樂山市2024年初中學業水平考試數學本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共8頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效．滿分150分．考試時間120分鐘．考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回．考生作答時，不能使用任何型號的計算器．第Ⅰ卷（選擇題共30分）注意事項：1．選擇題必須使用2B鉛筆將答案標號填涂在答題卡對應題目標號的位置上．2．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．1.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式．熟練掌握解一元一次不等式是解題的關鍵．移項可得一元一次不等式的解集．【詳解】解：，解得，，故選：A．2.下列文物中，俯視圖是四邊形的是（）A.帶蓋玉柱形器 B.白衣彩陶缽C.鏤空人面覆盆陶器 D.青銅大方鼎【答案】D【解析】【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖，掌握簡單幾何體三視圖的形狀是正確判斷的前提．得出各個選項中的幾何體的俯視圖即可．【詳解】解：A．俯視圖是圓形，因此選項A不符合題意；B．俯視圖不是四邊形，因此選項B不符合題意；

C．俯視圖不是四邊形，因此選項C不符合題意；

D．俯視圖是正方形，因此選項D符合題意；

故選：D．3.年，樂山市在餐飲、文旅、體育等服務消費表現亮眼，網絡零售額突破億元，居全省地級市第一．將用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了絕對值大于1的科學記數法的表示，解題的關鍵在于確定的值．根據絕對值大于1的數，用科學記數法表示為，其中，的值為整數位數少1．【詳解】解：大于1，用科學記數法表示為，其中，，∴用科學記數法表示為，故選：C．4.下列多邊形中，內角和最小的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】邊數為n的多邊形的內角和，分別求出三角形，四邊形，五邊形，六邊形的內角和，即可得到．【詳解】解：三角形的內角和等于四邊形的內角和等于五邊形的內角和等于六邊形的內角和等于所以三角形的內角和最小故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內角和，能熟記邊數為n的多邊形的內角和是解此題的關鍵．5.為了解學生上學的交通方式，劉老師在九年級800名學生中隨機抽取了60名進行問卷調查，并將調查結果制作成如下統計表，估計該年級學生乘坐公交車上學的人數為（）交通方式公交車自行車步行私家車其它人數（人）3051582A.100 B.200 C.300 D.400【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了用樣本估計總體，用學校總人數乘樣本中乘坐公交車上學的人數的比例，即可得出答案．【詳解】解：估計該年級學生乘坐公交車上學的人數為：（人），故選：D．6.下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據平行四邊形的判定定理分別進行分析即可．【詳解】解：A、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；B、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；C、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；D、∵，不能得出四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關鍵是熟知平行四邊形的判定定理．7.已知，化簡的結果為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次根式的性質，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先根據化簡二次根式，然后再根據去絕對值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴，故選：B．8.若關于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若方程的兩實數根為，則．根據一元二次方程根與系數的關系得到，然后通分，，從而得到關于p的方程，解方程即可．【詳解】解：，，而，，，故選：A．9.已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數的最值等知識．熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，，即關于對稱軸對稱的點坐標為，由當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，可得，計算求解，然后作答即可．【詳解】解：∵，∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，，∴關于對稱軸對稱的點坐標為，∵當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，∴，解得，，故選：C．10.如圖，在菱形中，，，點P是邊上一個動點，在延長線上找一點Q，使得點P和點Q關于點C對稱，連接交于點M．當點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】該題主要考查了菱形的性質，垂直平分線的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點，解題的關鍵是掌握以上點M的運動路徑．過點C作交于點H，根據，四邊形是菱形，，算出，得出，垂直平分，再證明，得出，證明垂直平分，點M在上運動，根據解直角三角形．即可求解．【詳解】解：過點C作交于點H，∵，四邊形是菱形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴垂直平分，∵點P和點Q關于點C對稱，∴，∵，∴，∴，∴垂直平分，∴點M上運動，當點P與點B重合時，點M位于點，此時，∵，四邊形是菱形，，∴，∴．故點M的運動路徑長為．故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題共120分）注意事項：1．考生使用0.5mm黑色墨汁簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區域內作答，答在試題卷上無效．2．作圖時，可先用鉛筆畫線，確認后再用0.5mm黑色墨汁簽字筆描清楚．3．解答題應寫出文字說明、證明過程或推演步驟．4．本部分共16個小題，共120分．二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分．11.計算：______.【答案】【解析】【分析】直接利用合并同類項法則計算得出答案．【詳解】．故答案為：．【點睛】本題主要考查了合并同類項，正確把握運算法則是解題關鍵．12.一名交警在路口隨機監測了5輛過往車輛的速度，分別是：66，57，71，69，58（單位：千米/時）．那么這5輛車的速度的中位數是______．【答案】66【解析】【分析】本題主要考查中位數，將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．先將數據從小到大重新排列，根據中位數的概念求解可得．【詳解】解：將這組數據重新排列為57，58，66，69，71，

