專題5-3方程組及不等式（組）的應用（考題猜想，四種應用問題）應用1：列方程組解古算術(shù)問題【例題1】（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”．如從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應的常數(shù)項，即可表示方程，則表示的方程是；請將這兩個方程聯(lián)立成方程組，并求出這個方程組的解．【答案】，【分析】本題考查了列二元一次方程組，解方程組，根據(jù)橫著的算籌為10，豎放的算籌為1，依次表示x，y的系數(shù)與等式后面的數(shù)字，即可列方程，然后組成方程組，根據(jù)加減消元法求解即可．【詳解】解：，表示的方程是，故答案為：；由，可得，解得把代入②，可得：，解得，原方程組的解是【變式1】．（2024七年級下·江蘇·專題練習）古老的“雞兔同籠問題”：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞、兔各幾何？”這是我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中記載的數(shù)學名題．它曾在好幾個世紀里引起過人們的興趣，這個問題也一定會使在座的各位同學感興趣．怎樣來解答這個問題呢？【答案】雞有23只，兔有12只【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．設雞有只，兔有只，根據(jù)雞、兔共有35個頭、94只腳，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設雞有只，兔有只，依題意得：，解得：，答：雞有23只，兔有12只．【變式2】．（2024七年級下·江蘇·專題練習）《孫子算經(jīng)》是唐初作為“算學”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一，共三卷，上卷敘述算籌記數(shù)的制度和乘除法則，中卷舉例說明籌算分數(shù)法和開平方法，都是了解中國古代籌算的重要資料．下卷收集了一些算術(shù)難題，“雞兔同籠”問題是其中之一．原題如下：令有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雉、兔各幾何？【答案】雞有23只，兔有12只【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應用；根據(jù)總頭數(shù)和總腳數(shù)得到兩個等量關系是解決本題的關鍵．設雞有只，兔有只，根據(jù)：雞的頭數(shù)兔的頭數(shù)；雞的頭數(shù)兔的頭數(shù)，列出二元一次方程組，解方程組即可得出答案．【詳解】解：設雞有只，兔有只，由題意得：，解得．答：雞有23只，兔有12只．【變式3】．（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，“方程術(shù)”是《九章算術(shù)》的重要內(nèi)容，《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問：牛、羊各直金幾何？”意思如下：“假設有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩．問：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”請用二元一次方程組解決這個問題．【答案】每頭牛值金兩，每只羊值金【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，建立關于x，y的二元一次方程組，解方程即可求解．【詳解】解：設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩．依題意得：，解得：答：每頭牛值金兩，每只羊值金兩．【變式4】．（23-24七年級下·福建泉州·階段練習）《孫子算經(jīng)》是我國古代一部較為普及的算書，許多問題淺顯有趣．其中下卷“雉兔同籠”流傳尤為廣泛．“雉兔同籠”題為：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？上述“雉兔同籠”問題中，雞和兔各有多少只？【答案】雞和兔各有23只，12只【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，設雞有x只，兔有y只，根據(jù)共有三十五頭可得方程，根據(jù)共有九十四足，可得方程，據(jù)此列出方程組求解即可．【詳解】解：設雞有x只，兔有y只，由題意得，，解得，答：雞和兔各有23只，12只．【變式5】．（22-23七年級下·江蘇南通·期末）我國傳統(tǒng)數(shù)學名著九章算術(shù)記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？(2)某商人準備用兩銀子買牛和羊要求既有羊又有牛，且銀兩須全部用完，且羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的倍，請問商人有幾種購買方法？列出所有的可能．