山東省棗莊市薛城區2025屆高一下數學期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如果連續拋擲一枚質地均勻的骰子100次，那么第95次出現正面朝上的點數為4的概率為（）A． B． C． D．2．平面內任一向量都可以表示成的形式，下列關于向量的說法中正確的是（）A．向量的方向相同 B．向量中至少有一個是零向量C．向量的方向相反 D．當且僅當時，3．下面結論中，正確結論的是（）A．存在兩個不等實數，使得等式成立B．(0<x<π)的最小值為4C．若是等比數列的前項的和，則成等比數列D．已知的三個內角所對的邊分別為，若，則一定是銳角三角形4．已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關系是()A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C5．將函數的圖象向右平移個單位長度得到圖像，則下列判斷錯誤的是（）A．函數的最小正周期是 B．圖像關于直線對稱C．函數在區間上單調遞減 D．圖像關于點對稱6．某高中三個年級共有3000名學生，現采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三年級的全體學生中抽取一個容量為30的樣本進行視力健康檢查，若抽到的高一年級學生人數與高二年級學生人數之比為3∶2，抽到高三年級學生10人，則該校高二年級學生人數為（）A．600 B．800 C．1000 D．12007．在中，角的對邊分別是，，則的形狀為A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形8．設，，，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．9．函數的一個對稱中心是（）A． B． C． D．10．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．化簡：．12．設等比數列的前項和為，若，,則的值為______．13．已知向量，，若，則__________．14．函數的定義域是________15．設，用，表示所有形如的正整數集合，其中且，為集合中的所有元素之和，則的通項公式為_______16．設，且，則的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．化簡求值：（1）化簡：（2）求值，已知，求的值18．已知為數列的前n項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前n項和.19．在一次人才招聘會上，有A、B兩家公司分別開出了它們的工資標準：A公司允諾第一年月工資數為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資數為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資增加基礎上遞增5%，設某人年初被A、B兩家公司同時錄取，試問：（1）若該人分別在A公司或B公司連續工作年，則他在第年的月工資收入分別是多少?（2）該人打算連續在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準（不計其它因素），該人應該選擇哪家公司，為什么?（3）在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元（精確到1元），并說明理由.20．已知圓M的圓心在直線上，直線與圓M相切于點.（1）求圓M的標準方程；（2）已知過點且斜率為的直線l與圓M交于不同的兩點A、B，而且滿足，求直線l的方程.21．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數n，存在多項式函數，使得對所有實數x均成立，其中均為整數，當n為奇數時，，當n為偶數時，；（3）利用（2）的結論判斷是否為有理數？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由隨機事件的概念作答．【詳解】拋擲一枚質地均勻的骰子，出現正面朝上的點數為4，這個事件是隨機事件，每次拋擲出現的概率是相等的，都是，不會隨機拋擲次數的變化而變化．故選：B．【點睛】本題考查隨機事件的概率，屬于基礎題．2、D【解析】

根據平面向量的基本定理，若平面內任一向量都可以表示成的形式，構成一個基底，所以向量不共線．【詳解】因為任一向量，根據平面向理的基本定理得，所以向量不共線，故A，C不正確.是一個基底，所以不能為零向量，故B不正確.因為不共線，且不能為零向量，所以若，當且僅當，故D正確.故選：D【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.3、A【解析】

對各個選項逐一判斷，對于選項A，由，代入計算，即可判斷是否正確；對于選項B，設，結合函數的單調性，即可判斷是否正確；對于選項C，由公比為為偶數，即可判斷是否正確；對于選項D，由余弦定理，即可判斷是否正確．【詳解】對于選項A，兩個不等實數，使得等式成立，故A正確；對于選項B，若設設，可得在遞減，即函數的最小值為，故B錯誤；對于選項C，是等比數列的前項的和，當公比，為偶數時，則，均為，不能夠成等比數列，故C錯誤；對于選項D，中，若，可得，即為銳角，不能判斷一定是銳角三角形，故D錯誤．故選：A．【點睛】本題考查兩角和的正弦公式、基本不等式和等比數列的性質，以及余弦定理的應用，屬于基礎題．4、B【解析】

由集合A，B，C，求出B與C的并集，判斷A與C的包含關系，以及A，B，C三者之間的關系即可．【詳解】由題BA，∵A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，則B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故選：B．【點睛】此題考查了集合間的基本關系及運算，熟練掌握象限角，銳角，以及小于90°的角表示的意義是解本題的關鍵，是易錯題5、C【解析】

根據三角函數的圖象平移關系求出的解析式，結合函數的單調性，對稱性分別進行判斷即可．【詳解】由題意，將函數的圖象向右平移個單位長度，可得，對于,函數的最小正周期為，所以該選項是正確的；對于，令，則為最大值，函數圖象關于直線，對稱是正確的；對于中，，則，，則函數在區間上先減后增，不正確；對于中，令，則，圖象關于點對稱是正確的，故選．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數的單調性，對稱性，求出解析式是解決本題的關鍵．6、B【解析】

