第21課時平拋運動的綜合問題[重難突破課]題型一與斜面相關聯(lián)的平拋運動模型方法分解速度，構(gòu)建速度矢量三角形，找到斜面傾角θ與速度方向的關系分解速度，構(gòu)建速度的矢量三角形分解位移，構(gòu)建位移矢量三角形，隱含條件：斜面傾角θ等于位移與水平方向的夾角基本規(guī)律水平：vx＝v0豎直：vy＝gt合速度：v＝v方向：tanθ＝v水平：vx＝v0豎直：vy＝gt合速度：v＝v方向：tanθ＝v水平：x＝v0t豎直：y＝12gt合位移：s＝x方向：tanθ＝y(tǒng)【典例1】如圖所示，傾角為θ的斜面體固定在水平面上，兩個可視為質(zhì)點的小球甲和乙分別沿水平方向拋出，兩球的初速度大小相等，已知甲的拋出點為斜面體的頂點，經(jīng)過一段時間兩球分別落在斜面上的A、B點后不再反彈，落在斜面上的瞬間，小球乙的速度與斜面垂直。忽略空氣阻力，重力加速度為g，則下列選項正確的是（）A.甲、乙兩球在空中運動的時間之比為tan2θ∶1B.甲、乙兩球下落的高度之比為2tan2θ∶1C.甲、乙兩球的水平位移大小之比為tanθ∶1D.甲、乙兩球落在斜面上瞬間的速度方向與水平方向夾角的正切值之比為2tan2θ∶1答案：D解析：對于小球甲的運動有tanθ＝y(tǒng)甲x甲＝12gt2v0t＝gt2v0，解得t＝2v0tanθg，落到斜面上時速度方向與水平方向夾角的正切值為tanα甲＝vyv0＝gtv0，則tanα甲＝2tanθ，對于小球乙的運動有tanθ＝v0vy'＝v0gt'，解得t'＝v0gtanθ，落到斜面上時速度方向與水平方向夾角的正切值為tanα乙＝vy'v0＝1tanθ，甲、乙兩球在空中運動的時間之比為t∶t'＝2tan2θ∶1，A錯誤；由h＝12gt2可知甲、乙兩球下落的高度之比為h∶h'＝t2∶t'2＝4tan1.【順著斜面的平拋運動】如圖，在傾角為α的斜面頂端，將小球以v0的初速度水平向左拋出，經(jīng)過一定時間小球發(fā)生第一次撞擊。自小球拋出至第一次撞擊過程中小球水平方向的位移為x，忽略空氣阻力，則下列圖像正確的是（）解析：D小球落在斜面上時，小球位移方向與水平方向夾角為α，則有tanα＝y(tǒng)x＝gt2v0，則水平位移x＝v0t＝2tanαgv02∝v02，小球落在水平面上時，小球飛行時間恒定，水平位移正比于v02.【對著斜面的平拋運動】如圖所示，斜面傾角為θ＝30°，在斜面上方某點處，先讓小球（可視為質(zhì)點）自由下落，從釋放到落到斜面上所用時間為t1，再讓小球在該點水平拋出，小球剛好能垂直打在斜面上，運動的時間為t2，不計空氣阻力，則t1t2為A.21 B.C.32 D.解析：D設小球水平拋出的初速度為v0，則打到斜面上時，沿豎直方向的分速度vy＝v0tanθ＝gt2，水平位移x＝v0t2，拋出點到斜面的豎直高度h＝vy22g＋xtanθ＝v022gtan2θ＋v02g＝5v022g，又h題型二與曲面相關聯(lián)的平拋運動運動情景物理量分析tanθ＝vyvx＝gtv在半圓內(nèi)的平拋運動，R＋R2－h(huán)2＝v0t小球恰好從圓柱體Q點沿切線飛過，此時半徑OQ垂直于速度方向，圓心角θ與速度的偏向角相等【典例2】（多選）如圖所示為一半圓形的坑，其中坑邊緣兩點A、B與圓心O等高且在同一豎直平面內(nèi)，在圓邊緣A點將一小球以速度v1水平拋出，小球落到C點，運動時間為t1，第二次從A點以速度v2水平拋出，小球落到D點，運動時間為t2，不計空氣阻力，則（）A.v1＜v2B.t1＜t2C.