廣東省重點名校2017-2018學年高二下學期期末調研數學試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖所示正方形ABC。，E、R分別是A3、CO的中點，則向正方形內隨機擲一點P,該點落在

陰影部分內的概率為（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據正方形的對稱性求得陰影部分面積占總面積的比例，由此求得所求概率.

【詳解】

根據正方形的對稱性可知，陰影部分面積占總面積的四分之一，根據幾何概型概率計算公式可知點落在陰

影部分內的概率為故選D.

4

【點睛】

本小題主要考查幾何概型的計算，屬于基礎題.

2.已知線段A3所在的直線與平面a相交于點3,且與平面”所成的角為30。，\AB\=2y/3,C,D

為平面a內的兩個動點，且忸。=1,440=30。，則C,。兩點間的最小距離為（）

A.273-1B.1C.V3D.V3-1

【答案】D

【解析】

【分析】

過A作面”，垂足為。，連結80,得到C點的運動軌跡，以。為原點，建立空間直角坐標系，

在AAD6中，利用余弦定理得到動點。的軌跡方程，從而得到3、。兩點間距離的最小值，再得到C,

。兩點間的最小距離.

【詳解】

如圖，過A作49,面垂足為。，連結80,

根據題意，因為忸C|=l,所以。在以3為圓心，1為半徑的圓上運動；

以。為原點與08垂直的方向為x軸，以08為y軸，以。4為z軸，建立空間直角坐標系,

則0（0,0,0）,A（0,0,73）,B（0,3,0）,

因為。為平面a內動點，所以設。（羽y,0）

在AAD6中，根據余弦定理可得

m+m-w

cosZADB=

2ADBD

x2+/+3+12-x2-(y-3)2

即cos30°=

2x2,\^xJx"+y2+3

整理得y=#+i,

平面e內，。點在曲線>上運動,

-2

所以忸￡)[=9+(,_3)2=,2_4,+7,(y>l)

所以當y=2時，=3,即忸。|.=73,

IIminIImin

所以C,。兩點間的最小距離為6-L

本題考查圓上的點到曲線上點的距離的最值，考查求動點的軌跡方程，余弦定理解三角形，屬于中檔題.

3.已知雙曲線的離心率為2,焦點是（—4,0）,（4,0）,則雙曲線方程為（）

124

22

C.工-匕=1

106610

【答案】A

【解析】

由題意e=2,c=4,

c

由6=—，可解得a=2,

a

又bJc'-a?,解得b2=12

22

所以雙曲線的方程為土-^=1.

412

22

故答案為—-^=1.

412

故答案選A.

4.設全集為R,集合A={x|生土>0},B={x\x>l},則AB=()

x

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<l}c.{x\l<x<2}D.{x10<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】

利用分式不等式的解法求出集合A,求出兩個集合的公共部分即為兩個集合的交集.

【詳解】

-2-x\'

由集合A=<x—^-)0>可知0<x<2；

因為3={%|%21},

.-.BnA={x|l<x<2}，故選C.

【點睛】

研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉

化為元素間的關系，本題實質求滿足屬于集合A且屬于集合B的元素的集合.

5.已知/(%)=%2+2%./'(1),則/'(3)等于()

A.-4B.-2C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

首先對f(x)求導，將1代入，求出F(1)的值，化簡f，(x),最后將x=3代入即可.

【詳解】

因為f'(x)=lx+lf(1),

令x=l,可得

F(1)=1+1F(1),

：.f(1)=-1,

/.F(x)=lx+lfz(1)=lx-4,

當x=3,f(3)=1.

故選：D

【點睛】

本題考查導數的運用，求出尸（1）是關鍵，是基礎題.

6.設集合M={-2,2},N={x—<2},則下列結論正確的是（）

A.N=MB.M=NC.NAf={2}D.NM=R

【答案】B

【解析】

分析：先根據解分式不等式得集合N,再根據數軸判斷集合M,N之間包含關系，以及根據交集定義求交集.

