專題01比例系數K的兩種考法類型一、求K的值例．如圖，A、B兩點在反比例函數的圖象上，C，D兩點在反比例函數的圖象上，軸于點E，軸于點F，，，的長度為，則的值是（

）

A．8 B．11 C．15 D．16【答案】C【分析】由反比例函數的性質可知，，結合和可求得的值．【詳解】解：連接、、、，如圖：

由反比例函數的性質可知，，，①，，②，由①②兩式得：，解得，則，故選：C．【點睛】本題考查反比例函數圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是利用參數，構建方程組解決問題，屬于中考常考題型．【變式訓練1】．如圖，點A在反比例函數的圖象上，點B在反比例函數的圖象上，過點A、B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D、C、E、F，且，連接恰好經過點D，則k的值是（

）

A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】通過證明，得出，則，根據反比例函數k值的幾何意義得出，則，進而得出，根據圖象經過第四象限，即可得出．【詳解】解：在和中，，∴，∴，則，∵點A在反比例函數的圖象上，軸，∴，∴，∵點B在反比例函數圖象上，軸，∴，由圖可知，圖象經過第四象限，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，反比例函數k值的幾何意義，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形對應邊相等，以及反比例函數k值的幾何意義．【變式訓練2】．如圖，在中，對角線交于點，雙曲線經過兩點，若的面積為18，則的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】分別過點、作、垂直于軸于、，先求出，再由平行四邊形面積公式求出即可．【詳解】解：過作軸于，過作軸于，設，，則，，，，，，、在雙曲線上，三角形與三角形的面積相等，四邊形是平行四邊形，，，，，即，，，根據三角形的中位線，可得，，平行四邊形的面積，，，即；故選：B．【點睛】本題主要考查對平行四邊形的性質，三角形的中位線定理，反比例函數的性質等知識點的理解和掌握，解題的關鍵是根據這些性質正確地進行計算．【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別落在雙曲線第一和第三象限的兩支上，連接，線段恰好經過原點O，以為腰作等腰三角形，，點C落在第四象限中，且軸，過點C作交x軸于E點，交雙曲線第一象限一支于D點，若的面積為，則k的值為（

）

A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】設，，則，根據已知條件，求出，，，根據，即可求出，連接，設與軸交于點，根據已知條件證明，得出，根據已知條件證明，過點A作軸于點M，求出，即可求出k的值．【詳解】解：設，，，∵，軸，，設AB的函數關系式為：，把代入得：，解得：，∵，，設的關系式為：，把代入得：，解得：，∴的關系式為：，聯立，解得：或，∵點D在第一象限，∴，，連接，設與軸交于點，，∵，，為的中點，，，，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∵，，∵，∴，∴，過點A作軸于點M，∵，，，∴，，，，∴．故選：A．

【點睛】本題主要考查了反比例函數k值的意義，平行線的性質，平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，作出輔助線，求出，是解題的關鍵．【變式訓練4】．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點D在第二象限，軸，，且，于E，．反比例函數，與邊交于點F，連接．若，則k的值為（

）

A． B． C．7 D．【答案】A【分析】延長交軸于點，過點作軸于點,根據已知可得軸;利用可得，得到;利用，四邊形是菱形，可得．設，則，由勾股定理可得，，可得點坐標為，所以．由于為矩形，，可得點的坐標為，利用，列出關于的方程，求得的值，的值即可求出．【詳解】延長交軸于點，過點作軸于點，如圖：

軸，，軸，．，在和中，四邊形是菱形，，設，則．反比例函數的圖象經過點，,四邊形為矩形．點在反比例函數的圖象上，，，,，解得：故選：A．【點睛】本題主要考查了反比例函數系數的幾何意義，待定系數法，反比例函數圖象上點的坐標的特征，三角形的全等的判定與性質，等腰直角三角形，菱形的性質，利用點的坐標表示相應線段的長度和利用線段的長度表示出相應點的坐標是解題的關鍵．類型二、根據K求面積例．如圖，過點作直線與雙曲線交于，兩點，過點作軸于點，作軸于點，在軸、軸上分別取點，，使點，，在同一條直線上，且，設圖中矩形的面積為，的面積為，則，的數量關系是．

