河北省唐縣2024-2025高三上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試題時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A.5B.6C.7D.82.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.B.C.D.3.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為2和5，且母線與下底面所成為角的正切值為，則該圓臺(tái)的表面積為（）A．B．C．D．4.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A.B.C.D.5.在中，“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，與相交于O．若，，則的長(zhǎng)為（）A.3B.4C.5D.67.函數(shù)的圖象如圖，則的解析式和的值分別為（）A．，B．，C．，D．，8.若定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿意，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說(shuō)法正確的是（）A．已知向量，則“的夾角為銳角”是“”的充要條件B．已知向量，若，則C．若向量，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為D．在中，向量與滿意，則為等邊三角形10.設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，且，，則（）A．B．C．D．11.已知函數(shù)，下列四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）A.是偶函數(shù)B.是周期函數(shù)C.在，上為增函數(shù)D.的最大值為12.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G為C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱C1C上運(yùn)動(dòng)，M為空間中隨意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線BD1⊥平面A1C1DB.PQ+QG的最小值為C.異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是D.當(dāng)MA+MB＝4時(shí)，三棱錐A﹣MBC體積最大時(shí)其外接球的表面積為.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.將邊長(zhǎng)為2的正水平放置后，利用斜二測(cè)畫法得其直觀圖，則的面積為_(kāi)_________.14.已知，則的取值范圍是__________.15.已知（為自然對(duì)數(shù)的成數(shù)），，直線是與的公切線，則直線的方程為_(kāi)_________.16.已知數(shù)列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,……（也可表示30,30,31,30,31,32,30,31,32,33,….,30,31……3k-1）若該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則滿意62<Sn≤1600的整數(shù)n的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知數(shù)列滿意，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.如圖，中，角對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值.19.如圖，三棱錐中，底面于B，∠BCA＝90°，，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：側(cè)面PAC⊥平面PBC；（2）若異面直線AE與PB所成的角為θ，且，求平面ABC與平面ABE所成角的大小．20.已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21.某公司為宣揚(yáng)其產(chǎn)品，設(shè)計(jì)一大型廣告立牌置于公司樓下顯目位置，廣告立牌垂直于地面，其設(shè)計(jì)圖如下所示，由直角和以BC為直徑的半圓拼接而成，，AB固定于地面，且，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)（異于B，C兩點(diǎn)），四邊形ABPC為梯形，，該廣告立牌右側(cè)有一條垂直于AB的直線小道L（直線小道路面與地面平齊），與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，且.

(1)若沿該造型外部邊緣增加鐵絲加以固定，求鐵絲長(zhǎng)度（即）的最大值及此時(shí)的值；(2)若，行人M（視為質(zhì)點(diǎn)，行人高度忽視不計(jì)）沿直線小道L向該廣告立牌走近，當(dāng)對(duì)底邊AB視察的視線所張的角最大時(shí)，求從M處視察P點(diǎn)時(shí)仰角的正切值.22.已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）推斷函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（2），，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求證：.

高三數(shù)學(xué)答案1.【答案】C【詳解】依題意，集合中有個(gè)元素，則其真子集的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：C2.【答案】B【詳解】由題，，故，故選：B3.【答案】D【詳解】如圖所示圓臺(tái)的軸截面，