詳解：因為N=所以N=（7）,0）。（2,+8）,

X

因此NcM={—2,2},選B.

點睛：集合的基本運算的關注點

（1）看元素組成.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提.（2）

有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決.（3）注意數形

結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖.

7.如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個

數與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個”或"持平”或"少一個"，那么，小明在這一周中每天所吃水

果個數的不同選擇方案共有（）

A.50種B.51種C.140種D.141種

【答案】D

【解析】

試題分析：小明共有6次選擇，因為第一天和第七天均吃3個水果，所以在這6次選擇中“多一個”和“少

一個"的次數應相同、"持平"次數為偶數.當6次選擇均為“持平”時，共有或=1種方案；當6次選擇中

有4次"持平"時，選擇"多一個"和"少一個"各一次，共有毒或=30種方案；當6次選擇中有2次"持平"

時，選擇“多一個，和“少一個”各2次，共有C：C：C；=90種方案；當6次選擇中有0次“持平”時，選擇“多

一個”和“少一個”各3次，共有=20種方案.綜上可得小明在這一周中每天所吃水果個數的不同選擇

方案共有1+30+90+20=141種方案，故D正確.

考點：排列組合，考查分類討論思想.

8.已知將函數/（x）=V3sinxcosx+cos2x--的圖象向左平移回個單位長度后得到y=g（x）的圖象,

212

則g(；v)在[-a，f]上的值域為()

A.[一；,1]B,C.[-^,1]口.[.；(]

【答案】B

【解析】

解析：因/(x)=Y^sin2x+Lcos2x=sin(2x+工)，故

226

g(x)=sin[2(x+—)+—]=sin(2x+^-)=-sin2x,因一土<x〈工，<2x<^~,貝！]

12612363

-1<sin2x<l,所以—l<g(x)<g,應選答案B.

9.設等差數列｛g｝的公差為d,若數列｛2叫｝為遞減數列，則()

A.d<QB.d>QC.a｛d<QD.qd>0

【答案】c

【解析】

試題分析：因為｛%｝是等差數列，則為=%+(“—l)d.?.2"4=21+砧7)”,又由于｛2的｝為遞減數列,

>1%

所以尹=2如〉1=2。故選C.

考點：1.等差數列的概念；2.遞減數列.

10.設曲線y=ax-ln(x+l)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

D

試題分析：根據導數的幾何意義，即？(xo)表示曲線f(X)在x=xo處的切線斜率，再代入計算.

解：=a"-

x+1

y'(0)=a-1=2,

a=l.

故答案選D.

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程.

5eN+)的展開式中含有常數項的最小的n為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

二項式展開式的通項公式為C(3x)”"(》)"若展開式中有常數項，則〃-r-|r=O,解得“=gr,當

r取2時，n的最小值為5,故選B

【考點定位】本題考查二項式定理的應用.

12.圓弓：/+>2+2》+8>—8=0與。2：/+/—4x+4y—2=0的位置關系是()

A.相交B.外切C.內切D.相離.

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析：由題是給兩圓標準方程為：q:(X+1)2+(J；+4)2=25,Q:(X-2)2+(J+2)2=16,

因為IGGI=J/Z<5+4,所以兩圓相離，故選D.

考點：圓與圓的位置關系.

二、填空題：本題共4小題

13.設函數/(x)=±『+4,g(x)=E，對于任意的石,々6(0,+co),不等式左+l)g(羽)

xe

恒成立，則正實數上的取值范圍________

【答案】

【解析】

【分析】

先分析了(幻、g(x)的單調性，然后判斷上的正負，再利用恒成立的條件確定攵的范圍.

