專題4.2專題4.2指數函數知識點一指數函數的概念知識點一指數函數的概念函數y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，a是底數，指數函數的定義域為R.【特別提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函數叫做指數型函數，不是指數函數．知識點知識點二指數函數的圖象和性質y＝axa>10<a<1圖象性質函數的定義域為eq\a\vs4\al(R)；值域為(0，＋∞)函數圖象過定點(0,1)，即當x＝eq\a\vs4\al(0)時，y＝eq\a\vs4\al(1)當x>0時，恒有y>1；當x>0時，恒有0<y<1；當x<0時，恒有0<y<1當x<0時，恒有y>1函數在定義域R上為增函數函數在定義域R上為減函數知識點知識點三常用結論（1）指數函數圖象的畫法畫指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，.（2）指數函數的圖象與底數大小的比較如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數越大．考點01指數函數的判斷與求值【典例1】（2023秋·吉林長春·高三長春市第二實驗中學校考階段練習）已知函數是上的偶函數，且的圖象關于點對稱，當時，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】D【分析】由函數是上的偶函數與的圖象關于點對稱可得出函數的周期，根據時的表達式可求解出一個周期的函數值，從而解出本題.【詳解】解：因為函數是上的偶函數，所以，因為的圖象關于點對稱，所以，即，所以，所以，所以函數是上周期為4的函數，當時，，所以，，又，，所以，所以.故選：D.【典例2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知函數，則.【答案】【分析】根據分段函數解析式計算可得.【詳解】因為，所以，則.故答案為：考點02根據指數函數求參數【典例3】（2023·全國·高一專題練習）若函數為指數函數，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【分析】利用指數函數的定義列方程組求解即可.【詳解】因為函數為指數函數，則，且，解得，故選：C【典例4】（2023·高一課時練習）已知函數和都是指數函數，求a＋b的值．【答案】1【分析】根據函數為指數函數，則，，則得到的值.【詳解】因為函數是指數函數，所以．由是指數函數，得．所以．考點03求指數函數的解析式【典例5】（2023秋·湖南岳陽·高三校考階段練習）若函數的圖象經過，則（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】根據題意，由求得函數解析式求解.【詳解】解：因為函數的圖象經過，所以，解得，所以，則，故選：B【典例6】（2023春·河南商丘·高二校聯考階段練習）已知函數滿足：；當時，.則滿足這兩個條件的一個函數為.【答案】（答案不唯一）【分析】，指數函數滿足，又當時，，可得，寫出一個函數表達式即可.【詳解】由，知且滿足該條件；又當時，，可得，故可以為.故答案為：考點04指數（型）函數圖象的辨識【典例7】（2022秋·陜西延安·高一校考期末）函數的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據奇偶性定義判斷，可排除選項B，D，再根據函數與軸交點個數，即可判斷.【詳解】解：函數的定義域為，所以，即函數為偶函數，故選項B，D不符合；又，解得，所以函數與軸只有一個交點，故A符合，C不符合.故選：A.【典例8】（2023·全國·高一專題練習）函數的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先分類討論化簡函數式，然后根據指數函數的單調性排除錯誤選項．【詳解】因為又，根據指數函數的性質知，時，函數為增函數，排除B、D；時，函數為減函數，排除A．故選：C．【規律方法】識圖的三種常用方法（1）抓住函數的性質，定性分析：=1\*GB3①從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；=2\*GB3②從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；=3\*GB3③從周期性，判斷圖象的循環往復；=4\*GB3④從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．=5\*GB3⑤從函數的特征點，排除不合要求的圖象.(2)抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．（3）根據實際背景、圖形判斷函數圖象的方法：=1\*GB3①根據題目所給條件確定函數解析式，從而判斷函數圖象(定量分析)；=2\*GB3②根據自變量取不同值時函數值的變化、增減速度等判斷函數圖象(定性分析)．考點05指數函數圖象過定點問題【典例9】（2021·全國高一課時練習）如圖是指數函數①，②，③，④的圖像，則a，b，c，d與0和1的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據指數函數的單調性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通過取得到具體的大小關系．