Mathematica應用技術成績構成：大作業(yè)100分*80%+平時成績20分大作業(yè)內容及要求：10個編程設計題，每題10分（課內4小時，第16周-周四-17:00–21:00）平時成績要求：平時成績：考勤10分（按缺勤扣分制-2分/次）試驗報告成績：10分，5個基礎性實驗報告，2分/個。考核方式本課程面向軟件工程和物聯(lián)網(wǎng)工程的大學二年級和三年級學生。Wolfram語言是面向科學計算和程序設計的高級語言，在全球范圍的頂級院校最受歡迎新的科研與教學語言之一。對于大學二年級和三年級的學生，在其學習了數(shù)學理論和C語言以及眾多科學工具之后，面臨著算法知識的快速實現(xiàn)和原型技術等問題。為了解決這一問題，并進一步提高學生們的科學思維和高級編程技術，將這種算法實現(xiàn)用于大學生們的技術創(chuàng)新，開設了Mathematica應用技術課程。該課程內容涉及大學期間的數(shù)學理論課的算法實現(xiàn)和針對具體問題的程序設計方法，在培養(yǎng)大學生的創(chuàng)新思維方面具有特別重要的意義。課程目標與學習必要性安裝Mathematica

14.0軟件(英文版）重點：列表及其應用、算法模塊設計方法等難點：編譯技術、WolframWorkbench聯(lián)調方法等課程預備工作、重點與難點第1章入門第2章MMA列表第3章MMA科技繪圖第4章MMA微積分第5章MMA矩陣計算第6章MMA概率計算第7章MMA程序設計+補充6個專題的講義課程內容張勇,等.Mathematica程序設計導論.清華大學出版社,2022.S.Wolfram.Wolfram語言入門.科學出版社,2017.C.Hastings,etal.WolframMathematica實用編程指南.科學出版社,2018.S.Wolfram.TheMathematicaBook(5thed).WolframMedia,2003.E.Don.Mathematica(2nded).2000.教材與參考書Mathematica應用技術第一章Mathematica入門1.1Mathematica工作界面1.2Mathematica數(shù)值計算1.3Mathematica符號計算Mathematica軟件與MATLAB和Maple并稱為現(xiàn)今世界的三大著名數(shù)學軟件，并且Wolfram技術遠遠領先于后二者。MATLAB軟件的編程語言與C語言相似度高，MATLAB應用門檻低，是MATLAB廣泛應用于工程界的原因之一；不同于MATLAB，Mathematica軟件需要用戶深入學習一段時間，才能掌握和熟練應用Mathematica軟件與Wolfram語言。1.4Mathematica字符串1.1Mathematica工作界面從官網(wǎng)上下載Mathematica軟件，并獲取軟件使用授權。截止2020年9月Mathematica軟件的最新版本號為12.1。Mathematica軟件支持在線安裝和下載安裝包離線安裝。1.1Mathematica工作界面“RECENTFILES”顯示最近打開的筆記本，右下角的“Showatstartup”默認為選中態(tài)，表示每次啟動Mathematica均顯示Mathematica啟動界面。在圖1-1中，用鼠標左鍵單擊“NewDocument”，進入圖1-2所示界面。1.1Mathematica工作界面在圖1-2中，選中菜單“Edit|Preference…”（表示菜單“Edit”下的子菜單項“Preference…”），將彈出如圖1-3所示的對話框。1.1Mathematica工作界面在圖1-3中，“LanguageSettings”（語言設置）中，選擇“English”，表示使用英文作為工作環(huán)境和界面語言（使用英文的主要原因在于有些Wolfram指令僅支持英文環(huán)境）。此時，選中“Showcodecaptions”復選框，并在“Codecaptionlanguage”中選擇“Chinese,Simplified–簡體中文”，表示在筆記本（Notebook）中將使用中文顯示命令的注釋。1.1Mathematica工作界面在圖1-3中，“LanguageSettings”（語言設置）中，選擇“English”，表示使用英文作為工作環(huán)境和界面語言（使用英文的主要原因在于有些Wolfram指令僅支持英文環(huán)境）。此時，選中“Showcodecaptions”復選框，并在“Codecaptionlanguage”中選擇“Chinese,Simplified–簡體中文”，表示在筆記本（Notebook）中將使用中文顯示命令的注釋。1.1Mathematica工作界面在圖1-3中，“LanguageSettings”（語言設置）中，選擇“English”，表示使用英文作為工作環(huán)境和界面語言（使用英文的主要原因在于有些Wolfram指令僅支持英文環(huán)境）。此時，選中“Showcodecaptions”復選框，并在“Codecaptionlanguage”中選擇“Chinese,Simplified–簡體中文”，表示在筆記本（Notebook）中將使用中文顯示命令的注釋。

Mathematica可以打開多個Notebook，在Notebook中使用的變量均為全局變量。也就是說，在任一個Notebook中定義的變量，可以直接被其他所有處于打開狀態(tài)的Notebook使用。這是Mathematica初學者在計算過程中出錯的主要原因。為了避免新定義的符號與已有的全局變量同名而導致計算出錯，可在新的計算開始前，調用Clear或Remove函數(shù)清除原來的全局變量。例如，清除全局變量a，可以調用“Clear[a]”清除全局變量a的值，或調用“Remove[a]”清除a的值和定義。習慣上，使用以下語句清除全部全局變量的值：Clear["`*"]或調用以下語句清除全部全局變量的定義和值：Remove["`*"]1.1Mathematica工作界面