小球落到D點時，速度方向可能垂直于圓弧D.小球落到C點時，速度與水平方向的夾角一定大于45°答案：AD解析：連接AC和AD，如圖甲所示，設AC和AD在豎直方向上的長度分別為hAC和hAD，根據(jù)圖像可知hAC＞hAD且有hAC＝12gt12，hAD＝12gt22，可得t1＞t2，設AC和AD在水平方向上的長度分別為xAC和xAD，則有xAC＜xAD，xAC＝v1t1，xAD＝v2t2，可得v1＜v2，A正確，B錯誤設∠DOB＝θ，則有Rsinθ＝12gt22，R＋Rcosθ＝v2t2，可得sinθ1+cosθ＝gt22v2，若速度方向垂直于圓弧，則速度方向與水平方向的夾角也為θ，則有tanθ＝gt2v2，則有tanθ＝sinθcosθ＝2sinθ1+cosθ，整理得cosθ＝1，即θ＝0，這說明小球從A點拋出后速度方向不變，顯然這是不可能的，所以小球落到D點時，速度方向不可能垂直于圓弧，C錯誤；小球落到C點時，設小球的位移偏轉(zhuǎn)角為α，即AC與水平方向的夾角為α，則有tanα＝12gt12v1t1＝RR＝1，可得α＝如圖所示，B為豎直圓軌道的左端點，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為α。一小球在圓軌道左側(cè)的A點以速度v0平拋，恰好沿B點的切線方向進入圓軌道。已知重力加速度大小為g，不計空氣阻力，則A、B之間的水平距離為（）A.v02tanC.v02g解析：A由小球恰好沿B點的切線方向進入圓軌道可知，小球在B點時的速度方向與水平方向的夾角為α，由tanα＝gtv0，x＝v0t，聯(lián)立解得A、B之間的水平距離為x＝v02題型三平拋運動中的臨界極值問題1.常見的“臨界術(shù)語”（1）題目中有“剛好”“恰好”“正好”“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在臨界點。（2）題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值。2.平拋運動臨界、極值問題的分析方法（1）確定研究對象的運動性質(zhì)；（2）根據(jù)題意確定臨界狀態(tài)；（3）確定臨界軌跡，畫出軌跡示意圖；（4）應用平拋運動的規(guī)律結(jié)合臨界條件列方程求解。【典例3】如圖所示，在樓梯口，用彈射器向第一級臺階彈射小球。臺階高為H，寬為L，A為豎直踢腳板的最高點，B為水平踏腳板的最右側(cè)點，C是水平踏腳板的中點。彈射器沿水平方向彈射小球，彈射器高度h和小球的初速度v0可調(diào)節(jié)，小球被彈出前與A的水平距離也為L。某次彈射時，小球恰好沒有擦到A而擊中B，為了能擊中C點，需調(diào)整h為h'，調(diào)整v0為v0'，下列判斷正確的是（）A.h'的最大值為2h B.h'的最小值為2hC.v0'的最大值為156v0 D.v0'的最小值為156答案：C解析：小球做平拋運動有y＝12gt2，x＝v0t，可得v0＝xg2y，y＝gx22v02∝x2，調(diào)整前hh＋H＝122，即h＝13H，調(diào)整后考慮臨界情況，小球恰好沒有擦到A而擊中C，則h'h'＋H＝232，即h'＝45H，所以h'＝125h，從越高處拋出而擊中C點，拋物線越陡，越不容易擦到A點，所以h'＝125h是滿足條件的最小值，故A、B錯誤；由v0＝xg2y，且兩次平拋從拋出到運動至A點過程，x都為L，所以v0'v0＝hh'＝151.