【答案】【分析】過點作軸于點，根據反比例函數圖象系數的幾何意義即可得出，，再根據中位線的性質可得出，由此即可得出，的數量關系．【詳解】過點作軸于點，如圖所示，

∵軸，軸，軸，∴，，∵，軸，軸，∴，，∴，∴，即，故答案為：．【點睛】此題考查了反比例函數圖象系數的幾何意義以及三角形的中位線，根據反比例函數圖象系數的幾何意義找出、是解題的關鍵．【變式訓練1】．如圖，、兩點在雙曲線上，、兩點在雙曲線上，若軸，且，則的面積為．

【答案】/【分析】如圖，過點作軸于點，作軸于點，過點作軸于點，則四邊形是矩形，設，，得到點和點的坐標，得到和的長，然后由列出方程，化簡得到與的關系，最后用割補法求得的面積即可．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，作軸于點，過點作軸于點，則四邊形是矩形，

設，，點，，，，，，，，，，，化簡得，，，點和點在反比例函數上，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，切割法求多邊形的面積，解題的關鍵是熟知反比例函數圖象上點的坐標特征．【變式訓練2】．如圖，已知直線交軸于點，分別與函數和的圖象相交于點，，過點作軸交函數的圖象于點，過點作軸交函數的圖象于點，連接，，若，，則．

【答案】【分析】根據同底等高的三角形面積相等以及反比例函數系數的幾何意義得出，然后根據，，即可求得的面積．【詳解】解：連接，，，延長交軸于，

∵同底等高的三角形面積相等∴，同理：，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，三角形的面積以及不同底等高是三角形面積的關系，證得是解題的關鍵．【變式訓練3】．如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為；若的面積為，則．

【答案】2【分析】根據，得出，根據三角形面積公式，即可求出的面積；過點B作軸于點D，交于點E，根據，，得出，進而得出，根據梯形面積公式，列出方程，化簡得，令，則，求出x的值，根據，得出，即，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，過點B作軸于點D，交于點E，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，則，解得：（舍），，∵，∴，即，∴，故答案為：，2．

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵是是掌握反比例函數圖象上點的坐標特征，靈活運用面積關系建立方程．課后訓練1．如圖，在反比例函數的圖象上有一動點，連接，的圖象經過的中點，過點作軸交函數的圖象于點，連接，則的面積為（

）

A．4 B．3 C． D．【答案】D【分析】設，則的中點為即可求得表示出的坐標，即可表示出，利用三角形面積公式求得【詳解】∵動點在反比例函數的圖象上,∴設，則的中點為，的圖象經過點，，，∵過點作軸交函數的圖象于點,∴的縱坐標把代入得,，，，故選:.【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征和反比例函數系數的幾何意義，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，學會構建一次函數確定交點坐標.2．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，矩形（）交反比例函數的圖象于點D，E．點D的坐標為．連接．若，則的值為

【答案】【分析】根據四邊形為矩形，證明，得出點E坐標，再根據點E和點D都在反比例函數圖像上列關于k的等式即可求解；【詳解】∵四邊形為矩形，又，點D的坐標為故∴點坐標為，∵兩點都在反比例函數圖像上，∴，解得：或，∵反比例函數在第一象限，故答案為：．【點睛】該題主要考查了反比例函數的圖像和性質、矩形的性質、全等三角形的性質和判定等知識點，解題的關鍵是數形結合．3．如圖，點、、、在反比例函數的圖象上，它們的橫坐標依次為1、2、3、4……，過這些點分別作x軸、y軸的垂線，圖中陰影部分的面積從左到右依次為、、……，則．【答案】/【分析】根據反比例函數的幾何意義，求出的坐標，再用平移法和反比例函數的幾何意義進行求解即可．【詳解】解：當，，∴，由圖象可知：∴，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數與幾何的面積問題．熟練掌握反比例函數的幾何意義，利用平移法解決面積問題是解題的關鍵．4．如圖，點A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數的圖象分別交邊，于點P，Q．作軸于點M，軸于點N．若，Q為的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為．