【詳解】當底數大于1時指數函數是定義域內的增函數，當底數大于0小于1時是定義域內的減函數，由圖可知，大于1，，大于0小于1．又由圖可知，即．，即．，，，與1的大小關系是．故選：．【典例10】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統考階段練習）已知函數（且）的圖象恒過定點，則點的坐標為.【答案】【分析】根據得出指數型函數恒過定點.【詳解】令，得，則.所以函數（且）的圖象恒過定點.故答案為：.【規律方法】過定點的圖象(1)畫指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點(0,1)，(1，a)，.特別注意，指數函數的圖象過定點（0，1）；(2)與的圖象關于y軸對稱；(3)當a＞1時，指數函數的圖象呈上升趨勢，當0＜a＜1時，指數函數的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減．考點06指數函數圖象的應用【典例11】（2020·北京·高考真題）已知函數，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作出函數和的圖象，觀察圖象可得結果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【典例12】（2023·全國·高一專題練習）若直線y＝2a與函數y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論交點的情況即可.【詳解】當a＞1時，通過平移變換和翻折變換可得如圖（1）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1，與a＞1矛盾；當0＜a＜1時，同樣通過平移變換和翻折變換可得如圖（2）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1.綜上可知，＜a＜1.故答案為：.考點07指數（型）函數的定義域、值域【典例13】（2023·全國·高一專題練習）已知的值域為，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根據值域解不等式組可得t的范圍，然后解指數不等式可得.【詳解】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D【典例14】（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數的定義域和值域：(1)；(2)．【答案】(1)定義域為；值域為(2)定義域為；值域為【分析】（1）根據二次根式和指數函數的性質進行求解即可；（2）根據指數函數的性質進行求解即可.【詳解】（1）要使函數式有意義，則，即．因為函數在上是增函數，所以．故函數的定義域為，因為，所以，所以，所以，即函數的值域為；（2）定義域為，因為，所以，又，所以函數的值域為．【總結提升】形如y＝af(x)的函數的值域，可先求f(x)的值域再根據函數y＝at的單調性確定y＝af(x)的值域．考點08根據指數（型）函數的定義域、值域（最值）求參數【典例15】（2023·全國·高一專題練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于當時，，所以當時，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【詳解】當時，，當時，，因為函數的值域為，所以，得，所以實數的取值范圍是，故選：D.【典例16】（2023·全國·高一專題練習）求函數，在上的值域.【答案】【分析】，令，再根據二次函數的性質即可得解.【詳解】，令，函數在上是單調減函數，∴，的對稱軸為，∴當時，，即當時，，即，∴在上的值域為.【總結提升】復合函數問題，往往利用換元法，即把指數式看做一個變量，將問題加以轉化.如【典例16】.考點09指數（型）函數的單調區間【典例17】【多選題】（2023秋·河南·高三滎陽市高級中學校聯考階段練習）設函數，則下列說法正確的是（

）A．函數的定義域為 B．的單調遞增區間為C．的最小值為3 D．的圖象關于對稱【答案】ABD【分析】根據函數定義域判斷A，根據復合函數單調性以及二次函數單調性求單調區間和函數的最小值即可判斷B、C，根據函數的對稱性判斷D.【詳解】易知函數的定義域為，選項A正確；由與復合，而為單調遞增函數，所以函數的單調遞減區間為單調遞減區間，函數的單調遞增區間為單調遞增區間，選項B正確；由選項B可知，故選項C錯誤；因為，所以的圖象關于對稱.故選項D正確.故選：ABD.【典例18】（2022秋·浙江·高一校聯考期中）寫出定義域和值域都相同，但單調性不相同的兩個單調函數：；的單調遞減區間為．【答案】和（答案不唯一）【分析】（1）本題屬于開放性問題，只需選擇符合要求的解析式即可，不妨取兩個單調性不同的指數函數；（2）根據復合函數的單調性規則計算可得.【詳解】解：不妨取和，因為函數的定義域為，值域為，在定義域上單調遞增，函數的定義域為，值域為，在定義域上單調遞減，符合題意；對于函數，令，即，解得或，所以函數的的定義域為，又函數在上單調遞增，在上單調遞減，在定義域上單調遞增，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又在定義域上單調遞減，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即的單調遞減區間為.