/江蘇省揚州市邗江區(qū)2023-2024學年高二數(shù)學上學期期中檢測試卷全卷滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過點且傾斜角為的直線的方程是（）A. B.C. D.2.已知點在直線上，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.43.如果方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.或 D.且4.已知是拋物線：的焦點，點在上且，則的坐標為（）A. B. C. D.5.過直線上的點P作圓的兩條切線，，當直線，關(guān)于直線對稱時，兩切點間的距離為（）A.1 B.2 C. D.6.為落實“二十大”不斷實現(xiàn)人民對美好生活的向往，某小區(qū)在園區(qū)中心建立一座景觀噴泉．如圖所示，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個方向上呈拋物線狀．現(xiàn)要求水流最高點B離地面4m，點B到管柱OA所在直線的距離為2m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，6m為半徑的圓內(nèi)，則管柱OA的高度為（）A.2m B.3m C.2.5m D.1.5m7.瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點，，，若直線l：與的歐拉線平行，則實數(shù)a的值為（）A.－2 B.－1 C.－1或3 D.38.已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.（多選）過定點（2，3）且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線為（）A. B.C D.10.已知，為兩個不相等非零實數(shù)，則方程，與所表示的曲線不可能是（）A. B. C. D.11.已知經(jīng)過點的圓C的圓心坐標為(t為整數(shù))，且與直線l：相切，直線m：與圓C相交于A、B兩點，下列說法正確的是（）A.圓C的標準方程為B.若，則實數(shù)a的值為C.若，則直線m的方程為或D.弦AB中點M的軌跡方程為12.已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線斜率為，傾斜角為且，則的取值范圍是_____.14.已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，則它的離心率為________．15.由曲線圍成的圖形的面積為______.16.動點分別與兩定點，連線斜率的乘積為，設(shè)點的軌跡為曲線，已知，，則的取值范圍為____________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的三個頂點是，，.求：（1）邊上的中線所在直線方程；（2）邊上的高所在直線方程.18.求適合下列條件圓錐曲線的標準方程：（1）求橢圓的標準方程：以點，為焦點，經(jīng)過點.（2）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，求拋物線的標準方程.（3）求雙曲線的標準方程：經(jīng)過點，.19.已知拋物線C：的焦點為F，過F的直線l與拋物線相交于A，B兩點，（1）當時，求直線l的方程；（2）求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切．20.已知圓，圓（1）若圓、相切，求實數(shù)的值；（2）若圓與直線相交于、兩點，且，求的值.21.已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為1，且點在該雙曲線上.直線交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為（1）求該雙曲線方程；（2）求的斜率；22.已知橢圓的長軸長為4，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線與橢圓相交于兩點，為原點，求面積的最大值.

高二數(shù)學答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過點且傾斜角為的直線的方程是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程；【詳解】由傾斜角為知，直線的斜率，因此，其直線方程為，即故選：B2.已知點在直線上，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】就是到原點距離，只需求出原點到直線的距離即可.【詳解】就是到原點距離，到原點距離的最小值為則的最小值為2，故選：B3.如果方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.或 D.且【正確答案】D【分析】根據(jù)焦點在軸上的橢圓方程滿足的條件建立不等關(guān)系，進而求解結(jié)論．【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得且.故選：D.4.已知是拋物線：的焦點，點在上且，則的坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由結(jié)合拋物線的定義可求出的值，進而可求的坐標.【詳解】因為是拋物線：的焦點，所以，又，由拋物線的定義可知，解得，所以.故選：A5.過直線上的點P作圓的兩條切線，，當直線，關(guān)于直線對稱時，兩切點間的距離為（）A.1 B.2 C. D.【正確答案】D【分析】由兩條切線關(guān)于直線對稱，可確定與直線互相垂直，即可求得得長，再結(jié)合直角三角函數(shù)和垂徑定理，即可求解.【詳解】依題意，設(shè)兩切點分別為、，并連接交于點，作出示意圖：當直線，關(guān)于直線對稱時，則兩條直線，與直線的夾角相等，且與直線互相垂直，的長為圓心到直線的距離，即，又圓的半徑，在中，，故，結(jié)合垂徑定理得，即兩切點間的距離為，故選：D.6.為落實“二十大”不斷實現(xiàn)人民對美好生活的向往，某小區(qū)在園區(qū)中心建立一座景觀噴泉．如圖所示，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個方向上呈拋物線狀．