2025屆湖北省宜昌金東方高級中學高一下數學期末聯考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，且，則實數的值為（）A．2 B． C．3 D．2．設不等式組所表示的平面區域為，在內任取一點，的概率是（）A． B． C． D．3．角的終邊過點，則等于（）A． B． C． D．4．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）5．已知圓錐的母線長為6，母線與軸的夾角為30°，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．6．秦九韶是我國南宋時期的數學家，在他所著的《數書九章》中提出的多項式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比較先進的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法，求某多項式值的一個實例，若輸入的值分別為4和2，則輸出的值為（）A．32 B．64 C．65 D．1307．已知某數列的前項和（為非零實數），則此數列為（）A．等比數列 B．從第二項起成等比數列C．當時為等比數列 D．從第二項起的等比數列或等差數列8．已知函數的圖象過點，且在上單調，同時的圖象向左平移個單位之后與原來的圖象重合，當，且時，，則A． B． C． D．9．平面內任一向量都可以表示成的形式，下列關于向量的說法中正確的是（）A．向量的方向相同 B．向量中至少有一個是零向量C．向量的方向相反 D．當且僅當時，10．若直線與圓有公共點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數在區間上的值域為______.12．等比數列前n項和為，若，則______.13．已知函數，數列的通項公式是，當取得最小值時，_______________.14．設函數的最小值為，則的取值范圍是___________.15．已知數列滿足，，則______．16．在高一某班的元旦文藝晚會中，有這么一個游戲：一盒子內裝有6張大小和形狀完全相同的卡片，每張卡片上寫有一個成語，它們分別為意氣風發、風平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河，從盒內隨機抽取2張卡片，若這2張卡片上的2個成語有相同的字就中獎，則該游戲的中獎率為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某書店剛剛上市了《中國古代數學史》，銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷，每種單價（元）試銷l天，得到如表單價（元）與銷量（冊）數據：單價（元）1819202122銷量（冊）6156504845（l）根據表中數據，請建立關于的回歸直線方程：（2）預計今后的銷售中，銷量（冊）與單價（元）服從（l）中的回歸方程，已知每冊書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤，該冊書的單價應定為多少元？附：，，，.18．如圖，墻上有一壁畫，最高點離地面4米，最低點離地面2米，觀察者從距離墻米，離地面高米的處觀賞該壁畫，設觀賞視角（1）若問：觀察者離墻多遠時，視角最大？（2）若當變化時，求的取值范圍.19．已知函數.（1）求函數在上的最小值的表達式；（2）若函數在上有且只有一個零點，求的取值范圍.20．已知函數的圖象向左平移個單位長度后與函數圖象重合.（1）求和的值；（2）若函數，求函數的單調遞減區間及圖象的對稱軸方程.21．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點分別在上，且平面，試確定點的位置

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據二角和與差的正弦公式化簡，，再切化弦，即可求解.【詳解】由題意又解得故選：【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎題.2、A【解析】作出約束條件所表示的平面區域，如圖所示，四邊形所示，作出直線，由幾何概型的概率計算公式知的概率，故選A.3、B【解析】由三角函數的定義知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.4、D【解析】

直接利用向量的坐標運算法則化簡求解即可．【詳解】解：向量a=（3，2），b則向量2b-故選D．【點睛】本題考查向量的坐標運算，考查計算能力．5、B【解析】

根據母線長和母線與軸的夾角求得底面半徑和圓錐的高，代入體積公式求得結果.【詳解】由題意可知，底面半徑；圓錐的高圓錐體積本題正確選項：【點睛】本題考查錐體體積的求解問題，屬于基礎題.6、C【解析】程序運行循環時變量值為：；；；，退出循環，輸出，故選C．7、D【解析】

設數列的前項和為，運用數列的遞推式：當時，，當時，，結合等差數列和等比數列的定義和通項公式，即可得到所求結論．【詳解】設數列的前項和為，對任意的，（為非零實數）.當時，；當時，.若，則，此時，該數列是從第二項起的等差數列；若且，不滿足，當時，，此時，該數列是從第二項起的等比數列.綜上所述，此數列為從第二項起的等比數列或等差數列.故選：D.【點睛】本題考查數列的遞推式的運用，等差數列和等比數列的定義和通項公式，考查分類討論思想和運算能力，屬于中檔題．8、A【解析】由題設可知該函數的周期是，則過點且可得，故，由可得，所以由可得，注意到，故，所以，應選答案A點睛：已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.9、D【解析】

根據平面向量的基本定理，若平面內任一向量都可以表示成的形式，構成一個基底，所以向量不共線．【詳解】因為任一向量，根據平面向理的基本定理得，所以向量不共線，故A，C不正確.是一個基底，所以不能為零向量，故B不正確.因為不共線，且不能為零向量，所以若，當且僅當，故D正確.故選：D【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.10、C【解析】由題意得圓心為，半徑為．圓心到直線的距離為，由直線與圓有公共點可得，即，解得．∴實數a取值范圍是．選C．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，結合正弦函數性質可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數的的單調性和最值．求解三角函數的性質的性質一般都需要用三角恒等變換化函數為一個角的一個三角函數形式，然后結合正弦函數的性質得出結論．12、【解析】