故答案為：和（答案不唯一）；【總結提升】復合函數的單調性遵循“同增異減”.考點10根據函數的單調性、奇偶性求參數【典例19】（2023秋·貴州遵義·高三校考階段練習）已知為奇函數，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據奇函數的定義，結合恒等式知識求解．【詳解】由為奇函數，得.因為不恒為0，所以，即，所以，即.故選：D．【典例20】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區城關中學校考階段練習）已知函數滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數的單調性，再根據分段函數單調性的定義，列式求解.【詳解】∵滿足對任意，都有成立，∴在上是減函數，，解得，∴a的取值范圍是.故選：C．考點11指數（型）函數單調性應用【典例21】（安徽省部分學校20232024學年高二上學期階段性測試（一）數學試題）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據指數函數的單調性比較的大小，利用冪指數運算可比較大小，即得答案.【詳解】因為，且是R上的增函數，故，又，故．故選：D【典例22】（2022秋·廣東江門·高一校考期中）已知函數是指數函數，且它的圖象過點．(1)求函數的解析式；(2)求，，；(3)畫出指數函數的圖象，并根據圖象解不等式．【答案】(1)(2)，，(3)作圖見解析，．【分析】設函數，且，把點代入即可求得的值，進而可得函數的解析式．根據函數的解析式求得、、的值．畫出指數函數的圖象，由不等式，可得，由此解得的范圍．【詳解】（1）設函數，且，把點代入可得，求得，所以函數的解析式為．（2）由（1）可知，所以，，．（3）畫出指數函數的圖象如下圖所示：所以函數在上單調遞增；由不等式，可得，解得，故不等式的解集為．【總結提升】比較大小問題：底數相同，指數不同：借助指數函數單調性進行比較；底數不同，指數相同：利用底數不同的指數函數的圖象變化規律來判斷；底數不同，指數不同：常找到一個中間值，通過比較函數值與中間值的大小進行判斷．考點12指數（型）函數綜合問題【典例23】（2023秋·上海松江·高一校考期末）設，函數.(1)若，求證：函數是奇函數；(2)若，請判斷函數的單調性，并用定義證明.【答案】(1)證明見解析；(2)上的增函數，證明見解析.【分析】（1）利用奇函數的定義可證得結論成立；（2）任取，且，作差，因式分解并判斷差值的符號，由此可證得函數為上的增函數.【詳解】（1）當時，函數的定義域為，由于，所以函數是奇函數.（2）當時，函數為上的增函數.當時，，任取，且，則，由，得，則，即，所以函數為上的增函數.【典例24】（2023秋·黑龍江綏化·高三校考階段練習）已知函數（，且）是奇函數，且．(1)求，的值；(2)若對于，不等式成立，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據函數是奇函數求，再代入，求；（2）利用指數冪的化簡，將不等式恒成立轉化為，轉化為求函數的最小值問題.【詳解】（1）因為函數是奇函數，所以，即，得，所以，，得或（舍），綜上，，；（2）由（1）知，，則恒成立，，，所以，對恒成立，即恒成立，設，函數由外層函數和內層函數復合而成，當，，單調遞增，當，單調遞增，所以根據復合函數的單調性可知，函數單調遞增，最小值為，即，則.【總結提升】指數方程或不等式的解法(1)解指數方程或不等式的依據①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．②af(x)＞ag(x)，當a＞1時，等價于f(x)＞g(x)；當0＜a＜1時，等價于f(x)＜g(x)．(2)解指數方程或不等式的方法先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用函數單調性轉化為一般不等式求解．1．（2023·天津·統考高考真題）若，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據對應冪、指數函數的單調性判斷大小關系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D2．（2023·全國·統考高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．專題專題4.2指數函數知識點一指數函數的概念知識點一指數函數的概念函數y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，a是底數，指數函數的定義域為R.【特別提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函數叫做指數型函數，不是指數函數．知識點知識點二指數函數的圖象和性質y＝axa>10<a<1圖象性質函數的定義域為eq\a\vs4\al(R)；值域為(0，＋∞)函數圖象過定點(0,1)，即當x＝eq\a\vs4\al(0)時，y＝eq\a\vs4\al(1)當x>0時，恒有y>1；當x>0時，恒有0<y<1；當x<0時，恒有0<y<1當x<0時，恒有y>1函數在定義域R上為增函數函數在定義域R上為減函數知識點知識點三常用結論（1）指數函數圖象的畫法畫指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，.