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專(zhuān)題4.2專(zhuān)題4.2指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,a是底數(shù),指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽.【特別提醒】形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0;a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)閑q\a\vs4\al(R);值域?yàn)?0,+∞)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=eq\a\vs4\al(0)時(shí),y=eq\a\vs4\al(1)當(dāng)x>0時(shí),恒有y>1;當(dāng)x>0時(shí),恒有0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),恒有0<y<1當(dāng)x<0時(shí),恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三常用結(jié)論(1)指數(shù)函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1,a),(0,1),.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律:在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低),其底數(shù)越大.考點(diǎn)01指數(shù)函數(shù)的判斷與求值【典例1】(2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),,則的值為(

)A.2 B.1 C.0 D.1【答案】D【分析】由函數(shù)是上的偶函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得出函數(shù)的周期,根據(jù)時(shí)的表達(dá)式可求解出一個(gè)周期的函數(shù)值,從而解出本題.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù),所以,因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以,即,所以,所以,所以函數(shù)是上周期為4的函數(shù),當(dāng)時(shí),,所以,,又,,所以,所以.故選:D.【典例2】(2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),則.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t.故答案為:考點(diǎn)02根據(jù)指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【典例3】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)為指數(shù)函數(shù),則(

)A.或 B.且C. D.【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義列方程組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為指數(shù)函數(shù),則,且,解得,故選:C【典例4】(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù),求a+b的值.【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù),則,,則得到的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù),所以.由是指數(shù)函數(shù),得.所以.考點(diǎn)03求指數(shù)函數(shù)的解析式【典例5】(2023秋·湖南岳陽(yáng)·高三校考階段練習(xí))若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò),則(

)A. B. C.3 D.9【答案】B【分析】根據(jù)題意,由求得函數(shù)解析式求解.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò),所以,解得,所以,則,故選:B【典例6】(2023春·河南商丘·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)滿(mǎn)足:;當(dāng)時(shí),.則滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)為.【答案】(答案不唯一)【分析】,指數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足,又當(dāng)時(shí),,可得,寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式即可.【詳解】由,知且滿(mǎn)足該條件;又當(dāng)時(shí),,可得,故可以為.故答案為:考點(diǎn)04指數(shù)(型)函數(shù)圖象的辨識(shí)【典例7】(2022秋·陜西延安·高一校考期末)函數(shù)的圖像大致是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷,可排除選項(xiàng)B,D,再根據(jù)函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù),即可判斷.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)椋裕春瘮?shù)為偶函數(shù),故選項(xiàng)B,D不符合;又,解得,所以函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn),故A符合,C不符合.故選:A.【典例8】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)的大致圖象是(

)A.

B.

C.

D.

【答案】C【分析】先分類(lèi)討論化簡(jiǎn)函數(shù)式,然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橛郑鶕?jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,時(shí),函數(shù)為增函數(shù),排除B、D;時(shí),函數(shù)為減函數(shù),排除A.故選:C.【規(guī)律方法】識(shí)圖的三種常用方法(1)抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析:=1\*GB3①?gòu)暮瘮?shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;=2\*GB3②從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);=3\*GB3③從周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù);=4\*GB3④從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.=5\*GB3⑤從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.(2)抓住函數(shù)的特征,定量計(jì)算:從函數(shù)的特征點(diǎn),利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.(3)根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法:=1\*GB3①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式,從而判斷函數(shù)圖象(定量分析);=2\*GB3②根據(jù)自變量取不同值時(shí)函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析).考點(diǎn)05指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【典例9】(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖是指數(shù)函數(shù)①,②,③,④的圖像,則a,b,c,d與0和1的大小關(guān)系是()A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析得到,大于1,,大于0小于1,再通過(guò)取得到具體的大小關(guān)系.【詳解】當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù),當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)是定義域內(nèi)的減函數(shù),由圖可知,大于1,,大于0小于1.又由圖可知,即.,即.,,,與1的大小關(guān)系是.故選:.【典例10】(2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)(且)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)得出指數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】令,得,則.所以函數(shù)(且)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).故答案為:.【規(guī)律方法】過(guò)定點(diǎn)的圖象(1)畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,1),(1,a),.特別注意,指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1);(2)與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);(3)當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì),當(dāng)0<a<1時(shí),指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢(shì);簡(jiǎn)記:撇增捺減.考點(diǎn)06指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【典例11】(2020·北京·高考真題)已知函數(shù),則不等式的解集是(