【詳解】

「(x)二1T5〉o),令/，(x)=o,則》=一，所以f(x)在(0,—)單調遞減，在(一,+8)單調遞增,

xeee

貝!1/(%)*=/(2)=46；g'(x)=W，令g'(x)=0,貝!|x=l，所以g(x)在(0』)單調遞增，在(l,y)

ee

單調遞減，則gGOmax=g6=e；

當％f+oo,f(%)+oo,g(x)f0,所以左<0不成立，故左>0；

因為4(%)之。+l)g(w)恒成立,所以容g?)恒成立,所以/(初皿之二^⑴3X，即

KK

42甲，解得左2二，即左cR,+8).

k33

【點睛】

恒成立問題解題思路：當/(占)Ng(9)恒成立時，則/(X)*2gCOmax；

存在性問題解題思路：當存在》滿足/(%'g?)時，則有/(XLaxNgaUn-

14.在(彳一#)6的展開式中常數項為30,則實數〃2的值是一.

【答案】2；

【解析】

【分析】

利用二項展開式的通項，當x的次塞為。時，求得r=2,再由展開式中常數項為30,得到關于加的方程.

【詳解】

1r

因為&]=C>X6f戶.一丫=品.產3'.(_]))戶&=0]，，6)，

當r=2時，4=第.加=30,解得：rn=2.

【點睛】

本題考查二項式定理中的展開式，考查基本運算求解能力，運算過程中要特別注意符號的正負問題.

15.已知(X-1)5=4+4](x+1)+W(x+1尸+…+4(X+1)5，a2=.

【答案】-80

【解析】

【分析】

將(X-r改寫為[(x+1)-21，根據展開式的通項公式即可求解出(x+l)2項的系數，即為生.

【詳解】

因為(x_1)5=[(X+1)_2丁，所以4M=C：(x+1)5-(_2丫,

當5-廠=2時，廠=3,所以(x+項的系數為C；1—2)3=—80,

所以%=—80.

故答案為：-80.

【點睛】

本題考查利用配湊法求解展開式中指定項的系數，難度較易.對于展開式是形如

q(x+〃)+g(x++…+。〃(%+3”的式子，可考慮利用配湊的方法將原二項式變形后再展開去求解

對應項的系數.

16.已知拋物線丁=2加(0>0)的焦點為R,準線為/,過點R的直線交拋物線于A,8兩點，過點A

作準線/的垂線，垂足為￡,當A點坐標為(3,%)時，AAER為正三角形，則。=.

【答案】2

【解析】

【分析】

設點A在第一象限，根據題意可得直線/的傾斜角為60°,過點A作軸，垂足為H,由拋物線的

定義可得|AF|=3+g|FH|=3-g通過解直角三角形可得答案.

【詳解】

設點A在第一象限，過點A作軸，垂足為”，

由AAER為正三角形，可得直線/的傾斜角為60°.

由拋物線的定義可得|A耳=|AE|=3+g

X|FH|=|OH|-|OF|=3--|,

所以在放中有：IAF|=2|我|.

即3+5=213-言］,解得：p=2.

本題考查拋物線中過焦點的弦的性質，屬于難題.

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在一次考試中，某班級50名學生的成績統計如下表，規定75分以下為一般，大于等于75分小于85

分為良好，85分及以上為優秀.

分數697374757778798082838587899395合計

人數24423463344523150

經計算，樣本的平均值A。81,標準差6.2.為評判該份試卷質量的好壞，從其中任取一人，記其成

績為X,并根據以下不等式進行評判：

①P(R-a<X<jLi+a)>0.6828；

(2)P(ju-2(7<X<A+2cr)>0.9544?

③P(R-3cr<X</j+3cr)>0,9974.

評判規則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試

卷；其他情況，則被評為不合格試卷.

(1)試判斷該份試卷被評為哪種等級；

(2)按分層抽樣的方式從3個層次的學生中抽出10名學生，再從抽出的10名學生中隨機抽出4人進行

學習方法交流，用隨機變量表示4人中成績優秀的人數，求隨機變量&的分布列和數學期望.

【答案】(1)該份試卷應被評為合格試卷；

(2)見解析，1.2.