Clear和Remove語句的典型用法實例如圖1-4所示1.1Mathematica工作界面在圖1-5中，展示了Notebook的其他輸入形式，例如，Notebook中可以輸入公式，如“In[12]”所示。可以借助于菜單“Palettes”中的子菜單項“BasicMathAssistant”（基礎數(shù)學助手）或“ClassroomAssistant”（課堂助手）對應的輸入助手實現(xiàn)，也可以使用鍵盤輸入。借助于“基礎數(shù)學助手”的輸入方式類似于普通計算器輸入，1.1Mathematica工作界面建議初學者使用“基礎數(shù)學助手”幫助實現(xiàn)各種符號和公式的輸入，在圖1-5中，鼠標單擊菜單“Palettes|BasicMathAssistant”彈出基礎數(shù)學助手對話框，如圖1-6所示，基礎數(shù)學助手包括基本符號和高級符號以及常用的計算表達式（含常用微積分運算等），此外，非常有價值的是當鼠標在基礎數(shù)學助手的某個符號上停留時，將彈出該符號的快捷鍵提示。1.2Mathematica數(shù)值計算在Notebook中，變量不用定義，直接使用，變量名可以為字母開頭的字符串（可以命名為希臘字母，例如，；但不能以數(shù)字開頭）。由于下劃線在Mathematica中具有特別的含義，所以，建議一般的變量名中不使用下劃數(shù)。此外，由于Mathematica的內置函數(shù)均以大寫英文字母開頭，為了避免與內置函數(shù)名混淆，因此，建議自定義變量名和自定義函數(shù)名均使用小字英文字母開頭的字符串。特別需要注意的是，在任一個Notebook中定義的變量，均為全局變量，可以直接應用于其他的Notebook中，即在所有打開的Notebook中均可調用。因此，在使用Notebook時，應養(yǎng)成兩個好的習慣：其一，在不需定義變量時，盡可能不定義變量，在輸入提示符“In[n]:=”中直接輸入表達式，在其相應的輸出“Out[n]=”中查看計算結果，這里的正整數(shù)n表示Mathematica內核計算表達式的順序，從1開始計數(shù)，每計算一次，n自增1。在不定義變量時，引用計算結果，可使用“Out[n]”或“%n”引用第n次計算的結果“Out[n]”；其二，在輸入提示符“In[n]:=”中輸入了變量，即輸入形式為“變量=表達式”的情況，頻繁使用這種輸入情況將產生大量的全局變量，此時，在每次開展新的計算前，應調用“Clear["`*"]”清除已有全部變量的值。（1）加法示例下面基于表1-2中的基本算術函數(shù)，討論各個算術操作。在Notebook中輸入：x=y=2;z=3;u=1/2;v=1/5;Mathematica支持連續(xù)賦值操作（也支持連續(xù)不等式，例如0<=a<=1）。上述代碼中，共四條語句，依次將x和y賦值為2，將z賦值為3，將u賦值為1/2，將v賦值為1/5。每條語句后面均有分號“；”，表示該語句執(zhí)行后的結果不顯示。由于這四條語句均以分號結尾，故該四條語句均沒有對應的“Out[n]”輸出部分。現(xiàn)在，對這些變量在Notebook中進行一些典型的算術運算：在Notebook中輸入：“x+y+z”，或輸入：“Plus[x,y,z]”，均表示計算x、y和z的和，得到結果7。Plus函數(shù)支持多個參數(shù)輸入，每個參數(shù)必須為數(shù)值形式（不支持列表形式），Plus函數(shù)返回這些數(shù)值的代數(shù)和。（2）減法示例與Plus不同的是，Subtract只能有2個參數(shù)，依次為被減數(shù)和減數(shù)。在Notebook中輸入：“x-z”，或輸入“Subtract[x,z]”，均表示計算x減去z的差值。可以輸入：“x-z-u-v”，表面上看“-”支持多個操作數(shù)，實際上，Mathematica內部計算“x-z-u-v”的方法為“Plus[Times[-1,u],Times[-1,v],x,Times[-1,z]]”（通過“Clear["`*"];FullForm[x-z-u-v]”函數(shù)查看），即使用加法運算和乘法運算實現(xiàn)該表達式，最后，得到結果為-17/10。（3）乘法示例在Notebook中輸入：“xzuv”（每兩個變量的中間有一個或多個空格，此時的這些空格表示相乘關系），或輸入：“Times[x,z,u,v]”，表示計算x、z、u和v的乘積，結果為3/5。由于Mathematica中，一個或連續(xù)的多個空格表示相乘關系。當輸入表達式2x+5y時，可以直接輸入“2x+5y”，由于Mathematica中變量名不能以數(shù)字開頭，因此，輸入的“2x+5y”被自動識別為“2x+5y”；但是，如果輸入“x乘以y”，不能輸入“xy”，這時的“xy”將被識別為一個變量名，而需要輸入“xy”（中間有一個或多個連續(xù)的空格），或輸入“x*y”，表示x乘以y。（4）除法示例Divide只能有2個參數(shù)，即被除數(shù)和除數(shù)。在Notebook中輸入：Divide[y,u]或輸入：y/u，均表示y除以u，結果為4。“/”可以實現(xiàn)連除，例如：y/u/z，其在Mathematica中的實現(xiàn)方式為Times[Power[u,-1],y,Power[z,-1]]（使用函數(shù)“Clear["`*"];FullForm[y/u/z]”查看），得到商為4/3。（5）乘方與開方示例借助于Power函數(shù)或“^”可以實現(xiàn)乘方和開方運算，如圖1-7所示。（5）乘方與開方示例

（6）開平方示例

（7）求相反數(shù)示例

1.2.2關系與邏輯表達式在Mathematica中，關系表達式和邏輯表達式的返回結果為邏輯值，邏輯值只有兩種：邏輯真為True，邏輯假為False。關系運算符主要有大于（>）、大于等于（>=）、小于（<）、小于等于（<=）、等于（==）和不等于（！=）等，這些關系連接符可以連用。Mathematica內置了這些關系運算符的函數(shù)，例如，Greater、GreaterEqual、Less、LessEqual、Equal和Unequal等，依次表示大于、大于等于、小于、小于等于、等于和不等于等關系。表1-3關系表達式及其典型用法（設x=7、y=5、z=3）1.2Mathematica數(shù)值計算序號關系表達式典型示例含義與結果1x>y7>3True2x>=y7>=3True3x<y7<5False4x<=y7<=5False5x==y7==5False6x!=y7!=5False7x==y==z7==5==3False（x、y與z都相等時為真）8x!=y!=x7!=5!