).A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象,觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋缘葍r(jià)于,在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖:兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為,不等式的解為或.所以不等式的解集為:.故選:D.【典例12】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是.【答案】【分析】分a>1和0<a<1兩種情況討論交點(diǎn)的情況即可.【詳解】當(dāng)a>1時(shí),通過(guò)平移變換和翻折變換可得如圖(1)所示的圖象,則由圖可知1<2a<2,即<a<1,與a>1矛盾;當(dāng)0<a<1時(shí),同樣通過(guò)平移變換和翻折變換可得如圖(2)所示的圖象,則由圖可知1<2a<2,即<a<1.綜上可知,<a<1.故答案為:.考點(diǎn)07指數(shù)(型)函數(shù)的定義域、值域【典例13】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))已知的值域?yàn)椋瑒tx的取值范圍可以為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】令,根據(jù)值域解不等式組可得t的范圍,然后解指數(shù)不等式可得.【詳解】令,則,由題知,,解得或,即或,解得或.故選:D【典例14】(2023·全國(guó)·高一課堂例題)求下列函數(shù)的定義域和值域:(1);(2).【答案】(1)定義域?yàn)椋恢涤驗(yàn)?2)定義域?yàn)椋恢涤驗(yàn)椤痉治觥浚?)根據(jù)二次根式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)要使函數(shù)式有意義,則,即.因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù),所以.故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋裕裕裕春瘮?shù)的值域?yàn)椋唬?)定義域?yàn)椋驗(yàn)椋裕郑院瘮?shù)的值域?yàn)椋究偨Y(jié)提升】形如y=af(x)的函數(shù)的值域,可先求f(x)的值域再根據(jù)函數(shù)y=at的單調(diào)性確定y=af(x)的值域.考點(diǎn)08根據(jù)指數(shù)(型)函數(shù)的定義域、值域(最值)求參數(shù)【典例15】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】由于當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),求出的最小值,使其最小值小于等于1即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋裕茫詫?shí)數(shù)的取值范圍是,故選:D.【典例16】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))求函數(shù),在上的值域.【答案】【分析】,令,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】,令,函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),∴,的對(duì)稱(chēng)軸為,∴當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),,即,∴在上的值域?yàn)?【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)問(wèn)題,往往利用換元法,即把指數(shù)式看做一個(gè)變量,將問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化.如【典例16】.考點(diǎn)09指數(shù)(型)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例17】【多選題】(2023秋·河南·高三滎陽(yáng)市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)的定義域?yàn)?B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的最小值為3 D.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)定義域判斷A,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及二次函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最小值即可判斷B、C,根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷D.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋x項(xiàng)A正確;由與復(fù)合,而為單調(diào)遞增函數(shù),所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間,選項(xiàng)B正確;由選項(xiàng)B可知,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng).故選項(xiàng)D正確.故選:ABD.【典例18】(2022秋·浙江·高一校聯(lián)考期中)寫(xiě)出定義域和值域都相同,但單調(diào)性不相同的兩個(gè)單調(diào)函數(shù):;的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】和(答案不唯一)【分析】(1)本題屬于開(kāi)放性問(wèn)題,只需選擇符合要求的解析式即可,不妨取兩個(gè)單調(diào)性不同的指數(shù)函數(shù);(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】解:不妨取和,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋诙x域上單調(diào)遞增,函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋诙x域上單調(diào)遞減,符合題意;對(duì)于函數(shù),令,即,解得或,所以函數(shù)的的定義域?yàn)椋趾瘮?shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在定義域上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又在定義域上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為:和(答案不唯一);【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”.考點(diǎn)10根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求參數(shù)【典例19】(2023秋·貴州遵義·高三校考階段練習(xí))已知為奇函數(shù),則(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義,結(jié)合恒等式知識(shí)求解.【詳解】由為奇函數(shù),得.因?yàn)椴缓銥?,所以,即,所以,即.故選:D.