第一講：年齡問題

專題解析

年齡問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的一類問題，例如：一直兩個人或若干個人的年

齡，求他們年齡之間的某種數(shù)量關(guān)系等等。年齡問題有往往是和倍、差倍、和差

等問題的綜合。它有一定的難度，因此解題時需抓住其特點(diǎn)。

年齡問題的三個基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的。

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的。

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的。

年齡問題的類型：

⑴轉(zhuǎn)化為和差問題的年齡問題；

⑵轉(zhuǎn)化為和倍問題的年齡問題；

⑶轉(zhuǎn)化為差倍問題的年齡問題.

解答年齡問題的一般方法：

幾年后年齡=大小年齡差+倍數(shù)差-小年齡

幾年前年齡=小年齡-大小年齡差+倍數(shù)差

例1、爸爸媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲，五年后，爸爸比媽媽大6歲，今年爸爸

媽媽二人各多少歲？

練習(xí)

1、哥哥和弟弟兩人3年后年齡和是27歲，弟弟今年的年齡正好是哥哥和弟弟兩

人年齡的差。哥哥和弟弟今年各多少歲？

2、今年，哥弟倆的年齡和是21歲，哥哥的年齡正好是弟弟的2倍。今年，哥哥

多少歲？弟弟多少歲？

例2、姐姐今年12歲，姐姐3年前的年齡與妹妹2年后的年齡相等，妹妹今年

多少歲？

1

練習(xí)

1、歡歡今年12歲，甜甜4年后的年齡與歡歡5年前的年齡相等。甜甜今年幾歲？

例3、父親今年50歲，女兒今年14歲，問：幾年前父親年齡是女兒的5倍?

練習(xí)

1、小華今年12歲，他媽媽今年48歲，多少年以前媽媽的年齡是小華的5倍?

多少年以后媽媽的年齡是小華的3倍？

例4、6年前，母親的年齡是兒子的5倍，6年后母子的年齡和是78歲，問：母

親今年多少歲？

例5：小芬家由小芬和她的父母組成，小芬的父親比母親大4歲，今年全家年齡

的和是72歲，10年前這一家全家年齡的和是44歲。今年三人各是多少歲？

2

練習(xí)

1、在一個家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73歲，家庭成員中有父親、

母親、一個女兒和一個兒子，父親比母親大3歲，女兒比兒子大兩歲，四年前家

庭里所有人的年齡和是58歲，現(xiàn)在家里每個成員各是多少歲？

2、一個四口之家的年齡之和是87歲。爸爸比媽媽大2歲，兒子比女兒大5歲。

六年前,這個家庭成員的年齡之和是65歲o這個家庭女兒現(xiàn)在的年齡是多少歲？

3、四個人年齡之和是87歲，最小的一個12歲，他與最大的人年齡之和比另外

兩個人年齡之和大7歲，那么這四個人中年齡最大的一個年齡是多少？

課后作業(yè)

1、小剛說：去年爸爸比媽媽大4歲，我比媽媽小26歲。請你算一算，今年小剛

的爸爸比小剛大幾歲？

2、老張、阿明和小紅三人共91歲，已知阿明22歲，是小紅年齡的2倍。問老

張幾歲？

3

3、媽媽今年35歲，恰好是女兒年齡的7倍。多少年后，媽媽的年齡恰好是女兒

的3倍？

4、一家三口人，三人的年齡和是72歲。媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的

4倍，三人各是多少歲？

5、三年前爸爸的年齡正好是兒子小剛年齡的6倍，今年父子年齡和是55歲，小

剛今年多少歲？

6、小英一家由小英和她的父母組成。小英的父親比母親大3歲。今年全家年齡

的總和是71歲，8年前這個家庭成員的年齡總和是49歲。今年小英多少歲？父

親多少歲？母親多少歲？

7、小浩今年6歲，媽媽今年46歲。小浩多少歲時，媽媽的年齡是小浩年齡的5

倍

4

8、今年姐妹二人年齡和是23歲，六年后，姐姐比妹妹大3歲，姐姐今年幾歲？

9、今年張明12歲，爺爺?shù)臍q數(shù)是她的6倍。2年后，爺爺比張明大幾歲？

10、今年媽媽比小華大27歲，今年媽媽的年齡正好是小華的4倍。再過幾年,

小華15歲？

11、弟弟今年8歲，哥哥今年14歲，當(dāng)二人年齡之和是50歲時,弟弟多少歲？哥

哥多少歲？

5

第二講：分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

專題解析

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的

大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。

②對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是

轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的

分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或

者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當(dāng)中，總有一個量是不變的，不論其他

量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化,

總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化,

但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)

系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

例1、（1）本月用水量比上月節(jié)約7%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

①上月用水量與單位“1”的關(guān)系.

②本月節(jié)約用水量與上月用水量的7%的關(guān)系.

③本月用水量與上月用水量的（1—7%）的關(guān)系.

（2）藍(lán)墨水比紅墨水多20%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

①紅墨水與單位“1”的關(guān)系.

②藍(lán)墨水比紅墨水多出的量與紅墨水的20%的關(guān)系.

6

③藍(lán)墨水與紅墨水的(1+20%)的關(guān)系.

(3)已看的頁數(shù)比未看的頁數(shù)多15%,可以聯(lián)想哪些關(guān)系？

①未看的頁數(shù)與單位“1”的關(guān)系.

②已看的與未看的頁數(shù)的差與未看頁數(shù)的15%的關(guān)系.