=3True（x、y與z都不等時為真）9x>y>z7>5>3True10x<y<z7<5<3False11y<x>z5<7>3True1.2.3數(shù)值函數(shù)1.2Mathematica數(shù)值計算本節(jié)將介紹Mathematica中常用的與數(shù)值處理相關的函數(shù)，統(tǒng)稱為數(shù)值函數(shù)，包括浮點數(shù)的取整、實數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分分離、復數(shù)的實部與虛部分離、復數(shù)的各部分分解和數(shù)制轉換等。在表1-5中列舉了最常用的一些數(shù)值函數(shù)，并給出了它們的典型用法實例。表1-5常用數(shù)值函數(shù)及其典型用法1.2.3數(shù)值函數(shù)表1-5常用數(shù)值函數(shù)及其典型用法1.2.3數(shù)值函數(shù)表1-5常用數(shù)值函數(shù)及其典型用法1.2.3數(shù)值函數(shù)表1-5常用數(shù)值函數(shù)及其典型用法表1-5中的數(shù)制轉換函數(shù)特別有用，例如，將一個整數(shù)a轉化為8位二進制數(shù)，可以用“IntegerDigits[a,2,8]”，這在數(shù)字圖像處理中尤為常用。1.2.4常用數(shù)學函數(shù)1.2Mathematica數(shù)值計算Mathematica中集成了近5000個常用函數(shù)，這些函數(shù)被應用于不同的科學領域中。本節(jié)將其中常用的一些初等數(shù)學函數(shù)及其用法列于表1-6中，這些函數(shù)包括取模（計算余數(shù)）函數(shù)、計算商函數(shù)、平方根函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、階乘函數(shù)、因數(shù)分解函數(shù)、素數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、Fibonacci數(shù)函數(shù)和數(shù)的性質判定函數(shù)等。表1-6常用數(shù)學函數(shù)及其用法1.2.4常用數(shù)學函數(shù)表1-6常用數(shù)學函數(shù)及其用法1.2.4常用數(shù)學函數(shù)表1-6常用數(shù)學函數(shù)及其用法1.2.4常用數(shù)學函數(shù)表1-6常用數(shù)學函數(shù)及其用法Mathematica數(shù)學計算功能異常強大，現(xiàn)有的各個數(shù)學分支中的運算，均可以Mathematica中找到相應的計算函數(shù)，有些數(shù)學函數(shù)已內置于安裝包中，隨Mathematica安裝程序自動裝入個人計算機中，可以直接在Notebook中調用；而有些數(shù)學函數(shù)以“軟件包”的形式保存在Wolfram線上資源庫中，使用時需要在線動態(tài)裝入，例如，函數(shù)KSubsets用于求得某個集合中特定長度的子集合，該函數(shù)位于包“Combinatorica”中，在使用KSubsets前，需要先執(zhí)行“<<Combinatorica`”或者“Needs["Combinatorica`"]”將組合函數(shù)軟件包下載到本地，并裝入當前工作環(huán)境中，然后，執(zhí)行如下輸入：1.2.4常用數(shù)學函數(shù)表1-6常用數(shù)學函數(shù)及其用法s={1,2,3,4,5};KSubsets[s,3]將得到輸出結果“{{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}}”，即返回了集合s的所有長度為3的子集。1.2.5解方程1.2Mathematica數(shù)值計算Mathematica是解方程的利器，不但可以求解各類代數(shù)方程（整式、分式或根式方程），還可以求解各種超越方程（含對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三解函數(shù)的方程）。在Notebook中，方程用含有等號“==”的表達式表示，常用的解方程的函數(shù)有Solve、Reduce和FindRoot等，其中，Reduce函數(shù)還可以求解各類不等式（由關系運算符連接的表達式），下面詳細介紹各個函數(shù)的應用方法。Solve函數(shù)Reduce函數(shù)FindRoot函數(shù)一：Solve函數(shù)Solve函數(shù)的語法有以下兩種：Solve[表達式，變量或變量列表]Solve[表達式，變量或變量列表，定義域]這里的“表達式”為方程，“變量或變量列表”指定方程中的未知數(shù)，沒有在“變量列表”中的符號視為方程的常量或參量，“定義域”可設為Reals、Integers或Complexes，依次表示在實數(shù)域、整數(shù)域或復數(shù)域上求解。

二：Reduce函數(shù)類似于Solve函數(shù)，Reduce函數(shù)也有兩種形式：Reduce[表達式，變量或變量列表]Reduce[表達式，變量或變量列表，定義域]這里的“表達式”可以為等式（即方程），也可以為不等式，“變量或變量列表”為求解的未知數(shù)，“定義域”的含義與在Solve函數(shù)中的含義相同，用于限定未知數(shù)的取值范圍。三：FindRoot函數(shù)FindRoot函數(shù)使用數(shù)值方法求解方程的近似解，典型應用語法為：FindRoot[表達式，{x,x0}]表示從x0開始迭代，直到表達式的值為0，返回表達式等于0的一個數(shù)值解FindRoot[等式，{x,x0}]表示從x0開始迭代，直到等式（或方程）成立，返回該等式的一個數(shù)值解借助于FindRoot函數(shù)求解方程的根時，需要先估計一個根的近似值x0。例如，借助FindRoot求解方程x2-5=ex-3x2。一般地，先做圖，然后，根據(jù)圖形估計“交點”的橫坐標，最后，用這些橫坐標依次作為x0的值調用FindRoot求解，如圖1-11所示。在圖1-11中，“In[70]”調用Plot函數(shù)繪制了函數(shù)y=x2-5和函數(shù)y=ex-3x2的圖像（Plot函數(shù)的詳細用法請參考第3.1.1節(jié)），由于兩個圖像有三個交點，故方程x2-5=ex-3x2有三個解；然后，根據(jù)圖像估計三個“交點”的位置，這里的估計值分別為-1.2、1.8和4，在“In[73]”、“In[74]”和“In[75]”中使用FindRoot函數(shù)進行求解，得到三個解的近似值，如“Out[73]”、“Out[74]”和“Out[75]”所示。