【典例20】(2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意,都有成立,則a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義,列式求解.【詳解】∵滿(mǎn)足對(duì)任意,都有成立,∴在上是減函數(shù),,解得,∴a的取值范圍是.故選:C.考點(diǎn)11指數(shù)(型)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用【典例21】(安徽省部分學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期階段性測(cè)試(一)數(shù)學(xué)試題)已知,則的大小關(guān)系是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小,利用冪指數(shù)運(yùn)算可比較大小,即得答案.【詳解】因?yàn)椋沂荝上的增函數(shù),故,又,故.故選:D【典例22】(2022秋·廣東江門(mén)·高一校考期中)已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù),且它的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式;(2)求,,;(3)畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象解不等式.【答案】(1)(2),,(3)作圖見(jiàn)解析,.【分析】設(shè)函數(shù),且,把點(diǎn)代入即可求得的值,進(jìn)而可得函數(shù)的解析式.根據(jù)函數(shù)的解析式求得、、的值.畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象,由不等式,可得,由此解得的范圍.【詳解】(1)設(shè)函數(shù),且,把點(diǎn)代入可得,求得,所以函數(shù)的解析式為.(2)由(1)可知,所以,,.(3)畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象如下圖所示:所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;由不等式,可得,解得,故不等式的解集為.【總結(jié)提升】比較大小問(wèn)題:底數(shù)相同,指數(shù)不同:借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較;底數(shù)不同,指數(shù)相同:利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象變化規(guī)律來(lái)判斷;底數(shù)不同,指數(shù)不同:常找到一個(gè)中間值,通過(guò)比較函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷.考點(diǎn)12指數(shù)(型)函數(shù)綜合問(wèn)題【典例23】(2023秋·上海松江·高一校考期末)設(shè),函數(shù).(1)若,求證:函數(shù)是奇函數(shù);(2)若,請(qǐng)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)上的增函數(shù),證明見(jiàn)解析.【分析】(1)利用奇函數(shù)的定義可證得結(jié)論成立;(2)任取,且,作差,因式分解并判斷差值的符號(hào),由此可證得函數(shù)為上的增函數(shù).【詳解】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)椋捎冢院瘮?shù)是奇函數(shù).(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)為上的增函數(shù).當(dāng)時(shí),,任取,且,則,由,得,則,即,所以函數(shù)為上的增函數(shù).【典例24】(2023秋·黑龍江綏化·高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)(,且)是奇函數(shù),且.(1)求,的值;(2)若對(duì)于,不等式成立,求的取值范圍.【答案】(1),;(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求,再代入,求;(2)利用指數(shù)冪的化簡(jiǎn),將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以,即,得,所以,,得或(舍),綜上,,;(2)由(1)知,,則恒成立,,,所以,對(duì)恒成立,即恒成立,設(shè),函數(shù)由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成,當(dāng),,單調(diào)遞增,當(dāng),單調(diào)遞增,所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)單調(diào)遞增,最小值為,即,則.【總結(jié)提升】指數(shù)方程或不等式的解法(1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)①af(x)=ag(x)?f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時(shí),等價(jià)于f(x)<g(x).(2)解指數(shù)方程或不等式的方法先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪,再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.1.(2023·天津·統(tǒng)考高考真題)若,則的大小關(guān)系為(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增,則,由在上遞增,則.所以.故選:D2.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.專(zhuān)題專(zhuān)題4.2指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,a是底數(shù),指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽.【特別提醒】形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0;a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)閑q\a\vs4\al(R);值域?yàn)?0,+∞)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=eq\a\vs4\al(0)時(shí),y=eq\a\vs4\al(1)當(dāng)x>0時(shí),恒有y>1;當(dāng)x>0時(shí),恒有0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),恒有0<y<1當(dāng)x<0時(shí),恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三常用結(jié)論(1)指數(shù)函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1,a),(0,1),.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律:在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低),其底數(shù)越大.考點(diǎn)01指數(shù)函數(shù)的判斷與求值【典例1】(2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),,則的值為(