【答案】24【分析】設，則，從而可得、，由正方形的性質可得，由軸，點P在上，可得，由于Q為的中點，軸，可得，則，由于點Q在反比例函數的圖象上可得，根據陰影部分為矩形，且長為，寬為a，面積為6，從而可得，即可求解．【詳解】解：設，∵，∴，∴，∴，在正方形中，，∵Q為的中點，∴，∴，∵Q在反比例函數的圖象上，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵P在上，∴P點縱坐標為，∵P點在反比例函數的圖象上，∴P點橫坐標為，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故答案為：24．【點睛】本題考查反比例函數圖象的性質及正方形的性質及矩形的面積公式，讀懂題意，靈活運用所學知識是解題的關鍵．5．如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于，兩點，且點的橫坐標為1，該反比例函數的圖象關于直線對稱后的圖象經過直線上的點，則線段的長度為．

【答案】或/或【分析】根據題意求得反比例函數解析式為，得到和，根據反比例函數的對稱軸的平移規律得到反比例函數上的點的平移規律，即可根據勾股定理求得兩點間距離，【詳解】解：∵一次函數與反比例函數的圖象相交于，兩點，且點的橫坐標為1，故將代入一次函數得，故點，將代入反比例函數，得，故反比例函數的解析式為；令，整理得，解得，，將代入一次函數得，故點；故點與點關于直線對稱，∵反比例函數關于直線對稱，則直線關于直線對稱后的圖像為直線；令反比例函數的圖像關于直線對稱后的圖象為，的圖象關于直線對稱故的圖象可以看做是由反比例函數進行平移得到，原點關于直線的對稱點，如圖：

故直線可以看做直線每一個點先向右平移1個單位，向下平移1個單位得到（或向右下45度防線平移個單位），則的圖象可以看做是由反比例函數圖象上每一個點先向右平移1個單位，向下平移1個單位得到（或向右下45度防線平移個單位），則點平移之后的坐標為，點平移之后的坐標為，即反比例函數的圖像關于直線對稱后的圖象經過直線上的點的坐標為或，線段的長度為，或；故答案為：或．【點睛】本題考查了求反比例函數解析式，反比例函數與一次函數的交點坐標，一次函數的平移，反比例函數的性質等，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．6．如圖，，反比例函數，在直角坐標系中A點坐標為，若反比例函數與直角三角形的邊有公共點，則k的取值范圍為．

【答案】【分析】由中的關系式可求得點B、點C的坐標，由此可求得直線AC的解析式．的邊與反比例函數有公共點，則先可求出點B與反比例函數圖像有公共點時的最小k值，再設反比例函數與線段相交于點時k值最大，則，由知當時，k值最大，最大值為．由此確定了k的取值范圍．【詳解】如圖．

解：∵∴，∴，∴，設直線的解析式為，則，解得，∴直線為，根據反比例函數系數的幾何意義，當反比例函數與點B相交時，最小，設反比例函數與線段相交于點時k值最大，則，∵，∴當時，k值最大，因此，k的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數、一次函數、二次函數等知識點，解題的關鍵是熟練運用這些函數的性質．7．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在軸負半軸上，軸，點在反比例函數的圖象上，，若，，則的值為．

【答案】【分析】過點作軸于點，設，，證明為等邊三角形，利用含30度角的直角三角形的性質和三線合一，得到，根據，以及反比例函數圖象上的點的坐標特點，進行求解即可．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，設，，

∵軸，，∴軸，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，，，∴，，，∵軸，軸，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵點在反比例函數的圖象上，∴；故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數與幾何的綜合應用，主要考查了等邊三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，以及反比例函數圖象上的點的特征，熟練掌握相關知識點，利用數形結合的思想解題是關鍵．8．如圖平面直角坐標系中放置繞點轉動，、所在直線分別交軸、軸正半軸于點，點在上．當均為正整數時，則．【答案】或【分析】如圖，將線段繞點P逆時針旋轉90°得到線段．連接，點N是的中點．求出直線的解析式，求出a,b的關系，根據整數解解決問題．【詳解】解：如圖，將線段繞點P逆時針旋轉90°得到線段．連接，點N是的中點．過點M作垂直交于點H,過點A作垂直于于點J;又，又，，，點M的橫坐標為：縱坐標為：直線的解析式為：,點B在射線上，，∵均為正整數，或，點或，點C在上，或，故答案為：或．【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是學會有添加常用輔助線，構造等腰直角三角形