材料成形原理（下）§20塑性成形力學的工程應用4.7塑性成形力學解析方法解析方法——聯解塑性應力狀態和應變狀態的基本方程基本假設連續的確定的描述方程+邊界條件求定解描述方程(基本方程)平衡方程幾何方程物理方程屈服準則邊界條件協調方程塑性變形體積不變（1）平衡方程

（2）幾何方程

（3）物理方程彈性塑性

增量理論

全量理論

彈塑性增量理論

應力應變速率方程

（4）邊界條件

物體外表面為S，Sd和St分別表示位移和外力

位移給定值外力給定值（5）補充方程屈服準則連續方程塑性變形體積不變有3+3個方程平面問題應力平衡微分方程平面應力狀態：平面應變狀態：簡化的式子：物體內與Z軸垂直的平面始終不會傾斜扭轉,所以這種面上沒有剪應力分量.（4-16）不同問題的方程數和未知數在邊界條件

下求解

3D2D1D平衡321幾何631物理631塑性條件111連續條件622總計22116未知數1583常用塑性成形問題求解方法

主應力法（Slabmethod,又稱切塊法、初等解析法）從變形體的應力邊界條件出發，建立簡化的平衡方程和屈服條件，聯立求解，得出邊界上的正應力和變形的力能參數，不考慮變形體內的應變狀態。

滑移線法

假設：材料為剛塑性體，在平面變形狀態下，塑變區內任一點存在兩族正交的滑移線族。滑移線族結合邊界條件

滑移線場和速度場

塑變區內的應力狀態和瞬時流動狀態

力能參數。上限法(Upper-boundmethod)速度邊界條件出發→塑變區取較大的單元，由極值原理→塑變能為極小值時滿足變形連續條件和體積不變條件時的動可容速度場

力能參數；不考慮塑變區內的應力狀態是否滿足平衡方程。常用塑性成形問題求解方法板料成形理論

假設：沿板的厚度方向的正應力很小，近于零，應力和應變沿厚度方向不變，簡化成平面應力狀態求解。有限元法(FEA)劃分單元→單元分析→單元組裝，整體分析→然后進行數值計算，求出變形體內的速度、應變、應力和溫度場及力能參數。主應力法解題步驟：對變形體切取有代表性的基元板塊，對該板塊列近似平衡方程和近似屈服方程；對近似平衡方程和近似屈服方程進行聯解，積分常數根據邊界條件確定；求解接觸面上的應力分布、總變形力、單位變形力。求合力中心、水平錯移力等。簡化假設：1、把問題簡化為平面問題或軸對稱問題：形狀復雜的變形體，根據金屬流動情況，劃分成若干分，每分按平面問題或軸對稱問題處理，“拼合”得整個問題解。2、假設變形體內正應力分布與一個坐標軸無關：例圖4-28平面應變鐓粗，假設與y軸無關，且y0h/2將平衡微分方程①第一式沿y軸由0到h/2積分：①得：簡單、近似、常微分方程，正應力分布與坐標軸y無關.偏微分方程正應力分布與一個坐標軸y無關，表示正應力沿高度方向均勻分布，可直接沿變形體整個高度截取單元體（基元板塊），建立平衡方程，無需通過對已有的精確平衡微分方程進行簡化，來獲得近似平衡微分方程。直接對圖4-29基元板塊求靜力平衡方程：也即：切塊法3、主應力假設：以任意應力分量表示的屈服準則是非線性的，即使是平面問題或軸對稱問題，也難將其與平衡方程聯解。對基元板塊列屈服方程時，假設其上的正應力為主應力，忽略切應力的影響，使屈服方程簡化成線性方程。平面應變狀態，密塞斯方程為：現因假設簡化為線性方程：主應力法要點如下：1、根據金屬流動方向，沿變形體整個截面切取基元體，切面上的正應力假定為主應力，且均勻分布，建立基元體的平衡方程，常微分方程；2、在列該基元體的塑性條件時，假定接觸面上的正應力為主應力，忽略了摩擦應力的影響，使塑性條件簡化；2、應用實例：（1）、求圓柱體鐓粗時接觸面上的壓力分布、總變形力、單位面積變形力。沿徑向列基元板塊的靜力平衡方程：因為并略去二次無窮小，簡化成：假設為軸對稱應力狀態，故；又設按絕對值的簡化屈服方程可得：①代入①式聯解得：應力邊界條件：總變形力：單位面積變形力：（2）、平面應變鐓粗的變形力

設長矩形板坯在變形某瞬時的寬度為a，高度為h，長度為l(l﹥﹥a)

切取基體列出基元體沿x軸方向的平衡微分方程

利用應力邊界條件求積分常數：

設采用常摩擦條件，即：

列出簡化的屈服方程：

聯解平衡微分方程和簡化屈服方程，摩擦條件代入得：當有：則接觸面上的壓應力

y：

將應力沿接觸面積分可求出鐓粗力和單位壓力：（3）．圓筒件拉深過程中凸緣變形區的應力分析將半徑為R0的板料毛坯拉深為半徑r0的圓筒形零件，變形過程中凸緣是主要塑性變形區。

（見圖）從變形區任意半徑r處截取寬度為dr、夾角為的基元體，根據基元體的受力平衡得：

近似取，并略去高價微量，得：簡化的屈服方程為：

變形區內各點的變形程度不同，真實應力Y不是常數。以變形區材料的平均抗力來表示。由上述兩式并考慮邊界條件（當時，），可求出徑向拉應力和切向壓應力的大小分別為：當拉深進行到某瞬時，各點的應力見圖19-5b，它是按對數曲線規律分布的。

圖19