專題02相似三角形重要模型--母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點(diǎn)和另外一個不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對角線平分，，結(jié)論：；例1．（2023·四川成都·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，；若AD＝6，BD＝2，則CD＝．例2．（2023春·山東威海·九年級校聯(lián)考期中）如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長為．例3.（2022.山西九年級期中）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．例4．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．交于，交的延長線于．（1）求證：；（2）若，，求．例5．（2022.浙江中考模擬）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）圖1中共有對相似三角形，寫出來分別為（不需證明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，請你求出CD的長：（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運(yùn)動，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運(yùn)動，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時，兩點(diǎn)即刻同時停止運(yùn)動；設(shè)運(yùn)動時間為t秒是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例6．（2022·陜西漢中·九年級期末）如圖，是等腰直角斜邊的中線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖2，過作于點(diǎn)，若，，求的長．例7．（2023春·廣東深圳·九年級校考期中）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在四邊形中，對角線平分，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，在邊上，，點(diǎn)在延長線上，連結(jié)，，，若，，，求的長；【拓展提高】（3）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，分別在，上，連結(jié)，，，若，，，，，求的值．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·北京延慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，要使得與相似，添加一個條件，不正確的是（）A．B．C．D．2．（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，其中，，則（

）A．2 B． C． D．43．（2023春·浙江臺州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．設(shè)，，則圖中可以表示為的線段是（）

A． B． C． D．4．（2023秋·浙江金華·九年級校考階段練習(xí)）如圖，D是的邊上一點(diǎn)，連接，若，則的長．

5．（2023秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，中，，，D為邊上一點(diǎn)，．(1)求證：

．(2)若的周長為11，請求出的長．

6．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）已知，點(diǎn)D在的邊上，連接．(1)如圖1，若．求證：；(2)如圖2，若，，，．求線段的長；(3)如圖3，M、N分別是上的兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，當(dāng)，時，若，直接寫出的值______．

7．（2023秋·上海閔行·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在梯形中，，，點(diǎn)E是邊中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，，且．(1)求證：；(2)求證：．

8．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在的邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)直接寫出的形狀______；(2)若垂足為D，證明：；(3)拓展應(yīng)用：在A時測得某樹（垂直于地面）的影長為4米，C時又測得該樹的影長為16米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為______米．（直接寫出結(jié)果）9．（2022春·廣東惠州·九年級校考開學(xué)考試）如圖，是的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若平分，求證：．10．（2022·湖南長沙·校考三模）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點(diǎn)．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；(3)已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．11．（2023秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)．(1)當(dāng)時，①求證：；②若，，求的長；(2)已知，若，求的長．

12．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖所示，點(diǎn)在同一直線上，滿足，，且．求證：．13．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）如圖1，中，，D為上一點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)A作于M，交于點(diǎn)E，若，求的值；(3)如圖3，N為延長線上一點(diǎn)，連接、，若，，則的值為_．14．（2023·吉林·九年級階段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．15．（2023·福建九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．16．（2022秋·廣東九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．（1）求證：△ACP∽△PDB；（2）當(dāng)AC＝4，BD＝9時，試求CD的值．17．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，平分，連接交于.(1)求證：；(2)若，，求的長.18．（2022春·湖北武漢·九年級校考階段練習(xí)）（1）[問題背景]如圖1，在四邊形中，對角線平分，且滿足，求證：（2）[嘗試應(yīng)用]在中，的角平分線交于點(diǎn)F①如圖2，，邊上一點(diǎn)G滿足，，，求的值．[拓展創(chuàng)新]②如圖3，，，，，直接寫出的值（用含有m、n、a三個字母的代數(shù)式表示）為__________．

