高中PAGE1高中上海楊浦區2023-2024學年第一學期高三年級模擬質量調研數學學科試卷2023.12.考生注意：1．答卷前，考生務必在答題紙寫上姓名、考號,并將核對后的條形碼貼在指定位置上.本試卷共有21道題，滿分150分，考試時間120分鐘．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置填寫結果.1．已知全集為,集合，則的補集可用區間表示為__________．2．若復數滿足（其中為虛數單位），則__________．3．若，則_________．4.函數的最小值為_________．5.等差數列中，若，，則的前10項和為__________．6.若橢圓長軸長為4，則其離心率為__________．7．已知向量，，則在方向上的投影為__________．8.甲和乙兩射手射擊同一目標，命中的概率分別為和，兩人各射擊一次，假設事件“甲命中”與“乙命中”是獨立的，則至少一人命中目標的概率為__________．9.已知（、為正整數）對任意實數都成立，若，則的最小值為__________．10.函數在上是單調增函數，且圖像關于原點對稱，則滿足條件的數對__________．11.已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，．若線段中點的縱坐標為，則拋物線的方程為__________．12.我國古代數學著作《九章算術》中研究過一種叫“鱉（biē）臑（nào）”的幾何體，它指的是由四個直角三角形圍成的四面體，那么在一個長方體的八個頂點中任取四個，所組成的四面體中“鱉臑”的個數是__________．二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知實數滿足，則下列不等式恒成立的是 （）A．； B．； C．； D．.14．在一次男子10米氣手槍射擊比賽中，甲運動員的成績（單位：環）為、、…、；乙運動員的成績為、、…、，如下莖葉圖所示．從這組數據來看，下列說法正確的是 （）A．甲的平均成績和乙一樣，且甲更穩定； B．甲的平均成績和乙一樣，但乙更穩定；C．甲的平均成績高于乙，且甲更穩定； D．乙的平均成績高于甲，且乙更穩定.15．等比數列的首項，公比為，數列滿足（是正整數），若當且僅當時，的前項和取得最大值，則取值范圍是（）A．； B．； C．； D．.16．函數滿足：對于任意都有，（常數，）．給出以下兩個命題：①無論取何值，函數不是上的嚴格增函數；②當時，存在無窮多個開區間，使得，且集合對任意正整數都成立，則（）A．①②都正確；B．①正確②不正確；C．①不正確②正確；D．①②都不正確.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形．（1）求證：平面⊥平面；（2）設，若四棱錐的體積為，求點到平面的距離．18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）設函數．（1）求方程的實數解；（2）若不等式對于一切都成立，求實數的取值范圍．19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）某數學建模小組研究擋雨棚（圖1），將它抽象為柱體（圖2），底面與全等且所在平面平行，與各邊表示擋雨棚支架，支架、、垂直于平面．雨滴下落方向與外墻（所在平面）所成角為（即），擋雨棚有效遮擋的區域為矩形（、分別在、延長線上）．（1）擋雨板（曲面）的面積可以視為曲線段與線段長的乘積．已知米，米，米，小組成員對曲線段有兩種假設，分別為：①其為直線段且；②其為以為圓心的圓弧.請分別計算這兩種假設下擋雨板的面積（精確到0.1平方米）；（2）小組擬自制部分的支架用于測試（圖3），其中米，，，其中，求有效遮擋區域高的最大值．圖圖120．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分） 已知雙曲線，是雙曲線上一點．（1）若橢圓以雙曲線的頂點為焦點，長軸長為，求橢圓的標準方程；（2）設是第一象限中雙曲線漸近線上一點，是雙曲線上一點，且，求的面積（為坐標原點）；（3）當直線（常數）與雙曲線的左支交于、兩點時，分別記直線、的斜率為、，求證：為定值．21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）設函數（其中常數，），無窮數列滿足：首項，．（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（2）若數列是嚴格增數列，求證：當時，數列不是等差數列；（3）當時，數列是否可能為公比小于0的等比數列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，請說明理由．參考答案一、填空題（本大題共12題，滿分54分）第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分，否則一律得零分．1．2．3．4.25.6.7．（or）8.9.3010.或11.12.24二、選擇題（大題共4題，滿分18分）第13、14題每題4分，第15、16題每題5分13.B14.B15.C16．A三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）（1）∵平面，是平面上的直線，∴，2分∵是正方形，∴對角線．∵、是平面上的兩條相交直線∴⊥平面2分∵平面經過直線，∴平面⊥平面．2分（2）∵∴．設點到平面的距離為，在三棱錐中，．2分由是正方形可知，；由勾股定理有；從而是正三角形，∴．2分∵，2分∴，即．2分綜上所述，點到平面的距離為．18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）（1），代入得，即，2分解得或（舍去），2分由解得．2分（2）對一切都成立，即對一切都成立．2分設，2分當且僅當．當時，，函數在上是嚴格減函數；當時，，函數在上是嚴格增函數．2分因此函數的最小值為，從而不等式恒成立時，實數的取值范圍是．2分19.（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）（1）若選擇①，結合，得是直角三角形，米，擋雨板材料的面積為平方米．2分若選擇②，則是一個圓心角為的扇形，弧長為，2分擋雨板材料的面積為平方米，約為平方米．2分（2）在直角中，由；在中，由正弦定理，，2分即2分，其中．2分當，即時，取得最大值．2分綜上所述，有效遮擋區域高的最大值為米．20．（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）（1）設橢圓的標準方程為，由題意焦點為，即；長軸長為，即，，從而．2分因此，所求橢圓的標準方程為．2分（2）由雙曲線經過第一象限的漸近線為，設；設，由可知，解得即．再由點在雙曲線上，得，解得，從而點，，，2分直線的方程為，原點到直線的距離為，2分因此的面積．2分（3）設、，聯立直線與雙曲線的方程，消去得，2分由韋達定理得，．2分2分．綜上所述，，從而是定值．2分21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）解（1）任取，都有，2分因此函數是奇函數．2分（2）反證法：假設數列是等差數列，公差為，2分由數列是嚴格增數列可知．因為，所以，即非零常數因為，所以（其中是正整數）．2分因為，，所以．方程無解，矛盾．假設不成立，即當時，數列不是等差數列．2分（3）若數列是等比數列，則其各項均非零，設其公比為由得，即．考慮方程，均為該方程（記為①）的解．2分由函數的值域為可知，即，所以．若，則當充分大時（時），，這與矛盾，從而不合