【解析】

【分析】

(1)根據頻數分布表，計算出P(〃—cr<X<〃+cr),P(〃-2cr<X<〃+2cr)

P(〃-3b<X<〃+3b)的值，由此判斷出“該份試卷為合格試卷”；

(2)利用超幾何分布分布列計算公式，計算出分布列，并求得數學期望.

【詳解】

34

解：(1)P(//-cr<X<//+cr)=P(74.8<X<87.2)=—=0.68<0.6828,

P(〃-2。<X<〃+2。)=P(68.6<X<93.4)=—=0.98>0.9541,

尸(A—3cr<X<〃+3cr)=P(62.4</a<99.6)=1>0,9974,

因為考生成績滿足兩個不等式，所以該份試卷應被評為合格試卷；

(2)50人中成績一般、良好及優秀的比例為2:5:3,

所以所抽出的10人中，成績優秀的有3人，所以4的取值可能為0,1,2,3,

C4351C3cl1051

PG"土'7=D=素=獷展

%=2)=簧=蔡=1,8"3)=簧=』=:，

所以隨機變量J的分布列為:

0123

￡j_31

P

62To30

1131

ttE0)=Ox-+lx-+2x—+3x—=1.2.

621030

【點睛】

本題考查了正態分布的概念，考查頻率的計算，超幾何分布的分布列及其數學期望的計算，屬于中檔題.

18.為了更好的了解某校高二學生化學的學業水平學習情況，從800名高二學生中隨機抽取幾名學生，將

他們的化學模擬考試成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：

［40,50),［50,60),,［90,100］后得到如圖所示的頻率分布直方圖.據統計在［50,60)內有10人.

頻率

(1)求”及圖中實數。的值；

(2)試估計該校高二學生在這次模擬考試中，化學成績合格(不低于60分)的人數；

(3)試估計該校高二全體學生在這次模擬考試中的化學平均成績.

【答案】(1)71=100；a=0.030；(2)680；(2)74.

【解析】

【分析】

(1)根據在［50,60)內有10人，以及頻率分布直方圖，即可列式求出〃；根據頻率之和為1,即可列式

求出。的值；

(2)根據頻率分布直方圖，求出成績合格的頻率，即可得出結果；

(3)根據每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均值.

【詳解】

(1)因為在［50,60)內有10人，考試成績在［50,60)的頻率為0.01x10=0.1,

所以〃=2=ioo；

又由頻率分布直方圖可得：(0.005+0.01+0.02+0.025+a+0.01)x10=1,

解得：a=0.030；

(2)由頻率分布直方圖可得：化學成績合格的頻率為1-(0.005+0.01)x10=0.85,

因此，化學成績合格(不低于60分)的人數為800x0.85=680；

(3)由頻率分布直方圖可得，該校高二全體學生在這次模擬考試中的化學平均成績為：

45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于基礎題型.

19.設函數f(x)=x2+bln(x+1),其中bWl.

(1)若b=-12,求f(x)在［1,3］的最小值；

(2)如果f(x)在定義域內既有極大值又有極小值，求實數b的取值范圍.

【答案】(1)4-12ln2(2)0<b<-

2

【解析】

【分析】

2

7YoY_19

(1)當b=-12時令由/'(司=芻上」￡=0得x=2則可判斷出當xe［l,2)時，f(x)單調遞減

X+1

當X6(2,2］時，f(x)單調遞增故f(x)在［1,2］的最小值在x=2時取得；

(2)要使f(x)在定義域內既有極大值又有極小值即f(x)在定義域內與X軸有三個不同的交點即使

OY?-L-QV-L-A

f(x)=(-1,+8)有兩個不等實根即2x2+2x+b=l在(-1,+8)有兩個不等實根

X+1

=4—8b>0

這可以利用一元二次函數根的分布可得<解之求b的范圍.

g(T)>0

【詳解】

解：(1)由題意知，f(X)的定義域為(1,+8)

b=-12時，由/，(X)=2『+2AT2=0,得*=2(x=-2舍去),

X+1

當xw[l,2)時f，(x)<1,當XW(2,2]時，f'(x)>1,

所以當x€[l,2)時，f(x)單調遞減；當(2,2]時，f(x)單調遞增,

所以f(x)min=f(2)=4-12ln2.