（2）指數函數的圖象與底數大小的比較如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數越大．考點01指數函數的判斷與求值【典例1】（2023秋·吉林長春·高三長春市第二實驗中學校考階段練習）已知函數是上的偶函數，且的圖象關于點對稱，當時，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】D【分析】由函數是上的偶函數與的圖象關于點對稱可得出函數的周期，根據時的表達式可求解出一個周期的函數值，從而解出本題.【詳解】解：因為函數是上的偶函數，所以，因為的圖象關于點對稱，所以，即，所以，所以，所以函數是上周期為4的函數，當時，，所以，，又，，所以，所以.故選：D.【典例2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知函數，則.【答案】【分析】根據分段函數解析式計算可得.【詳解】因為，所以，則.故答案為：考點02根據指數函數求參數【典例3】（2023·全國·高一專題練習）若函數為指數函數，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【分析】利用指數函數的定義列方程組求解即可.【詳解】因為函數為指數函數，則，且，解得，故選：C【典例4】（2023·高一課時練習）已知函數和都是指數函數，求a＋b的值．【答案】1【分析】根據函數為指數函數，則，，則得到的值.【詳解】因為函數是指數函數，所以．由是指數函數，得．所以．考點03求指數函數的解析式【典例5】（2023秋·湖南岳陽·高三校考階段練習）若函數的圖象經過，則（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】根據題意，由求得函數解析式求解.【詳解】解：因為函數的圖象經過，所以，解得，所以，則，故選：B【典例6】（2023春·河南商丘·高二校聯考階段練習）已知函數滿足：；當時，.則滿足這兩個條件的一個函數為.【答案】（答案不唯一）【分析】，指數函數滿足，又當時，，可得，寫出一個函數表達式即可.【詳解】由，知且滿足該條件；又當時，，可得，故可以為.故答案為：考點04指數（型）函數圖象的辨識【典例7】（2022秋·陜西延安·高一校考期末）函數的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據奇偶性定義判斷，可排除選項B，D，再根據函數與軸交點個數，即可判斷.【詳解】解：函數的定義域為，所以，即函數為偶函數，故選項B，D不符合；又，解得，所以函數與軸只有一個交點，故A符合，C不符合.故選：A.【典例8】（2023·全國·高一專題練習）函數的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先分類討論化簡函數式，然后根據指數函數的單調性排除錯誤選項．【詳解】因為又，根據指數函數的性質知，時，函數為增函數，排除B、D；時，函數為減函數，排除A．故選：C．【規律方法】識圖的三種常用方法（1）抓住函數的性質，定性分析：=1\*GB3①從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；=2\*GB3②從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；=3\*GB3③從周期性，判斷圖象的循環往復；=4\*GB3④從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．=5\*GB3⑤從函數的特征點，排除不合要求的圖象.(2)抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．（3）根據實際背景、圖形判斷函數圖象的方法：=1\*GB3①根據題目所給條件確定函數解析式，從而判斷函數圖象(定量分析)；=2\*GB3②根據自變量取不同值時函數值的變化、增減速度等判斷函數圖象(定性分析)．考點05指數函數圖象過定點問題【典例9】（2021·全國高一課時練習）如圖是指數函數①，②，③，④的圖像，則a，b，c，d與0和1的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據指數函數的單調性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通過取得到具體的大小關系．【詳解】當底數大于1時指數函數是定義域內的增函數，當底數大于0小于1時是定義域內的減函數，由圖可知，大于1，，大于0小于1．又由圖可知，即．，即．，，，與1的大小關系是．故選：．【典例10】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統考階段練習）已知函數（且）的圖象恒過定點，則點的坐標為.【答案】【分析】根據得出指數型函數恒過定點.【詳解】令，得，則.所以函數（且）的圖象恒過定點.故答案為：.【規律方法】過定點的圖象(1)畫指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點(0,1)，(1，a)，.特別注意，指數函數的圖象過定點（0，1）；(2)與的圖象關于y軸對稱；(3)當a＞1時，指數函數的圖象呈上升趨勢，當0＜a＜1時，指數函數的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減．