根據題意可設抽到高一和高二年級學生人數分別為和，則，繼而算出抽到的各年級人數，再根據分層抽樣的原理可以推得該校高二年級的人數．【詳解】根據題意可設抽到高一和高二年級學生人數分別為和，則，即，所以高一年級和高二年級抽到的人數分別是12人和8人，則該校高二年級學生人數為人．故選：．【點睛】本題考查分層抽樣的方法，屬于容易題．7、A【解析】

先根據二倍角公式化簡，再根據正弦定理化角，最后根據角的關系判斷選擇.【詳解】因為，所以,,因此,選A.【點睛】本題考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析轉化能力，屬基礎題.8、D【解析】

利用基本不等式可得，再結合代入即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，∴，當且僅當即，時等號成立，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，要注意條件“一正二定三相等”，屬于中檔題．9、A【解析】

令，得：，即函數的對稱中心為，再求解即可.【詳解】解：令，解得：，即函數的對稱中心為，令，即函數的一個對稱中心是，故選：A.【點睛】本題考查了正切函數的對稱中心，屬基礎題.10、A【解析】

由正弦定理可得，再結合求解即可.【詳解】解：由，又，則，由，則，故選：A.【點睛】本題考查了正弦定理，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0【解析】原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.12、16【解析】

利用及可計算，從而可計算的值.【詳解】因為，故，因為，故，故，故填16.【點睛】等差數列或等比數列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數學問題轉化為關于基本量的方程或方程組，再運用基本量解決與數列相關的問題；（2）利用數列的性質求解即通過觀察下標的特征和數列和式的特征選擇合適的數列性質處理數學問題．13、1【解析】由,得.即.解得.14、【解析】

根據的值域為求解即可.【詳解】由題.故定義域為.故答案為：【點睛】本題主要考查了反三角函數的定義域,屬于基礎題型.15、【解析】

把集合中每個數都表示為2的0到的指數冪相加的形式，并確定，，，，每個數都出現次，于是利用等比數列求和公式計算，可求出數列的通項公式．【詳解】由題意可知，，，，是0，1，2，，的一個排列，且集合中共有個數，若把集合中每個數表示為的形式，則，，，，每個數都出現次，因此，，故答案為：．【點睛】本題以數列新定義為問題背景，考查等比數列的求和公式，考查學生的理解能力與計算能力，屬于中等題．16、【解析】

通過可求得x的取值范圍，接著利用反正弦函數的定義可得的取值范圍.【詳解】，，即.由反正弦函數的定義可得，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題主要考查余弦函數的定義域和值域，反正弦函數的定義，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據誘導公式先化簡每一項，然后即可得到最簡結果；（2）利用“齊次”式的特點，分子分母同除以，將其化簡為關于的形式即可求值.【詳解】（1）原式，（2）原式【點睛】本題考查誘導公式和同角三角函數的基本關系的運用，難度較易.（1）利用誘導公式進行化簡時，掌握“奇變偶不變”的實際含義進行化簡即可；（2）求解形如的“齊次式”的值，注意采用分子分母同除以的方法，將其化簡為關于的形式再求值.18、(1)(2)【解析】

(1)先根據和項與通項關系得項之間遞推關系，再根據等比數列定義以及通項公式求結果，(2)根據錯位相減法求結果.【詳解】(1)因為，所以當時，,相減得，，當時，，因此數列為首項為，2為公比的等比數列，(2),所以，則2，兩式相減得.【點睛】本題考查錯位相減法求和以及由和項求通項，考查基本求解能力，屬中檔題.19、（1）在A公司第年收入為；在B公司連續工作年收入為；（2）應選擇A公司，理由見詳解；（3）827；理由見詳解.【解析】

（1）先分別記該人在A公司第年收入為，在B公司連續工作年收入為，根據題中條件，即可直接得出結果；（2）根據等差數列與等比數列的求和公式，分別計算前的和，即可得出結果；（3）先令，將原問題轉化為求的最大值，進而可求出結果.【詳解】（1）記該人在A公司第年收入為，在B公司連續工作年收入為，由題意可得：，，，；（2）由（1），當時，該人在A公司工資收入的總量為：（元）；該人在B公司工資收入的總量為：（元）顯然A公司工資總量高，所以應選擇A公司；（3）令，則原問題即等價于求的最大值；當時，，若，則，即，解得；又，所以，因此，當時，；當時，.所以是數列的最大項，（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多元.【點睛】本題主要考查數列的應用，熟記等差數列與等比數列的通項公式與求和公式即可，屬于常考題型.20、（1）（2）或【解析】

（1）設圓心坐標為，由圓的性質可得，再求解即可；（2）設，，則等價于，再利用韋達定理求解即可.【詳解】解：（1）由圓M的圓心在直線上，設圓心坐標為，又直線與圓M相切于點，則，解得：，即圓心坐標，半徑，即圓M的標準方程為；（2）由題意可得直線l的方程為，聯立，消整理可得，則，即，又，則恒成立，設，，則由題意有，則，，又，則，則，即，整理得，解得或，即直線l的方程為或，即或.【點睛】本題考查了圓的標準方程的求法，重點考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題.21、（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數學歸納法進行證明；（3）根據（2）的結論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式