)A.2 B.1 C.0 D.1【答案】D【分析】由函數(shù)是上的偶函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得出函數(shù)的周期,根據(jù)時(shí)的表達(dá)式可求解出一個(gè)周期的函數(shù)值,從而解出本題.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù),所以,因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以,即,所以,所以,所以函數(shù)是上周期為4的函數(shù),當(dāng)時(shí),,所以,,又,,所以,所以.故選:D.【典例2】(2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),則.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t.故答案為:考點(diǎn)02根據(jù)指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【典例3】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)為指數(shù)函數(shù),則(

)A.或 B.且C. D.【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義列方程組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為指數(shù)函數(shù),則,且,解得,故選:C【典例4】(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù),求a+b的值.【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù),則,,則得到的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù),所以.由是指數(shù)函數(shù),得.所以.考點(diǎn)03求指數(shù)函數(shù)的解析式【典例5】(2023秋·湖南岳陽(yáng)·高三校考階段練習(xí))若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò),則(

)A. B. C.3 D.9【答案】B【分析】根據(jù)題意,由求得函數(shù)解析式求解.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò),所以,解得,所以,則,故選:B【典例6】(2023春·河南商丘·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)滿(mǎn)足:;當(dāng)時(shí),.則滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)為.【答案】(答案不唯一)【分析】,指數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足,又當(dāng)時(shí),,可得,寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式即可.【詳解】由,知且滿(mǎn)足該條件;又當(dāng)時(shí),,可得,故可以為.故答案為:考點(diǎn)04指數(shù)(型)函數(shù)圖象的辨識(shí)【典例7】(2022秋·陜西延安·高一校考期末)函數(shù)的圖像大致是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷,可排除選項(xiàng)B,D,再根據(jù)函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù),即可判斷.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)椋裕春瘮?shù)為偶函數(shù),故選項(xiàng)B,D不符合;又,解得,所以函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn),故A符合,C不符合.故選:A.【典例8】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)的大致圖象是(

)A.

B.

C.

D.

【答案】C【分析】先分類(lèi)討論化簡(jiǎn)函數(shù)式,然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橛郑鶕?jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,時(shí),函數(shù)為增函數(shù),排除B、D;時(shí),函數(shù)為減函數(shù),排除A.故選:C.【規(guī)律方法】識(shí)圖的三種常用方法(1)抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析:=1\*GB3①?gòu)暮瘮?shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;=2\*GB3②從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);=3\*GB3③從周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù);=4\*GB3④從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.=5\*GB3⑤從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.(2)抓住函數(shù)的特征,定量計(jì)算:從函數(shù)的特征點(diǎn),利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.(3)根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法:=1\*GB3①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式,從而判斷函數(shù)圖象(定量分析);=2\*GB3②根據(jù)自變量取不同值時(shí)函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析).考點(diǎn)05指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【典例9】(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖是指數(shù)函數(shù)①,②,③,④的圖像,則a,b,c,d與0和1的大小關(guān)系是()A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析得到,大于1,,大于0小于1,再通過(guò)取得到具體的大小關(guān)系.【詳解】當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù),當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)是定義域內(nèi)的減函數(shù),由圖可知,大于1,,大于0小于1.又由圖可知,即.,即.,,,與1的大小關(guān)系是.故選:.【典例10】(2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)(且)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)得出指數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】令,得,則.所以函數(shù)(且)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).故答案為:.【規(guī)律方法】過(guò)定點(diǎn)的圖象(1)畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,1),(1,a),.特別注意,指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1);(2)與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);(3)當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì),當(dāng)0<a<1時(shí),指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢(shì);簡(jiǎn)記:撇增捺減.考點(diǎn)06指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【典例11】(2020·北京·高考真題)已知函數(shù),則不等式的解集是(