考點06指數函數圖象的應用【典例11】（2020·北京·高考真題）已知函數，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作出函數和的圖象，觀察圖象可得結果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【典例12】（2023·全國·高一專題練習）若直線y＝2a與函數y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論交點的情況即可.【詳解】當a＞1時，通過平移變換和翻折變換可得如圖（1）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1，與a＞1矛盾；當0＜a＜1時，同樣通過平移變換和翻折變換可得如圖（2）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1.綜上可知，＜a＜1.故答案為：.考點07指數（型）函數的定義域、值域【典例13】（2023·全國·高一專題練習）已知的值域為，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根據值域解不等式組可得t的范圍，然后解指數不等式可得.【詳解】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D【典例14】（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數的定義域和值域：(1)；(2)．【答案】(1)定義域為；值域為(2)定義域為；值域為【分析】（1）根據二次根式和指數函數的性質進行求解即可；（2）根據指數函數的性質進行求解即可.【詳解】（1）要使函數式有意義，則，即．因為函數在上是增函數，所以．故函數的定義域為，因為，所以，所以，所以，即函數的值域為；（2）定義域為，因為，所以，又，所以函數的值域為．【總結提升】形如y＝af(x)的函數的值域，可先求f(x)的值域再根據函數y＝at的單調性確定y＝af(x)的值域．考點08根據指數（型）函數的定義域、值域（最值）求參數【典例15】（2023·全國·高一專題練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于當時，，所以當時，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【詳解】當時，，當時，，因為函數的值域為，所以，得，所以實數的取值范圍是，故選：D.【典例16】（2023·全國·高一專題練習）求函數，在上的值域.【答案】【分析】，令，再根據二次函數的性質即可得解.【詳解】，令，函數在上是單調減函數，∴，的對稱軸為，∴當時，，即當時，，即，∴在上的值域為.【總結提升】復合函數問題，往往利用換元法，即把指數式看做一個變量，將問題加以轉化.如【典例16】.考點09指數（型）函數的單調區間【典例17】【多選題】（2023秋·河南·高三滎陽市高級中學校聯考階段練習）設函數，則下列說法正確的是（

）A．函數的定義域為 B．的單調遞增區間為C．的最小值為3 D．的圖象關于對稱【答案】ABD【分析】根據函數定義域判斷A，根據復合函數單調性以及二次函數單調性求單調區間和函數的最小值即可判斷B、C，根據函數的對稱性判斷D.【詳解】易知函數的定義域為，選項A正確；由與復合，而為單調遞增函數，所以函數的單調遞減區間為單調遞減區間，函數的單調遞增區間為單調遞增區間，選項B正確；由選項B可知，故選項C錯誤；因為，所以的圖象關于對稱.故選項D正確.故選：ABD.【典例18】（2022秋·浙江·高一校聯考期中）寫出定義域和值域都相同，但單調性不相同的兩個單調函數：；的單調遞減區間為．【答案】和（答案不唯一）【分析】（1）本題屬于開放性問題，只需選擇符合要求的解析式即可，不妨取兩個單調性不同的指數函數；（2）根據復合函數的單調性規則計算可得.【詳解】解：不妨取和，因為函數的定義域為，值域為，在定義域上單調遞增，函數的定義域為，值域為，在定義域上單調遞減，符合題意；對于函數，令，即，解得或，所以函數的的定義域為，又函數在上單調遞增，在上單調遞減，在定義域上單調遞增，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又在定義域上單調遞減，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即的單調遞減區間為.故答案為：和（答案不唯一）；【總結提升】復合函數的單調性遵循“同增異減”.考點10根據函數的單調性、奇偶性求參數【典例19】（2023秋·貴州遵義·高三校考階段練習）已知為奇函數，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據奇函數的定義，結合恒等式知識求解．【詳解】由為奇函數，得.因為不恒為0，所以，即，所以，即.故選：D．【典例20】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區城關中學校考階段練習）已知函數滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數的單調性，再根據分段函數單調性的定義，列式求解.【詳解】∵滿足對任意，都有成立，∴在上是減函數，，解得，∴a的取值范圍是.故選：C．