現(xiàn)要求水流最高點B離地面4m，點B到管柱OA所在直線的距離為2m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，6m為半徑的圓內(nèi)，則管柱OA的高度為（）A.2m B.3m C.2.5m D.1.5m【正確答案】B【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線方程為，求出點的坐標，代入拋物線方程，即可求得，再將點代入拋物線方程中，求出，即可求得的高度．【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系，由題意知，水流的軌跡為一開口向下的拋物線，設(shè)拋物線的方程為，因為點，所以，解得，所以拋物線方程為，點在拋物線上，所以，解得，所以，所以管柱的高度為．故選：B．7.瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點，，，若直線l：與的歐拉線平行，則實數(shù)a的值為（）A.－2 B.－1 C.－1或3 D.3【正確答案】B【分析】根據(jù)三角形頂點坐標得出重心與外心，求出三角形歐拉線，根據(jù)直線平行得解.【詳解】由的頂點，，知，重心為，即，又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點，即，所以可得的歐拉線方程，即，因為與平行，所以，解得，故選：B8.已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由點坐標求得點坐標，然后代入橢圓的方程，化簡求得橢圓的離心率.【詳解】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點坐標代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.（多選）過定點（2，3）且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線為（）A. B.C. D.【正確答案】ABC【分析】設(shè)所求的直線方程為，求出橫截距，縱截距，再由過點的直線在兩坐標軸上截距的絕對值相等，求出，即得解.【詳解】由題意，直線不與坐標軸垂直，設(shè)所求的直線方程為，當時，得橫截距，當時，得縱截距，因為過點的直線在兩坐標軸上截距的絕對值相等，所以，所以或，所以，或或，所以直線的方程為或或.故選：ABC.10.已知，為兩個不相等非零實數(shù)，則方程，與所表示的曲線不可能是（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】先變形得到，對四個選項一一分析，得到答案.【詳解】變形得到，A選項，雙曲線交點在軸上，故，此時應(yīng)該經(jīng)過第一，二，四象限，A不可能；B選項，橢圓焦點在軸上，故，此時經(jīng)過第一，二，三象限，B不可能；C選項，雙曲線交點在軸上，故，此時應(yīng)該經(jīng)過第一，三，四象限，C可能；D選項，橢圓焦點在軸上，故，此時經(jīng)過第一，二，三象限，D不可能；故選：ABD11.已知經(jīng)過點的圓C的圓心坐標為(t為整數(shù))，且與直線l：相切，直線m：與圓C相交于A、B兩點，下列說法正確的是（）A.圓C的標準方程為B.若，則實數(shù)a的值為C.若，則直線m的方程為或D.弦AB的中點M的軌跡方程為【正確答案】BC【分析】對于A，設(shè)圓C的半徑為r，由題意得出圓C的方程，即可根據(jù)已知點是圓C上的點，且圓C與直線l：相切，列方程組解出t，r的值，即可得出圓C的標準方程；對于B，根據(jù)已知與得出線段AB為圓C的直徑，即可根據(jù)直線m與圓C相交于A、B兩點，得出圓心C在直線m上，代入求解即可得出a的值；對于C，利用點到直線距離公式得出圓心C到直線m的距離d的式子，根據(jù)弦長結(jié)合勾股定理得出d的值，即可列式得出a，即可得出直線m的方程；對于D，轉(zhuǎn)化直線m的方程得出直線m過定點，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，即可根據(jù)圓的性質(zhì)得出點M的軌跡是以線段CN為直徑的圓，即可得出該圓的方程，注意此方程是有范圍的，根據(jù)兩圓的交點坐標得出范圍，即可判斷.【詳解】對于A，設(shè)圓C的半徑為r，由題意可得圓C的方程為(t為整數(shù))，根據(jù)點是圓C上的點，且圓C與直線l：相切，得，解得，或（舍去），則圓C的標準方程為，故A錯誤；對于B，由選項A知圓C的標準方程為，圓心，點在圓C上，且，線段AB為圓C的直徑，直線m：與圓C相交于A、B兩點，圓心在直線m上，，解得，故B正確；對于C，由選項A知圓C的半徑為2，圓心，則圓心C到直線m的距離，，即，解得，，整理得，解得或，則直線m的方程為或，故C正確；對于D，直線m的方程可化為，過定點，由圓的性質(zhì)可得，點M的軌跡是以線段CN為直徑的圓，則此圓圓心為線段CN的中點，其坐標為，半徑為，則該圓的方程為，由，得兩圓的交點坐標為與，故弦AB的中點M的軌跡方程為，，故D錯誤；故選：BC.12.已知O為坐標原點，過拋物線焦點F直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.【正確答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線的斜率為，傾斜角為且，則的取值范圍是_____.【正確答案】【分析】直接利用斜率和傾斜角的關(guān)系來得答案.【詳解】，且，或，即的取值范圍是.故答案為.14.已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，則它的離心率為________．【正確答案】2【詳解】由題意，得e＝＝＝＝2.15.由曲線圍成的圖形的面積為______.【正確答案】【分析】曲線圍成的圖形關(guān)于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可，結(jié)合圓的方程運算求解.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可，當，時，曲線可化為：，表示的圖形為以為圓心，半徑為的一個半圓，則第一象限圍成的面積為，故曲線圍成的圖形的面積為.故答案為.16.動點分別與兩定點，連線的斜率的乘積為，設(shè)點的軌跡為曲線，已知，，則的取值范圍為____________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知可求得點的軌跡方程為（），即橢圓.