③已看的頁數(shù)與未看的頁數(shù)的(1+15%)的關(guān)系.

例2、小華看一本書，每天看15頁，4天后還剩全書的1沒看。這本故事書是多

少頁？

例3小華看一本故事書，第一天看了全書的工還多21頁，第二天看了全書的！

86

少6頁，還剩下172頁。這本故事書一共有多少頁？

例4、惠華百貨商場運(yùn)到一批春秋西服，按原(出廠)價加上運(yùn)費(fèi)、營業(yè)費(fèi)和利

潤出售，運(yùn)費(fèi)是原價的工，營業(yè)費(fèi)和利潤一共是原價的工，已知售價是123元,

1812

求出廠價多少元？

7

3

例5、菜園里西紅柿獲得豐收，收下全部的士時，裝滿3筐還多24千克，收完

8

其余部分時，又剛好裝滿6筐。求共收西紅柿多少千克？

9

例6、建筑工地需要一批水泥，從倉庫第一次運(yùn)走全部的;，第二次運(yùn)走余下的

17

第三次運(yùn)走（第二次運(yùn)后）又余下的士，這時還剩下15噸水泥沒運(yùn)走.這

34

批水泥共是多少噸？

例7某人在公共汽車上發(fā)現(xiàn)一個小偷向相反方向步行，10秒鐘后他下車去追小

偷。如其速度比小偷快一倍，比汽車慢則追上小偷要多少秒？

例8、A有若干本書，B借走一半加一本，剩下的書，C借走一半加兩本，再剩下

的書，D借走一半加3本，最后A還有2本書，問A原有多少本書？

8

課后作業(yè)

1、水果店運(yùn)來一批桔子和蘋果，其中桔子重量占總重量的工，桔子比蘋果少

20

1440千克，運(yùn)來橘子多少千克？

2、有兩袋米，甲袋比乙袋少18千克.如果再從甲袋倒入乙袋6千克，這時甲袋

的米相當(dāng)于乙袋的兩袋米原來各有多少千克？

8

3、一本書，已看了130頁，剩下的準(zhǔn)備8天看完.如果每天看的頁數(shù)相等，3

天看的頁數(shù)恰好是全書嗚。這本書共有多少頁？

4、媽媽買了一些蘋果，第一天吃去!又!個，第二天吃去剩下的,又!個，第

3344

三天吃去再剩下的!又!個，這時剩下3個蘋果。問媽媽買了多少個蘋果？每天

33

各吃了幾個蘋果？

9

5、古希臘杰出的數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上有一段話：“他生命的六分之一是幸福的

童年.再活十二分之一臉上長起了細(xì)細(xì)的胡須，他結(jié)了婚還沒有孩子，又度過了

七分之一.再過了五年，他幸福地得到了一個兒子.可這孩子光輝燦爛的壽命只

有他父親的一半.兒子死后，老人在悲痛中活了四年，也結(jié)束了塵世的生涯”.你

能根據(jù)這段話推算出丟番圖活了多少歲？多少歲結(jié)的婚嗎？

6、一瓶酒精，當(dāng)用去酒精的一半后，連瓶共重7。。克；如只用去酒精嗚后,

連瓶共重800克。求瓶子的重量。

上旬生產(chǎn)的臺數(shù)占總數(shù)的。下旬比中旬

7、電視機(jī)廠五月份生產(chǎn)一批電視機(jī),

多生產(chǎn)中旬產(chǎn)量的：，正好是40臺。這個廠五月份生產(chǎn)電視機(jī)多少臺？

10

第三講：和差倍問題

專題簡析

前面我們學(xué)習(xí)了和倍、差倍、和差三種應(yīng)用題，有的題目需要通過轉(zhuǎn)化而成

為和倍、差倍、和差問題，這類問題叫做復(fù)雜的和差倍問題。

解答較復(fù)雜的和差倍問題，需要我們從整體上把握住問題的本質(zhì)，將題目進(jìn)

行合理的轉(zhuǎn)化，從而將較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一般和倍、差倍、和差應(yīng)用題來解決。

例1、兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千

克數(shù)是甲箱的3倍。兩箱原來各有茶葉多少千克？

練習(xí)

1、書架的上、下兩層共有書180本，如果從上層取下15本放入下層，那么下層

的本數(shù)正好是上層的2倍。兩層原來各有書多少本？

2、甲、乙兩人共儲蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，這時甲儲蓄的

錢數(shù)比乙的2倍少20元。甲、乙兩人原來各儲蓄多少元？

例2、甲、乙、丙三個同學(xué)做數(shù)學(xué)題，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍,

比乙多做20道。他們一共做了多少道數(shù)學(xué)題？

11

練習(xí)

1、某廠一季度創(chuàng)產(chǎn)值比三季度多2萬元，二季度的產(chǎn)值是一季度產(chǎn)值的2倍,

比三季度產(chǎn)值多42萬元。三個季度共創(chuàng)產(chǎn)值多少萬元？

2、甲、乙、丙三個人合做一批零件，甲比乙多做12個，丙做的比甲的2倍少

20個，比乙做的多38個。這批零件共有多少個？

例3、某工廠一、二、三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人,

第二車間比第三車間多15人。三個車間各有工人多少人？

練習(xí)

1、一個三層書架共放書168本，上層比中層多12本，下層比中層少6本。三層

各放書多少本？

2、一個三層柜臺共放皮鞋120雙，第一層比第二層多放4雙，第二層比第三層

多7雙，三層各多皮鞋多少雙？

12

例4、兩個數(shù)相除，商是4,被除數(shù)、除數(shù)、商的和是124o被除數(shù)和除數(shù)各是

多少？

練習(xí)