所以這組數據的中位數為66．

故答案為：66．13.如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若，那么______．【答案】##度【解析】【分析】本題考查了直線平行的性質：兩直線平行同位角相等．也考查了平角的定義．根據兩直線平行同位角相等得到，再根據平角的定義得到，從而可計算出．【詳解】解：如圖，，，而，，故答案為：．14.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了完全平方公式的變形．熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關鍵．根據，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，故答案為：．15.如圖，在梯形中，，對角線和交于點O，若，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質等知識．熟練掌握平行線間的距離，相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．設的距離為，則，即，證明，則，計算求解即可．【詳解】解：設的距離為，∴，即，∵，∴，，∴，∴，故答案為：．16.定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數圖象的“近軸點”．例如，點是函數圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數的圖象上存在“近軸點”的是______（填序號）；①；②；③．（2）若一次函數圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為______．【答案】①.③②.或【解析】【分析】本題主要考查了新定義——“近軸點”．熟練掌握新定義，一次函數，反比例函數，二次函數圖象上的點到坐標軸距特點，是解決問題的關鍵．（1）①中，取，不存“近軸點”；②，由對稱性，取，不存在“近軸點”；③，取時，，得到是的“近軸點”；（2）圖象恒過點，當直線過時，，得到；當直線過時，，得到．【詳解】（1）①中，時，，不存在“近軸點”；②，由對稱性，當時，，不存在“近軸點”；③，時，，∴是的“近軸點”；∴上面三個函數的圖象上存在“近軸點”的是③故答案為：③；（2）中，時，，∴圖象恒過點，當直線過時，，∴，∴；當直線過時，，∴，∴；∴m的取值范圍為或．故答案為：或．三、解答題：本大題共10個小題，共102分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.計算：．【答案】1【解析】【分析】本題考查了絕對值，零指數冪，算術平方根．熟練掌握絕對值，零指數冪，算術平方根是解題的關鍵．先分別計算絕對值，零指數冪，算術平方根，然后進行加減運算即可．【詳解】解：．18.解方程組：【答案】詳見解析【解析】【分析】用加減消元法把二元一次方程轉化成一元一次方程．【詳解】解：①＋②，得．解得．把代入②，得．原方程組的解是．19.知：如圖，平分，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】利用證明，即可證明．【詳解】解：平分，，在和中，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握、、、等全等三角形的判定方法是解題的關鍵．20.先化簡，再求值：，其中．小樂同學的計算過程如下：解：…①…②…③…④…⑤當時，原式．（1）小樂同學的解答過程中，第______步開始出現了錯誤；（2）請幫助小樂同學寫出正確的解答過程．【答案】（1）③（2），【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，異分母的分式減法運算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）第③步分子相減時，去括號變號不徹底；（2）先通分，再進行分子相減，化為最簡分式后，再代入求值即可．【小問1詳解】解：∵第③步分子相減時，去括號變號不徹底，應為：；【小問2詳解】解：當時，原式21.樂山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客．為更好地提升服務質量，某旅行社隨機調查了部分游客對四種美食的喜好情況（每人限選一種），并將調查結果繪制成統計圖，如圖所示．根據以上信息，回答下列問題：（1）本次抽取的游客總人數為______人，扇形統計圖中m的值為______；（2）請補全條形統計圖；（3）旅行社推出每人可免費品嘗兩種美食的活動，某游客從上述4種美食中隨機選擇兩種，請用畫樹狀圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率．【答案】（1）240，35（2）見詳解（3）【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果，再從中選出符合事件或的結果數目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．也考音了統計圖．（1）根據：該項所占的百分比該項人數÷總人數．兩圖給出了“蹺腳牛肉”的數據，代入即可算出抽取的游客總人數，然后再算出“缽缽雞”的人數；（2）根據條形圖中數據和調查總人數，先計算出喜歡“甜皮鴨”的人數，再補全條形圖；（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，找出恰好同時抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”“缽缽雞和蹺腳牛肉”的結果數，然后根據概率公式求解．【小問1詳解】解：本次抽取的游客總人數為(人)，，故答案為：240，35；【小問2詳解】“甜皮鴨”對應的人數為(人)，補全圖形如下：【小問3詳解】假設“麻辣燙”“蹺腳牛肉”“缽缽雞”“甜皮鴨”對應為“A、B、C、D”，畫樹狀圖如圖所示，共有12種等可能結果數，其中抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”題目的結果數為2，∴抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率是．22.如圖，已知點、在反比例函數的圖象上，過點的一次函數的圖象與軸交于點．（1）求、的值和一次函數的表達式；（2）連結，求點到線段的距離．