PAGE19有理函數的不定積分問題研究目錄TOC\o"1-2"\h\u71391緒論 1300611.1研究的背景及意義 1131471.2國內外研究現狀 2175671.3常用符號 3285672不定積分 4211432.1原函數與不定積分的定義 4156912.2不定積分的積分方法 517345例2求 760423有理函數不定積分 8300963.1有理函數的一般形式及分類 8249853.2真假有理函數的轉化 852303.3有理函數不定積分的形式為 11156293.4有理函數不定積分的積分方法 1227679總結 1824857參考文獻 191緒論1.1研究的背景及意義1.1.1背景數學來源于人類的生產活動中，成為了生產活動中不可或缺的一部分，從根本上說來源于實際的生活，這說明數學如果脫離了人類的生產活動就可能會變為一片死海，毫無波瀾。但數學也像一棵巨大的樹，樹枝粗壯，枝丫眾多，枝葉繁茂，是不斷生長，形成了一個龐大的網絡。自從17世紀以來，微積分的問世之后，人們用來研究物體的速度的問題，天體運動問題以及許多力學的問題，在學術界上引起了不少數學家的注意，從而掀起了一場轟轟烈烈的革命。數學是每一個科學的基礎，而微積分的作為數學的核心，所以對微積分學這一學科的研究，也是十分重要的。廣義來說微分學與積分學構成了微積分學，其中微分學包含了極限理論、導數、微分等；積分學包含了定積分、不定積分等。發展學生的智力是發展教育的必要性，而微積分學中內含的數學思想方法更是發展學生智力的關鍵，有理函數不定積分更是作為微積分學中的重要一環，由此可見我們研究有理函數不定積分具有十分重要的作用[1]。1.1.2意義在微積分學與數學分析的教學過程中，有理函數的不定積分單獨作為一個內容，是十分重要的，更是不定積分教學過程的一大教學難點與重點，對之后學習掌握定積分也有一定的重要性。在求有理函數不定積分較為常用的方法是通過對有理函數分解成各個因式，再利用積分公式對每一個因式求不定積分，把它們相加或相減，最后在加上常數。，有理函數的不定積分總是通過用初等函數：。不定積分是：在。為有理函數時，該不定積分為有理函數不定積分[2]。1.2國內外研究現狀 17世紀，以牛頓、萊布尼茨為代表為微積分學的伊始起到了開創性工作，經過兩人不懈努力，牛頓—萊布尼茨公式問世，被眾人所知，該公式正是反映了求積分與求導數的這種互逆關系，使得形成了一門新的學科——微積分學，該學科將原本獨立發展、互不相干的積分學和微分學結合起來。第二次數學危機的導火索是因為早期微積分學理論不夠完整，針對在求導過程中的無窮小問題，英國主教貝克萊在18世紀出版的書中提出了質疑，質疑牛頓理論中針對無窮小量問題，認為牛頓理論中表述無窮小量一會兒認為是0，一會兒認為又不是0的說法不對，還形象的稱無窮小量為：已死量的幽靈，對微積分學發起了進攻。又直到19世紀20年代，微積分是否嚴格的問題又引起一些數學家的關注，隨之經過數學家的不懈努力，以阿貝爾、狄利克雷、柯西、魏爾斯特拉斯等杰出科學家完成了微積分的奠基性工作。20世紀初期勒貝格提出了新的積分理論，此理論是現代分析從古典分析過渡而來的一個轉折點。在中國，古代有莊子在《天下篇》中的記載如果每天取木棰的一半，一萬年也都取不完；三國后期的數學家劉徽的“割圓術”，用正多邊形逼近圓周等一些該方向的理論已經有比較接近微分學大門的條件了，但由于某些原因微分學在我國未能得到很好發展，但這并不影響我國數學家對微積分學發展的繼續探究。在現代，有華裔數學大師陳省身利用微積分的理論對幾何領域的問題進行研究，進一步促進國內數學界的發展，并發現了積乘和微商。1992年王澤漢在《哈爾濱工業大學學報》上提出了新的極限理論，該理論是可以在復活無限小的基礎上提出的，該觀點對微積分學的改革提供了途徑[3]。2011年丁小平在《數學學習與研習》發表新微積分原理的思考，該文提出了一種新的模型：新量—形模型，該模型是關于修正點和實數的規定性，是以“變化”為核心的一個微積分體系，在這一系列的基礎上對的原理進行了重新構造[4]。