事實上，對于次數(shù)高于5次的多項式和絕大多數(shù)的工程問題，都需要借助于FindRoot函數(shù)進行近似求解。1.3Mathematica符號計算1.3.1多項式運算符號計算是Mathematica的特色功能，表達式中的符號和常量的運算規(guī)律類似，符號還可以作為各種函數(shù)的參數(shù)。這里重點介紹含有符號的代數(shù)式和三角函數(shù)式的常用處理函數(shù)，其中，代數(shù)式分為有理式和無理式，有理式包括整式和分式，整式又分為單項式和多項式。下面首先介紹含有符號的多項式計算，然后介紹含有符號的代數(shù)式運算和三角函數(shù)式變換。多項式是數(shù)學理論研究最完備的分支之一，多項式的常見處理包括多項式展開、因式分解、合并同類項、取多項式系數(shù)、最大公因式和最小公倍式等。下面依次介紹Mathematica實現(xiàn)這些多項式處理的函數(shù)及其用法。（1）多項式展開多項式展開是指將多項式展開為單項式的和的形式，這些單項式中最高的次數(shù)為該多項式的次數(shù)，單項式的個數(shù)為多項式的項數(shù)。多項式展開借助于函數(shù)Expand實現(xiàn)，其常用語法為Expand[表達式]（2）因式分解化簡多項式最常用的操作為因式分解，一般情況下，高于5次的多項式使用手工因式分解是很困難的。但是，Mathematica可以對任意高次數(shù)的多項式進行因式分解（3）合并同類項多項式化簡的基本方法是合并同類項，借助于函數(shù)Collect實現(xiàn)，其典型應用的語法為Collect[多項式,{x,y,…}]，即按x、y等，將其相同冪的項（即同類項）的系數(shù)合并（4）多項式系數(shù)

可以讀取多項式中任一單項式的系數(shù)。在Mathematica中，借助于多項式系數(shù)函數(shù)Coefficient[多項式，變量的冪]可以給出相應單項式的系數(shù)，而函數(shù)CoefficientList[多項式，變量]可以給出多項式的系數(shù)列表，從0次冪開始，直到最高次冪，中間如果某些次冪缺失，則其系數(shù)填充為0。（5）最大公因式和最小公倍式

計算幾個數(shù)值的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的函數(shù)為GCD和LCM，而計算幾個多項式的最大公因式和最小公倍式的函數(shù)為PolynomialGCD和PolynomialLCM，這兩個函數(shù)的參數(shù)相同，為[多項式1,多項式2,…]或者[多項式1,多項式2,…,Modulus->p]，后者為基于模素數(shù)p的計算。1.3Mathematica符號計算1.3.2代數(shù)式運算Together[表達式]Cancel[表達式]Apart[表達式]或Apart[表達式，變量]含有符號的多項式的運算滿足常規(guī)多項式化簡運算規(guī)律，主要是合并同類項和因式分解。本節(jié)的代數(shù)式運算偏重于介紹分式運算，將重點介紹分式的通分、約分和部分分式展開，對應的函數(shù)依次為Together、Cancel和Apart。這三個函數(shù)的語法如下：在“Apart[表達式，變量]”中，除“變量”之外的符號量視為常量。通分、約分和部分分式展開的典型應用實例如圖1-18所示。1.3.2代數(shù)式運算在圖1-18中，“In[132]”輸入分式p1；“In[134]”輸入分式p2；“In[138]”調用函數(shù)Together將分式p1和p2的和進行通分，結果保存在p3中，如“Out[138]”所示；“In[139]”調用函數(shù)Cancel對分式p2進行約分，結果如“Out[139]”所示。函數(shù)Apart是函數(shù)Together的逆運算，在“In[140]”中調用Apart函數(shù)將多項式p3分解為部分分式和的形式。部分分式分解在基于分式的積分運算中廣泛使用。1.3Mathematica符號計算1.3.3三角函數(shù)式變換三角函數(shù)是科學研究中遇到的最重要的函數(shù)形式，本身是波的數(shù)學承載函數(shù)。工程上廣泛應用的傅里葉級數(shù)就是將一個函數(shù)展開為三角函數(shù)的和的形式。一般地，三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)等。本節(jié)將重點介紹三角函數(shù)化簡和變換相關的常用函數(shù)，包括含三角函數(shù)的表達式的展開函數(shù)TrigExpand、因式分解函數(shù)TrigFactor、化簡函數(shù)TrigReduce、三角函數(shù)轉化為指數(shù)函數(shù)TrigToExp和指數(shù)函數(shù)轉化為三解函數(shù)ExpToTrig等。這五個函數(shù)均只有一個參數(shù)，即含三角函數(shù)的表達式。其中，化簡函數(shù)TrigReduce可用于證明三角恒等式。這些函數(shù)的典型用法實例如圖1-19所示。1.3.3三角函數(shù)式變換1.4Mathematica字符串Mathematica軟件具有強大的字符串處理功能，集成了眾多的字符串處理函數(shù)，在表1-7中列舉了最常用的字符串函數(shù)及其用法。注意，在Mathematica中，字符串中的字符從左向右其索引號從1按步進1增加；從右向左其索引號從-1按步進-1減小。現(xiàn)在，在Notebook中輸入“str1="Student"”和“str2="textbook"”，并執(zhí)行得到兩個字符串str1和str2，這兩個字符串將被用于表1-7中。表1-7字符串函數(shù)及其典型用法1.4Mathematica字符串表1-7字符串函數(shù)及其典型用法1.4Mathematica字符串表1-7字符串函數(shù)及其典型用法本章內容為Mathematica軟件應用入門奠定基礎，首先詳細介紹了Mathematica軟件的工作界面和常用菜單，然后，討論了Mathematica軟件的輸入、輸出和計算等基本操作，接著，分析了Mathematica數(shù)值計算相關的函數(shù)及其典型用法，涉及到基本算術運算、關系表達式、邏輯運算、常用數(shù)學函數(shù)和代數(shù)方程等。