專題02相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點(diǎn)和另外一個不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對角線平分，，結(jié)論：；例1．（2023·四川成都·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，；若AD＝6，BD＝2，則CD＝．【答案】【分析】先證明△BCD∽△CAD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)直接解答即可．【詳解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD，∴，∴CD2＝AD?BD＝6×2＝12，∴CD＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是要知道直角三角形斜邊上的高把這個三角形分得的兩個小三角形，與原三角形相似．例2．（2023春·山東威海·九年級校聯(lián)考期中）如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長為．【答案】【分析】延長到，使，連接，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．例3.（2022.山西九年級期中）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．證明：（1）∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC?BD．例4．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．交于，交的延長線于．（1）求證：；（2）若，，求．【答案】(1)見解析;(2).【分析】(1)根據(jù)已知條件得到，，所以，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，得到∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，等量代換即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)得到,根據(jù)勾股定理得到,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴．又∵，，∴．而，，∴，∴，∴．又，，∴∽，∴，∴，∴．（2）由（1）可知，而，，∴，∴，∴在中根據(jù)勾股定理可知．∵∽，∴，．【點(diǎn)睛】本題是考查相似三角形判定定理和性質(zhì)，能夠熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)是解題關(guān)鍵例5．（2022.浙江中考模擬）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）圖1中共有對相似三角形，寫出來分別為（不需證明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，請你求出CD的長：（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運(yùn)動，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運(yùn)動，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時，兩點(diǎn)即刻同時停止運(yùn)動；設(shè)運(yùn)動時間為t秒是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）3，ABC∽ACD，ABC∽CBD，ACD∽CBD；（2）；（3）存在，(，)，(，)【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似即可得到3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的長，再根據(jù)△ABC的面積不變得到AB?CD＝AC?BC，即可求出CD的長．（3）由于∠B公共，所以以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時，分兩種情況進(jìn)行討論：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【詳解】解：（1）圖1中共有3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．證明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可證：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案為：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如圖2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3．∵△ABC的面積＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝．（3）存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝，∴OB＝．分兩種情況：①當(dāng)∠BQP＝90°時，如圖2①，此時△PQB∽△ACB，∴＝，∴，解得t＝，即，∴．在△BPQ中，由勾股定理，得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)∠BPQ＝90°時，如圖2②，此時△QPB∽△ACB，∴，∴，解得t＝，即，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．∵△QPB∽△ACB，∴，即，∴PE＝．在△BPE中，，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；(，)．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．例6．（2022·陜西漢中·九年級期末）如圖，是等腰直角斜邊的中線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖2，過作于點(diǎn)，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）由題意可得∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，從而可得∠DCE=∠DCF=135°，于是可證得，則有DE=DF；（2）結(jié)合（1）可求得∠CDF+∠F=45°從而可得∠F=∠CDE，則，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）由DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，結(jié)合（2）可求得CE=2，從而可求得CG=DG=，可證得，從而可求得GN=，再利用勾股定理即可求得DN．（1）證明∶∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是中線，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°∵在△DCE與△DCF中，，∴，∴DE=DF；（2）證明∶∵∠DCE=∠DCF=135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴，∴，即；（3）解：如圖，∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，∴∠DGN=∠ECN=90°，∠GCD=∠CDG=45°，∴CG=DG當(dāng)CD=2，CF=時，由可得，CE=2，在Rt△DCG中，∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，并熟記相似三角形的判定條件與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7．（2023春·廣東深圳·九年級校考期中）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在四邊形中，對角線平分，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，在邊上，，點(diǎn)在延長線上，連結(jié)，，，若，，，求的長；【拓展提高】（3）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，分別在，上，連結(jié)，，，若，，，，，求的值．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義及相似三角形的判定可知，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定可知，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)可知即相似三角形的判定可知，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴；（3）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·北京延慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，要使得與相似，添加一個條件，不正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解．【詳解】解：若，則，故選項(xiàng)A不合題意；若，則，故選項(xiàng)B不合題意；若，則，故選項(xiàng)C不合題意；若，不能證明，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，其中，，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴（負(fù)值已舍去），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江臺州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．設(shè)，，則圖中可以表示為的線段是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，則，再證明，可得出，則，由點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，得，即可得出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，同理得，∴，∴，∵點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江金華·九年級校考階段練習(xí)）如圖，D是的邊上一點(diǎn)，連接，若，則的長．

【答案】【分析】可證明，則，即得出，從而得出的長．【詳解】解：∵，∴，∴．即，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，兩個角相等，兩個三角形相似．5．（2023秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，中，，，D為邊上一點(diǎn)，．(1)求證：

．(2)若的周長為11，請求出的長．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）在與中，有，根據(jù)已知邊的條件，只需證明夾此角的兩邊對應(yīng)成比例即可．（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得即可．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，且，∴；（2）解：∵△ABC的周長為11，，，∴，∵，∴，即，∴，故的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)；熟記兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）已知，點(diǎn)D在的邊上，連接．(1)如圖1，若．求證：；(2)如圖2，若，，，．求線段的長；(3)如圖3，M、N分別是上的兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，當(dāng)，時，若，直接寫出的值______．

【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【分析】（1）先證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)三角函數(shù)值，設(shè)，，進(jìn)而得到，，，證明，得出，從而得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得到線段的長；（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，，利用勾股定理，得到，，證明，得出，進(jìn)而得到，，再證明，，得到，，進(jìn)而得出，最后證明，，得出，即可求出的值．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：如圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，

，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，解得：，（舍），；（3）解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，，設(shè)，，，，，，在中，，在中，，，，，，是的外角，，，，又，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·上海閔行·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在梯形中，，，點(diǎn)E是邊中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，，且．