考點11指數（型）函數單調性應用【典例21】（安徽省部分學校20232024學年高二上學期階段性測試（一）數學試題）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據指數函數的單調性比較的大小，利用冪指數運算可比較大小，即得答案.【詳解】因為，且是R上的增函數，故，又，故．故選：D【典例22】（2022秋·廣東江門·高一校考期中）已知函數是指數函數，且它的圖象過點．(1)求函數的解析式；(2)求，，；(3)畫出指數函數的圖象，并根據圖象解不等式．【答案】(1)(2)，，(3)作圖見解析，．【分析】設函數，且，把點代入即可求得的值，進而可得函數的解析式．根據函數的解析式求得、、的值．畫出指數函數的圖象，由不等式，可得，由此解得的范圍．【詳解】（1）設函數，且，把點代入可得，求得，所以函數的解析式為．（2）由（1）可知，所以，，．（3）畫出指數函數的圖象如下圖所示：所以函數在上單調遞增；由不等式，可得，解得，故不等式的解集為．【總結提升】比較大小問題：底數相同，指數不同：借助指數函數單調性進行比較；底數不同，指數相同：利用底數不同的指數函數的圖象變化規律來判斷；底數不同，指數不同：常找到一個中間值，通過比較函數值與中間值的大小進行判斷．考點12指數（型）函數綜合問題【典例23】（2023秋·上海松江·高一校考期末）設，函數.(1)若，求證：函數是奇函數；(2)若，請判斷函數的單調性，并用定義證明.【答案】(1)證明見解析；(2)上的增函數，證明見解析.【分析】（1）利用奇函數的定義可證得結論成立；（2）任取，且，作差，因式分解并判斷差值的符號，由此可證得函數為上的增函數.【詳解】（1）當時，函數的定義域為，由于，所以函數是奇函數.（2）當時，函數為上的增函數.當時，，任取，且，則，由，得，則，即，所以函數為上的增函數.【典例24】（2023秋·黑龍江綏化·高三校考階段練習）已知函數（，且）是奇函數，且．(1)求，的值；(2)若對于，不等式成立，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據函數是奇函數求，再代入，求；（2）利用指數冪的化簡，將不等式恒成立轉化為，轉化為求函數的最小值問題.【詳解】（1）因為函數是奇函數，所以，即，得，所以，，得或（舍），綜上，，；（2）由（1）知，，則恒成立，，，所以，對恒成立，即恒成立，設，函數由外層函數和內層函數復合而成，當，，單調遞增，當，單調遞增，所以根據復合函數的單調性可知，函數單調遞增，最小值為，即，則.【總結提升】指數方程或不等式的解法(1)解指數方程或不等式的依據①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．②af(x)＞ag(x)，當a＞1時，等價于f(x)＞g(x)；當0＜a＜1時，等價于f(x)＜g(x)．(2)解指數方程或不等式的方法先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用函數單調性轉化為一般不等式求解．1．（2023·天津·統考高考真題）若，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據對應冪、指數函數的單調性判斷大小關系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D2．（2023·全國·統考高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D3.（2008·安徽·高考真題）若函數f(x)、g(x)分別為R上的奇函數、偶函數，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有（

）A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)【答案】D【分析】根據函數奇偶性得，進而得，從而利用函數的單調性及正負可比較大小.【詳解】函數分別是上的奇函數、偶函數,，由，得，，，解方程組得，易知在上單調遞增，所以，又所以.故選：D一、單選題1.（2022·甘肅·高臺縣第一中學模擬預測（文））設，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根據題意求得函數，結合指數冪的運算，即可求解.【詳解】由題意，函數，因為，可得，解得，即，所以.故選：B.2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期中）已知函數，則（

）A．是奇函數，且在R上是增函數 B．是偶函數，且在R上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數 D．是偶函數，且在R上是減函數【答案】A【分析】根據函數的奇偶性和單調性確定正確答案.【詳解】的定義域為，，所以是奇函數，由于，所以在上單調遞增.故選：A3．（2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區新豐中學校考開學考試）已知函數是上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，解之即可得解.【詳解】因為函數是上的單調遞增函數，所以，解得，所以實數a的取值范圍是.故選：D.4.（2023·全國·高一專題練習）若函數的圖象與軸有交點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】函數的圖象與軸有交點轉化成函數有解，即函數的值域問題求解．【詳解】函數的圖象與軸有交點，有解，，，，則實數的取值范圍是.故選：A．5.（2024秋·新疆·高三校聯考階段練習）已知的定義域為為奇函數，為偶函數，若當時，，則（