1、在一個除法算式中，被除數(shù)、除數(shù)、商的和是123。已知商是3,被除數(shù)和除

數(shù)各是多少？

2、兩個數(shù)相除，商是5,余數(shù)是7,被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是187,求被

除數(shù)。

課后作業(yè)

1、甲乙兩人一共存款3400元，甲若給乙400元，則兩人存款數(shù)相等。甲、乙各

存款多少元？

2、一個書架有三層，共放書100本。上層比中層多放20本書，下層比中層少放

10本書。書架上、中、下三層各放書多少本？

13

3、甲、乙兩箱水果共重37千克，如果從甲箱中取出2千克水果放入乙箱后，甲

箱還比乙箱多1千克。甲、乙兩箱原來各有水果多少千克？

4、甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙

班圖書的2倍？

5、小強(qiáng)和小明共有28本練習(xí)本，小強(qiáng)的練習(xí)本比小明的2倍少2本，小強(qiáng)和小

明各有幾本練習(xí)本？

6、紅星小學(xué)圖書館內(nèi)，科技書是故事書的3倍，連環(huán)畫書又是科技書的2倍。

已知這三種書共有1600本，那么每種書各有多少本？

7、小王有240元，小青有100元，兩人用去了一樣多錢后，小王剩下的錢是小

青剩下的錢的3倍。小王和小青各用去了多少錢？

14

8、節(jié)目里彩旗飄，紅旗的面數(shù)是黃旗的3倍多2面，紅旗比黃旗多24面，紅旗、

黃旗各有多少面？

9、兩個自然數(shù)相除，商是4,余數(shù)是lo如果被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是

56,那么被除數(shù)等于多少？

10、被除數(shù)、除數(shù)與商的和是55,已知商是7。被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

11、兩個數(shù)相除的商是6余5,被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是72。求被除數(shù)和

除數(shù)是多少？

15

第四講：行程問題

專題簡析

行程應(yīng)用題是專門講物體運(yùn)動的速度、時間、路程三者關(guān)系的應(yīng)用題。行程

問題的主要數(shù)量關(guān)系是：路程=速度X時間。知道三個量中的兩個量，就能求出

第三個量。

例1、中巴車每小時行60千米，小轎車每小時行84千米。兩車同時從相距60

千米的兩地同方向開出，且中巴在前。幾小時后小轎車追上中巴車？

練習(xí)

1、一輛摩托車以每小時80千米的速度去追趕前面30千米處的卡車，卡車行駛

的速度是每小時65千米。摩托車多長時間能夠追上？

2、甲騎自行車從A地到B地，每小時行16千米。1小時后，乙也騎自行車從A

地到B地，每小時行20千米，結(jié)果兩人同時到達(dá)B地。A、B兩地相距多少千米？

例2、甲、乙兩人以每分鐘60米的速度同時、同地、同向步行出發(fā)。走15分鐘

后甲返回原地取東西，而乙繼續(xù)前進(jìn)。甲取東西用去5分鐘的時間，然后改騎自

行車以每分鐘360米的速度追乙。甲騎車多少分鐘才能追上乙？

16

練習(xí)

1、兄弟二人同時從家出發(fā)去學(xué)校，哥哥每分鐘走80米，弟弟每分鐘走60米。

出發(fā)10分鐘鐘后，哥哥返回家中取文具，然后立即騎車以每分鐘310米的速度

去追弟弟。哥哥騎車幾分鐘追上弟弟？

例3、甲騎車、乙跑步，二人同時從同一地點(diǎn)出發(fā)沿著長4千米的環(huán)形公路同方

向進(jìn)行晨練。出發(fā)后10分鐘，甲便從乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每

分鐘700米，求甲、乙二人的速度各是多少？

練習(xí)

1、環(huán)湖一周共400米，甲、乙二人同時從同一地點(diǎn)同方向出發(fā)，甲過10分鐘第

一次從乙身后追上乙。若二人同時從同一地點(diǎn)反向而行，只要2分鐘二人就相遇。

求甲、乙的速度。

例4、甲、乙兩車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每

小時行48千米。兩車在距中點(diǎn)32千米處相遇，東、西兩地相距多少千米？

3號千米

東?，西

甲車行的乙車行的

17

練習(xí)：

1、小玲每分鐘行100米，小平每分鐘行80米，兩人同時從學(xué)校和少年宮出發(fā),

相向而行，并在離中點(diǎn)120米處相遇。學(xué)校到少年宮有多少米？

2、甲、乙二人同時從東村到西村，甲每分鐘行120米，乙每分鐘行100米，結(jié)

果甲比乙早5分鐘到達(dá)西村。東村到西村的路程是多少米？

例5、快車和慢車同時從甲、乙兩地相向開出，乙車每小時行40千米，經(jīng)過3

小時，快車已駛過中點(diǎn)25千米，這時快車與慢車還相距7千米。慢車每小時行

多少千米？

練習(xí)

1、兄弟二人同時從學(xué)校和家中出發(fā)，相向而行。哥哥每分鐘行120米，5分鐘

后哥哥已超過中點(diǎn)50米，這時兄弟二人還相距30米。弟弟每分鐘行多少米？

2、學(xué)校運(yùn)來一批樹苗，五（1）班的40個同學(xué)都去參加植樹活動，如果每人植

3棵，全班同學(xué)都能植這批樹苗的一半還多20棵。如果這批樹苗全部給五（1）

班的同學(xué)去植，平均每人植多少樹？

18

例6、A、B兩地相距259千米，甲車從A地開往B地，每小時行38千米；半小

時后，乙車從B地開往A地，每小時行42千米。乙車開出幾小時后和甲車相遇？

練習(xí)