【平拋運動的臨界問題】如圖所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6m，豎直墻的厚度d＝0.4m，某人在距離墻壁L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m處的P點，將可視為質(zhì)點的小物件以垂直于墻壁的速度v水平拋出，要求小物件能直接穿過窗口并落在水平地面上，不計空氣阻力，g＝10m/s2。則可以實現(xiàn)上述要求的速度大小是（）A.2m/s B.4m/sC.8m/s D.10m/s解析：B小物件做平拋運動，恰好擦著窗子上沿右側(cè)墻邊緣穿過時速度v最大。此時有L＝vmaxt1，h＝12gt12，代入數(shù)據(jù)解得vmax＝7m/s，小物件恰好擦著窗口下沿左側(cè)墻邊緣穿過時速度v最小，則有L＋d＝vmint2，H＋h＝12gt22，代入數(shù)據(jù)解得vmin＝3m/s，故v的取值范圍是3m/s≤v≤7m/s，故B正確，2.【平拋運動的極值問題】某科技比賽中，參賽者設計了一個軌道模型，如圖所示。模型放到0.8m高的水平桌子上，最高點距離水平地面2m，右端出口水平。現(xiàn)讓小球在最高點由靜止釋放，忽略阻力作用，為使小球飛得最遠，右端出口距離桌面的高度應設計為（）A.0 B.0.1mC.0.2m D.0.3m解析：C設最高點距離水平地面的高度為H，右端出口距離地面距離為h，小球從最高點到右端出口，滿足機械能守恒定律，有mg（H－h(huán)）＝12mv2，從右端出口飛出后小球做平拋運動，有x＝vt，h＝12gt2，聯(lián)立解得x＝2（H－h(huán)）h，根據(jù)數(shù)學知識知，當H－h(huán)＝h時，x最大，即h＝1m時，小球飛得最遠，此時右端出口距離桌面高度為Δh＝1m－題型一與斜面相關的平拋運動1.（2022·廣東高考3題）如圖是滑雪道的示意圖?？梢暈橘|(zhì)點的運動員從斜坡上的M點由靜止自由滑下，經(jīng)過水平NP段后飛入空中，在Q點落地。不計運動員經(jīng)過N點的機械能損失，不計摩擦力和空氣阻力。下列能表示該過程運動員速度大小v或加速度大小a隨時間t變化的圖像是（）解析：C根據(jù)題述可知，運動員在斜坡上由靜止滑下做加速度小于g的勻加速運動，在NP段做勻速直線運動，從P飛出后做平拋運動，加速度大小為g，速度方向時刻改變、大小不均勻增大，所以只有圖像C正確。2.如圖所示，小球以v0正對傾角為θ的斜面水平拋出，若小球到達斜面的位移最小，則飛行時間t為（重力加速度為g）（）A.t＝v0tanθ B.t＝2C.t＝v0gtanθ解析：D如圖所示，要使小球到達斜面的位移最小，則要求落點與拋出點的連線與斜面垂直，所以有tanθ＝xy，而x＝v0t，y＝12gt2，聯(lián)立解得t＝2v03.（多選）小蘭和小亮周末去爬山，在一個傾角為α＝37°的山坡上玩拋石塊。如圖所示，小蘭爬上緊挨山坡底端的一棵樹，從樹上Q點朝著山坡水平拋出一個石塊甲，石塊甲正好垂直打在山坡中點P；小亮在山坡頂端的A點水平拋出一個石塊乙，石塊乙也落在P點。已知山坡長度AC＝L，重力加速度為g，sin37°＝0.6，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（）A.石塊甲的拋出點Q一定比A點高B.石塊甲的初速度大小為3C.石塊甲、乙的運動時間之比為22∶3D.