2025屆貴州省黔東南州凱里市第一中學高一下數學期末學業水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若函數在一個周期內的圖象如圖所示，且在軸上的截距為，分別是這段圖象的最高點和最低點，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．2．棱長都是1的三棱錐的表面積為（）A． B． C． D．3．如果全集，，則（）A． B． C． D．4．在下列結論中，正確的為（）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量與向量的長度相等C．向量就是有向線段D．零向量是沒有方向的5．在中，，，，則（）A． B． C． D．6．若關于的方程有且只有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．兩數1，25的等差中項為（）A．1 B．13 C．5 D．8．已知，則()A．-3 B． C． D．39．在等比數列中，，，，則等于()A． B． C． D．10．如圖，是的直觀圖，其中軸，軸，那么是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數，的圖像關于對稱，則________．12．在ΔABC中，a比c長4，b比c長2，且最大角的余弦值是-12，則13．正方形和內接于同一個直角三角形ABC中，如圖所示，設，若兩正方形面積分別為=441，=440，則=______14．若正實數，滿足，則的最小值是________.15．數列中，已知，50為第________項.16．設y＝f（x）是定義域為R的偶函數，且它的圖象關于點（2，0）對稱，若當x∈（0，2）時，f（x）＝x2，則f（19）＝_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．中，角A，B，C所對邊分別是a、b、c，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．18．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側遠處一山頂D在西偏北的方向上，仰角為，行駛4km后到達B處，測得此山頂在西偏北的方向上．（1）求此山的高度（單位：km）；（2）設汽車行駛過程中仰望山頂D的最大仰角為，求．19．在平面直角坐標系中，為坐標原點，三點滿足.(1)求證：三點共線；(2)已知的最小值為，求實數的值.20．已知數列是等差數列，是其前項和.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.21．在平面立角坐標系中，過點的圓的圓心在軸上，且與過原點傾斜角為的直線相切.(1)求圓的標準方程；(2)點在直線上，過點作圓的切線、，切點分別為、，求經過、、、四點的圓所過的定點的坐標.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據圖象求出函數的解析式，然后求出點的坐標，進而可得所求結果．【詳解】根據函數在一個周期內的圖象，可得，∴．再根據五點法作圖可得，∴，∴函數的解析式為．∵該函數在y軸上的截距為，∴，∴，故函數的解析式為．∴，∴，又，∴向量在方向上的投影為．故選D．【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一是正確求出函數的解析式，進而得到兩點的坐標，此處要靈活運用“五點法”求出的值；二是注意一個向量在另一個向量方向上的投影的概念，屬于基礎題．2、A【解析】

三棱錐的表面積為四個邊長為1的等邊三角形的面積和，故，故選A.3、C【解析】

首先確定集合U，然后求解補集即可.【詳解】由題意可得：，結合補集的定義可知.本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，補集的定義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.4、B【解析】

逐一分析選項，得到答案.【詳解】A.單位向量的方向任意，所以當起點相同時，終點在以起點為圓心的單位圓上，終點不一定相同，所以選項不正確；B.向量與向量是相反向量，方向相反，長度相等，所以選項正確；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段，所以選項不正確；D.規定零向量的方向任意，而不是沒有方向，所以選項不正確.故選B.【點睛】本題考查了向量的基本概念，屬于基礎題型.5、D【解析】

直接用正弦定理直接求解邊.【詳解】在中，，，由余弦定理有：,即故選：D【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎題.6、B【解析】

方程化為，可轉化為半圓與直線有兩個不同交點，作圖后易得．【詳解】由得由題意半圓與直線有兩個不同交點，直線過定點，作出半圓與直線，如圖，當直線過時，，，當直線與半圓相切（位置）時，由，解得．所以的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查方程根的個數問題，把問題轉化為直線與半圓有兩個交點后利用數形結合思想可以方便求解．7、B【解析】

直接利用等差中項的公式求解.【詳解】由題得兩數1，25的等差中項為.故選：B【點睛】本題主要考查等差中項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.8、C【解析】

由同角三角函數關系得到余弦、正切，再由兩角差的正切公式得到結果.【詳解】已知，則,,則故答案為C.【點睛】這個題目考查了三角函數的化簡求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實現角α的弦切互化；2.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.9、C【解析】

直接利用等比數列公式計算得到答案.【詳解】故選：C【點睛】本題考查了等比數列的計算，屬于簡單題.10、D【解析】

利用斜二測畫法中平行于坐標軸的直線，平行關系不變這個原則得出的形狀．【詳解】在斜二測畫法中，平行于坐標軸的直線，平行關系不變，則在原圖形中，軸，軸，所以，，因此，是直角三角形，故選D．【點睛】本題考查斜二測直觀圖還原，解題時要注意直觀圖的還原原則，并注意各線段長度的變化，考查分析能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