【答案】（1），，（2）點到線段的距離為【解析】【分析】（1）根據點、在反比例函數圖象上，代入即可求得、的值；根據一次函數過點，，代入求得，，即可得到表達式；（2）連結，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，可推出軸，、、的長度，然后利用勾股定理計算出的長度，最后根據，計算得的長度，即為點到線段的距離．【小問1詳解】點、在反比例函數圖象上，又一次函數過點，解得：一次函數表達式為：；【小問2詳解】如圖，連結，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，軸，點，，點，，在中，又即∴，即點C到線段AB的距離為．【點睛】本題考查了求反比例函數值，待定系數法求一次函數表達式，勾股定理，與三角形高有關的計算，熟練掌握以上知識點并作出適當的輔助線是解題的關鍵．23.我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索的長度；（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．【答案】（1）秋千繩索的長度為尺（2）能，【解析】【分析】該題主要考查了勾股定理的應用以及解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握以上知識點．（1）如圖，過點作，垂足為點B．設秋千繩索的長度為x尺．由題可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；（2）由題可知，，．在中，得出，同理，．再根據，列等式即可求出．【小問1詳解】解：如圖，過點作，垂足為點B．設秋千繩索的長度為x尺．由題可知，，，，∴．在中，由勾股定理得：∴．解得．答：秋千繩索的長度為尺．【小問2詳解】能．由題可知，，．在中，，同理，．∵，∴．∴．24.如圖，是的外接圓，為直徑，過點C作的切線交延長線于點D，點E為上一點，且．（1）求證：；（2）若垂直平分，，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖1，連結．則，即．由為直徑，可得，即．則．由，可得．由，可得．則．進而可證．（2）如圖2，連結．由垂直平分，可得．則為等邊三角形．，．由，可得．由，可得．．證明為等邊三角形．則，．．則．．．．，根據，計算求解即可．【小問1詳解】證明：如圖1，連結．圖1∵為的切線，∴，即．又∵為直徑，∴，即．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．【小問2詳解】解：如圖2，連結．圖2∵垂直平分，∴．又∵，∴為等邊三角形．∴，．∵，∴．∵，∴．又∵，∴．∵，∴為等邊三角形．∴，．∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了切線的性質，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，平行線的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，正弦，扇形面積等知識．熟練掌握切線的性質，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，平行線的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，正弦，扇形面積是解題的關鍵．25.在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數的點為“完美點”．拋物線（a為常數且）與y軸交于點A．（1）若，求拋物線的頂點坐標；（2）若線段（含端點）上的“完美點”個數大于3個且小于6個，求a的取值范圍；（3）若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區域（含邊界）內恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的特征．數形結合解題是解題的關鍵．（1）把代入后再將拋物線化成頂點式為，即可求頂點坐標；（2）根據整點個數的范圍確定點A縱坐標的范圍；（3）結合圖象確定有4個“完美點”時a的最大和最小值，進而確定a的范圍．【小問1詳解】解：當時，拋物線．∴頂點坐標．【小問2詳解】令，則，∴，∵線段上的“完美點”的個數大于3個且小于6個，∴“完美點”的個數為4個或5個．∵，∴當“完美點”個數為4個時，分別為，，，；當“完美點”個數為5個時，分別為，，，，．∴．∴a的取值范圍是．小問3詳解】根據，得拋物線的頂點坐標為，過點，，．∵拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區域（含邊界）內恰有4個“完美點”，顯然，“完美點”，，符合題意．下面討論拋物線經過，的兩種情況：①當拋物線經過時，解得此時，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點”有，，，，共4個．②當拋物線經過時，解得此時，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點”有，，，，，，共6個．∴a的取值范圍是．26.在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉得到，連結．由旋轉的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴中，___②___．∵，，∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形中，點E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結，分別與對角線交于M、N兩點．探究的數量關系并證明．【拓展應用】如圖4，在矩形中，點E、F分別在邊上，且．探究的數量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．【問題再探】如圖5，在中，，，，點D、E在邊上，且．設，，求y與x的函數關系式．【答案】【問題解決】①；②；③5；【知識遷移】，見解析；【拓展應用】；【問題再探】【解析】【分析】（1）【問題解決】根據題中思路解答即可；（2）【知識遷移】如圖，將繞點逆時針旋轉，得到．過點作交邊于點，連結．由旋轉的特征得．結合題意得．證明，得出．根據