）A． B．0 C．1 D．e【答案】C【分析】根據函數的奇偶性可以求出函數的周期，利用周期運用代入法進行求解即可.【詳解】為奇函數，即，所以關于中心對稱，則，為偶函數，即，所以，故，即是周期為8的周期函數，所以，故選：C二、多選題6．（2023秋·山西晉中·高三介休一中校考階段練習）在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【分析】根據二次函數的圖象與指數函數的圖象判斷，注意分類討論．【詳解】當時，對應的圖象可能為選項A；當時，對應的圖象可能為選項C.故選：AC.7．（2023秋·河南南陽·高一統考期末）已知函數，且，則下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】在同一直角坐標系中作出和的圖象，然后根據圖象即可完成判斷.【詳解】在同一直角坐標系中作出和的圖象以及平行于x軸的直線如下：則時，的關系有三種可能，分別是：，，.故選：BCD8．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校校考期末）已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數的定義域為 B．函數的值域為C．函數是奇函數 D．函數在上為減函數【答案】ABC【分析】根據指數函數的性質，結合偶函數定義、單調性的性質逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以，所以函數的定義域為，故A正確；B：，由，所以函數的值域為，故B正確；C：因為，所以函數是奇函數，所以C正確；D：因為函數是增函數，因為，所以函數是減函數，所以函數是增函數，故是增函數，故D不正確，故選：ABC.三、填空題9．（2022·上海·高一專題練習）已知指數函數（其中）在閉區間上的最大值比最小值大，則實數．【答案】【分析】利用指數函數的單調性求出函數的最值即可得解．【詳解】解：∵，∴指數函數（其中）在閉區間上單調遞增，所以，則，解得（舍去），故答案為：．10.（2023秋·上海黃浦·高三上海市大同中學校考開學考試）已知函數，則的值域為．【答案】【分析】根據指數函數的單調性求解即可.【詳解】當時，；當時，，根據指數的性質可得，即.綜上所述，的值域為.故答案為：.四、解答題11．（2023·全國·高一專題練習）已知函數且，且的圖象過點.(1)求的解析式；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由，求得，從而可得答案；（2）根據在R上單調遞增，可得，進而可得答案.【詳解】（1）的圖象過點，，又（2）在R上單調遞增.12.（2022秋·山東淄博·高一統考期末）已知函數，其中且．(1)求函數的定義域；(2)判斷函數的奇偶性；(3)若關于的不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)為偶函數(3)【分析】（1）根據分式分母不為零求解出的范圍即為定義域；（2）先判斷定義域是關于原點對稱的，然后通過計算找到與的關系即可判斷奇偶性；（3）由為偶函數，則恒成立等價于當時恒成立，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）解：由，解得，∴函數的定義域為；（2）解：為偶函數，的定義域為關于原點對稱，且，∴函數為偶函數；（3）解：因為為偶函數，則恒成立等價于當時恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立，∴，故實數的取值范圍是.3.（2008·安徽·高考真題）若函數f(x)、g(x)分別為R上的奇函數、偶函數，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有（

）A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)【答案】D【分析】根據函數奇偶性得，進而得，從而利用函數的單調性及正負可比較大小.【詳解】函數分別是上的奇函數、偶函數,，由，得，，，解方程組得，易知在上單調遞增，所以，又所以.故選：D一、單選題1.（2022·甘肅·高臺縣第一中學模擬預測（文））設，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根據題意求得函數，結合指數冪的運算，即可求解.【詳解】由題意，函數，因為，可得，解得，即，所以.故選：B.2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期中）已知函數，則（

）A．是奇函數，且在R上是增函數 B．是偶函數，且在R上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數 D．是偶函數，且在R上是減函數【答案】A【分析】根據函數的奇偶性和單調性確定正確答案.【詳解】的定義域為，，所以是奇函數，由于，所以在上單調遞增.故選：A3．（2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區