).A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象,觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋缘葍r(jià)于,在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖:兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為,不等式的解為或.所以不等式的解集為:.故選:D.【典例12】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是.【答案】【分析】分a>1和0<a<1兩種情況討論交點(diǎn)的情況即可.【詳解】當(dāng)a>1時(shí),通過(guò)平移變換和翻折變換可得如圖(1)所示的圖象,則由圖可知1<2a<2,即<a<1,與a>1矛盾;當(dāng)0<a<1時(shí),同樣通過(guò)平移變換和翻折變換可得如圖(2)所示的圖象,則由圖可知1<2a<2,即<a<1.綜上可知,<a<1.故答案為:.考點(diǎn)07指數(shù)(型)函數(shù)的定義域、值域【典例13】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))已知的值域?yàn)椋瑒tx的取值范圍可以為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】令,根據(jù)值域解不等式組可得t的范圍,然后解指數(shù)不等式可得.【詳解】令,則,由題知,,解得或,即或,解得或.故選:D【典例14】(2023·全國(guó)·高一課堂例題)求下列函數(shù)的定義域和值域:(1);(2).【答案】(1)定義域?yàn)椋恢涤驗(yàn)?2)定義域?yàn)椋恢涤驗(yàn)椤痉治觥浚?)根據(jù)二次根式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)要使函數(shù)式有意義,則,即.因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù),所以.故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋裕裕裕春瘮?shù)的值域?yàn)椋唬?)定義域?yàn)椋驗(yàn)椋裕郑院瘮?shù)的值域?yàn)椋究偨Y(jié)提升】形如y=af(x)的函數(shù)的值域,可先求f(x)的值域再根據(jù)函數(shù)y=at的單調(diào)性確定y=af(x)的值域.考點(diǎn)08根據(jù)指數(shù)(型)函數(shù)的定義域、值域(最值)求參數(shù)【典例15】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】由于當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),求出的最小值,使其最小值小于等于1即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋裕茫詫?shí)數(shù)的取值范圍是,故選:D.【典例16】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))求函數(shù),在上的值域.【答案】【分析】,令,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】,令,函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),∴,的對(duì)稱(chēng)軸為,∴當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),,即,∴在上的值域?yàn)?【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)問(wèn)題,往往利用換元法,即把指數(shù)式看做一個(gè)變量,將問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化.如【典例16】.考點(diǎn)09指數(shù)(型)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例17】【多選題】(2023秋·河南·高三滎陽(yáng)市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)的定義域?yàn)?B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的最小值為3 D.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)定義域判斷A,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及二次函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最小值即可判斷B、C,根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷D.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋x項(xiàng)A正確;由與復(fù)合,而為單調(diào)遞增函數(shù),所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間,選項(xiàng)B正確;由選項(xiàng)B可知,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng).故選項(xiàng)D正確.故選:ABD.【典例18】(2022秋·浙江·高一校聯(lián)考期中)寫(xiě)出定義域和值域都相同,但單調(diào)性不相同的兩個(gè)單調(diào)函數(shù):;的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】和(答案不唯一)【分析】(1)本題屬于開(kāi)放性問(wèn)題,只需選擇符合要求的解析式即可,不妨取兩個(gè)單調(diào)性不同的指數(shù)函數(shù);(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】解:不妨取和,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋诙x域上單調(diào)遞增,函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋诙x域上單調(diào)遞減,符合題意;對(duì)于函數(shù),令,即,解得或,所以函數(shù)的的定義域?yàn)椋趾瘮?shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在定義域上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又在定義域上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為:和(答案不唯一);【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”.