【答案】(1)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子(2)購買頭牛，只羊；購買頭牛，只羊．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準數(shù)量關系，正確列出二元一次方程．（1）設每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，根據(jù)“頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設購買頭牛，只羊，根據(jù)某商人準備用兩銀子買牛和羊，列出二元一次方程，再根據(jù)羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的倍，得，然后求出滿足條件的正整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，依題意得：，解得：，答：每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子；（2）設購買頭牛，只羊，依題意得：，整理得：，、均為正整數(shù)，為的倍數(shù)，羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的倍，，或，商人有種購買方法：購買頭牛，只羊；購買頭牛，只羊．應用2：列方程組與不等式解工程問題【例題2】（2023春?襄汾縣期末）政府計劃為某村修建一條長為1000米的公路，由甲、乙兩個工程隊負責施工．已知若甲工程隊獨立施工5天后，乙工程隊再加入，兩工程隊聯(lián)合施工8天后，還剩30米的工程．甲工程隊工作2天比乙工程隊工作3天少施工20米．（1）求甲、乙兩工程隊每天各施工多少米？（2）現(xiàn)計劃由兩工程隊聯(lián)合施工完成該工程，兩工程隊聯(lián)合施工4天后，因甲隊有事，剩下的部分由乙工程隊獨立完成，若要在12天內(nèi)完成該項工程，則乙工程隊每天至少應再多施工多少米？【分析】（1）設甲工程隊每天施工米，乙工程隊每天施工米，根據(jù)“甲工程隊獨立施工5天后，乙工程隊再加入，兩工程隊聯(lián)合施工8天后，還剩30米的工程；甲工程隊工作2天比乙工程隊工作3天少施工20米”，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設乙工程隊每天應再多施工米，根據(jù)要在12天內(nèi)完成該項工程，可列出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設甲工程隊每天施工米，乙工程隊每天施工米，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲工程隊每天施工50米，乙工程隊每天施工40米；（2）設乙工程隊每天應再多施工米，根據(jù)題意得：，解得：，的最小值為40．答：乙工程隊每天至少應再多施工40米．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．【變式1】．（2023春?梁平區(qū)期末）某玩具廠接到一筆1500盒積木的訂單，需要在15天內(nèi)完成，已知該種積木每盒里都有4個正方體積木和4個半圓形積木．玩具廠現(xiàn)在有100名工人，每人每天能加工9個正方體積木或6個半圓形積木，但每人一天只能加工一種積木，玩具廠每天加工的正方體積木和半圓形積木數(shù)量正好全部配套（一樣多）．（1）玩具廠每天能生產(chǎn)多少盒積木？（2）為了能在規(guī)定期限內(nèi)完成訂單，玩具廠決定從其他車間調(diào)來名工人幫忙，新調(diào)來的工人由于工作不熟練，只會加工正方體積木，且每人每天只能加工6個，為了確保每天加工的兩種積木數(shù)量正好全部配套，重新對100名熟練工進行分工．若要在規(guī)定時間內(nèi)完成訂單，求的最小值．【分析】（1）每天安排名工人生產(chǎn)半圓形積木，根據(jù)生產(chǎn)的積木每人每天生產(chǎn)的數(shù)量人數(shù)，結(jié)合每盒產(chǎn)品有4個正方體積木和4個半圓形積木，即可得出關于的一元一次方程，解之可得出的值，即可求出結(jié)論；（2）可設原100名熟練工中負責生產(chǎn)正方體積木的人數(shù)為人，根據(jù)題意可列出相應的方程，解方程即可．【解答】解：（1）設每天安排名工人生產(chǎn)正方體積木，則每天安排名工人生產(chǎn)半圓形積木，依題意得：，解得：，則玩具廠每天能生產(chǎn)的積木數(shù)為：（盒，答：玩具廠每天能生產(chǎn)90盒積木；（2）設原100名熟練工中負責生產(chǎn)正方體積木的人數(shù)為人，依題意得：，解得：，此時該廠每天生產(chǎn)個正方體積木，故此時該廠每天生產(chǎn)盒積木，由題意可得：，解得：，確保每天加工的兩種積木數(shù)量正好全部配套，必須為整數(shù)，故是5的倍數(shù)，不小于且是5的倍數(shù)的最小整數(shù)值為20，最小值為20．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程及二元一次方程組．【變式2】．（2022春?丹江口市期末）“十淅高速”項目工程建設已近尾聲，其中某施工路段總長90公里，若由甲、乙兩工程隊合做6個月可以完成，若甲工程做4個月，乙工程隊做9個月也可以完成．