過(guò)點(diǎn)作，因此有，因?yàn)槟妇€與下底面所成為角的正切值為，所以，該圓臺(tái)的表面積為，故選：D4.【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤，A正確.故選：A.5.【答案】A6.【答案】D【詳解】在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，與相交于O．設(shè)，則由，可得則，解之得，則則又，則，解之得，即的長(zhǎng)為4故選：D7．【答案】C【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為4，則，，，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)椋忠驗(yàn)椋虼耍?故選：C.8．B【詳解】因?yàn)椋詷?gòu)造函數(shù)，所以，則在上單調(diào)遞減，又，所以，即，故A錯(cuò)誤；，即，故B正確；，即，故C錯(cuò)誤；，即，故D錯(cuò)誤.故選：B.9．【答案】BC【詳解】對(duì)于B，由量，，得，解得，B正確；對(duì)于A，由的夾角為銳角，得且不共線，則，解得且，因此“的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由向量，得，因此在方向上的投影向量為，C正確；對(duì)于D，在中，，而，因此，所以不愿定為等邊三角形，D錯(cuò)誤.故選：BC10.【答案】AC【詳解】，則，，所以，，，，則，，，，是遞增數(shù)列，，，所以中，最小，故選：AC．11.【答案】AD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，的定義城為R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，先畫出函數(shù)在的圖象，再利用對(duì)稱性得到的圖象.由函數(shù)的圖象可知，不存在非零實(shí)數(shù)T使得對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)椋瑔握{(diào)遞減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)椋裕裕裕划?dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)椋裕裕G上所述，當(dāng)時(shí)，的最大值為，由于為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值也為，故的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.12.【答案】ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，則，由題可知，平面，且平面，則，又，平面，平面，則，同理可得，，直線平面，則選項(xiàng)A正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由題可知，，，所以四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線與所成角，又點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，可知是等邊三角形，所以直線與所成角的取值范圍是，則C選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖綻開(kāi)平面，使平面共面，過(guò)作，交與點(diǎn)，交與點(diǎn)，則此時(shí)最小，由題可知，，則，即的最小值為，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)、、三點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，又因?yàn)椋詸E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢球表面，設(shè)的中點(diǎn)為，要使三棱錐的體積最大，即到平面的距離最大，所以當(dāng)平面，當(dāng)平面，且時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)為等邊三角形，設(shè)其中心為，三棱錐的外接球的球心為，的外心，連接，，，則，，所以，即三棱錐體積最大時(shí)其外接球的表面積.故選：ACD.13.【答案】【詳解】邊長(zhǎng)為2的正的面積為，即.由斜二測(cè)畫法的直觀圖與原圖形的關(guān)系可知：故答案為：14.【答案】【詳解】因，而，則，即，，所以的取值范圍是.15.【答案】或【詳解】設(shè)公切線與且于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則有②又，∴．∵過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，∴．③由①②③消去整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，，直線與曲線的切點(diǎn)為，，此時(shí)切線方程為，即．當(dāng)時(shí)，，直線與曲線的切點(diǎn)為，，此時(shí)切線方程為，即．故直線的方程為或．所以答案為或．16．【答案】15【詳解】由題記第一組數(shù)為:1,個(gè)數(shù)為1,和為1,最終一個(gè)數(shù)為第1項(xiàng),;其次組數(shù)為:1,3,個(gè)數(shù)為2,和為,最終一個(gè)數(shù)為第1+2項(xiàng),;第三組數(shù)為:1,3,9,個(gè)數(shù)為3,和為,最終一個(gè)數(shù)為第1+2+3項(xiàng),;第四組數(shù)為:1,3,9,27,個(gè)數(shù)為4,和為,最終一個(gè)數(shù)為第1+2+3+4項(xiàng),;;第組數(shù)為:1,3,9,27,,,個(gè)數(shù)為,和為,最終一個(gè)數(shù)為第項(xiàng),,因?yàn)?所以,由62<Sn≤1600可知,從13起先計(jì)數(shù),因?yàn)?第28項(xiàng)是第七組的最終一項(xiàng),第七組的數(shù)為:1,3,9,27,,,所以,所以要滿意62<Sn≤1600,則,,故n的個(gè)數(shù)為個(gè).17.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，，因?yàn)椋裕砸驗(yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）得，所以

①，

②，由①②錯(cuò)位相減得：，所以.18.【答案】（1）（2）【詳解】（1）法一：∵，由正弦定理得：，∴，∴，∵，∴，又∵，∴.法二：∵，由余弦定理得：，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，而四邊形內(nèi)角互補(bǔ)，則，法一：設(shè)，則，由正弦定理得：，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.法二：在中，，，由余弦定理得：，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.19.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）60°【詳解】（1）由PB⊥平面ABC，面，所以PB⊥AC，因?yàn)椤螧CA＝90°，即AC⊥BC；又PB∩BC＝B，面，所以AC⊥平面PBC，又平面PAC，所以面PAC⊥面PBC.（2）以C為原點(diǎn)，CA、CB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝m＞0，則，所以，由得：，由，∴，解得m，則，設(shè)面ABE的一個(gè)法向量為，則，取x＝1，則．取面ABC的一個(gè)法向量，故，所以，結(jié)合面面角的范圍易知：平面ABC與平面ABE所成角的大小為60°．20．(1)最小值為-1，最大值為2.(2)【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)椋傻茫獾茫郧遥?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)，函數(shù)取得微小值，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）解：由函數(shù)和，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)取得微小值；當(dāng)，函數(shù)取得微小值，又由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使得與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)闉橹苯侨切危O(shè)，，又，所以.因?yàn)樵谥苯侵校裕?所以（其中）.當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，為，所以.（2）依題意，設(shè)，，，，則，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，對(duì)底邊AB視察的視線所張的角最大.因?yàn)椋瑒t，，可得，所以，平面平面AMD，平面平面，平面，所以平面AMD，由平面AMD，得.因?yàn)椋裕?所以從M處視察P點(diǎn)時(shí)仰角的正切值為.22.【答案】（1）1;（2）;（3）見(jiàn)解析【詳解】解：（1）函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.理由如下：因?yàn)椋?因?yàn)椋?所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).因?yàn)椋罁?jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；（2）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，所以，，使得不等式成立，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)