2015年張春暉在《鄂州大學學報》發表高等數學微積分教學的策略探討[5]。他們從不同的方面對微積分做出了研究，使微積分更加全面的展示出來。1981年沈燮昌在《中國科學》發表了有關有理函數展開的余項估計問題。1997年劉琳琳在《河南教育學院報(自然科學版)》發表了《關于有理函數的積分》，該文講述在求部分分式時相關的常數用了待定系數法與賦值法，還可以用函數的連續性和求導運算來把有理分式化為部分分式[6]。1987年陳秦漢在《工科數學》發表了用微分學中的羅必塔法則來分解有理函數為部分分式。2016年張燕艷在《濮陽職業技術學院》發表了《有理函數積分的求法》，該文使用了兩種方法對有理函數中的假分式進行分解，進而求解有理函數的不定積分，提出可以通過復變函數理論來解決有理函數的反常積分[7]。2019年吳春在《赤峰學院報(自然科學報)》發表了對《有理函數不定積分求解技巧的探究》，該文中提供了對有理函數的分解5種較為簡單的解題技巧[8]。他們一直致力于對有理函數積分的研究，使得有理函數積分相關理論更加豐富，積分更為簡易。自從微積分被發明以來，漸漸的人們的生活和生產都離不開微積分，其變得越來越重要了，微積分在很多地方都可以用到。此外，為了使中國的學者能更好的有學習微分學的途徑，有許多的教授和數學家翻譯或合作編寫出版了微分學的相關書籍，如《微積分學教程》、《數學分析新講》等，還有本人在校學習的由劉玉璉、傅沛仁等人編寫，并由高等教育出版社出版的《數學分析講義上冊(第五版)》。1.3常用符號本文常用的記號如下所示： 多項式 函數 常數 區間 積分符號其他一些特殊記號將在文中具體用到時再加以說明。2不定積分2.1原函數與不定積分的定義：，。若對于，在區間的原函數，或者簡稱的原函數[9]。例如：若，。若，。若，。由上述例子可知，若是，則這個加上任意，也還有，，于是有，，那么該函數必定存在有。定理1，則的無限多個原函數的形式[2]。證明過程如下：，對于。設是函數的任意一個原函數，對于，將兩式相減，得或者是。根據之前數學分析第六章第一節中值定理例1的推論，可有(其中是某個常數)或者是，即函數的任意一個原函數表示為的形式。這個定理說明，。因此，如果想要求出的全部的原函數，可以通過求出的任意一個原函數，再加上任意即可。不定積分的定義：的不定積分，可表示為：其中，，。注意：由原函數的定義可知，當我們表達“”時，我們一定是針對一個給定區間來說的，，也是在給定的區間上的原函數，而常數也是針對給定區間的，那么就是說，，必須表示的是相同的一個數。例，函數。我們不能表示說在上，是的原函數，而是應該表述如下：在；在是的原函數。由上面的例子可知，，也不是函數，。2.2不定積分的積分方法2.2.1直接積分法，該方法是最簡單的計算不定積分的方法，但不是所有的題目都可以通過該方法來求解不定積分，因此不僅需要使用者掌握不定積分公式與基本性質，還需要對題目進行判斷，看該題目是否可以使用該方法。例1求解2.2.2換元積分法第一類換元積分法（湊微分法），該方法最關鍵在于想方設法將微分出來，使被積函數表達式可以微分的形式表達出來，再利用已有的不定積分公式，從而達到求不定積分的目的[2]。定理：若函數則函數存在原函數，即例如求時，該不定積分與我們常見的不同，不同之處是：中的被積函數是可以通過積分變量積分得到的直接函數，而的被積函數則是由積分變量積分得到的復合函數，所以不能直接應用積分公式。以下是完整的解題步驟：第二類換元積分法，也稱為變量替換法，該方法是直接換元，然后再進行計算。定理：若函數在，，若函數，，有則函數在存在原函數，且2.2.3分部積分法在積分時，可能會碰到這類的不定積分，如等的積分時，此時它們的被積函數不是由單一的函數構成，而是由兩種不同類型的函數相乘構成的，此時該種形式不定積分無法用直接積分法和換元積分法來解決，因此我們要學習另一種計算不定積分的方法——分部積分法。