特殊值法：由的對稱軸是，所以即可算出【詳解】由題意得是三角函數所以【點睛】本題主要考查了三角函數的性質，需要記憶三角函數的基本性質：單調性、對稱軸、周期、定義域、最值、對稱中心等。根據對稱性取特殊值法解決本題是關鍵。屬于中等題。12、15【解析】

由a比c長4，b比c長2，用c表示出a與b，可得出a為最大邊，即A為最大角，可得出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，同時利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入，并根據最大角的余弦值，得到關于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【詳解】根據題意得：a=c+4，b=c+2，則a為最長邊，∴A為最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c?3)(解得：c=3或c=?2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，則△ABC的面積S=12bcsinA=15故答案為：153【點睛】余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）a2=b2+13、【解析】

首先根據在正方形S1和S2內，S1＝441，S2＝440，分別求出兩個正方形的邊長，然后分別表示出AF、FC、AM、MC的長度，最后根據AF+FC＝AM+MC，列出關于α的三角函數等式，求出sin2α的值即可．【詳解】因為S1＝441，S2＝440，所以FD21，MQ＝MN，因為AC＝AF+FC2121，AC＝AM+MCMNcosαcosα，所以：21cosα，整理，可得：（sinαcosα+1）＝21（sinα+cosα），兩邊平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，解得sin2α或sin2α（舍去），故sin2α．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角函數的求值問題，考查了正方形、直角三角形的性質，屬于中檔題，解答此題的關鍵是分別表示出AF、FC、AM、MC的長度，最后根據AF+FC＝AM+MC，列出關于α的三角函數等式．14、【解析】

將配湊成，由此化簡的表達式，并利用基本不等式求得最小值.【詳解】由得，所以.當且僅當，即時等號成立.故填：.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.15、4【解析】

方程變為，設，解關于的二次方程可求得。【詳解】，則，即設，則，有或取得，，所以是第4項。【點睛】發現，原方程可通過換元，變為關于的一個二次方程。對于指數結構，，等，都可以通過換元變為二次形式研究。16、﹣1.【解析】

根據題意，由函數的奇偶性與對稱性分析可得，即函數是周期為的周期函數，據此可得，再由函數的解析式計算即可.【詳解】根據題意，是定義域為的偶函數，則，又由得圖象關于點對稱，則，所以，即函數是周期為的周期函數，所以，又當時，，則，所以.故答案為：.【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性的性質以及應用，注意分析函數的周期性，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)將化簡代入數據得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式計算，代入面積公式得到答案.【詳解】；(2)由，可得，由余弦定理可得，即有，當且僅當，取得等號．則面積為．即有時，的面積取得最大值．【點睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，面積公式，均值不等式，屬于常考題型.18、（1）km．（2）【解析】

(1)設此山高,再根據三角形中三角函數的關系以及正弦定理求解即可.(2)由題意可知,當點C到公路距離最小時,仰望山頂D的仰角達到最大,再計算到直線的距離即可.【詳解】解：（1）設此山高,則,在中,,,．根據正弦定理得,即,解得（km）．（2）由題意可知,當點C到公路距離最小時,仰望山頂D的仰角達到最大,所以過C作,垂足為E,連接DE．則,,,所以．【點睛】本題主要考查了解三角形在實際中的運用,需要根據題意找到對應的直角三角形中的關系,或利用正弦定理求解.屬于中檔題.19、（1）證明過程見解析；（2）【解析】試題分析：（1）只需證得即可。（2）由題意可求得的解析式，利用換元法轉換成，討論的單調性，可知其在上為單調減函數，得可解得的值。（1）證明：三點共線.（2），，令，其對稱軸方程為在上是減函數，。點睛：證明三點共線的方法有兩種：一、求出其中兩點所在直線方程，驗證第三點滿足直線方程即可；二、任取兩點構造兩個向量，證明兩向量共線即可。在考試中經常采用第二種方法，便于計算。證明四點共線一般采用第一種方法。20、（1）（2）【解析】試題分析：（1）將已知條件轉化為首項和公差表示，解方程組可求得基本量的值，從而確定通項公式；（2）首先化簡數列的通項公式，結合特點采用分組求和法求解試題解析：（1）∵數列是等差數列，是其前項和，.∴，解得，∴.（2）∵，考點：數列求通項公式及數列求和21、（1）（2）經過、、、四點的圓所過定點的坐標為、【解析】

(1)先算出直線方程，根據相切和過點，圓心在軸上聯立方程解得答案.(2)取線段的中點，經過、、、四點的圓是以線段為直徑的圓，設點的坐標為