（1）甲、乙兩隊每月的施工路段各是多少公里？（2）已知甲隊每月施工費用為12萬元，乙隊每月施工費用為9萬元，按要求該工程總費用不超過130萬元，工程必須在10個月內(nèi)竣工．為了確保經(jīng)費和工期，采取甲隊做個月，乙隊做個月、均為整數(shù)）分工合作的方式施工，請你設計施工費用最低的施工方案．【分析】（1）設甲隊每月的施工路段是公里，乙隊每月的施工路段是公里，依據(jù)“某施工路段總長90公里，由甲、乙兩工程隊合做6個月完成，甲工程做4個月，乙工程隊做9個月也可以完成”列出方程組并解答；（2）根據(jù)費用不超過130萬元列出一元一次不等式求解即可．【解答】解：（1）設甲隊每月的施工路段是公里，乙隊每月的施工路段是公里，依題意得，解得．答：甲隊每月的施工路段是9公里，乙隊每月的施工路段是6公里．（2）根據(jù)題意，解得：，．又，且，都為正整數(shù)，為3的倍數(shù)，，3，6，9．當時，，此時施工費用為（元；當時，，此時施工費用為（元；當時，，此時施工費用為（元；當時，，此時施工費用為（元；方案為甲隊做10個月，乙隊做0個月，施工費用最低，為120萬元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，解題時，可把總工程量看作“1”．此題主要考查列方程（組解應用題中的工程問題．分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．【變式3】（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙兩個工程隊施工，工程小組綜合比較兩工程隊發(fā)現(xiàn)，甲工程隊施工2天的費用比乙工程隊施工3天的費用少0.3萬元，甲、乙兩工程隊合作施工一天的費用為2.6萬元．單獨完成這項工程，甲工程隊剛好如期完成，乙工程隊要比規(guī)定日期多用5天，初步計算，若單獨請甲工程隊需付30萬元．(1)請計算甲、乙工程隊每天所需的施工費用各是多少萬元?(2)為降低工程施工費用，甲、乙兩工程隊先合作施工若干天，再由乙工程隊全部完成，求甲、乙兩工程隊合作施工多少天時，在不耽誤工期的情況下，施工費用最低．【答案】(1)甲工程隊每天所需的施工費用為1.5萬元，乙工程隊每天所需的施工費用為1.1萬元(2)甲、乙兩工程隊合作施工4天時，在不耽誤工期的情況下，施工費用最低【分析】本題考查了二元一次方程組應用，一元一次不等式的實際應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程組及不等式求解．（1）設甲工程隊每天所需的施工費x萬元，乙工程隊每天所需的施工費y萬元，依題甲工程隊施工2天的費用比乙工程隊施工3天的費用少0.3萬元，甲、乙兩工程隊合作施工一天的費用為2.6萬元列出方程組即可求解；（2）根據(jù)題得：單獨完成這項工程，甲工程隊剛好如期完成，甲工程隊單獨施工需20天，乙單獨完成這項工程需天，設乙工程隊施工a天，設甲、乙兩工程隊先合作施工a天，則乙工程隊需單獨施工天，根據(jù)甲乙合作的工作量加上乙單獨完成的工作量大于等于總工作量，列出不等式，求解即可．【詳解】（1）解：設甲工程隊每天所需的施工費x萬元，乙工程隊每天所需的施工費y萬元，依題意列方程得：，解得：，答：甲工程隊每天所需的施工費用為1.5萬元，乙工程隊每天所需的施工費用為1.1萬元；（2）解：根據(jù)題得：單獨完成這項工程，甲工程隊剛好如期完成，甲工程隊單獨施工需：（天），則工期為20天，單獨完成這項工程需20天，乙單獨完成這項工程需天，設甲、乙兩工程隊先合作施工a天，則乙工程隊需單獨施工天，根據(jù)題意得：，解得：，則總費用為：，當時，總費用最少，為（萬元），答：甲、乙兩工程隊合作施工4天時，在不耽誤工期的情況下，施工費用最低應用3：列方程組與不等式解購物問題【例題3】（2024七年級下·全國·專題練習）我們度過了寒冬，迎來了充滿希望的春天，同學們將走出教室進行適當?shù)捏w育鍛煉，7.1班想集體購買跳繩和毽子、第一次買20條跳繩和30個毽子共花了590元，第二次又買了10條跳繩和10個毽子共花了260元．請回答下面的兩個問題：(1)求跳繩和毽子的單價是多少元？(2)若7.9班也打算購買同樣的跳繩和毽子共50個，且總花費不超過600元，問7.9班的跳繩最多買多少條？【答案】(1)跳繩的單價是19元，毽子的單價是7元；(2)7.9班的跳繩最多買20條．【分析】（1）設跳繩的單價是x元，毽子的單價是y元，然后找出兩個等量關系：20根跳繩的錢數(shù)+30個毽子的錢數(shù)=590元；10根跳繩的錢數(shù)+10個毽子的錢數(shù)=260元．根據(jù)這兩個等量關系可列出方程組，解方程組即可；（2）設7.9班購買m條跳繩，則購買個毽子，根據(jù)總花費不超過600元列不等式，求出m的值，最后取m的最大整數(shù)值即可．本題考查了二元一次方程組的應用和一元一次不等式的應用，根據(jù)題意找出等量關系和不等量關系是解題的關鍵．【詳解】（1）設跳繩的單價是x元，毽子的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：跳繩的單價是19元，毽子的單價是7元；（2）設7.9班購買m條跳繩，則購買個毽子，根據(jù)題意得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為20．