在此基礎上，討論了Mathematica強大的符號計算功能，特別是多項式運算、分式運算和三角函數(shù)式變換等。最后，深入介紹了Mathematica的常用字符串函數(shù)及其應用方法。01本章小結第二章Mathematica列表2.1常用列表構造方法2.2列表元素操作2.3向量與矩陣表示列表是Wolfram語言最基本的數(shù)據(jù)結構，是指借助于花括號“{”和“}”包括的一列元素，元素可為常量、變量和符號。列表可以多級嵌套，嵌套列表的最外層稱為第一層列表，依次向內可得到第二層、第三層、…列表。可以使用“深度”表示列表的層數(shù)，列表的表頭（即“List”）的深度定義為1，因此，第一層列表的深度為2，第二層列表的深度為3，依次類推。計算列表深度的函數(shù)為Depth，而函數(shù)Level可以返回相同深度的列表元素。2.1常用列表構造方法在圖2-2中，“In[2]”輸入了包含5個元素的列表，并賦給變量x；在“In[3]”中輸入x，可以查看變量x的值在Notebook中，可直接輸入列表，列表元素被“{”和“}”所包圍，列表元素間用英文逗號“,”分隔，如圖2-2所示2.1常用列表構造方法在圖2-3中的myproduct2019.xlsx中，保存了某種產品2019年中每月的產量。然后，在Notebook中使用Import函數(shù)將Excel表格中的數(shù)據(jù)導入Mathematica中，如圖2-4所示。請注意：文件名路徑使用“\\”（與C語言路徑名規(guī)則相同）。這里，文件myproduct2019.xlsx在硬盤上的完整保存路徑（含文件名）為“E:\ZYMaths\Book20\myproduct2019.xlsx”對于大數(shù)據(jù)量而言，一般使用數(shù)據(jù)導入的方式。Mathematica支持從多種類型的數(shù)據(jù)文件或網(wǎng)站直接導入數(shù)據(jù)，這里介紹最常用的數(shù)據(jù)導入方法，即從Excel表格中導入數(shù)據(jù)。這里，借助于Excel2016生成一個電子表格（數(shù)據(jù)表格），將表格保存為myproduct2019.xlsx，如圖2-3所示結合圖2-3和圖2-4可知，在Notebook中將讀入的Excel表格數(shù)據(jù)以嵌套列表的形式保存在變量y中，這里的y是一個三層嵌套的列表，最內層的列表元素對應著圖2-3中Excel表格的行數(shù)據(jù)；第二層的列表對應著Excel表格中的表單（即Sheet），圖2-3中只有一個表單Sheet1；第一層（即最外層）列表對應著整個表格。現(xiàn)在，在圖2-3的基礎上，添加一個新的表單（Sheet2），如圖2-5所示。2.1常用列表構造方法2.1常用列表構造方法此時，在Notebook中再次導入myproduct2019.xlsx，如圖2-6中“In[7]”所示，其結果如“Out[7]”所示。此時，第一層（最外層）列表中包括2個子列表，分別對應著圖2-5中的兩個表單Sheet1和Sheet2，而第二層兩個子列表中的第三層列表，分別對應著兩個表單中的數(shù)據(jù)。2.1常用列表構造方法此外，Mathematica函數(shù)的計算結果大都以列表的形式存儲，其中有一些函數(shù)可以生成有規(guī)律的列表，例如最常用的Table函數(shù)。Table函數(shù)可以生成常數(shù)向量和常數(shù)矩陣，其典型實例如圖2-7所示。在Notebook中使用函數(shù)Export可將計算結果保存為Excel表格，例如，在圖2-6所示Notebook中添加如下輸入語句：Export["E:\\ZYMaths\\Book20\\myproduct2019new.xlsx",y]將在目錄E:\ZYMaths\Book20\下生成表格文件myproduct2019new.xlsx，該文件內容為變量y的內容，即圖2-5中顯示的內容。2.1常用列表構造方法在圖2-7中，對于Table函數(shù)，其第一個參數(shù)指定常數(shù)，第二個參數(shù)開始的全部參數(shù)指定維數(shù)。其中，MatrixForm函數(shù)使數(shù)據(jù)以矩陣的形式表示，并在矩陣兩邊添加大括號。這里，“In[20]”得到一個長度為5的元素均為0的列表x1，如“Out[20]”所示；“In[21]”得到了一個二層嵌套列表x2，共有3個子列表，每個子列表有5個元素，元素均為0，如“Out[21]”所示，可以視為一個3行5列的全0矩陣；“In[22]”將列表x2以矩陣形式顯示，如“Out[22]”所示，此時顯示結果為“Out[22]//MatrixForm”，該結果只做為顯示樣式，不能參與計算。同理，“In[23]”生成一個長度為5的元素均為1的列表x3，如“Out[23]”所示；“In[24]”生成一個二層嵌套列表x4，共3個子列表，每個5個元素，元素均為1，如“Out[24]”所示；“In[25]”以矩陣的形式顯示x4，如“Out[25]”所示。2.1常用列表構造方法Table函數(shù)也可生成一些有規(guī)律的向量和矩陣，如圖2-8所示。2.1常用列表構造方法在圖2-8中，Table函數(shù)的第一個參數(shù)為表達式，其中包括了局部變量，這里的局量變量是指Table函數(shù)的第二個參數(shù)及其以后的參數(shù)中出現(xiàn)的變量，常被稱作循環(huán)變量參數(shù)；Table函數(shù)的第二個參數(shù)及其以后的參數(shù)用于指定局部變量的變化方式，用花括號括起來，有兩種形式：（1）第一種形式包括四部分：變量名、變量初始（為1時可省略）、變量終值和變量變化的步長（為1時可省略），如“In[34]”所示；（2）第二種形式包括兩部分：變量名和變量取值列表，如“In[35]”，此時變量依次在變量列表中取值。在“In[32]”中，Table的局部變量i的取值為從1按步長1至10，將生成1至10的整數(shù)列表x1，如“Out[32]”所示。“In[33]”中，Table的局部變量i從0按步長1增加到5，每步計算2i+1的值，將生成1至11的奇數(shù)序列x2，如“Out[33]”所示。“In[34]”中Table的局部變量i的步長為-2，i從6按步長-2遞減至-6，每步計算i3，得到列表x3如“Out[34]”所示。“In[35]”中Table的局部變量k依次從列表{5,8,13,21,30}中取值，對每個k的值計算2k+1的值，得到列表x4如“Out[35]”所示。