第2課時(shí)函數(shù)的最大（小）值

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解函數(shù)的最大（小）值的概念及其幾何意義.2.會(huì)借助單調(diào)性求最值.3.掌握求二

次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的最大值與最小值

最大值最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：DxG/,都有

條件本）三M本）副

Jxo^I,使得"o)=M

結(jié)論稱(chēng)M是函數(shù)y=#x）的最大值稱(chēng)M是函數(shù)y=*x）的最小值

幾何意義ZU）圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)ZU）圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

思考1若函數(shù)兀則M一定是函數(shù)的最大值嗎？

『答案』不一定，只有定義域內(nèi)存在一點(diǎn)xo,使./Uo）=M時(shí)，M才是函數(shù)的最大值，否

則不是.如犬x）=-成立，但3不是/U）的最大值，0才是它的最大值.

思考2若函數(shù)y=/（x）在區(qū)間『〃，人』上單調(diào)遞增，則1x）在區(qū)間『a,〃』上的最大值與最小

值分別是多少？

『答案』最大值為大與，最小值為人”）.

知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)最值的常用方法

1.圖象法：作出y=/（x）的圖象，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高（低）點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大

（小）值.

2.運(yùn)用己學(xué)函數(shù)的值域.

3.運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性：

⑴若y=/（x）在區(qū)間hl,bl上單調(diào)遞增，則ymax=flQ，

）"min=

⑵若y=/（x）在區(qū)間『a,bl上單調(diào)遞減，則Vm“=Aa），

_Xmin—fib、.

4.分段函數(shù)的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中最大（小）的那個(gè).

—預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)—

1.函數(shù)/U）在『一2,2』上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值為，最大值為.

-2

『答案』一12

『解析』由圖可知，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一1,圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,所以函數(shù)的

最大值為2,最小值為-1.

2.函數(shù)Kr）=|x|,『一1,3」，則火x）的最大值為.

『答案』3

『解析』根據(jù)圖象（圖略）可知，火X）max=3.

3.函數(shù)>=占在『2,3』上的最大值為.

『答案』1

『解析』：丫二占在『2,3』上單調(diào)遞減，.力2=/（2）=1.

4.函數(shù)y=2f+2,x￡R的最小值是.

『答案』2

題型探究探究重點(diǎn)提升素養(yǎng)

-------------------------------------------------------------------N--------------------

一、圖象法求函數(shù)的最值（值域）

例1求函數(shù)y=^+l|—b一2|的最大值和最小值.

-3,xW—1,

解y=|x+l|一|x—2|="2x—l,-1令<2,作出函數(shù)的圖象，由圖可知，『一3,3」.

、3,工22.

儼一x,0WxW2,

跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)/（x）=工。求函數(shù)於）的最大值、最小值.

1,x>2,

[x—1

解作出兀0的圖象如圖.

由圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，./）取最大值為2；

當(dāng)x=T時(shí)，取最小值為一"

所以J（x）的最大值為2,最小值為一；.

二、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值

例2已知函數(shù)卸x）=『十；XGn,+8）.

（1）當(dāng)a=T時(shí)，求函數(shù)./（X）的最小值；

⑵若對(duì)任意的xG『1,+8）,式x）>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解（1）當(dāng)時(shí)，式x）=--------=1+套+2.

任取Xl,X2^F1,+°°）,且X1<X2，

所以7U1）一/（12）=（無(wú)1一玄）（1一日;），

因?yàn)閄1<X2且樂(lè)>1,X2>1,

所以Xi—X2<0,X]X2>1.

所以4X1）勺（X2）,

即函數(shù)式X）在『1,+8）上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)於）在『1,+8）上的最小值為

17

11）=1+/+2=5.

;

（2）因?yàn)閥（x）=->0在/1,+8）上恒成立,

所以f+2x+〃>o在n,+8)上恒成立.

記〉=*+2%+〃，xG[1,+°°),

所以y=(x+Ip+a-1在『1,十8)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=l時(shí)，y取得最小值，最小值為3+a

所以當(dāng)3+。>0,即a>~3時(shí)，40>0恒成立，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,+8).

(學(xué)生)

反思感悟利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的關(guān)注點(diǎn)

(1)若函數(shù)yfx)在區(qū)間『〃，人』上單調(diào)遞增，則式x)的最大值為最小值為/(a).

(2)若函數(shù))'=y(x)在區(qū)間Ta,feJJ上單調(diào)遞減，則式x)的最大值為/(a),最小值為人6).

(3)若函數(shù)y=/(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決定出

最大(小)值.函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值.

(4)如果函數(shù)定義域?yàn)殚]區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點(diǎn)處的函

數(shù)值或者發(fā)展趨勢(shì).