1、小軍和小明分別從相距1860米的兩處相向出發(fā)，小軍出發(fā)5分鐘后小明才出

發(fā)。已知小軍每分鐘行120米，小明騎車每分鐘行300米。求小軍出發(fā)幾分鐘后

與小明相遇？

例7、快、慢兩車同時從A地到B地，快車每小時行54千米，慢車每小時行48

千米。途中快車因故停留3小時，結(jié)果兩車同時到達(dá)B地。求A、B兩地間的距

離。

練習(xí)

1、甲、乙二人同時從學(xué)校騎車出發(fā)去江邊，甲每小時行15千米，乙每小時行

20千米。途中乙因修車停留了24分鐘，結(jié)果二人同時到達(dá)江邊。從學(xué)校到江邊

有多少千米？

例8、客、貨兩車同時從甲、乙兩站相對開出，客車每小時行54千米，貨車每

小時行48千米。兩車相遇后又以原速前進(jìn)，到達(dá)對方站后立即返回，兩車再次

相遇時客車比貨車多行21.6千米。甲、乙兩站間的路程是多少千米？

19

練習(xí)

1、甲、乙兩地相距216千米，客貨兩車同時從甲、乙兩地相向而行。已知客車

每小時行58千米，貨車每小時行50千米，到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后立即返回。兩車第

二次相遇時，客車比貨車多行多少千米？

課后作業(yè)

1、一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地相對開出,汽車每小時行40千米,

摩托車每小時行65千米，當(dāng)摩托車行到兩地中點(diǎn)處時,與汽車還相距75千米。

甲、乙兩地相距多少千米？

2、汽車從甲地開往乙地，每小時行32千米。4小時后，剩下的路比全程的一半

少8千米，如果改用每小時56千米的速度行駛，再行幾小時到達(dá)乙地？

3、兄弟二人從100米跑道的起點(diǎn)和終點(diǎn)同時出發(fā)，沿同一方向跑步，弟弟在前,

每分鐘跑120米；哥哥在后，每分鐘跑140米。幾分鐘后哥哥追上弟弟？

4、甲、乙二人加工同樣多的零件，甲每小時加工20個，乙每小時加工15個。

一天，乙比甲早工作2小時，到下午二人同時完成了加工任務(wù)。他倆一共加工了

多少個零件？

20

5、爸爸和小明同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相同方向在環(huán)形跑道上跑步。爸爸每分

鐘跑150米，小明每分鐘跑120米，如果跑道全長900米，問：至少經(jīng)營幾分鐘

爸爸從小明身后追上小明？

6、甲、乙兩地相距658千米，客車從甲地開出，每小時行58千米。1小時后,

貨車從乙地開出，每小時行62千米。貨車開出幾小時后與客車相遇？

7、甲每分鐘行120米，乙每分鐘行80米。二人同時從A地出發(fā)去B地，當(dāng)乙到

達(dá)B地時，甲已在B地停留了2分鐘。A地到B地的路程是多少米？

8、乙、慢兩車同時從甲、乙兩地相對開出并往返行駛。快車每小時行80千米,

慢車每小時行45千米。兩車第二次相遇時，快車比慢車多行了210千米。求甲、

乙兩地間的路程。

21

第五講：工程問題

專題解析

(1)一般公式：

工作效率X工作時間=工作總量；

工作總量+工作時間=工作效率；

工作總量+工作效率=工作時間。

(2)用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：

1+工作時間=單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾；

1+單位時間能完成的幾分之幾=工作時間。

一、兩人合作問題

1、一項(xiàng)工程單獨(dú)一個隊(duì)做，甲隊(duì)15天完成，乙隊(duì)30天完成.兩隊(duì)合做多少天完

成？

2、一件工作,王師傅單獨(dú)做10天完成,吳師傅15天完成了.兩位師傅合做,多少

天可以完成？

3、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做8天可以完成，乙單獨(dú)做8天只能完成這項(xiàng)工程的工。

3

如果甲、乙合做，多少時間才能完成這項(xiàng)工程？

22

4、加工一批機(jī)器零件，甲車間要10天完成，乙車間要15天完成,丙車間要30天

完成.三個車間同時加工,多少天完成？

5、一項(xiàng)工程甲、乙兩隊(duì)合作12天完成，乙、丙兩隊(duì)合作9天完成，甲、丙兩隊(duì)

合作18天完成。現(xiàn)在甲、乙、丙合作，需要多少天才能完成？

6、某工程甲、乙合作36天可以完成，乙、丙合作45天可以完成，甲、丙合作

60天可以完成。問

（1）三人合作多少天可以完成全部工程？

（2）甲、乙、丙單獨(dú)做各需要多少天完成全部任務(wù)？

二、兩人先合作，再單獨(dú)做或先單獨(dú)做，再合作

1、一條公路，甲隊(duì)單獨(dú)做需要24天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要30天完成。甲、乙

兩隊(duì)合作若干天后，乙隊(duì)停工休息，甲隊(duì)繼續(xù)修了6天完成。問：乙隊(duì)修了多少

天？

2、一件工作甲、乙兩人合作30天可以完成，合作6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)