答：7.9班的跳繩最多買20條【變式1】．（22-23七年級下·重慶黔江·期中）某體育用品店準備購進甲，乙品牌乒乓球兩種，若購進甲種乒乓球10個，乙種乒乓球5個，需要100元，若購進甲種乒乓球5個，乙種乒乓球3個，需要55元．(1)求購進甲，乙兩種乒乓球每個各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了1000元購進這兩種乒乓球，考慮顧客需求，要求購進甲種乒乓球的數(shù)量不少于乙種乒乓球數(shù)量的6倍，且乙種乒乓球數(shù)量不少于23個，那么該文具店共有哪幾種進貨方案？【答案】(1)購進每個甲種乒乓球需要5元，每個乙種乒乓球需要10元．(2)該文具店共有3種進貨方案，方案1：購進154個甲種乒乓球，23個乙種乒乓球；方案2：購進152個甲種乒乓球，24個乙種乒乓球；方案3：購進150個甲種乒乓球，25個乙種乒乓球．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；（1）設購進每個甲種乒乓球需要x元，購進每個乙種乒乓球需要y元，根據(jù)“若購進甲種乒乓球10個，乙種乒乓球5個，需要100元，若購進甲種乒乓球5個，乙種乒乓球3個，需要55元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設該文具店購進m個乙種乒乓球，則購進個甲種乒乓球，根據(jù)購進甲種乒乓球的數(shù)量不少于乙種乒乓球數(shù)量的6倍且乙種乒乓球數(shù)量不少于23個，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)即可得出各進貨方案；【詳解】（1）解：設購進每個甲種乒乓球需要x元，購進每個乙種乒乓球需要y元，依題意，得：，解得：．答：購進每個甲種乒乓球需要5元，每個乙種乒乓球需要10元．（2）設該文具店購進m個乙種乒乓球，則購進個甲種乒乓球，依題意，得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m可以取23，24，25，∴該文具店共有3種進貨方案，方案1：購進154個甲種乒乓球，23個乙種乒乓球；方案2：購進152個甲種乒乓球，24個乙種乒乓球；方案3：購進150個甲種乒乓球，25個乙種乒乓球．【變式2】．（21-22七年級下·安徽蚌埠·階段練習）某中學為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜3個、乙種書柜2個，共需資金1020元；若購買甲種書柜4個，乙種書柜3個，共需資金1440元．(1)甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？(2)若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學校至多能夠提供資金4320元，求最多能買多少個甲種書柜．【答案】(1)甲種書柜單價為180元，乙種書柜的單價為240元(2)10個【分析】（1）等量關系式：購買甲種書柜3個的費用購買乙種書柜2個的費用元，購買甲種書柜個的費用購買乙種書柜的費用元，據(jù)此列方程組，即可求解；（2）不等關系式：乙種書柜的數(shù)量甲種書柜的數(shù)量，購買甲種書柜的費用購買乙種書柜的費用元，據(jù)此列出不等式組即可求解．【詳解】（1）解：設甲種書柜單價為x元，乙種書柜的單價為y元，由題意得：，解得，答：甲種書柜單價為180元，乙種書柜的單價為240元；（2）解：設甲種書柜購買m個，則乙種書柜購買()個，由題意得，解得∶，最多能買10個甲種書柜．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，找出等量關系式和不等關系式是解題的關鍵．【變式3】．（21-22七年級下·山西忻州·階段練習）為保護環(huán)境，我市公交公司計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．(1)求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？(2)預計在某線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？【答案】(1)購買A型公交車每輛需100萬元，購買B型公交車每輛需150萬元(2)三種方案：①購買A型公交車6輛，B型公交車4輛；②購買A型公交車7輛，B型公交車3輛；③購買A型公交車8輛，B型公交車2輛．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用；（1）等量關系式：購買A型公交車1輛的費用購買B型公交車2輛的費用400萬元，購買A型公交車2輛的費用B型公交車1輛的費用共需350萬元；據(jù)此列出方程組，即可求解；（2）不等關系式：購買A型公交車的費用購買B型公交車的費用1200萬元，A型公交車的載客量B型公交車的載客量680萬人次；據(jù)此列出不等式組，即可求解；找出等量關系式和不等關系式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設購買A型公交車每輛需x萬元，購買B型公交車每輛需y萬元，

由題意得，