若兩石塊同時拋出，則他們一定同時擊中P點解析：BC設石塊甲拋出的初速度為v0，Q點相對于P點的豎直高度為H，則H＝12gt2，石塊甲落在P點時豎直速度vy＝2gH，石塊甲的水平位移x＝L2cosα，v0＝xt，tan37°＝v0vy，聯(lián)立各式可得H＝415L，v0＝3gL10，又A點高度為hA＝Lsinα＝35L，則Q點的高度為hQ＝H＋hA2＝1730L，則A點比Q點高，故A錯誤，B正確；對于石塊乙，有hA2＝12gt'2，結(jié)合前面式子可得題型二與曲面相關聯(lián)的平拋運動4.（多選）如圖所示，豎直截面為半圓形的容器，O為圓心，AB為沿水平方向的直徑。一物體在A點以向右的水平初速度vA拋出，與此同時另一物體在B點以向左的水平初速度vB拋出，兩物體都落到容器的同一點P。已知∠BAP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不計空氣阻力，下列說法正確的是（）A.B比A先到達P點B.兩物體一定同時到達P點C.拋出時，兩物體的速度大小之比為vA∶vB＝16∶9D.拋出時，兩物體的速度大小之比為vA∶vB＝4∶1解析：BC兩物體同時拋出，都落到P點，由平拋運動規(guī)律可知，兩物體下落了相同的高度，由h＝gt22解得t＝2hg，可知兩物體同時到達P點，A錯誤，B正確；在水平方向上，拋出的水平距離之比等于初速度之比，如圖所示，設圓的半徑為r，由幾何關系得xAM＝2rcos237°，xBM＝2rsin237°，則xAM∶xBM＝16∶9，故vA∶vB＝16∶9，5.（多選）如圖所示，在水平放置的半徑為R的圓柱體的正上方P點，將一個小球以速度v0沿垂直于圓柱體軸線方向水平拋出，小球飛行一段時間后恰好從圓柱體的Q點沿切線方向飛過，測得該截面的圓心O與Q點的連線與豎直方向的夾角為θ，那么小球從P運動到Q所用的時間是（）A.t＝Rsinθv0C.t＝2Rtanθsinθ解析：ABD如圖所示，小球在水平方向上做勻速運動，水平位移x＝Rsinθ＝v0t，得t＝Rsinθv0，A正確；小球到達Q點時豎直分速度vy＝gt＝v0tanθ，得t＝v0tanθg，B正確；小球從圓柱體的Q點沿切線飛過，故小球在Q點的速度方向垂直于半徑OQ，在Q點的速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，設小球通過Q點時其豎直分位移為y，則y＝x2tanθ＝12Rsinθtanθ，又有y＝12gt2題型三平拋運動中的臨界極值問題6.如圖所示，排球比賽中，某隊員在距網(wǎng)水平距離為4.8m、距地面3.2m高處將排球沿垂直網(wǎng)的方向以16m/s的速度水平擊出。已知網(wǎng)高2.24m，排球場地長18m，重力加速度g取10m/s2，可將排球視為質(zhì)點，下列判斷正確的是（）A.球不能過網(wǎng)B.球落在對方場地內(nèi)C.球落在對方場地底線上D.球落在對方場地底線之外解析：B由題意可得，排球恰好到達網(wǎng)正上方的時間為t＝xv＝0.3s，此時間內(nèi)排球下降的高度為h＝12gt2＝0.45m，因為Δh＝3.2m－2.24m＝0.96m＞0.45m，所以球越過了網(wǎng)，且落地時間為t'＝2h'g＝0.8s，則落地的水平位移為x'＝vt'＝12.8m，因為擊球點到對方底線間的距離為x″＝4.8m＋9m＝7.（多選）康杰中學舉辦的“學雷鋒集愛心”義賣活動中，有班級設置了套圈游戲，如圖所示。某同學從距水平地面高度1m處水平拋出一個半徑為0.1m的圓環(huán)，套前方地面上的水杯，假設圓環(huán)運動過程始終保持水平，圓環(huán)中心到水杯的水平距離為3.0m，水杯高度為0.2m，水杯大小忽略不計。