根據等比數列的性質得到成等比，從而列出關系式，又，接著用表示，代入到關系式中，可求出的值.【詳解】因為等比數列的前n項和為，則成等比，且，所以，又因為，即，所以，整理得.故答案為：.【點睛】本題考查學生靈活運用等比數列的性質化簡求值，是一道基礎題。解決本題的關鍵是根據等比數列的性質得到成等比.13、110【解析】

要使取得最小值，可令，即，對的值進行粗略估算即可得到答案.【詳解】由題知：①.要使①式取得最小值，可令①式等于.即，.又因為，，則當時，，，①式.則當時，，，①式.當或時，①式的值會變大，所以時，取得最小值.故答案為：【點睛】本題主要考查數列的函數特征，同時考查了指數函數和對數函數的性質，核心素養是考查學生靈活運用知識解決問題的能力，屬于難題.14、.【解析】

確定函數的單調性，由單調性確定最小值．【詳解】由題意在上是增函數，在上是減函數，又，∴，，故答案為．【點睛】本題考查分段函數的單調性．由單調性確定最小值，15、1023【解析】

根據等比數列的定義以及前項和公式即可．【詳解】因為所以，所以為首先為1公比為2的等比數列，所以【點睛】本題主要考查了等比數列的前項和：屬于基礎題．16、【解析】

先列舉出總的基本事件，在找出其中有2個成語有相同的字的基本事件個數，進而可得中獎率.【詳解】解：先觀察成語中的相同的字，用字母來代替這些字，氣—A，風—B，馬—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分別表示成語意氣風發、風平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河，則從盒內隨機抽取2張卡片有共15個基本事件，其中有相同字的有共6個基本事件，該游戲的中獎率為，故答案為：.【點睛】本題考查古典概型的概率問題，關鍵是要將符合條件的基本事件列出，是基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當單價應定為22.5元時，可獲得最大利潤【解析】

（l）先計算的平均值，再代入公式計算得到（2）計算利潤為：計算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對的回歸直線方程為：．（2）設獲得的利潤為，，因為二次函數的開口向下，所以當時，取最大值，所以當單價應定為22.5元時，可獲得最大利潤．【點睛】本題考查了回歸方程，函數的最值，意在考查學生的計算能力.18、（1）（2）3≤x≤1．【解析】試題分析：（1）利用兩角差的正切公式建立函數關系式，根據基本不等式求最值，最后根據正切函數單調性確定最大時取法，（2）利用兩角差的正切公式建立等量關系式，進行參變分離得，再根據a的范圍確定范圍，最后解不等式得的取值范圍.試題解析：（1）當時，過作的垂線，垂足為，則，且，由已知觀察者離墻米，且，則，所以，，當且僅當時，取“”．又因為在上單調增，所以，當觀察者離墻米時，視角最大．（2）由題意得，，又，所以，所以，當時，，所以，即，解得或，又因為，所以，所以的取值范圍為．19、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數的對稱軸方程，對實數分、、三種情況討論，分析函數在區間上的單調性，進而可得出函數在區間上的最小值的表達式；（2）對函數分情況討論：（i）方程在區間上有兩個相等的實根；（ii）①方程在區間只有一根；（②；③.可得出關于實數的等式或不等式，即可解得實數的取值范圍.【詳解】（1），其對稱軸為，當，即時，函數在區間上單調遞減，；當，即時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，；當時，即當時，函數在區間上單調遞增，.綜上所述：；（2）（i）若方程在上有兩個相等的實數根，則，此時無解；（ii）若方程有兩個不相等的實數根.①當只有一根在內時，，即，得；②當時，，方程化為，其根為，，滿足題意；③當時，，方程化為，其根為，，滿足題意.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題考查二次函數在定區間上最值的計算，同時也考查了利用二次函數在區間上零點個數求參數，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.20、（1），；（2）減區間為，對稱軸方程為【解析】

(1)先根據平移后周期不變求得,再根據三角函數的平移方法求得即可.(2)根據(1)中,代入可得,利用輔助角公式求得,再代入調遞減區間及圖象的對稱軸方程求解即可.【詳解】（1）因為函數的圖象向左平移個單位長度后與函數圖象重合,所以.所以,因為,所以.（2）由（1）,,所以,.令,解得所以函數的單調遞減區間為.令,可得圖象的對稱軸方程為.【點睛】本題主要考查了三角函數的平移運用以及輔助角公式.同時也考查了根據三角函數的解析式求解單調區間以及對稱軸等方法.屬于中檔題.21、（1）；（2）M為AB的中點，N為PC的中點【解析】

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立空間直角坐標系，求平面PCD的一個法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設，利用平面PCD，所以