解得，

答：購買A型公交車每輛需100萬元，購買B型公交車每輛需150萬元．（2）解：設購買A型公交車a輛，則購買B型公交車輛，

由題意得，

解得：，

因為a是整數(shù)，所以取、、；

則取、、．

三種方案：①購買A型公交車6輛，B型公交車4輛；②購買A型公交車7輛，B型公交車3輛；③購買A型公交車8輛，B型公交車2輛．【變式4】．（22-23七年級下·四川涼山·期末）某體育用品店準備購進甲、乙兩種品牌跳繩，若購買甲種跳繩根，乙種跳繩5根，需要元，若購買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要元．(1)求購進甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了元購進這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購進甲種跳繩的數(shù)量不少于乙種跳繩數(shù)量的3倍，且乙種跳繩數(shù)量不少于根，那么該文具店共有哪幾種購買方案？(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)購進甲種跳繩每根需要元，購進乙種跳繩每根需要元(2)有3種進貨方案：方案①購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案②購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案③購進甲種跳繩根，乙種跳繩根(3)購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，獲利最大，最大利潤是元【分析】（1）設購進甲種跳繩每根需要a元，購進乙種跳繩每根需要b元，然后根據(jù)題意建立二元一次方程組求出其解即可；（2）設購進甲種跳繩x個，則購進乙種跳繩個，然后根據(jù)題意建立不等式組求出其解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，結(jié)合題意，分別求得利潤，比較即可求解．【詳解】（1）解：設購進甲種跳繩每根需要a元，購進乙種跳繩每根需要b元，由題意得：，解得：，答：購進甲種跳繩每根需要元，購進乙種跳繩每根需要元．（2）解：設購進甲種跳繩x個，則購進乙種跳繩個，根據(jù)題意得，解得：，∵為正整數(shù)，∴，當時，，當時，，不是整數(shù)，不符合題意，舍去，當時，，當時，，不是整數(shù)，不符合題意，舍去，當時，，答：該商店有3種進貨方案：方案①購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案②購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案③購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；（3）解：∵銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，由（2）可知，方案①：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；方案②：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；方案③：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；∵，∴方案③：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，獲利最大，最大利潤是元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，根據(jù)題意列出方程組與不等式組是解題的關鍵．【變式5】．（21-22七年級下·新疆阿克蘇·期末）為獎勵在“數(shù)學知識競賽”中表現(xiàn)優(yōu)異的班級，學校準備從體育用品商場一次性購買若干個籃球和足球，已知購買2個籃球和3個足球共需340元，購買5籃球和5個足球共需700元．(1)求籃球和足球的單價各是多少元？(2)根據(jù)學校實際情況，需一次性購買足球和籃球共20個，但要求購買籃球和足球的總費用不超過1440元，學校最多可以購買多少個籃球？【答案】(1)籃球的單價是80元，足球的單價是60元(2)12個【分析】（1）設籃球的單價是x元，足球的單價是y元，根據(jù)“購買2個籃球和3個足球共需340元，購買5籃球和5個足球共需700元”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設學校購買m個籃球，則購買個足球，利用總價＝單價數(shù)量，結(jié)合總價不超過1440元，可列出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設籃球的單價是x元，足球的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：籃球的單價是80元，足球的單價是60元；（2）設學校購買m個籃球，則購買個足球，根據(jù)題意得：，解得：，的最大值為．答：學校最多可以購買12個籃球．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．