...wd......wd......wd...2018中考數學試題分類匯編：考點26正方形一．選擇題〔共4小題〕1．〔2018?無錫〕如圖，點E是矩形ABCD的對角線AC上的一動點，正方形EFGH的頂點G、H都在邊AD上，假設AB=3，BC=4，那么tan∠AFE的值〔〕A．等于 B．等于C．等于 D．隨點E位置的變化而變化【分析】根據題意推知EF∥AD，由該平行線的性質推知△AEH∽△ACD，結合該相似三角形的對應邊成比例和銳角三角函數的定義解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．設EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．應選：A．2．〔2018?宜昌〕如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E，F分別是對角線AC上的兩點，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分別為G，I，H，J．那么圖中陰影局部的面積等于〔〕A．1 B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的性質，解決問題即可；【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴直線AC是正方形ABCD的對稱軸，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分別為G，I，H，J．∴根據對稱性可知：四邊形EFHG的面積與四邊形EFJI的面積相等，∴S陰=S正方形ABCD=，應選：B．3．〔2018?湘西州〕以下說法中，正確個數有〔〕①對頂角相等；②兩直線平行，同旁內角相等；③對角線互相垂直的四邊形為菱形；④對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據對頂角的性質，菱形的判定，正方形的判定，平行線的性質，可得答案．【解答】解：①對頂角相等，故①正確；②兩直線平行，同旁內角互補，故②錯誤；③對角線互相垂直且平分的四邊形為菱形，故③錯誤；④對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形，故④正確，應選：B．4．〔2018?張家界〕以下說法中，正確的選項是〔〕A．兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等B．對角線相等的平行四邊形是正方形C．相等的角是對頂角D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等【分析】根據平行線的性質、正方形的判定、矩形的判定、對頂角的性質、角平分線性質逐個判斷即可．【解答】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，內錯角才相等，錯誤，故本選項不符合題意；B、對角線相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，錯誤，故本選項不符合題意；C、相等的角不一定是對頂角，錯誤，故本選項不符合題意；D、角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，正確，故本選項符合題意；應選：D．二．填空題〔共7小題〕5．〔2018?武漢〕以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，那么∠BEC的度數是30°或150°．【分析】分等邊△ADE在正方形的內部和外部兩種情況分別求解可得．【解答】解：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，那么∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如圖2，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=〔180°﹣30°〕=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案為：30°或150°．6．〔2018?呼和浩特〕如圖，正方形ABCD，點M是邊BA延長線上的動點〔不與點A重合〕，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．假設過點E作EH⊥AC，H為垂足，那么有以下結論：①點M位置變化，使得∠DHC=60°時，2BE=DM；②無論點M運動到何處，都有DM=HM；③無論點M運動到何處，∠CHM一定大于135°．其中正確結論的序號為①②③．【分析】先判定△MEH≌△DAH〔SAS〕，即可得到△DHM是等腰直角三角形，進而得出DM=HM；依據當∠DHC=60°時，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依據點M是邊BA延長線上的動點〔不與點A重合〕，且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．【解答】解：由題可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四邊形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH〔SAS〕，∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正確；當∠DHC=60°時，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正確；∵點M是邊BA延長線上的動點〔不與點A重合〕，且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正確；故答案為：①②③．7．〔2018?青島〕如圖，正方形ABCD的邊長為5，點E、F分別在AD、DC上，AE=DF=2，BE與AF相交于點G，點H為BF的中點，連接GH，那么GH的長為．【分析】根據正方形的四條邊都相等可得AB=AD，每一個角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“邊角邊〞證明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，進一步得∠AGE=∠BGF=90°，從而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的長即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF〔SAS〕，∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵點H為BF的中點，∴GH=BF，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，∴BF==，∴GH=BF=，故答案為：．8．〔2018?咸寧〕如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點E的坐標為〔2，3〕，那么點F的坐標為〔﹣1，5〕．【分析】結合全等三角形的性質可以求得點G的坐標，再由正方形的中心對稱的性質求得點F的坐標．【解答】解：如圖，過點E作x軸的垂線EH，垂足為H．過點G作x軸的垂線EG，垂足為G，連接GE、FO交于點O′．∵四邊形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM與△EOH中，∴△OGM≌△EOH〔ASA〕∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G〔﹣3，2〕．