做了40天才完成。如果這件工作由甲或乙單獨(dú)做各需要幾天才能完成？

23

3、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)15天可以完成,乙單獨(dú)12天可以完成。先兩隊(duì)合作若干

天后,剩下的由乙獨(dú)做3天完成，問:甲、乙合作了多少天？

4、某工程甲、乙合作30天可以完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作12天后剩下的由甲隊(duì)單獨(dú)

做，又做了24天完成。問：乙隊(duì)單獨(dú)做完全部工程需要多少天才能完成？

5、甲、乙兩隊(duì)合作完成一項(xiàng)工程需要48天完成。如果讓甲單獨(dú)先做60天，然

后由乙接著單獨(dú)做，乙隊(duì)還需要32天才能完成全部任務(wù).問：甲、乙兩隊(duì)獨(dú)做各

需要多天才能完成全部任務(wù)？

6、一件工作，甲單獨(dú)做要20小時完成，乙單獨(dú)做要30小時完成，丙單獨(dú)做要

40小時完成，現(xiàn)在3人合做，甲因其他事中間暫停了幾小時，結(jié)果從開始算起,

用了12小時完成。問甲中間暫停了幾小時？

7、加工一批零件，甲單獨(dú)做需要12小時，乙單獨(dú)做需要10小時，丙單獨(dú)做需

要15小時才能完成。現(xiàn)在先由乙、丙合做4小時，剩下的由甲單獨(dú)來做，甲還

需要幾小時才能完成？

24

8、甲、乙兩人合加工一批零件，5天可以完成。中途甲因事停工2天，因此兩

人共用了6天才完成。如果由甲單獨(dú)加工這批零件，需要多少天才能完成？

9、加工一批零件，甲工人要15小時完成，乙工人要20小時完成,丙工人要10小

時完成.現(xiàn)在甲和乙先同時加工5小時,然后由丙單獨(dú)做,還要多少小時完成？

三、工程綜合問題：

1、有一水池裝有甲、乙兩個進(jìn)水管，下面裝有丙管放水。水池空的時候，單開

甲管5分鐘可以注滿，單開乙管10分鐘可以注滿，水池裝滿水后，單開丙管15

分鐘可以把水放完。如果水池空的時候，將甲、乙、丙齊開，2分鐘后關(guān)閉乙管,

還要多少分鐘可以注滿水池？

2、單獨(dú)完成一項(xiàng)工程，甲隊(duì)要24天，乙隊(duì)要30天。現(xiàn)甲、乙合作4天后，丙

隊(duì)參加進(jìn)來又經(jīng)過7天完成全部工程。如果一開始三隊(duì)合作，多少天可以完成全

部工程？

3、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成.中途甲請假2天，乙請假

若干天,從開工到完成任務(wù)共用了16天.乙請假多少天？

25

4、一池水，甲，乙兩管同時開,5小時灌滿，乙,丙兩管同時開,4小時灌滿.現(xiàn)在先

開乙管6小時,還需甲，丙兩管同時開2小時才能灌滿.乙單獨(dú)開幾小時可以灌

滿？

四、輪換做工問題

1、一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做40天可以完成，乙獨(dú)做15天可以完成。這項(xiàng)工程先由甲

做若干天后，然后由乙繼續(xù)做完，從開始到完工一共用了20天。問：這項(xiàng)工作

由甲做了幾天？

2、一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需30天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需40天完成。甲隊(duì)先做若

干天后，由乙隊(duì)接著做，共用36天完成任務(wù)。甲、乙兩隊(duì)各做了多少天？

3、一件工程甲單獨(dú)做需要9小時完成，乙單獨(dú)做需要12小時完成。如果按照甲、

乙、甲、乙、甲、乙.........的順序輪流工作，每人每次工作1小時，那么完

成全部工作需要幾小時？

4、一件工程甲單獨(dú)做需要6小時完成，乙單獨(dú)做需要10小時完成。如果按照甲、

乙、甲、乙、甲、乙.........的順序輪流工作，每人每次工作1小時，那么完

成全部工作需要幾小時？

26

5、搬運(yùn)一個倉庫的貨物，甲需10小時，乙需12小時，丙需15小時。有同樣的

倉庫A和B,甲在A倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫甲搬運(yùn)，

中途又轉(zhuǎn)向幫乙搬運(yùn)，最后同時搬完兩個倉庫的貨物。丙幫助甲、乙各搬運(yùn)了幾

小時？

課后作業(yè)

1、一項(xiàng)工程單獨(dú)一個隊(duì)做，甲隊(duì)15天完成，乙隊(duì)45天完成.兩隊(duì)合做多少天完

成？

2、一件工作,王師傅單獨(dú)做10天完成,吳師傅15天完成了.兩位師傅合做,多少

天可以完成？

3、開筑一條隧道，甲工程隊(duì)要6個月完成，乙工程隊(duì)4個月可以完成.兩隊(duì)同時從

兩端開筑,幾個月可以開通？

4、運(yùn)一批水泥,大卡車要15次運(yùn)完，小卡車要20次運(yùn)完.為了盡快運(yùn)完,大卡車

和小卡車同時運(yùn),多少次可以運(yùn)完？

27

5、加工一批機(jī)器零件，甲車間要10天完成，乙車間要15天完成,丙車間要20天

完成.三個車間同時加工,多少天完成？

6、修一段路，甲隊(duì)要20天完成，乙隊(duì)要30天完成.兩隊(duì)同時修，多少天完成完成？

7、加工一批零件，甲工人要15小時完成，乙工人要20小時完成,丙工人要10小

時完成.現(xiàn)在甲和乙先同時加工5小時,然后由丙單獨(dú)做,還要多少小時完成？

8、一件工作，甲，乙合做12天完成，甲3天可以完成全工程的g,乙單獨(dú)做多少

天完成？

9、一件工作,張師傅5天可以完成卜中途因有事休息了幾天，結(jié)果用了24天才

完成.張師傅休息了幾天？

28

10、修一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修15天完工，乙隊(duì)獨(dú)修12天完工.兩隊(duì)合修4天后，乙隊(duì)