【變式6】．（21-22七年級下·遼寧盤錦·期末）某校在商場購買了兩種品牌的足球，已知購買4個A品牌的足球和6個B品牌的足球共需620元；購買6個A品牌的足球和8個B品牌的足球共需860元．(1)求兩種品牌的足球的單價；(2)該校決定再次購買兩種品牌的足球共50個，恰逢該商場對足球的售價進行調(diào)整，A品牌足球的售價比第一次購買時提高了，若此次購買兩種足球的總費用不超過3100元，那么這所學校最多可購買多少個B品牌的足球？【答案】(1)A種品牌的足球的單價為50元，B種品牌的足球的單價為70元(2)這所學校最多可購買23個B品牌的足球【分析】（1）設A種品牌的足球的單價為x元，B種品牌的足球的單價為y元，根據(jù)題意列出方程組即可．（2）設這所學校再次購買n個B品牌的足球，利用購買A、B兩種足球的總費用不超過3100元，得出不等式即可求出答案．【詳解】（1）解：設A種品牌的足球的單價為x元，B種品牌的足球的單價為y元，根據(jù)題意，得：，解得：，答：A種品牌的足球的單價為50元，B種品牌的足球的單價為70元．（2）設這所學校再次購買n個B品牌的足球，根據(jù)題意，得：，解得，，由于n為正整數(shù)，答：這所學校最多可購買23個B品牌的足球．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用及一元一次不等式的應用，理清題意，根據(jù)等量關系列出方程組及根據(jù)不等關系列出一元一次不等式是解題的關鍵．應用4：列方程組與不等式（組）解方案問題【例題4】（22-23七年級下·四川涼山·期末）某體育用品店準備購進甲、乙兩種品牌跳繩，若購買甲種跳繩根，乙種跳繩5根，需要元，若購買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要元．(1)求購進甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了元購進這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購進甲種跳繩的數(shù)量不少于乙種跳繩數(shù)量的3倍，且乙種跳繩數(shù)量不少于根，那么該文具店共有哪幾種購買方案？(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)購進甲種跳繩每根需要元，購進乙種跳繩每根需要元(2)有3種進貨方案：方案①購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案②購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案③購進甲種跳繩根，乙種跳繩根(3)購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，獲利最大，最大利潤是元【分析】（1）設購進甲種跳繩每根需要a元，購進乙種跳繩每根需要b元，然后根據(jù)題意建立二元一次方程組求出其解即可；（2）設購進甲種跳繩x個，則購進乙種跳繩個，然后根據(jù)題意建立不等式組求出其解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，結(jié)合題意，分別求得利潤，比較即可求解．【詳解】（1）解：設購進甲種跳繩每根需要a元，購進乙種跳繩每根需要b元，由題意得：，解得：，答：購進甲種跳繩每根需要元，購進乙種跳繩每根需要元．（2）解：設購進甲種跳繩x個，則購進乙種跳繩個，根據(jù)題意得，解得：，∵為正整數(shù)，∴，當時，，當時，，不是整數(shù)，不符合題意，舍去，當時，，當時，，不是整數(shù)，不符合題意，舍去，當時，，答：該商店有3種進貨方案：方案①購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案②購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案③購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；（3）解：∵銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，由（2）可知，方案①：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；方案②：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；方案③：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；∵，∴方案③：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，獲利最大，最大利潤是元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，根據(jù)題意列出方程組與不等式組是解題的關鍵【變式1】．（22-23七年級下·遼寧大連·期末）西崗區(qū)某中學為落實教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質(zhì)管理的通知文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，為此需要購進一批籃球和足球已知購買個籃球和個足球需要元；購買個籃球和個足球需要元．