解三角形范圍問題第1講：消角構造三角函數例1.（2024浙江卷）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解析：（1）由結合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（2）結合(1)的結論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.第2講.對邊對角模型對邊對角模型是解三角形中最經典的題型，在三角形中，倘如知道隨意一邊與該邊所對角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關范圍.例2.（2024年全國2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2），即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.小結1.結合余弦定理：變式可得：此公式在已知的狀況下，可得到和的等式，協作均值不等式，這樣就可實現周長或者面積的最值.第3講.正弦定理邊角轉化在正弦定理中：此時，我們并非確定須要對邊對角，事實上，只要知道隨意一邊和一角，即可結合內角和定理得到一組邊角定量關系，下面我通過例題予以分析.例2.（2024全國3卷）的內角對邊為，.（1）.求角的值；（2）.若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．解析：(1)依據題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，因為故或者，而依據題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是第4講.齊次邊型分式結構在這一部分中，我們常常會看到諸如：等結構，這種類型當然還可利用正弦定理轉化為純角結構，所以，我們只須要做的就是消元，把三個角消成一個角，或用均值不等式，或用一元函數處理.例3.（2024新高考1卷）記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．解析：（1）由已知條件得：所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，．2）由（1）知，則，，，由正弦定理當且僅當時等號成立，所以的最小值為．例4．在銳角中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．在銳角中，，因為，，,所以，，解得，所以，，而，所以，所以由正弦定理可知：，因為，所以，所以，即.故選：A.第5講.余弦定理求角的最值余弦定理的最大特色就是齊次分式結構，同時，在上的嚴格單調性保證了我們可以利用余弦函數的最值來找到角的最值.若，倘如再能找到這樣一個約束條件，代入余弦定理消掉，即可得到一個均值結構，利用均值不等式即可求得最值，下面通過例題予以分析.例5.已知中，角的對邊分別為.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．解：∵，∴，∴由正弦定理得：，即，，則，（當且僅當，即時取等號），的最小值為.∵，∴，∴的最大值為.例6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（

）A． B． C． D．解析：因為，所以，進而可得因為，當且僅當時等號成立，所以又因為，所以角A的最大值為第6講.秦九韶公式秦九韶公式求范圍是近年來解三角形?？荚囶}中熱門考察方向之一，相關內容是人教版新教材的閱讀內容，將來完全有可能出現在高考試題中.例7.秦九韶是我國南宋數學家，其著作《數書九章》中的大衍求一術、三斜求積術和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻．秦九韶把已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，，是的內角，，的對邊．已知中，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．解析：由得，，即，所以，，所以，即時，．故選：A．例8.已知，，是的內角，，的對邊．已知中，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．解：中，因為，所以，則，即，又，則，即，則，所以，當時，面積取得最大值為，故選：A第7講.爪型三角形與等面積方法如圖，設為的平分線，則設，那么有等面積可得：，進一步可得：，于是可以看到，倘如我們知道角與角平分線的長度，則可得到的轉化關系，協作均值不等式就可得到一些范圍問題.例9.（2024成都一診）在中，已知角，角的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2.則AB+2AC的最小值為___________.解析：，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡得，，.當且僅當，時等號成立.故答案為：第8講.斯特瓦爾特定理與均值不等式基本結論：如圖：當設為的邊中點時，.注：該結論還可由證得.更一般的情形即斯特瓦爾特定理，此處不再贅述，我們通過例題展示例10.在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿意.（1）求角的大小；（2）若為的中點，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡得，.又，因此，.（2）由，又為的中點，則，等式兩邊平方得，所以，則，當且僅當時取等號，因此，的面積最大值為.例11．內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角的大?。唬?）是邊上一點，且，，求面積的最大值.解析：（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，因為，所以，則，又，所以，因為，所以；（2）依據題意可得，所以，即，所以，當且僅當等號成立所以，面積的最大值為.第9講.恒等變換型目標函數這類最值問題的特點是利用恒等變換化簡函數，它們的目標函數往往不是上面的類型，而且有點“丑”，你須要做的就是耐性美化目標函數，直到找到可以入手的結構！例12．已知在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，且滿意，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由，知，，，，因為、，則，，因為正弦函數在上單調遞增，所以，，則，因為為銳角三角形，則，可得，則，，故選：A.例13．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，設，∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，令，則，∴函數在上單調遞增，故，∴.故選：C．第10講：構造軌跡找范圍常見的軌跡有阿波羅尼斯圓，焦點三角形等，這些問題，實質須要找到背后那個隱藏的軌跡.定義：已知平面上兩點，則全部滿意的動點的軌跡是一個以定比為內分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓.若,則圓的