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)/(x)=x+%

⑴求證於)在“，+8)上單調(diào)遞增；

(2)求yu)在『1,4」上的最大值及最小值.

⑴證明設(shè)

則式制)-A》2)=(X|+()-(及+9

（為―X2）（X1X2-1）

X\X2

,.,1WXI<X2,?'-Xi—X2<0,X\X2>\,.".X\X2~l>0,

.（X1-X2）（X|X2~~1）<0

)

'?X\X2即人》)勺^2.

，小)在n,+8)上單調(diào)遞增.

(2)解由(1)可知兀0在『1,4』上單調(diào)遞增，

...當(dāng)x=i時(shí)，./U)取得最小值，最小值為yu)=2,

17

當(dāng)x=4時(shí)，氏r)取得最大值，最大值為次4)=彳.

綜上所述，,")在『1,4』上的最大值是,，最小值是2.

三、函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用

例3某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,

'1,

400x一材，0WxW400,

己知總收益滿足函數(shù)：R(x)=J2其中x是儀器的月產(chǎn)量.

.80000,x>400,

(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)兀力

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益=總成本+利潤(rùn))

解(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20000+100x,

(1

-彳/+3期一20000,04W400,

從而_/U)=j2

60000-100x,x>400.

(2)當(dāng)0Wx<400時(shí)，X%)=-1(X-300)2+25000；

當(dāng)x=300時(shí)，4x)a=250>0,

當(dāng)x>400時(shí)，/(x)=60000—100x單調(diào)遞減，

於)<60000-100X400<25000.

當(dāng)x=300時(shí)，25000.

即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元.

(學(xué)生)

反思感悟解決函數(shù)最值應(yīng)用題的方法

(1)解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)要弄清題意，從實(shí)際出發(fā)，引入數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系

式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問(wèn)題，要注意自變量的取值范圍.

(2)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，最大利泗、用料最省等問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來(lái)解決，本題轉(zhuǎn)化為二

次函數(shù)求最值，利用配方法和分類(lèi)討論思想使問(wèn)題得到解決.

跟蹤訓(xùn)練3將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，已知這種商品

每漲價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)，為得到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利潤(rùn)為多少？

解設(shè)售價(jià)為x元，利潤(rùn)為y元，單個(gè)漲價(jià)(尤一50)元，銷(xiāo)量減少10(x—50)個(gè)，

銷(xiāo)量為500—10(》-50)=(1000—10幻個(gè)，

則y=(X—40)(1000—1Ox)=-10(x-70)2+9000.

故當(dāng)x=70時(shí)，y,?ax=9000.

即售價(jià)為70元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)值為9000元.

核心素養(yǎng)之直觀想象?--------------------------

分類(lèi)討論求二次函數(shù)的最值

典例求—25一1在區(qū)間『0,2』上的最大值M(a)和最小值皿a).

解f(x)=(x—a)2—]—a2,對(duì)稱(chēng)軸為x=".

(1)當(dāng)時(shí)，由圖①可知，,/(X)在區(qū)間『0,2』上單調(diào)遞增，

所以_/(X)min=y(0)=-1,火X)max=7(2)=3—4a

(2)當(dāng)OWaWl時(shí)，由圖②可知，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間『0,2』內(nèi),

所以/(X)min=/B)=—1—〃，_/(X)max=/(2)=3—4a.

(3)當(dāng)l<a<2時(shí)，由圖③可知，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間『0,2』內(nèi)，

所以火X)min=/3)=—1—廿，式X)max=/(0)=-1.

(4)當(dāng)。>2時(shí)，由圖④可知，?r)在『0,2』上單調(diào)遞減，

所以./U)min=/(2)=3—4a,y(X)max=KO)=-1.

綜上，M(〃)=,

『素養(yǎng)提升』(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)，求解時(shí)要

注意這兩個(gè)因素.

(2)利用二次函數(shù)圖象，進(jìn)行分類(lèi)討論，提升直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

隨堂演練基礎(chǔ)鞏.固學(xué)以致用

--------------------N--------------------

1.函數(shù)火X)的圖象如圖所示，則其最大值、最小值分別為()

B./(0),

D.旭),/3)

『解析』觀察函數(shù)圖象可知，凡r)的最大值、最小值分別為/(0),

2.設(shè)函數(shù)式x)=2r—l(x<0),則兀v)()

A.有最大值

B.有最小值

C.既有最大值又有最小值

D.既無(wú)最大值又無(wú)最小值

『答案』D

『解析』；段)在(一8,0)上單調(diào)遞增，

.\儂勺(0)=-1.

3.函數(shù)y=f—2x,xG[0,3]的值域?yàn)?)

A.[0,3jB.F-1,OJ

c.r—i,+°°)D.r—1,3j

『答案』D

『解析』,函數(shù)y=*—2x=(x—Ip—1