廠

(2)由題意廣(x)=2+j；+>=0在(-1,+oo)有兩個不等實根，

即2xz+2x+b=l在(-1,+8)有兩個不等實根，

=4—8b>01

設g(x)=2x?+2x+b,貝！I/八、八，解之得0<6<—

【點睛】

本題第一問較基礎只需判斷f(x)在定義域的單調性即可求出最小值.而第二問將f(x)在定義域內既有

極大值又有極小值問題利用數形結合的思想轉化為f(x)在定義域內與X軸有三個不同的交點即

O_L_0v-U

+在(-1,+8)有兩個不等實根即2x2+2x+b=l在(-1,+8)有兩個不等實根

X+1

此時可利用一元二次函數根的分布進行求解.

x--l------1

2

20.在直角坐標系x0y中，直線的參數方程為:(為參數).以坐標原點為極點，軸的正半

y=2+顯t

2

軸為極軸建立極坐標系，已知曲線c的極坐標方程為0cos2e=sine.

(1)求直線的普通方程及曲線。的直角坐標方程；

⑵若直線與曲線。交于A,8兩點，P(-l,2),求

【答案】(1)x+y-l=0,y=x2；(2)2.

【解析】

【分析】

(1)由直線的參數方程，消去參數，即可得到普通方程；根據極坐標與直角坐標的轉化公式，可將

0cos2e=sine化為直角坐標方程；

(2)將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，再設A3兩點對應的參數為小馬，根據韋達定理，即

可求出結果.

【詳解】

(1)直線的普通方程為x+y-1=0

由0cos之。=sin。，p1cos20=psin0,

則y=f,故曲線C的直角坐標方程為y=x2.

x=-l------1

(2)將《，代人y=必得『+"-2=0,

y=2+g.

設A,3兩點對應的參數為入山,

則%，2=-2,

故|Q4|?|尸5|=卜閭=2.

【點睛】

本題主要考查參數方程與普通方程的互化，以及極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于

常考題型.

21.一只口袋中裝有形狀、大小都相同的10個小球，其中有紅球2個，黑球3個，白球5個.

(1)從中1次隨機摸出2個球，求2個球顏色相同的概率；

（2）從中1次隨機摸出3個球，記白球的個數為X,求隨機變量X的概率分布和數學期望E（X）；

（3）每次從袋中隨機摸出1個球，記下顏色后放回，連續取3次，求取到紅球的次數大于取到白球的

次數的概率.

149

【答案】（1）—；（2）詳見解析；（3）—.

45100

【解析】

【分析】

（1）利用互斥事件的概率求和公式計算即可;

（2）由題意知X的可能取值，計算所求的概率值，寫出X的概率分布，求出數學期望值;

（3）由題意知事件包含一紅兩黑和兩紅一黑，兩紅一白，求出對應的概率值.

【詳解】

解：（1）從袋中1次隨機摸出2個球，則2個球顏色相同的概率為

C；+C；+《_14

（2）從袋中1次隨機摸出3個球，記白球的個數為X,則X的可能取值是0,1,2,3；

貝（JP（X=O）=管《

C10iZ

P（X=l）=-^^-=—

\CHo12'乙

P（X=2）=^^=?,

、C12

Ho工乙

P"=3）=.4,

C101Z

隨機變量X的概率分布為;

X0123

1551

P

12121212

數學期望E（X）=0XL+1X』+2X?+3XL=』；

',121212122

（3）記3次摸球后，取到紅球的次數大于取到白球的次數為事件A,則

35

P（A）=C；-—?（—）2+C^-（—）2.------1------

v'310103101010T3o

【點睛】

本題考查了離散型隨機變量的概率分布與數學期望的應用問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中

檔題.