證明：設，，即上面的兩個式子就是分部積分公式。分部積分是指積分很難計算出，而積分比較容易計算出時，將的積分問題轉化成的積分問題，此時，就可以起到化難為易的目的了，此方法解題的關鍵是適當的選取好。一般可按照下面順序來選擇，“反()、對()、冪()、三()、指()”[2]。例2求解設，有，則3有理函數不定積分3.1有理函數的一般形式及分類有理函數的一般形式為，其中和為多項式。有理函數的分類：如若的次數高于的次數時，為有理真分式，如若的次數低于或等于的次數時，為有理假分式。其中，(1)當上述式子是有理真分式；(2)當上述式子是有理假分式；(3)部分分式，如下四種分式稱為部分分式：①②③④其中均為實常數，[11-14]。3.2真假有理函數的轉化，，我們總能化成有理之和的形式，即有，其中多項式的次數小于多項式的次數。例：，之所以求解該有理函數的不定積分最重要是求解有理真分式的不定積分，是因為多項式的不定積分比較容易求出。將有理真分式轉化為部分分式之和的規律[15]：如果為有理真分式時，由代數知識可得，在實數集中，任意的一個多項式總是能夠分解成一個常數(為了簡便書寫，通常我們取常數為1)和形如。諸因式之積：，。，有理真分式通常能用個簡單的分式之和的形式表示出來，即(3.1)其中均是常數。求上述式子常數的辦法是，將(3.1)式子中等號的右端進行通分，則(3.1)式等號兩端分母均為，有。相同次冪的系數相等，于是，得到一次聯立方程組，求解即得[16]。例3將分成分項分式解設或有，則解得，于是得例4將化為分項分式。解設有將上式的恒等式子的右端進行展開，再合并同類項，令上式的恒等號兩邊的相同次冪的系數相等，然后聯立方程組有：解之得于是得，例5將化為分項分式。解設有令，有令，有令，有已知，則，同樣方法，再令與，將代入，分別得與。從而，令，得一次聯立方程組:解得。于是得，上面是將有理真分式分成分項分式的例題，其中例3和例4用的方法是比較系數法，該方法是利用相同次數冪未知數的系數相等建立等式，從而求出未知數的系數。例5的方法是賦值法，該法是通過給代數式中的某些字母取一定的特殊值，再通過賦予的特殊值來求解其他的一些值，從而達到減少未知量個數簡化計算的目的。3.3有理函數不定積分的形式為有理函數不定積分的計算是基于是有理假分式還是有理真分式，經過上述的有理假分式全都可以經過轉化成一個真分式與一個多項式和的形式，一般來說多項式的不定積分比較容易求出來，因此若想要求的不定積分最終可以歸結成求解有理真分式的不定積分[2]。3.4有理函數不定積分的積分方法對于求解有理函數的不定積分，下面列舉了下面3種方法，第一種是用第一換元積分法求有理函數不定積分，第二種是用分項積分法求有理函數不定積分，第三種是用換元法求有理函數不定積分[17]。3.4.1湊微分法第一換元法也叫做湊微分法，該方法是微分公式的反向應用，掌握該種方法，要求我們掌握微分公式[2]。定理：若函數在可導，且，則函數存在原函數即。從定理指出求，想要求左邊的不定積分，可設，化為求不定積分，如若存在著原函數，則有，最后再把假設的代入，就可以得到要求解的函數不定積分，如若上述的函數是有理函數的也成立，因此湊微分法也可以用來求有理函數不定積分。例6求解例7求解以上題目的解題思路是：根據被積函數的特點我們可以找到相對應的積分公式，然后觀察公式和計算積分在結構上的不同，再根據微分學對進行恒等變換，最后再利用公式計算積分。總結不定積分第一換元法(湊微分法)的應用可以概括為以下四個字：設、求、代、換。3.4.2分項積分法分項積分法是對被積函數進行分項，首先是對分母在實數系內作一個標準的分解，然后根據分母的每一個因式找出他們相對應的部分分式，最后再進行分項積分，再針對每項利用積分公式，從而求出有理函數不定積分的方法。但是有些有理函數的被積函數很難將其分項，此時需要充分利用待定系數法。該方法是指設出函數中的未知的系數，再根據已知的條件，求出未知的系數。