注意：Table函數(shù)中第二個參數(shù)開始的參數(shù)，即循環(huán)變量參數(shù)，有多個時，越右邊的參數(shù)對應著循環(huán)嵌套的層數(shù)越大，即變化越快。例如，在“In[35]”中，首先局部變量i取值1，局部變量j從1按步長1增加到5；然后，i增加1變?yōu)?，j再次從1按步長1增加到5；以此類推。對于每一次i和j的值，計算1/(i+j-1)的值，得到列表hilbert如“Out[36]”所示；“In[37]”將hilbert轉化為矩陣形式，如圖2-8中“Out[37]”所示，該矩陣為5階Hilbert矩陣。此外，Table函數(shù)的第一個參數(shù)可以為語句組，每個語句組包括多條語句，相鄰的兩個語句間用分號“;”分隔，其典型實例如圖2-9所示。在圖2-9中，“In[40]”中每條語句后面的分號“;”表示該條語句不顯示結果；而Table函數(shù)內部的分號“;”用于分隔Table函數(shù)的語句，所有用分號連接的語句均被視為“一條”語句。也就是說，“k=Sin[i];sum+=0.001k”為一條語句。在“In[40]”中，將sum賦為0，然后，在Table循環(huán)2.1常用列表構造方法2.1常用列表構造方法法為“Range[imin,imax,step]”，表示從imin（為1可省略）按步長step（為1可省略）遞增到imax得到的數(shù)列，相當于“Table[i,{i,imin,imax,step}]”實現(xiàn)的功能。在“Range[imin,imax,step]”生成的序列中，imin為第一個數(shù)，imin+step為第二個數(shù)，imin+2step為第三個數(shù)，依次類推，直到遞增（步長step為正）或遞減（步長step為負）至小于等于imax。但是，有可能imax取不到，即imax不在生成的列表中。2.1常用列表構造方法2.1常用列表構造方法Range函數(shù)的參數(shù)形式為：變量起始值（為1可省略）、變量終止值、變量增量（為1可省略），因此，在圖2-10中，“In[47]”表示從1按步長1增加到5生成的列表，如圖“Out[47]”所示；“In[48]”表示從10按步長1增加到15生成的列表，如“Out[48]”所示；“In[49]”表示從3按步長-1遞減到-3生成的列表，如“Out[49]”所示。Range函數(shù)支持實數(shù)序列的生成，例如Range函數(shù)生成列表的典型實例如圖2-10所示。2.1常用列表構造方法“In[50]”從0.1按步長0.3增加到1.0生成的列表，如“Out[50]”所示，使用語句“Range[0.1,1.1,0.3]”也可以生成該列表（注意，1.1不在列表中）。可使用Range函數(shù)作為Table函數(shù)的局部變量變化范圍，例如如下語句：Table[i^2,{i,Range[3]}]這里局部變量i的取值范圍為Range[3]，即{1,2,3}，上述Table函數(shù)的運行結果為：{1,4,9}。Range函數(shù)生成列表的典型實例如圖2-10所示。2.2.1列表元素訪問列表中元素的操作十分靈活。列表中的部分元素可以單獨訪問，并可以讀取出來構成新的列表；同時，列表支持元素的修改、增加和刪除操作，并且可以檢索和統(tǒng)計列表中的元素情況。列表中元素的訪問方法為“列表名[[元素位置]]”，注意，使用雙中括號訪問元素。在列表中，元素位置的索引號自左至右為從1開始步進1，或從右至左為從-1開始步進-1。“元素位置”的表示方法有四種：（1）正整數(shù)n，表示從左邊第1個元素算起的第n個元素位置；（2）負整數(shù)-n，表示從右邊第1個元素向左數(shù)的第n個元素位置；（3）“m;;n;;k”，表示從第m個元素位置按步長k遞增（k為正數(shù)）或遞減（k為負數(shù)）至第n個元素位置（m、n可以為負整數(shù)），步長k可為正整數(shù)數(shù)也可為負整數(shù)；（4）用其他列表的元素表示要索引列表的元素位置，要求使用的其他列表元素必須為正整數(shù)或負整數(shù)，且其元素值在檢索列表的元素位置索引號范圍內，例如：“x=Table[i^2,{i,10}];y=x[[Range[1,10,2]]]”，這里使用了Range產生的列表元素作為x列表的索引號，得到x列表的奇數(shù)位置的元素組成的新列表，賦給變量y。對于嵌套列表，“元素位置”可指定各層列表的訪問。2.2列表元素操作在圖2-11中，“In[2]”用Range函數(shù)生成1至10的整數(shù)列表，然后，該列表的每個元素加上0.5后得到如“Out[2]”所示的列表x；“In[4]”展示了訪問單個列表元素的方法，這里使用“[[3]]”表示讀取x列表的第3個元素，讀出值為3.5，如“Out[4]”所示；“In[5]”使用“[[-2]]”表示讀取x列表的倒數(shù)第2個元素，讀出值為9.5，如“Out[5]”所示；“In[6]”中，“[[5;;7]]”表示從第5個按步長1至第7個元素，即讀取列表x的第5至7個元素，讀出結果以列表的形式存儲，即{5.5,6.5,7.5}，如“Out[6]”所示。在“In[7]”中，“[[-8;;-5]]”表示從倒數(shù)第8個元素按步長1至倒數(shù)第5個元素，即讀取列表x的倒數(shù)第8個元素至倒數(shù)第5個元素，讀出結果以列表的形式存儲，即列表元素訪問的典型實例如圖2-11和圖2-12所示。{3.5,4.5,5.5,6.5}，如“Out[7]”所示。如果使用語句“a4=x[[-5;;-8;;-1]]”，則表示讀取x列表的倒數(shù)第5個至倒數(shù)第8個元素組成一個新列表，即{6.5,5.5,4.5,3.5}，該列表是圖2-11中“Out[7]”的反序列表；“In[17]”讀出列表x的第3個、第7個和第10個位置的元素并組成新的列表，且以列表的形式存儲，即{3.5,7.5,10.5}，如“Out[17]”所示；“In[18]”讀出列表x的第1個位置起、步進為3、終止位置為10（可以取不到）的元素，將這些元素組成一個新列表，即{1.5,4.5,7.5,10.5}，如“Out[18]”所示。列表元素訪問的典型實例如圖2-11和圖2-12所示。