22.把編號為1、2、3、4、5的小球，放入編號為1、2、3、4、5的盒子中.

⑴恰有兩球與盒子號碼相同；

(2)球、盒號碼都不相同，問各有多少種不同的方法

【答案】(1)20；(2)44.

【解析】

【分析】

⑴由題意結合排列組合公式和乘法原理即可求得恰有兩球與盒子號碼相同的種數；

(2)利用全錯位排列的遞推關系式可得球、盒號碼都不相同的方法種數.

【詳解】

⑴易知3個球、盒號碼都不相同共有2種情況，

則恰有兩球與盒子號碼相同的排列方法種數為：C；x2=20種；

(2)利用全錯位排列的遞推關系式：2=0,2=1,2=(〃—1)(2.1+2.2)(〃23)可得：

2=2x(O+l)=2，N=3x(2+l)=9,JD>=4x(9+2)=44,

即球、盒號碼都不相同共有44種方法.

【點睛】

本題主要考查排列組合公式的應用，全錯位排列的遞推關系式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求

解能力.

廣東省重點名校2018-2019學年高二下學期期末調研數學試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若函數f(qwR)有三個零點，則實數。的取值范圍為()

B.c.(0,e)D.(O,2e)

【答案】A

【解析】

【分析】

22

令/(x)=0分離常數。=一，構造函數g(%)=1,利用導數研究g(x)的單調性和極值，結合,與

ee

g(x)有三個交點，求得。的取值范圍.

【詳解】

方程/(可=0可化為令g(x)=「，有8，(力=乂濘,

令g'(x)>0可知函數g(x)的增區間為(0,2),減區間為(fo,0)、(2,48),

則/(尤)極小值=/(°)=°，/(力極大值=/(2)=尚，

當x>0時，g(x)>0,則若函數/(%)有3個零點，實數。的取值范圍為故選A.

【點睛】

本小題主要考查利用導數研究函數的零點，考查利用導數研究函數的單調性、極值，考查化歸與轉化的數

學思想方法，屬于中檔題.

2.球面上有三個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的!，經過這3個點的小圓周長為4萬，那

么這個球的半徑為()

A.473B.2A/3c.2D.V3

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】

在正三角形ABC中，應用正弦定理得AB=2rsin60°=2y3.

因為NAOB=e=孑所以側面AOBSIEH角形，得球￥@夫=OA=加=2代.

解法三:因為正三角形皿C的外徑r=2,故高AD=3=3,D是BC的中點.

2

解:KAOBC^,BO=CO=R,^BOC=^-,^^BC=BO=R,BD=-BC=-R.

322

在RrZiAB。中,AB=BC=R,所以由AB2=BD2+AD2，彳導ft2=3解+9，所以R=2\3-

3.設/Xx）是定義在衣上的偶函數，對xeR,都有/（x—2）=/（x+2）,且當xe[—2,0]時，

/（x）=（1r-l,若在區間（—2,6）內關于X的方程/（x）—log”（X+2）=0（。＞1）恰好有三個不同的實

數根，則。的取值范圍是（）

A.（2,y）B.（1,2）C.（洱,2）D.（而,2]

【答案】D

【解析】

由f(x-2尸f(x+2),可得函數的周期T=4,當xG[-2,0]時,/(%)=g]X

I-1.

二可得（-2,6]的圖象如下:

從圖可看出，要使f（x）的圖象與y=loga（x+2）的圖象恰有3個不同的交點,

log.(2+2)<3

則需滿足

log,,(6+2)23'

求解不等式組可得。的取值范圍是（次,2

本題選擇D選項.

4.隨機變量。服從二項分布《?5（〃,〃），且那=300,04=200,則〃等于（）

21

A.-B.-C.1D.0

33

【答案】B

【解析】

,、E(力叩=300〃-"u

因為《?5(〃,〃),所以d",、”八，解得1.即。等于；.故選B.