考點(diǎn)10根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求參數(shù)【典例19】(2023秋·貴州遵義·高三校考階段練習(xí))已知為奇函數(shù),則(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義,結(jié)合恒等式知識(shí)求解.【詳解】由為奇函數(shù),得.因?yàn)椴缓銥?,所以,即,所以,即.故選:D.【典例20】(2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意,都有成立,則a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義,列式求解.【詳解】∵滿(mǎn)足對(duì)任意,都有成立,∴在上是減函數(shù),,解得,∴a的取值范圍是.故選:C.考點(diǎn)11指數(shù)(型)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用【典例21】(安徽省部分學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期階段性測(cè)試(一)數(shù)學(xué)試題)已知,則的大小關(guān)系是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小,利用冪指數(shù)運(yùn)算可比較大小,即得答案.【詳解】因?yàn)椋沂荝上的增函數(shù),故,又,故.故選:D【典例22】(2022秋·廣東江門(mén)·高一校考期中)已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù),且它的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式;(2)求,,;(3)畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象解不等式.【答案】(1)(2),,(3)作圖見(jiàn)解析,.【分析】設(shè)函數(shù),且,把點(diǎn)代入即可求得的值,進(jìn)而可得函數(shù)的解析式.根據(jù)函數(shù)的解析式求得、、的值.畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象,由不等式,可得,由此解得的范圍.【詳解】(1)設(shè)函數(shù),且,把點(diǎn)代入可得,求得,所以函數(shù)的解析式為.(2)由(1)可知,所以,,.(3)畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象如下圖所示:所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;由不等式,可得,解得,故不等式的解集為.【總結(jié)提升】比較大小問(wèn)題:底數(shù)相同,指數(shù)不同:借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較;底數(shù)不同,指數(shù)相同:利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象變化規(guī)律來(lái)判斷;底數(shù)不同,指數(shù)不同:常找到一個(gè)中間值,通過(guò)比較函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷.考點(diǎn)12指數(shù)(型)函數(shù)綜合問(wèn)題【典例23】(2023秋·上海松江·高一校考期末)設(shè),函數(shù).(1)若,求證:函數(shù)是奇函數(shù);(2)若,請(qǐng)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)上的增函數(shù),證明見(jiàn)解析.【分析】(1)利用奇函數(shù)的定義可證得結(jié)論成立;(2)任取,且,作差,因式分解并判斷差值的符號(hào),由此可證得函數(shù)為上的增函數(shù).【詳解】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)椋捎冢院瘮?shù)是奇函數(shù).(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)為上的增函數(shù).當(dāng)時(shí),,任取,且,則,由,得,則,即,所以函數(shù)為上的增函數(shù).【典例24】(2023秋·黑龍江綏化·高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)(,且)是奇函數(shù),且.(1)求,的值;(2)若對(duì)于,不等式成立,求的取值范圍.【答案】(1),;(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求,再代入,求;(2)利用指數(shù)冪的化簡(jiǎn),將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以,即,得,所以,,得或(舍),綜上,,;(2)由(1)知,,則恒成立,,,所以,對(duì)恒成立,即恒成立,設(shè),函數(shù)由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成,當(dāng),,單調(diào)遞增,當(dāng),單調(diào)遞增,所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)單調(diào)遞增,最小值為,即,則.【總結(jié)提升】指數(shù)方程或不等式的解法(1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)①af(x)=ag(x)?f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時(shí),等價(jià)于f(x)<g(x).(2)解指數(shù)方程或不等式的方法先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪,再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.1.(2023·天津·統(tǒng)考高考真題)若,則的大小關(guān)系為(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增,則,由在上遞增,則.所以.故選:D2.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此,解得,所以的取值范圍是.故選:D3.(2008·安徽·高考真題)若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿(mǎn)足f(x)-g(x)=ex,則有(

