6.2.3向量的數乘運算[目標導航]核心知識目標核心素養目標1.了解向量的數乘的概念,并理解這種運算的幾何意義2.理解并掌握向量數乘的運算律,會運用向量數乘運算律進行向量運算3.理解并掌握兩向量共線的性質及其判定方法,并能熟練地運用這些知識處理有關共線向量的問題1.通過向量數乘運算知識的形成過程,體會概念及性質的產生發展的過程,達成數學抽象、直觀想象、邏輯推理及數學運算的核心素養2.通過向量共線定理的學習與應用,培養邏輯推理與數學運算的核心素養新知導學·素養啟迪課堂探究·素養培育新知導學·素養啟迪1.向量的數乘運算(1)定義:規定實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作λa.它的長度和方向規定如下:①|λa|=

;②當λ>0時,λa的方向與a的方向

;當λ<0時,λa的方向與a的方向

.|λ||a|相同相反①λ(μa)=

a;②(λ+μ)a=

;③λ(a+b)=

.特別地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.(3)向量的線性運算:向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.對于任意向量a,b,以及任意實數λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.2.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數λ,使

.(λμ)(2)運算律:設λ,μ為任意實數,則有λa+μaλa+λbb=λa小試身手B1.(2a-b)-(2a+b)等于(

)A.a-2b B.-2b

C.0 D.b-a解析:原式=2a-2a-b-b=-2b.故選B.DB4.已知a與b共線,且方向相同,若|a|=8|b|,則a=

b.

解析:因為a與b共線,且方向相同,所以a=λb(λ>0),所以|a|=|λb|=|λ||b|.又|a|=8|b|,所以|λ|=8(λ>0).所以a=8b.答案:8課堂探究·素養培育探究點一數乘運算的定義及其幾何意義[例1]已知λ,μ∈R,且a≠0,則在以下各命題中,正確命題的個數為(

)①λ<0,λa與a的方向一定相反;②λ>0,λa與a的方向一定相同;③λ≠0時,λa與a是共線向量;④λμ>0時,λa與μa的方向一定相同;⑤λμ<0時,λa與μa的方向一定相反.A.2 B.3 C.4 D.5解析:根據實數λ與向量a的積λa的方向規定,易知①②③都是正確的;對于④,由λμ>0可得λ,μ同為正或同為負,所以λa和μa都與a同向,或者都與a反向,所以λa與μa是同向的,故④正確;對于⑤,由λμ<0可得λ,μ異號,所以λa和μa中,一個與a同向,另一個與a反向,所以λa與μa是反向的,故⑤正確.故選D.方法技巧(1)當λ>0時,λa與a同向;當λ<0時,λa與a反向(a≠0).(2)當λ=0且a≠0時,或當λ≠0且a=0時,λa=0,注意是0,而不是0.即時訓練1-1:(1)(多選題)設a是非零向量,λ是非零實數,下列說法中正確的是(

)A.a與-λa的方向相反B.|-λa|=λaC.a與λ2a方向相同D.|-2λa|=2|λ||a|解析:(1)由已知可得若λ<0,則a與-λa的方向相同,故A錯誤;由于實數與向量不能比較大小,故B錯誤;a與λ2a方向相同,故C正確;D中|-2λa|=2|λ||a|正確.故選CD.答案:(1)CD(2)已知a,b為兩個非零向量,則下列說法正確的是

.(填序號)

①2a與a的方向相同,且2a的模是a的模的兩倍;③-3a與3a是一對相反向量;④a-b與-(b-a)是一對相反向量.答案:(2)①②③探究點二向量的線性運算[例2]化簡下列各式:解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.解:(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.方法技巧向量線性運算的基本方法(1)類比法:向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算.例如,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形在向量的數乘中同樣適用,但是在這里的“同類項”“公因式”指向量,實數看作向量的系數.(2)方程法:向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數,利用解方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律,簡化運算.探究點三向量共線的判定及應用方法技巧(1)證明或判斷三點共線的方法(2)利用向量共線求參數的方法已知向量共線求λ,常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解.若兩向量不共線,必有向量的系數為零,利用待定系數法建立方程,從而解方程求得λ的值.即時訓練3-1:設向量a,b不共線,向量λa+b與a+2b共線,則實數λ=

.課堂達標BA3.化簡4(a-3b)-6(-2b-a)=