但如何設出函數的未知系數，需要用到分項分式定理。再根據分項分式定理可得，任何一個有理函數的不定積分均可轉化成以下四種基本類型。下面是四種基本類型，以及四種類型的不定積分原函數公式[2]：例8求解由例1知，，再由上式中四種不定積分原函數公式可得上述方法是將分子與分母逐一進行分項，將一個復雜的整式化簡為幾個簡單的整式，然后根據它們對應系數相等來求解，在對分出來的分式分別積分，再代入不定積分原函數公式，最終積分達到求解的目的。3.4.3換元法換元法作為求解不定積分較為常見的一種方法，該方法是通過引入一個中間變量作為替換，把被積函數表達式轉變為另外一個被積函數表達式，使得原式變得更為簡單，從而求解較為復雜的不定積分[17]。例9求解令，則，因此得湊微分法適用于被積函數中較明顯的能湊成微分項，而這個微分項又可以和剩下的被積函數能構成另一個微分項。分項積分法適用于若干個微分式的和或者差以及能化為若干個微分式的和或者差的不定積分。換元法適用于以下幾種類型，分別是三角代換、根式代換、倒代換和指數代換。計算有理函數不定積分具有較強的靈活性，可根據題目靈活的選擇以上的方法來解決。4有理函數不定積分的推廣及應用有限個函數推廣到n個函數代數和法則[2]：由該法則可知，，則求的不定積分相當于這。因此有，在容許相差一個任意常數的情況下，。不定積分的公式中的每一個公式反轉過來就得到了導數公式，反之也成立，積分運算與導數運算兩者互為逆運算。導數公式表與不定積分公示表不相同。導數公示表全都是由基本初等函數的導數組成，而不定積分公式的原函數除了有部分基本初等函數還有非初等函數，例如：原函數是等均不是基本初等函數。在通過轉化，求函數的不定積分可變為求不定積分表中的，再利用法則相加減。例10求解由題意，可得注意：上面等式右端中的每一個不定積分在區間內應該都存在一個任意常數，之所以書寫時可只寫一個任意常數，因為有限多個任意常數之和常常可以用一個任意常數表示。，在求無理函數不定積分過程中，若能把無理函數轉化成有理函數便能更加方便。在理論上，討論無理函數的不定積分時，有一個原則，也就是選擇合適的換元，就可把無理函數有理化，轉為有理函數，因此無理函數的不定積分問題就可以轉化為有理函數不定積分來解決。下面是兩類較為簡單的無理根式的不定積分化為有理式的不定積分[2]。?.型函數的不定積分在中，都是常數，正整數且，對此只需要令，此時利用公式就可化為被積函數是關于的有理函數不定積分。例11求解設，有，則有例12求解令，有，則有??.型函數的不定積分在中，都是常數，。若時，也就是一元二次方程有兩個不同的實根時可通過將被積函數轉化為關于的有理函數。例13求解設，有，則若時，一元二次方程沒有實根時可通過將被積函數轉化為關于的有理函數。例14求解，設，有，則因此，有總結首先說明研究有理函數不定積分的背景及意義，隨后簡單的介紹了不定積分的有關定義、定理以及求不定積分的3種方法，接著介紹了有理函數不定積分相關的概念，再探究了有理函數不定積分的計算方法，主要為湊微分法、分項積分法和換元法。總結了有理函數不定積分還可以通過函數代數和法則，實現有限個函數推廣到n個函數中使用，還探討了在求較為簡單的無理函數不定積分時，可以通過有理化的方法，將無理函數不定積分轉化成為有理函數不定積分，再按照有理函數不定積分的方法求解，從而簡化過程，提高計算效率。有理函數不定積分既是微積分學中的一個重要分支，也是不定積分的教學中一個關鍵點，承擔著十分重要的角色，它融入到微積分學的許多重要領域中，是一個很重要的學科工具。我們應該認真，努力的學習微積分，掌握相關的理論知識。除了掌握有理函數不定積分的計算之外，還需要了解與探究定積分與不定積分的相關理論，以及它們之間的聯系，這對有理函數不定積分推廣不可或缺。

參考文獻黎瓊.微積分發展史[J].科教導刊(上旬刊),2011(06):255-256.劉玉璉,傅沛仁.數學分析講義上冊(第5版)[M].北京:高等教育出版社,2007:322-368.王