根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化為求的最值，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】設(shè)，，則，，由已知可得，，即，整理可得，.所以，點的軌跡方程為（）.所以，，，，所以.則為橢圓的左焦點，設(shè)右焦點為，根據(jù)橢圓的定義有，所以，所以，.①當時，根據(jù)三邊關(guān)系可知有，當且僅當三點共線時，等號成立，即位于圖中點時，有最大值為，所以，；②當時，根據(jù)三邊關(guān)系可知有，所以，當且僅當三點共線時，等號成立，即位于圖中點時，有最小值為，所以，.綜上所述，.故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的三個頂點是，，.求：（1）邊上的中線所在直線方程；（2）邊上的高所在直線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出點的坐標為，由兩點式斜率公式求出的斜率，代入點斜式即可求解.（2）由兩點式斜率公式求出斜率，利用垂直關(guān)系得的斜率，代入點斜式即可求解.【小問1詳解】由題知的中點，所以直線的斜率，則邊上的中線所在直線的方程為，化簡得.【小問2詳解】由題意得直線AC的斜率，且，所以.則邊上的高所在直線的方程為，化簡得.18.求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程：（1）求橢圓的標準方程：以點，為焦點，經(jīng)過點.（2）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，求拋物線的標準方程.（3）求雙曲線的標準方程：經(jīng)過點，.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可求，再求出后可求橢圓的標準方程.（2）根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)，選擇合適的條件進行求解即可；（3）設(shè)所求方程為，代入點求解.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標準方程為，焦距為.由題意有，，，所以，，故橢圓的標準方程為.小問2詳解】由拋物線的定義可得，∴，解得，故拋物線的標準方程為.【小問3詳解】設(shè)所求雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為.19.已知拋物線C：的焦點為F，過F的直線l與拋物線相交于A，B兩點，（1）當時，求直線l的方程；（2）求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切．【正確答案】（1）或（2）證明見解析【分析】（1）解法1：分l斜率不存在和存在兩種情況討論，根據(jù)即可求出l的方程；解法2：根據(jù)題意可知l斜率存在時，斜率不為0，由此可設(shè)，根據(jù)即可求出l的方程；（2）幾何法：取AB的中點M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，過M作MN⊥準線于N，過A作⊥準線于，過B作⊥準線于，根據(jù)梯形的性質(zhì)即可證明；代數(shù)法：設(shè)，求出和中點M到準線的距離d，根據(jù)d和關(guān)系即可證明．【小問1詳解】解法1：由題意，可得，，當l斜率不存在時，l為，由得，故，與題意不符．當直線l斜率存在時，設(shè)，∴，設(shè)則，根據(jù)拋物線的定義可得，，則，解得．∴直線l的方程為或．解法2：由題意，可得，∵直線l與拋物線相交于A，B，∴l(xiāng)斜率存在時，斜率不為0，故可設(shè)，則，設(shè)則∴，解得．則直線l的方程為或．【小問2詳解】幾何法：取AB的中點M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，設(shè)，過M作MN⊥準線a于N，過A作⊥準線a于，過B作⊥準線a于，根據(jù)梯形的性質(zhì)和拋物線的定義可得，即得證．代數(shù)法：設(shè)，弦AB的中點為M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，其橫坐標為，∵直線l與拋物線相交于A，B，∴l(xiāng)斜率存在時，斜率不為0，故可設(shè)，則，則，則M到準線的距離為．又，故，即以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切．20.已知圓，圓（1）若圓、相切，求實數(shù)的值；（2）若圓與直線相交于、兩點，且，求的值.【正確答案】（1）或；（2）或【分析】（1）求出圓和圓的圓心和半徑，求出圓心距，分外切和內(nèi)切兩種情況，得到方程，求出m的取值；（2）求出圓心距，利用垂徑定理得到方程，求出的值.【小問1詳解】已知圓變形為，圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑為，圓心距，當兩圓外切時，有，即，解得，當兩圓內(nèi)切時，有，即，解得，故m的取值為或【小問2詳解】因為圓與直線相交于、N兩點，且，而圓心到直線的距離，有，即，解得：或.21.已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為1，且點在該雙曲線上.直線交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為（1）求該雙曲線方程；（2）求的斜率；【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知列出關(guān)系式，求出，然后將點的坐標代入方程，即可得出答案；（2）解法一：設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)韋達定理得出坐標之間的關(guān)系.由已知斜率之和為0，列出方程，化簡得出或.檢驗即可得出答案；解法二：設(shè)直線PA方程：，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)韋達定理得出點的坐標.同理得出點的坐標，進而代入斜率公式，化簡即可得出答案.【小問1詳解】雙曲線的漸近線是，即，根據(jù)對稱性，不妨取右焦點