∴O′〔﹣，〕．∵點F與點O關于點O′對稱，∴點F的坐標為〔﹣1，5〕．故答案是：〔﹣1，5〕．9．〔2018?江西〕在正方形ABCD中，AB=6，連接AC，BD，P是正方形邊上或對角線上一點，假設PD=2AP，那么AP的長為2或2或﹣．【分析】根據正方形的性質得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根據勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，畫出符合的三種情況，根據勾股定理求出即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，∴OA=OB=OC=OD=3，有三種情況：①點P在AD上時，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②點P在AC上時，設AP=x，那么DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，〔2x〕2=〔3〕2+〔3﹣x〕2，解得：x=﹣〔負數舍去〕，即AP=﹣；③點P在AB上時，設AP=y，那么DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=〔2y〕2，解得：y=2〔負數舍去〕，即AP=2；故答案為：2或2或﹣．10．〔2018?濰坊〕如圖，正方形ABCD的邊長為1，點A與原點重合，點B在y軸的正半軸上，點D在x軸的負半軸上，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′與CD相交于點M，那么點M的坐標為〔﹣1，〕．【分析】連接AM，由旋轉性質知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，證Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如圖，連接AM，∵將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M〔HL〕，∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴點M的坐標為〔﹣1，〕，故答案為：〔﹣1，〕．11．〔2018?臺州〕如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點E，F分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于點G．假設圖中陰影局部的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，那么△BCG的周長為+3．【分析】根據面積之比得出△BGC的面積等于正方形面積的，進而依據△BCG的面積以及勾股定理，得出BG+CG的長，進而得出其周長．【解答】解：∵陰影局部的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影局部的面積為×9=6，∴空白局部的面積為9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3=，設BG=a，CG=b，那么ab=，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即〔a+b〕2=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周長=+3，故答案為：+3．三．解答題〔共6小題〕12．〔2018?鹽城〕在正方形ABCD中，對角線BD所在的直線上有兩點E、F滿足BE=DF，連接AE、AF、CE、CF，如以以下圖．〔1〕求證：△ABE≌△ADF；〔2〕試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【分析】〔1〕根據正方形的性質和全等三角形的判定證明即可；〔2〕四邊形AECF是菱形，根據對角線垂直的平行四邊形是菱形即可判斷；【解答】證明：〔1〕∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE與△ADF中，∴△ABE≌△ADF〔SAS〕；〔2〕連接AC，四邊形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形．13．〔2018?吉林〕如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，且BE=CF，求證：△ABE≌△BCF．【分析】根據正方形的性質，利用SAS即可證明；【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．14．〔2018?白銀〕矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點．〔1〕求證：△BGF≌△FHC；〔2〕設AD=a，當四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積．【分析】〔1〕根據三角形中位線定理和全等三角形的判定證明即可；〔2〕利用正方形的性質和矩形的面積公式解答即可．【解答】解：〔1〕∵點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，〔2〕當四邊形EGFH是正方形時，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，點，H分別是BE，CE的中點，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面積=．15．〔2018?濰坊〕如圖，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接AM，作DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，連接BE．〔1〕求證：AE=BF；〔2〕AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．【分析】〔1〕通過證明△ABF≌△DEA得到BF=AE；〔2〕設AE=x，那么BF=x，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到?x?x+?x?2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，那么EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理計算出BE，最后利用正弦的定義求解．【解答】〔1〕證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA〔AAS〕，∴BF=AE；〔2〕解：設AE=x，那么BF=x，DE=AF=2，∵四邊形ABED的面積為24，∴?x?x+?x?2=24，解得x1=6，x2=﹣8〔舍去〕，∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE==2，∴sin∠EBF===．16．〔2018?湘潭〕如圖，在正方形ABCD中，AF=BE，AE與DF相交于點O．〔1〕求證：△DAF≌△ABE；〔2〕求∠AOD的度數．【分析】〔1〕利用正方形的性質得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=