)A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性得,進(jìn)而得,從而利用函數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)可比較大小.【詳解】函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù),,由,得,,,解方程組得,易知在上單調(diào)遞增,所以,又所以.故選:D一、單選題1.(2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))設(shè),且,則=(

)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得函數(shù),結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),因?yàn)椋傻茫獾茫矗?故選:B.2.(2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù),則(

)A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性確定正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋允瞧婧瘮?shù),由于,所以在上單調(diào)遞增.故選:A3.(2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】由題意可得,解之即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù),所以,解得,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選:D.4.(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C.或 D.或【答案】A【分析】函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)有解,即函數(shù)的值域問(wèn)題求解.【詳解】函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn),有解,,,,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A.5.(2024秋·新疆·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù),為偶函數(shù),若當(dāng)時(shí),,則(

)A. B.0 C.1 D.e【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以求出函數(shù)的周期,利用周期運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】為奇函數(shù),即,所以關(guān)于中心對(duì)稱(chēng),則,為偶函數(shù),即,所以,故,即是周期為8的周期函數(shù),所以,故選:C二、多選題6.(2023秋·山西晉中·高三介休一中校考階段練習(xí))在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象可能是(

)A.

B.

C.

D.

【答案】AC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷,注意分類(lèi)討論.【詳解】當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)A;當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)C.故選:AC.7.(2023秋·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù),且,則下列式子可能成立的是(

)A. B.C. D.【答案】BCD【分析】在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象,然后根據(jù)圖象即可完成判斷.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象以及平行于x軸的直線如下:則時(shí),的關(guān)系有三種可能,分別是:,,.故選:BCD8.(2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校校考期末)已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)的定義域?yàn)?B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)是奇函數(shù) D.函數(shù)在上為減函數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合偶函數(shù)定義、單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A:因?yàn)椋裕院瘮?shù)的定義域?yàn)椋蔄正確;B:,由,所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔅正確;C:因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù),所以C正確;D:因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù),因?yàn)椋院瘮?shù)是減函數(shù),所以函數(shù)是增函數(shù),故是增函數(shù),故D不正確,故選:ABC.三、填空題9.(2022·上海·高一專(zhuān)題練習(xí))已知指數(shù)函數(shù)(其中)在閉區(qū)間上的最大值比最小值大,則實(shí)數(shù).【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解:∵,∴指數(shù)函數(shù)(其中)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,則,解得(舍去),故答案為:.10.(2023秋·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù),則的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)可得,即.綜上所述,的值域?yàn)?故答案為:.四、解答題11.(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)且,且的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求的解析式;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由,求得,從而可得答案;(2)根據(jù)在R上單調(diào)遞增,可得,進(jìn)而可得答案.【詳解】(1)的圖象過(guò)點(diǎn),,又(2)在R上單調(diào)遞增.12.(2022秋·山東淄博·高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù),其中且.(1)求函數(shù)的定義域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性;(3)若關(guān)于的不等式恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)(2)為偶函數(shù)(3)【分析】(1)根據(jù)分式分母不為零求解出的范圍即為定義域;(2)先判斷定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的,然后通過(guò)計(jì)算找到與的關(guān)系即可判斷奇偶性;(3)由為偶函數(shù),則恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)恒成立,由此求解出的取值范圍.【詳解】(1)解:由,解得,∴函數(shù)的定義域?yàn)椋唬?)解:為偶函數(shù),的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且,∴函數(shù)為偶函數(shù);(3)解:因?yàn)闉榕己瘮?shù),則恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)恒成立,即在上恒成立,∴在上恒成立,∴,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.3.(2008·安徽·高考真題)若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿(mǎn)足f(x)-g(x)=ex,則有(

)A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性得,進(jìn)而得,從而利用函數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)可比較大小.【詳解】函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù),,由,得,,,解方程組得,易知在上單調(diào)遞增,所以,又所以.故選:D一、單選題1.(2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))設(shè),且,則=(

)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得函數(shù),結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),因?yàn)椋傻茫獾茫矗?故選:B.2.(2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù),則(

)A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性確定正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋允瞧婧瘮?shù),由于,所以在上單調(diào)遞增.故選:A3.(2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區(qū)

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