調(diào)走，剩下的路由甲隊(duì)繼續(xù)修完.甲隊(duì)一共修了多少天？

11、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成.甲，乙合做幾天后，乙因

事請假，甲繼續(xù)做,從開工到完成任務(wù)共用了16天.乙請假多少天？

29

第六講：經(jīng)濟(jì)利潤問題

專題解析

利潤、成本、利潤率有如下關(guān)系:

利潤=售價一成本

利潤率利二潤言100%

例1：超市出售一種水果，進(jìn)貨價為16元/千克。該種水果共銷售120千克，達(dá)

到3000元的銷售額。該種水果的利潤率為多少？

練習(xí)

1、超市銷售一種商品，進(jìn)貨價為70元5件。該種商品共銷售160件，達(dá)到4000

元的銷售額。該種商品的利潤率為多少？

例2：超市出售一種商品，進(jìn)貨價為20元/件，如果要獲利20%,則應(yīng)將售價定

為多少元？

練習(xí)

1、商店出售一種商品，進(jìn)貨價為80元/件，定價時將利潤率定為30%,那么要

實(shí)現(xiàn)盈利960元必須賣出多少件該商品？

30

例3：某款運(yùn)動衣按進(jìn)價的50%加價后，寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每件運(yùn)

動衣仍獲利20元，運(yùn)動衣的進(jìn)價是多少元？,--------------------、

“八折”是什么意思呢?

練習(xí)

1、一件襯衫按進(jìn)價提高50%標(biāo)價，后因季節(jié)關(guān)系按標(biāo)價8折出售，此時每件仍

獲利12元，則這批襯衫的進(jìn)價是多少元/件？

例4：一件衣服的成本是100元，按利潤率為50%的定價進(jìn)行銷售，后來打八折

出售，降價后每天的銷量是以前的3倍。降價后每天賣出這種商品的總利潤比降

價前是增加了還是減少了？變化幅度是多少？

練習(xí)

1、某商品原來的利潤率為80%后來打七折出售，降價后每天的銷量是以前的3

倍。降價后每天賣出這種商品的總利潤比降價前是增加了還是減少了？變化幅度

是多少？

31

例5：超市購進(jìn)一批鮮活魚，進(jìn)價為12元/千克，按利潤率60%定價賣出一半后,

發(fā)現(xiàn)部分魚漸漸失去活力，于是開始八折銷售。超市賣出這批魚利潤率為多少？

練習(xí)

1、商場購進(jìn)一批服裝，進(jìn)價為50元/件，按利潤率90%定價，賣出80%后因季節(jié)

變化開始七折銷售。商場賣出這批服裝的利潤率為多少？

課后作業(yè)

1、商店有作業(yè)本100本，每本成本為0.5元，按每本0.7元銷售，可獲利潤多

少元？利潤率是百分之幾？

2、一臺電風(fēng)扇，進(jìn)貨價是250元，售價是300元。這種電風(fēng)扇賣出后所能獲得

的利潤占成本的百分之幾？

3、商店每賣出一本掛歷，可獲得利潤12元，已知每本掛歷售價52元，這種掛

歷的利潤率是百分之幾？

32

4、一種商品的利潤率是20虬如果進(jìn)貨價降低20%,售出價保持不變，那么商品

的利潤率是百分之幾？

5、紅星商店購回一批商品，按20%的利潤定價，然后打八折出售，結(jié)果虧損400

元。這批商品的成本是多少元？

6、某商品按20%的利潤定價，然后打八折出售，結(jié)果虧損了64元。每個這種商

品的成本是多少元？

7、某種商品按定價賣出可得利潤960元，若按定價的80%出售，則虧損832元。

商品的購入價是多少元？

33

第七講：簡便計(jì)算

專題解析

運(yùn)用拆分法(也叫裂項(xiàng)法、拆項(xiàng)法)進(jìn)行分?jǐn)?shù)的簡便運(yùn)算。

運(yùn)用拆分法解題主要是使拆開后的一些分?jǐn)?shù)互相抵消，達(dá)到簡化運(yùn)算的目

的。一般地，形如aXY(1a馬+1)、的分?jǐn)?shù)可以拆成a,-a4+1?；形如aX(a+n)、的分

數(shù)可以拆成,x(-)；形如的分?jǐn)?shù)可以拆成2+r；形如

naa+naXbab

的分?jǐn)?shù)可以拆成:X[Q],等等。

n(一n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)

,1993X1994-1

而z1----------------

1J1993+1992X1994

練習(xí):

362+548X361204+584X19911

1、362X548—1861992X584-380-143

例2、有一串?dāng)?shù)1,4,9,16,25,36…….它們是按一定的規(guī)律排列的，那么其

中第2000個數(shù)與2001個數(shù)相差多少？

34

練習(xí)

1、99992+199992、999X274+6274

例3、(9,+7|)4-(|+|)

練習(xí)

354、

1、(--+—+一)

,|+力1179

6324、218、

2、(z96—+36—)4-(z32—+12—)