'7D^)=np(l-p)=200p=-3

、3

InY

5.函數y=——的最大值為()

x

,10

A.JB.1C./9D.y

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意求得導數了=匕蝮，得到函數單調性，即可求解函數的最大值，得到答案.

X

【詳解】

由題意，可得丫'=上中，當xe(0,e)時，/>0,則函數y=皿單調遞增；

XX

InY

當犬w(e,+o))時，/<0,則函數y=——單調遞減，

x

In。

所以函數的最大值為^^=/(6)=丁=1,故選A.

【點睛】

本題主要考查了利用導數求解函數的最值問題，其中解答中求得函數的導數，得出函數的單調性是解答的

關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

6.已知a,b,c分別是AABC的內角A,比C的的對邊，若￡<cosA,則AABC的形狀為()

b

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知結合正弦定理可得sinC<sinBcosA利用三角形的內角和及誘導公式可得,

sin(A+B)<sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA<sinBcosA從而有sinAcosB<0結合三

角形的性質可求

【詳解】

解：A是AABC的一個內角，0<Av?,

/.sinA>0

c

—<cosAA

b

由正弦定理可得，sinC<sinBcosA

sin(A+B)<sinBcosA

sinAcosB+sinBcosA<sinBcosA

sinAcosB<0

又sinA>0,「.cosbvO,即5為鈍角，故選A.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角形的內角和及誘導公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎試題.

7.設％>0,ywR,則“X>y”是”的()

A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

1>—2不能推出|1|>卜2|,反過來，若x>N則x>y成立，故為必要不充分條件.

/、flog,x-3,x>0,.、、

8.若函數=jgjx)x<0為奇函數，則F(g(T))=

A.-3B.-2C.-1D.0

【答案】A

【解析】

分析：運用奇函數的定義，可得g(-4)=-"4),再計算了(g(-4))即可

/、[lo2^x-3,%>0

詳解：函數/(x)=jg?)x<0為奇函數，

f(gl))=/[-。暇4-3)]=/⑴=log21-3=0-3=-3

故選A

點睛：本題主要考查的是奇函數的定義，分段函數的應用，屬于基礎題。根據函數奇偶性的性質是解題的

關鍵

9.已知向量a=(x,y)為=(—1,2),且a+b=(l,3),則卜-2同等于()

A.1B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】

先根據已知求出x,y的值，再求出a—2b的坐標和卜-2川的值.

【詳解】

由向量a=(一1,2),且a+b=(l,3),貝！Ja+〃=(%—1,丁+2)=(1,3),解得x=2,y=l,所

以a=(2,l)力=(-1,2),所以a—2b=(2,1)—2(—1,2)=(4,—3),所以卜—20=54?+(—3)2=5,故

答案為D

【點睛】

本題主要考查向量的坐標運算和向量的模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.

22

10.已知雙曲線C:j-1-=1的一條漸近線方程為2x+3y=o,Fi，工分別是雙曲線C的左，右焦點，

a4

點P在雙曲線。上，且|W|=6.5,貝!尸鳥|等于().

A.0.5B.12.5C.4或10D.0.5或12.5

【答案】D

【解析】

2

由2%+3y=0,可得丁=一耳九，

2

又由題意得雙曲線的漸近線方程為y=±-x,

a

*2_2

??—

a3

:?a=3,

根據雙曲線的定義可得歸耳卜上見|=6,

.??歸瑪|=0.5或|望|=12.5.

經檢驗知歸閭=0.5或|P閭=12.5都滿足題意.選D.

點睛：此類問題的特點是已知雙曲線上一點到一個焦點的距離，求該點到另一個焦點的距離，實質上是考

查雙曲線定義的應用.解題時比較容易忽視對求得的結果進行驗證，實際上，雙曲線右支上的點到左焦點

的最小距離為c+a,到右焦點的最小距離為c-a.同樣雙曲線左支上的點到右焦點的最小距離是c+a,

到左焦點的最小距離是c-a.