(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行線可知，，結(jié)合點(diǎn)E是邊中點(diǎn)，即得出，從而可根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，得出．根據(jù)三角形外角性質(zhì)，結(jié)合題意可求出，即得出，進(jìn)而可證；（2）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知，，即得出．由（1）可得，即得出，從而可求出，進(jìn)而得出，即．再由平行線的性質(zhì)得出，即證明，得出，即．【詳解】（1）∵，∴．∵E為中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，∴，又∵，∴；（2）∵，E為中點(diǎn)，∴，，∴，∴．又由（1）可得，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識．掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即①兩個三角形的兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等，②兩個三角形有兩組角對應(yīng)相等，③兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似．8．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在的邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)直接寫出的形狀______；(2)若垂足為D，證明：；(3)拓展應(yīng)用：在A時測得某樹（垂直于地面）的影長為4米，C時又測得該樹的影長為16米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為______米．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)直角三角形(2)見解析(3)【分析】（1）利用勾股定理求得，的長，再利用勾股定理的逆定理即可求解；（2）證明，即可證明；（3）利用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，，∴是直角三角形，故答案為：直角三角形；（2）證明：由（1）知是直角三角形，且，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由題意得，，米，米，由（2）得，∴，∴米，∴樹的高度為米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．9．（2022春·廣東惠州·九年級校考開學(xué)考試）如圖，是的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若平分，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圓周角定理即可得出，再由已知得出，則，從而證得是的切線；（2）通過證得，得出相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，，，是的直徑，是的切線；（2）證明：平分，，，，，，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)；要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．10．（2022·湖南長沙·校考三模）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點(diǎn)．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；(3)已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②(3)或或【分析】（1）根據(jù)中線的定義可設(shè)，即，再由，可得，，即有，結(jié)合，可得，問題得證；（2）①連接，根據(jù)，可得，根據(jù)為的直徑，可得，根據(jù)，可得，即有，可得，問題得證；②由題意可知，，即有，，可得，即有，進(jìn)而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；（3）分類討論：當(dāng)時，過A點(diǎn)作于點(diǎn)E，利用相似可得，即，根據(jù)，可得，此時面積可求；當(dāng)時，過A點(diǎn)作于點(diǎn)，同理利用相似可得，進(jìn)而可得，根據(jù)，可得，，則有，利用，可得，求出，進(jìn)而可得，面積可求，問題隨之得解．【詳解】（1）如圖，

∵為的中線，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴；∴為關(guān)于邊的“華益美三角”；（2）①證明：連接，如圖，

由題意可知，∴，又∵為的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵為的半徑，∴為的切線；②∵由題意可知，，∴，，∴，∵的直徑為，∴，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，解得：（負(fù)值舍去）；（3）分類討論：當(dāng)時，過A點(diǎn)作于點(diǎn)E，如圖，

∵為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴；當(dāng)時，過A點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

∵為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，根據(jù)還有：，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴；綜上：的面積為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解一元二次方程等知識，理解“華益美三角”的含義，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)．

(1)當(dāng)時，①求證：；②若，，求的長；(2)已知，若，求的長．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①根據(jù)相似三角形判定方法對應(yīng)角相等證明即可；②利用相似三角形對應(yīng)邊呈比例求解即可；（2）據(jù)相似三角形判定方法對應(yīng)邊呈比例證明，由，，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵，，∴；②解：∵，∴，即，∴；（2）解：∵，∴.∵，∴，∴.，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖所示，點(diǎn)在同一直線上，滿足，，且．求證：．【答案】見解析【分析】先根據(jù)同角的余角相等，得，再根據(jù)“等邊對等角”可得，然后根據(jù)“兩角相等的兩個三角形相似”得出答案.【詳解】證明：∵，，∴，即.∵，∴，∴..又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．即兩角相等的兩個三角形相似.13．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）如圖1，中，，D為上一點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)A作于M，交于點(diǎn)E，若，求的值；(3)如圖3，N為延長線上一點(diǎn)，連接、，若，，則的值為___________．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）證，得出，即可得證結(jié)論；（2）根據(jù)角的關(guān)系得出△AEB為等腰三角形，根據(jù)（1）得出，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，可得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）過點(diǎn)B作于點(diǎn)P，則，先證明，即有，，設(shè)，即，，再設(shè)，則，根據(jù)，可得，解得或（舍去），即有，則，，問題得解．【詳解】（1）∵，，∴，∴，∴；（2）過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，

∵，∴，∴，∵，∴，∴為等腰三角形，∴，，∵，，∴，設(shè)，則,，在中，，∴，，∴，a，∵，∴，即，∴,又∵，，∴，∴，∴，∴∴，（3）過點(diǎn)B作于點(diǎn)P，則，

又∵，∴，∴，∴，，設(shè)，即，，再設(shè)，則，∵，∴，解得或（舍去），∴，則，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023·吉林·九年級階段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）AD=．【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結(jié)論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE?BC，∴BC===，∴AD=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．15．（2023·福建九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中