼os%^=一T2-z分sin皿oC產o冶s^

1.兀應

=2sin4=4.

(2)VCOS275°=COS2(90°-15°)=sin215°,

cos215°—COS275°=COS215°—sin2l50=cos30°=，.

⑶噌-5TC_且

2cos1=%=一2.

.Qno|x2tan30°,白

tan30°2___________1,?_^3

(4)[-tan230°-l-tan230°-60o-2'

要點二給值求值問題

例2已知sin(j-0<x<^.求-、的值.

cosk+jcj

/.sin^+x1-cos｛；+x12

O-

1224

，原式=2Xy^=yj.

TT

規(guī)律方法在解題過程中要注意抓住角的特點解題，同時要注意挖掘題目中的隱含條件:j+

7T

X與京一元存在互余關系.特別要注意利用這些條件來確定某些三角函數值的符號.

跟蹤演練2已知cosla+mn1|，竽，求8§(2夕+g的值.

解:與。〈:，???竽。+；<季于是可由cosG+^A1!得到sin(a+；)=一,.

即乎cos。一堂sina=|-,乎sina+乎cosa=-

兩式相加得cosa=一嚕，兩式相減得sina=一節(jié).

半(cos2a-sin2a),

而

cos2a=(一^^2一（一需2=卷,

（一啕x（一書=5.

sin2a=2X

31s

所以cos|

3+*啜湛W)50,

要點三給值求角問題

1tanp——",且。，夕￡（0,兀），求2a一4的值.

例3已知tana=y

解tana=^>0,'a￡(0匹

,2。￡(0,7t),

2X；

2tana丁

tan2a—2

1—tan2aT

1-

.,.2a￡(0,

兀

又?.3。夕=一,<0,￡￡（0,兀），2'兀，

3

tan2a—tanB4

3

.".tan(2?-^)=1+tan2atan^—-

4

又：2ae（0,：,蚱e，4

3

-

.?.2a一夕￡（一兀，0）,2a—p=一4

規(guī)律方法在給值求角時，一般選擇一個適當的三角函數，根據題設確定所求角的范圍，然

后再求出角.其中確定角的范圍是關鍵的一步.

1遮

跟蹤演練3已知tana=y,sinp=且a,￡為銳角，求a+24的值.

10，

1JT

解tana=y<1,且a為銳角，0<。<不

又???si”=,且夕為銳角，???0〈夕今

0"+24〈學

由sin夕為銳角，得cos

tana+tan4

tanP-y/.tan(a+^)=

1—tanatanp

?,/,tan(a+/Q+tan夕

..tan(a+2為一］_tan(a+")tan夕一-i—T=i，

1-2X3

故a+2￡寸

菱當堂檢測建當堂訓練，體驗成功__________________________________________________________

1.COS275°+COS215°+COS75°COS150的值等于()

A.乎B.弓C.^D.1+坐

答案c

解析原式=sin215°+cos215°+；sin300=1+；=*

2.sin哈一cos%等于（）

I

A.

2

答案B

書）（in晉cos哈）

解析原式=(sin哈+cos

3」吟J

l-tan27.5°--------

答案1一坐

解析原式=3-鏢除=%anl5。

11小-1A/3

=2tan(60°-45°)=2X^p==11一

4.設sin2a=-sina,ae,兀，則tan2a的值是.

答案小

兀），

解析因為sin2a=2sinacosa=-sina,

所以cos