11.定積分，(3/一%)dx=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用定積分公式計算得到答案.

【詳解】

|(3x2=：=l—g+l+；=2.

故選：B.

【點睛】

本題考查了定積分，意在考查學生的計算能力.

12.設xeR,則“同―l>2x”是“'<0”的（）

x+1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

分析：根據不等式的解法求出不等式的等價條件，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

詳解：當x>0時，由|x|-l>2x得x-l>2x,得x<-L此時無解，

當xWO時，由|x|-l>2x得-x-l>2x,得xV-工，

3

綜上不等式的解為x<-

由」一W0得x+l<0得xV-1,

x+1

則“|x|-l>2x”是“一一WO”的必要不充分條件，

x+1

故選：B.

點睛：充分、必要條件的三種判斷方法.

1.定義法：直接判斷“若夕則夕”、“若q則的真假.并注意和圖示相結合，例如“0=q”為真，

則。是q的充分條件.

2.等價法：利用2nq與非夕=非。，q=。與非0n非q,q與非非。的等價關系，對于

條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法.

3.集合法：若AU則A是3的充分條件或B是A的必要條件；若A=3,則A是3的充要條件.

二、填空題：本題共4小題

13.已知隨機變量X服從二項分布X?3（6,；）,那么方差V（x）的值為.

4

【答案】-

3

【解析】

分析：隨機變量X服從二項分布X?3那么v（x）=^（l—p）,即可求得答案.

詳解：隨機變量X服從二項分布X~316,；］,那么V（X）=q?（l—p）,

即V（X）=6xgx[l4

13

一4

故答案為：—.

3

點睛：求隨機變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項分布，如果X?B(n,P),則用公式E(X)

=np；D(X)=np(l—p)求解，可大大減少計算量.

14.集合A=卜,=4,xe尺}，集合B=[x\kx=4,xe周,若3口A,則實數k=.

【答案】0,2,-2

【解析】

【分析】

解一元二次方程化簡集合A的表示，再根據B^A可以分類求出實數人的值.

【詳解】

A={x[2=4,xeR}={—2,2}.因為5￡4,所以5=0,5={2},5={_2},5={_2,2}.

當B=0時,這時說明方程kx=4無實根，所以k=0；

當3={2}時，這時說明2是方程去=4的實根，故2左=4n左=2；

當5={-2}時，這時說明-2是方程kx=4的實根，故—2左=4n左=—2；

因為方程履=4最多有一個實數根，故B={-2,2}不可能成立.

故答案為：0,2,-2

2019

15.設(1+2%廣9=4+%(無一8)+02(%-8)一++?2oi9(x-8)2019,則Z(T)‘見除以8所得的余數

k=0

為.

【答案】7

【解析】

【分析】

2019

201920192019

令％=7可得Z(-1/ak=15,再將15=(16-1)展開分析即可.

k=0

【詳解】

2019

由已知，令X=7,得15如9=/一口]+g-一。2019=Z(-1)4，

k=0

201920192018

又152019=(16-1)=16-C'01916++嚼16-1

20182017

=16(16-C*019l6+L+2019)-1

20182017

=8[2(16-C1O1916+L+2019)-l]+7.

2019

所以Z(-l)4除以8所得的余數為7.

左=0

故答案為：7

【點睛】

本題考查二項式定理的綜合應用，涉及到余數問題，做此類題一定要合理構造二項式，并展開進行分析判

斷，是一道中檔題.

16.已知復數2=三，其中i是虛數單位，則復數Z的實部為_________.

1+2，

【答案】|

【解析】

【分析】

通過分子分母同時乘以分母的共軌復數化簡二，從而得到答案.

【詳解】

由題意復數z=丁=二二二、=一丁，因此復數z的實部為2.

【點睛】

本題主要考查復數的四則運算，實部的相關概念，難度