,,11

例4、73—X-

15o

練習(xí)：

111314

1、~X57-2、41-X—+51yX—

703445

35

制R------+------+------+.......+-----------

以、1X22X33X499X100

練習(xí)

1111

［、4X5+5X6+6X7+.......+39X40

1_|_-1--+1---1+---

6425672

例IR------4------+------+H---------

口、2X44X66X848X50

練習(xí)

11『1,1

1、3X5+5X7+7X9+.......+97X99

11111

9—-I------+——+----------+-------

42870130208

36

例7［二+義］+軍一更

31220304256

練習(xí)：

157911

11-+——-----+-------------

26122030

19981998199819981998

2、1X2+2X3+3X4+4X5+5X6

7911

3、6X瓦為X6+而X6

課后作業(yè)

1988+1989X1987

2、19912-19902

1988X1989-1

37

775,10、11

3、(2—+1—)(1n+n)4、64-X-

13

1]]]1

5、10X11+11X12+12X13+13X14+14X15

_1_l_1__|_-1-+1--1+--1+--

6、22X7、

20212612203042

1111

1X4+4X7+7X10+.......+97X100

111119111315

1f)1--——+——-——+——

1X5+5X9+9X13+.......+33X37420304256

38

第八講：長方體和正方體

專題解析

一、長方體與正方體的表面積和體積公式

1、長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用

V表示O

v=abh

v=sh

s=（ab+ah+bh）X2

正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示，體積用v表示.

s=6a2

v=a3

例1、把一個棱長是8厘米的正方體鋼，鍛造成長16厘米，寬5厘米的長方體

鋼板，鋼板有多厚？

練習(xí)

1、一個棱長4分米的正方體容器裝滿水后，倒入一只長8分米，寬2.5分米的

長方體水箱里，水深多少分米？

例2、在一個長120厘米，寬60厘米的長方體水箱里，放入一塊長方體的鐵塊

后，水面比原來上升了2厘米。

（1）求鐵塊的體積是多少立方分米？

（2）已知鐵塊的長和寬都是20厘米，求鐵塊的高是多少？

39

練習(xí)

1、一個正方體水槽，棱長2分米，向水槽中倒入5升水后，再把一個鵝卵石放

入水中，這時量得水深15厘米，鵝卵石的體積是多少立方分米？

例3、一個房間的長6米，寬3.5米，高3米，門窗面積是8平方米。現(xiàn)在要把

這個房間的四壁和頂面粉刷水泥，粉刷水泥的面積是多少平方米？如果每平方米

需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？

練習(xí)

1、一個長方體的游泳池，長20米，寬18米，水深2.5米,如在四壁和底面抹水

泥，求抹水泥的面積是多少平方米？如果每平方米需要水泥3.5千克，一共要水

泥多少千克？

例4、一根長2米的長方體木料鋸成兩段后，表面積增加了100平方厘米，它的

體積是多少？

練習(xí)

1、一個長方體，長是3m,寬和高都是0.5m,把它分割成兩個完全一樣的小長方

體，表面積最少增加多少平方分米？

40

課后作業(yè)

1、至少要（）小正方體才能拼成一個大正方體。如果小正方體的棱長

是5cm,那么大正方體的表面積是（）平方厘米，體積是

（）立方分米。

2、把一根長80厘米、寬5厘米、高5厘米的長方體木材，鋸成長度都是40厘

米的兩段，表面積比原來增加了。

3、一個正方體的棱長總和是24分米，它的表面積是，體積是。

4、5個棱長是1厘米的正方體小方塊排成一行，拼成的長方體的表面積

是，體積是。

5、把兩個同樣大小的長方體拼成一個正方體，這個正方體的棱長是10厘米，原

來一個長方體的表面積平方厘米，體積是dn?。

6、有一塊棱長是40厘米的正方體的鐵塊，現(xiàn)在要把它熔鑄成一個橫截面積是

800平方厘米的長方體，這個長方體的長是多少厘米？

7、一個長方體玻璃缸，從里面量長40厘米，寬25厘米，缸內(nèi)水深12厘米。把

一塊石頭浸入水中后，水面升到16厘米，求石塊的體積。

8、做一個長方體的浴缸（無蓋），長8分米，寬4分米，高6分米，至少需要多

少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元錢，至少需要多少錢買玻璃？

41

9、一個棱長4分米的正方體容器裝滿水后，倒入一只長8分米，寬3分米的長

方體水箱里，水深多少分米？

10、在一個長240厘米，寬30厘米的長方體水箱里，放入一塊長方體的鐵塊后,

水面比原來上升了2厘米，已知鐵塊的長和寬都是10厘米，求鐵塊的高？

42

第九講：圖形及組合圖形面積

一、平面幾何圖形面積計(jì)算公式

二、平面圖形面積計(jì)算

(1)、組合圖形面積計(jì)算

概念：由幾個基本圖形組合而成的圖形，叫做組合圖形。

例1、小華家新買了住房，計(jì)劃在客廳鋪地板(客廳平面圖如下)，求面積?