重力加速度g＝10m/s2（忽略空氣阻力），要想套住水杯，圓環(huán)剛拋出時的速度可能是（）A.7.6m/s B.7.7m/sC.7.8m/s D.7.9m/s解析：AB已知圓環(huán)的高度h1＝1m，圓環(huán)的半徑為r＝0.1m，水杯的高度為h2＝0.2m，圓環(huán)中心到水杯的水平距離為x＝3m，根據(jù)自由落體運動規(guī)律可知h1－h(huán)2＝12gt2，解得t＝0.4s，當圓環(huán)右側(cè)貼著水杯落下時，圓環(huán)拋出時的初速度有最小值，即x－r＝v1t，解得v1＝7.25m/s，當圓環(huán)左側(cè)貼著水杯落下時，圓環(huán)拋出時的初速度有最大值，即x＋r＝v2t，解得v2＝7.75m/s，要使圓環(huán)套住地面上的水杯，圓環(huán)剛拋出時的速度大小的范圍為7.25m/s＜v＜7.75m/s，故選A、B8.如圖，傾角θ＝30°的斜面體ABC固定在水平面上，斜面AC長為L，在斜面中點D處立有一根豎直的細桿，從斜面頂端A點水平拋出一個小球，小球剛好能越過豎直細桿并落在斜面的底端C。不計空氣阻力，小球可視為質(zhì)點，則細桿的長度為（）A.18L B.16LC.15L解析：A設小球的初速度為v0，從拋出到落在斜面的底端C的時間為t，則根據(jù)平拋運動規(guī)律有12gt2＝AB＝L2，v0t＝BC＝32L，設當小球運動到細桿上方時，運動時間為t'，下降高度為H，則有v0t'＝BC2＝34L，12gt'2＝H，聯(lián)立得到H＝L8，D點到水平面的高度為H'＝12AB＝L4，所以細桿的長度H桿＝AB－9.如圖所示，a、b兩小球分別從半徑大小為R的半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時水平拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面豎直高度相等，斜面斜邊長是其豎直高度的2倍，a、b均可視為質(zhì)點，結(jié)果a、b兩球同時分別落在半圓軌道和斜面上，則小球的初速度大小為（重力加速度為g，不計空氣阻力）（）A.2gR B.C.23gR解析：Ba、b兩球以相同的初速度平拋，同時分別落在半圓軌道和斜面上，可知兩小球在豎直方向和水平方向的位移大小相等，在左側(cè)作一個對稱的三角形，三角形斜邊與圓弧有一交點，該交點與拋出點之間豎直方向的距離與水平方向的距離就是小球做平拋運動的豎直位移大小和水平位移大小，分別設為y和x，并設小球從拋出到落到斜面上所用時間為t，如圖所示，根據(jù)題意可知θ＝30°，再由幾何關系可得y＝Rsin2θ＝12gt2，x＝R＋Rcos2θ＝v0t，聯(lián)立解得t＝3Rg，v0＝3310.（多選）主題口號為“一起向未來”的2022年北京冬奧會圓滿落幕。跳臺滑雪比賽在河北張家口舉行，如圖，跳臺滑雪賽道由助滑道AB、著陸坡CD、停止區(qū)DE三部分組成。比賽中，甲、乙兩運動員先后以速度v1、v2從C點正上方B處沿水平方向飛出，分別落在了著陸坡的中點P和末端D，運動員可看成質(zhì)點，不計空氣阻力，著陸坡的傾角為θ，重力加速度為g，則（）A.甲運動員從B點飛出到距離斜面最遠所需要的時間t＝vB.v1、v2的大小關系為v2＝2v1C.甲、乙兩運動員落到著陸坡前瞬間速度方向相同D.甲運動員落到著陸坡前瞬間速度方向與水平方向的夾角比乙