(1)根據(jù)以上信息解答若需要購買個籃球和個足球需要多少錢；(2)學校計劃采購籃球、足球共個，并要求籃球不少于個，且總費用不超過元，則有哪幾種購買方案？【答案】(1)購買個籃球和個足球需要元；(2)有種購買方案，方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球【分析】（1）設籃球的單價是元，足球的單價是元，根據(jù)“購買個籃球和個足球需要元；購買個籃球和個足球需要元”，可列出關于，的二元一次方程組，解之可求出，的值，再將其代入中，即可求出結(jié)論；（2）設購買個籃球，則購買個足球，根據(jù)“購進籃球不少于個，且總費用不超過元”，可列出關于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出各購買方案．本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．【詳解】（1）設籃球的單價是元，足球的單價是元，根據(jù)題意得：，解得：，．答：購買個籃球和個足球需要元；（2）設購買個籃球，則購買個足球，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為，，，，共有種購買方案，方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球．【變式2】．（22-23七年級下·廣西河池·期末）為了實現(xiàn)縣域教育均衡發(fā)展，某縣計劃對，兩類學校分批進行改進，根據(jù)預算，改造一所類學校和兩所類學校共需資金萬元，改造兩所類學校和一所類學校共需資金萬元．(1)改造一所類學校和一所類學校所需的資金分別是多少萬元？(2)該縣計劃今年對、兩類學校共所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔．若今年國家財政撥付的改造資金不超過萬元，地方財政投入的改造資金不少于萬元，其中地方財政投入到、兩類學校的改造資金分別為每所萬元和萬元，請你通過計算求出改造方案？【答案】(1)改造一所類學校和一所類學校所需的資金分別是，萬元；(2)改造類學校所，改造類學校所．【分析】（）根據(jù)等量關系列出方程組，再解即可；（）列出不等式組，再解即可；此題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系和不等關系，列出方程組和不等式組．【詳解】（1）解：設改造一所類學校和一所類學校所需的資金分別是，萬元，由題意得：，解得，答：改造一所類學校和一所類學校所需的資金分別是，萬元；（2）設改造類學校所，則改造類學校所，由題意得：，解得，∵為正整數(shù)，∴，∴，故改造類學校所，改造類學校所．【變式3】．（22-23七年級下·內(nèi)蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫(yī)藥公司往武漢運送醫(yī)藥物資，若用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)通過列方程組求出：輛型車輛和輛型車輛都裝滿物資一次分別運多少噸？(2)該醫(yī)藥公司準備將一批醫(yī)藥物資一次性運輸至武漢，于是從租車公司租用了和兩種型號車輛共輛，其中型車輛每輛要付費元，型車輛每輛要付費元，若付費總金額不超過元，且物資不少于噸，請問怎么安排車輛總費用最少？【答案】(1)輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸(2)當安排輛型車，輛型車時，總費用最少【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是找準等量關系和不等關系，正確列出二元一次方程組和一元一次不等式組．（1）設輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸，根據(jù)“用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸”，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設安排輛型車，則安排輛型車，根據(jù)“付費總金額不超過元，且物資不少于噸”，可列出關于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，可得出各租車方案，再求出各租車方案所需總費用，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸，根據(jù)題意得：，解得：．答：輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸；（2）解：設安排輛型車，則安排輛型車，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為，，共有種租車方案，方案：安排輛型車，輛型車，所需總費用為；（元）；方案：安排輛型車，輛型車，所需總費用為（元）．∵，當安排輛型車，輛型車時，總費用最少．【變式4】