在圖2-12中，“In[22]”生成了一個二維列表y，借助于MatrixForm轉化為矩陣形式如“Out[23]”所示；“In[24]”讀取y的第2個子列表的第3個元素，即第2行第3列的元素，讀出6；“In[25]”是另一種讀取嵌套列表y中元素的方法，表示讀出第2行第2列的元素，即4；“In[26]”表示讀出y中第2個子列表中的全部元素，即讀出第2行的全部元素，讀出為{2,4,6,8}，也可使用語句b3=y[[2]]，如果是讀出y中一列的數(shù)據(jù)，例如讀出第2列的數(shù)據(jù)，可以使用語句b3=y[[All,2]]，這里的All表示全部元素；“In28”讀出列表y中的第1、2行和第1、3列交叉處的元素，這里的“1;;-1;;2”表示從第一列至最后一列（可以取不到），步長為2；“In[31]”讀出列表y的第1、3行和第3、4列交叉處的元素，如“Out[31]”所示。列表元素訪問的典型實例如圖2-11和圖2-12所示。除了上述列表元素訪問方式外，Wolfram語言中集成了一些列表元素訪問函數(shù)，例如，F(xiàn)irst函數(shù)可訪問列表的首元素，Last函數(shù)用于訪問列表的尾元素，Part函數(shù)用于訪問列表中的任一元素，Take函數(shù)用于訪問列表的部分元素。Take函數(shù)用法眾多，例如：（1）“Take[列表,n]”讀取列表的前n個元素，讀出的元素組合為一個新列表；（2）“Take[列表,-n]”讀取列表的最后n個元素，讀出的元素組合為一個新列表；（3）“Take[列表,{m,n}]”讀取列表的第m個至第n個元素，讀出的元素組合為一個新列表；（4）“Take[列表,{m,n,k}]”讀取列表的第m個至第n個元素（可能取不到），讀取步長為k，讀出的元素組合為一個新列表。盡管有Part和Take等諸多函數(shù)，我們建議盡可能使用“[[]]”讀取列表元素，當有多個“[[]]”嵌套使用時，通過添加適當?shù)目崭瘢纯梢员ＷC雙括號的對應關系正確無誤。2.2.2列表元素修改列表元素可以使用賦值方法直接修改，例如“列表[[位置]]=新的值”，此外，可以使用Insert函數(shù)向列表中設定的位置插入元素，借助Prepend函數(shù)在列表頭部插入元素，借助Append函數(shù)在列表尾部插入元素，使用Delete函數(shù)刪除某些位置的元素，使用Drop函數(shù)刪除列表中的一些元素，使用ReplacePart函數(shù)替換列表中的某些元素，等等。這些函數(shù)的典型用法實例如圖2-14所示。2.2列表元素操作在圖2-14中，“In[1]”使用函數(shù)CharacterRange生成一個從字符“a”至字符“j”的字符列表x，如“Out[1]”所示；“In[2]”將x的第2個元素賦值為“k”；“In[3]”顯示列表x，可見其第2個元素由字符“b”變?yōu)榱恕発”，如“Out[3]”所示。“In[5]”調用Prepend函數(shù)在列表x前面添加字符“e”，形成新的列表如“Out[5]”所示；“In[6]”調用Append函數(shù)在列表x尾部添加字符“m”，形成新的列表如“Out[6]”所示；“In[8]”調用Delete函數(shù)刪除列表x的第3個、第6個和第8個位置處的字符，形成新的列表如“Out[8]”所示；“In[9]”調用Drop函數(shù)刪除列表x的第3個位置按步長2至第8個位置的字符，形成新的列表如“Out[9]”所示。“In[11]”調用ReplacePart函數(shù)將列表x的第2個元素替換為“b”，形成新的列表如“Out[11]”所示。請注意：除了“In[2]”的賦給操作外，其余操作沒有將結果賦值給x，因此，這些操作沒有改變列表x。需要說明的是，字符串或字符在Mathematica中，使用雙引號包括，但是在顯示單元格（即在“Out[n]”）中，不顯示雙引號，但可以借助于FullForm函數(shù)顯示字符串中的雙引號，例如“FullForm[x]”將顯示“List["a","b","c","d","e","f","g","h","i","j"]”。圖2-13借助于一維列表展示了列表元素的修改操作，這些函數(shù)對于二維列表和高維列表同樣成立。2.2.2列表元素修改2.2列表元素操作2.2.3列表元素檢索2.2列表元素操作Wolfram語言提供了檢索某個元素是否在列表中、在列表中的位置和出現(xiàn)的次數(shù)的函數(shù)，這些函數(shù)依次為FreeQ、MemberQ、Position和Count，其典型用法與實例如圖2-15所示。圖2-15中FreeQ、MemberQ、Position和Count函數(shù)的典型語法如下：（1）FreeQ[列表,元素]如果給定的元素在列表中，則返回False；否則返回True；（2）MemberQ[列表,元素]如果給定的元素在列表中，則返回True；否則返回False；（3）Position[列表,元素]返回給定的元素在列表中的位置；（4）Count[列表,元素]統(tǒng)計給定的元素在列表中出現(xiàn)的次數(shù)。圖2-15中，“In[33]”調用Position函數(shù)獲得元素“b”在列表x中的位置，返回結果如“Out[33]”所示，為一個二層嵌套列表{{2},{4},{10}}，表明列表x的第2個、第4個和第10個位置均為字符“b”；“In[34]”調用Count函數(shù)統(tǒng)計元素“b”在列表x中出現(xiàn)的次數(shù)，得到結果為3次，如“Out[34]”所示。現(xiàn)在回到圖2-15，“In[28]”生成列表x，全部元素均為字符，如“Out[28]”所示；“In[29]”調用FreeQ函數(shù)判定列表中有沒有元素“d”，如果存在返回False，這里，返回False，說明字符“d”位于列表x中；“In[30]”調用FreeQ函數(shù)判定列表中有沒有元素“m”，這里沒有該元素，故返回True。更常用的列表元素歸屬判定函數(shù)為MemberQ函數(shù)，如“In[31]”和“In[32]”所示：由于“b”存在于列表x中，故“In[31]”返回True，如“Out[31]”所示；而“m”不在列表x中，故“In[32]”返回False，如“Out[32]”所示。Position函數(shù)和Count函數(shù)的參數(shù)中“元素”可取為“模式表達式”或測試函數(shù)等，例如：輸入“x={"abc",1,2,"def",3,4}”得到列表x，然后，調用“Position[x,_?StringQ]”將返回列表x中為字符串的元素位置，這里的“_?StringQ”是一種模式對象，問號“?”前為模式表達式，問號“?”后為測試函數(shù)，該語句將返回{{1},{4}}，即列表x的第1個和第4個位置為字符串；同樣地，“Position[x,_?IntegerQ]”將返回列表x中整數(shù)元素的位置，這里的“_?IntegerQ”可用“_Integer”替換，該語句返回結果為{{2},{3},{5},{6}}，表示列表x的第2、3、5和6個位置為整數(shù)。調用“Count[x,_Integer]”計算列表x中的整數(shù)個數(shù)，這里返回4。2.2.4列表變換2.2列表元素操作