練習(xí)1、如圖，一張硬紙板剪下4個邊長是4厘米的小正方形后,可以做成一個

沒有蓋子的盒子。這張硬紙板還剩下多大的面積？

10-~~H0

15

43

1、求下列圖形面積

3

2、已知平行四邊形的面積是48平方分米，求陰影部分的面積。

3、求下列圖形面積

4、有一塊土地如圖所示，你能用幾種方法求出它的面積？（單位：米）

44

（2）、不規(guī)則圖形的面積計(jì)算

幾何圖形千變?nèi)f化，是小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的一個重要方面。解決這類問題不

僅需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識（即概念要清晰，公式要記準(zhǔn)），而且要有敏銳的觀察

力以及靈活的思考能力，同時要具備空間想象力，能動手操作。

圖形問題的題型較多，首先來分析相對簡單的一一圓和體的問題。

轉(zhuǎn)化是圓常用到的解題方法，因?yàn)樾∩踔泻苌賳渭兊目紙A的周長和面積公

式，通常要將不規(guī)則的組合圖形，進(jìn)行分、合、移、補(bǔ)、轉(zhuǎn)等變形，這就是“靜”

圖“動”想。

1、求下列幾何圖形的面積

2、求下圖中陰影部分的面積。

3、有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱體（不包括瓶頸），如圖所示，容積是20L。瓶中

裝有一些飲料，正放時飲料高度為20cm,倒放時空余部分高度為5cm,瓶中現(xiàn)

有飲料L。

4、梯形面積是48平方厘米，陰影部分比空白部分少12平方厘米，求陰影部分

面積。

45

課后作業(yè)

1、填表。

圖形名稱面積公式（文字）面積公式（字母）

長方形

正方形

平行四邊形

三角形

梯形

2、求下面圖形的面積。（單位：cm）

A

/1

3220

3、計(jì)算下面圖形中陰影部分的面積。

12dm

om

4、求下列陰影部分的面積。

46

②已知S平=48dm2,求s阻。

16cm

8dm

③已知：陰影部分的面積為24

平方厘米，求梯形的面積。

7cm

12cm

5、如圖，ABCD是一個長12厘米，寬5厘米的長方形，求陰影部分三角形ACE

的面積。

47

第十講：圓的周長和面積

專題解析

1、圓周率

2、圓的周長及面積公式

1、填一填

8cm

圓的半徑是（）cm

直徑是（）cm

長方形的長是（）cm,

寬是（）cm

2、求下列各圖形的周長和面積。（單位：cm）

①②③④

100

CHD

弋…|-8一|

3、玉海公園中的一個花壇，直徑是6米,在它的外面鋪一條小路，小路寬1米,

求小路的面積？

48

4、一張圓形桌面的直徑是12分米，它的周長是多少分米？它的面積是多少平方

分米？

5、一輛自行車的車輪外半徑是40cm,車輪每分鐘轉(zhuǎn)100圈。要通過2512米的

橋，大約需多少分鐘？

6、小明量的得一棵樹橫截面的周長是31.4cm,求這棵樹橫截面的半徑。

7、李寧用一根繩子繞樹一圈量得25.12厘米，樹的橫截面直徑為多少？

(4)

(28)49

課后作業(yè)

1、填表:

半徑（分米）28

直徑（分米）312

周長（分米）18.8462.8

2、一個圓的半徑2厘米，它的周長是（）；面積是

（）o

3、一個圓的直徑6米，半徑（）,周長（），面積

（）-

4、一根鉛絲長62.8分米,用它做成兩個大小相同的圓，每個圓的半徑多少分米？

5、小紅沿直徑6.4米的圓形花圃邊走一周，需要走多少米?

6、求下圖的周長（單位：米）

7、一根長5米的繩子系著一只羊，栓在草地中央的樹樁上，羊吃草的面積最多

是多少平方米？

50

8、一種麥田的自動旋轉(zhuǎn)噴灌器的射程是10米，它能噴灌的面積多少平方米?

9、求右圖陰影部分面積：（單位：厘米）

10、用26米長的籬笆圍成一個圓形苗圃，籬笆接頭處用去0.88米。苗圃的面積

多少？

51

湘一試卷（1）

（時間：70分鐘滿分：100分）

一、填空題（每小題3分，共24分）

1、最小的四位數(shù)是o

2、如果一個數(shù)的,是15,那么這個數(shù)是____________o

4

3、有比例式3：4=12：x,貝ijx=o

4、在0.3667、9、士這三個數(shù)中，最大的是。

1311

5、一個周長為24厘米的正方形，它的面積等于平方厘米。

6、北京到天津的實(shí)際距離有120千米，在一幅地圖上量的這兩地的圖上距離是

2厘米，那么這副地圖的比例尺是。

7、三個連續(xù)的奇數(shù)的和等于33,那么這三個奇數(shù)分別是0

8、要用鐵皮做一個高為24厘米，底面直徑為20厘米的無蓋圓柱形水桶，通過

計(jì)算知道這個水桶的側(cè)面積與底面積的和約為1821.2平方厘米，那么做這個水

桶應(yīng)該剪出平方厘米的鐵皮。

二、計(jì)算題（寫出計(jì)算過程，每題4分，共20分）

(1)0.25+!」

312

(2)98X1.9+2X1.9

24

(3)5—xlOO

25

31

(4)0.9^-+l-x6.8

54

1

(5)13xA.il

155x22

三、解答題（每題7分，共35分）

1、六年級甲班有22名女生，占全班人數(shù)的40%,那么這個班上的男生有多少

人？

2、用20元錢買3個筆記本，找回6.5元，問：平均每個筆記本多少錢？

52

3、一輛客車從甲地開出80千米后，如果再以每小時60千米的速度行駛1小時

15分鐘就可以到達(dá)乙地，問：甲、乙兩地相距多少千米？

4、今年1月1日，小明爸爸到銀行存入5000元的教育儲蓄，定期為3