嵌套列表可以轉換為單層列表，同時，單層列表也可以轉換為多層嵌套列表，這兩種變換對應的函數(shù)為Flatten和Partition。其中，F(xiàn)latten函數(shù)用于將多層嵌套列表轉化為單層列表，其典型用法有如下兩種：（1）Flatten[多層列表]，將多層列表轉化為單層列表；（2）Flatten[多層列表，k]，將多層列表的前k層的子列表合并（稱為壓平），這里的第k=1層是指第1層子列表（從最外層算起時，是指第二層列表）。此外，還有一個FlattenAt函數(shù)，其用法為：FlattenAt[多層列表,n]將多層列表的第n個元素（位于第n個元素的子列表）壓平，只壓平其第一層列表。例如：“FlattenAt[{{a,b},{c,{d,e}},{f}},2]”將其中的第2個元素“{c,{d,e}}”壓平一級，即將其最外層的花括號去掉，得到結果為“{{a,b},c,{d,e},{f}}”。2.2.4列表變換2.2列表元素操作

嵌套列表可以轉換為單層列表，同時，單層列表也可以轉換為多層嵌套列表，這兩種變換對應的函數(shù)為Flatten和Partition。Partition函數(shù)用于將單層列表轉化為多層嵌套列表，其典型用法有如下三種：（1）Partition[單層列表,n]，將單層列表分成不重疊的長度為n的子列表（最后的元素不夠n個時不計入）；（2）Partition[單層列表,n,k]，將單層列表分成長度為n的子列表，各子列表間不重疊的元素個數(shù)為k（即偏移量為k）；（3）Partition[多層列表，{n1,n2,…}]，將多層列表的每層分別劃分為長度為n1、n2等等的子列表，要求列表的層數(shù)與第二個參數(shù)的長度相同。2.2.4列表變換2.2列表元素操作

嵌套列表可以轉換為單層列表，同時，單層列表也可以轉換為多層嵌套列表，這兩種變換對應的函數(shù)為Flatten和Partition。除了上述列表變換函數(shù)之外，Wolfram還提供了合并列表函數(shù)Join和Union、列表交集函數(shù)Intersection、列表補集函數(shù)Complement、列表反序函數(shù)Reverse、列表循環(huán)左移函數(shù)RotateLeft和列表循環(huán)右移函數(shù)RotateRight以及列表分裂函數(shù)Split。其中，函數(shù)Split[列表]將列表中相同的元素劃分為一個子列表，例如，“Split[{1,1,0,0,1,1,1,0}]”將得到“{{1,1},{0,0},{1,1,1},{0}}”。2.3.1向量2.3向量與矩陣表示單層列表可以視為向量，兩層嵌套列表（且各個子列表的長度相同時）可以視為矩陣。下面將介紹向量和矩陣的表示及其基本運算。一個單層列表在Mathematica中為一個列向量，針對向量的常用操作有元素排序函數(shù)Sort、計算向量長度函數(shù)Length和求向量元素總和函數(shù)Total。其中，Sort函數(shù)的典型用法有兩種：（1）Sort[列表]，將“列表”按升序排列；（2）Sort[列表,排序函數(shù)]，按“排序函數(shù)”排列“列表”，“排序函數(shù)”常為純函數(shù)（見第7.3節(jié)），如果“排序函數(shù)”為Greater，則按降序排列列表元素。這三個函數(shù)的典型實例如圖2-18所示。PadRight[列表,長度,元素或元素列表]PadLeft[列表,長度,元素或元素列表]在圖2-18中，“In[12]”創(chuàng)建了列表x，如“Out[12]”所示；“In[13]”將列表x以矩陣的形式顯示，如“Out[13]”所示，可見一維列表x以列向量的形式存儲；“In[15]”調用Sort函數(shù)將列表x以降序的方向排列，如“Out[15]”所示；“In[16]”調用Length函數(shù)獲得列表x的長度（即其中的元素個數(shù)），其結果為10，如“Out[16]”所示；“In[17]”調用Total函數(shù)計算列表x中元素的總和，其結果為55，如“Out[17]”所示。列表可借助于PadLeft和PadRight函數(shù)在左邊和右邊可以填補特定元素，使列表達到指定的長度。這兩個函數(shù)的主要用法如下：PadRight[列表,長度,元素或元素列表]PadLeft[列表,長度,元素或元素列表]其中PadLeft函數(shù)將第三個參數(shù)“元素”或“元素列表”重復從左向右填到“列表”的表頭前，使列表長度達到指定的“長度”；如果填充的為“元素列表”，可以這樣理解，即先將填充的“元素列表”向左循環(huán)展開為指定“長度”的序列，然后，將被填充的列表的元素從最后一個元素開始依次替換掉那個“序列”的對應位置上的元素（被填充的列表的元素順序不變）。而PadRight函數(shù)將第三個參數(shù)“元素”或“元素列表”重復從左向右填到“列表”的表尾，使列表長度達到指定的“長度”；如果填充的為“元素列表”，可以這樣理解，即先將填充的“元素列表”向右循環(huán)展開為指定“長度”的序列，然后，將被填充的列表的元素替換掉那個“序列”的相應位置上的元素。如果第三個參數(shù)為0，可以省略。列表填充函數(shù)的典型實例如圖2-19所示。在圖2-19中，“In[18]”調用“Clear["`*"]”清除Notebook中已創(chuàng)建的變量的值；“In[19]”創(chuàng)建了列表x，如“Out[19]”所示；“In[21]”調用PadLeft函數(shù)從左向右在列表x的頭部添加0，直到列表長度達到16，如“Out[21]”所示；“In[22]”從右向左在列表x的尾部添加0，直到列表長度達到16，如“Out[22]”所示；“In[23]”從右向左在列表x的尾部添加1，直到列表長度達到16，如“Out[23]”所示；“In[24]”調用PadRight函數(shù)在列表x尾部