2.2對數函數

預習導航

課程目標學習脈絡

1.理解對數的概念，掌握對數的基本性質.

T概念1

2.掌握指數式與對數式的互化，能應用對數的定義和性質解方|對數卜T對數的性質

程.U性質的應用

一、對數

名師點撥對對數的理解：

(1)對數式10g”可看作一種記號，表示關于X的方程a'=Ma>0,且aWl)的解；也可

以看作一種運算，即已知底為a(a>0,且aWl),幕為“求幕指數的運算，因此，對數式

logW又可看作幕運算的逆運算.

(2)用指數式來理解對數.對數式6=log/表達的意義是成=及指數式、對數式中各個

字母的名稱變化如下表：

名稱

式子

aXN

指數式a=N底數指數暴

對數式X=10gJV底數對數真數

(3)對數記號log/中，a>0,且a#l,40.

因為在中，a>0,且aWl,所以在10gsy中，a>0,且a#l.

又因為正數的任何次嘉都是正數，即a">0(a>0),故4a">0.

(4)并不是所有的指數式都能直接改寫成對數式，如(一2y=4不能寫成logT4=2,只

有在a>0,且aWl,八>0時，才有a"=g6=log』

(5)因為對數式與指數式實際上是同一關系的不同表示形式，所以可以將對數問題轉化

為指數問題來解決.

自主思考alogJV=JV(a>0,且a#l)成立嗎？

提示：成立.這是因為：由得x=log/將x=logj代入a"="得alogJV=N

二、常用對數和自然對數

1.常用對數：通常我們將以坨為底的對數叫做常用對數，并把logiW記為””

2.自然對數：在科學技術中常使用以無理數e=2.71828…為底數的對數，以之為底

的對數稱為自然對數，并把log一記為InJK

2.2對數函數

預習導航

課程目標學習脈絡

1.掌握對數的運算性質，并能運用運算性質化簡、求值.H運算性質1

2.了解對數的換底公式及其應用.1對數的運算1--1換底公式?

3.初步掌握對數在生活中的應用.U應用I

一、對數的運算性質

條件a>0,且aWl,M>0,N>Q

10ga(M)=10ga-10ga〃

M

性質loga--=logJ/—logJV

Na

loga"=HogJ/(〃￡R)

名師點撥對對數的運算性質的理解：

(1)利用對數的運算性質可以把乘、除、乘方的運算轉化為對數的加、減、乘運算，反

之亦然.

(2)對于每一條運算性質，都要注意只有當式子中所有的對數都有意義時，等式才成立.

(3)能用語言準確敘述對數的運算性質

log式〃?M=logMTogJV—-積的對數等于對數的和.

M-

log—=loga〃一logjv1"商的對數等于對數的差.

aN

logJ/=/71oga〃(AeR)―?真數的〃次辱的對數等于對數的77倍.

自主思考若弘“同號，則式子loga(〃，初=logj/+log/成立嗎？

提示：不一定成立.如logz[(—2)X(―7)]是存在的，但log2(-2)與log2(-7)是不存

在的，故log2[(-2)X(—7)]￥log式-2)+log2(—7).

二、換底公式

logb

logaZ>=----(a>0,且aWl；c>0,且cWl；6〉0).

log4

名師點撥1.用換底公式推得的兩個常用結論：

(1)log/?log,a=l(a>0,且aWl；6〉0,且6#1)；

(2)logbn=一logZ?(a>0,且aWl；Z?>0；/WO).

amma

2.換底公式的作用是把不同底的對數化為同底的對數.

2.2對數函數

預習導航

課程目標學習脈絡

1.掌握對數函數的概念，會判斷對數函數.

2.初步掌握對數函數的圖象和性質.T圖象與性質

|對?數函數卜1

3.能利用對數函數的性質解決與對數函數有關的定義域、定點T反函數|

問題.L[^l]

一、對數函數

名師點撥1.對對數函數定義的理解:

（1）由于指數函數y=a'中的底數a滿足a>0,且aWl,則對數函數尸log.中的底數

a也必須滿足a>0,且aWl.

（2）對數函數的解析式同時滿足：①對數符號前面的系數是1；②對數的底數是不等于1

的正實數（常數）；③對數的真數僅有自變量X.

2.對數函數的圖象:

對數函數的圖象，當x趨近于0時，無限接近于y軸，但不相交.

作直線尸1與函數y=logax的圖象相交，則交點橫坐標為a.

自主思考1函數y=logax（a>0,且a=l）的圖象與函數尸log1x（a〉0,且a=l）的圖

a

象有怎樣的關系？

提示：觀察課本第70頁圖2.2-3知，兩函數的圖象關于x軸對稱.事實上，函數y=

logaX圖象上任一點尸(x,y)關于x軸的對稱點*(x,—y)都在函數y=logix的圖象上,

所以這兩個函數的圖象關于x軸對稱.

自主思考2a,6在什么情況下，loga6〉0?什么情況下,logaZ;<0?

提示：觀察對數函數圖象知，

當a,6G(1,+8)或a,6e(0,1)時，log/〉0.

當ad(0,1)，力1或a〉l,6G(0,1)時，logaZKO.

二、反函數

對數函數y=log,x(a>0,且aWl)和指數函數y=a，(a>0,且aWl)互為反函數.它們的

圖象關于直線y=x對稱.

名師點撥對數函數和指數函數的區別與聯系

將對數函數和指數函數的性質對比列表如下：

名稱指數函數對數函數

P=logaX(Z>0,

解析式y=a{a>Q,且dWl)

且己￥1)

定義域(-8,+oo)(0,+°°)

值域(0,+°0)(-8,H-OO)

單調性當a>l時為增函數，當0〈a〈l時為減函數

當a>l時：當a>l時：

若x>0,則p>l；若x>L則y>0；

若x=0,則p=l；若x=l,則y=0；

函數值的變若水0,則0。<1若0〈水1,則水0

化情況當0〈水1時：當0〈水1時：

若￡>0,則0〈y<l；若x>l,則y(0；

若x=0,則y=l；若x=l,則y=0；

若￡〈0,則7>1若0<x<l,則p>0

圖象y=a'的圖象與y=：logd的圖象關于直線y=x對稱

2.2對數函數

預習導航

課程目標學習脈絡

1.理解對數函數的單調性，并能利用單調性比較大小.T比較大小|

2.能利用對數函數的單調性解簡單的對數不等式.|i；otiPT解對數不等式1

3.能解答簡單的對數綜合問題.口綜合應用I

一、對數函數的圖象和性質

對數函數y=loga^（a>0,且aWl）的圖象和性質如下表所示:

底數a>l0<a<l

yJ

y=log4fx六1OaA

圖象

1產1

定義域：（0,+8）

值域：（一8，+8）

當x=l時，y=0,即圖象恒過定點（1,0）

性質

當x>l時，y<0；當0<木1時，

當x>\時，y>0；當0<水1時，y<0

y>0

在（0,+8）上是增函數在（0,+8）上是減函數

二、對數函數的反函數

對數函數尸log,x（a>0,且aWl）的反函數是尸a"（a>0,且a#4）.

自主思考1函數y=logax（a>0,且a=l）的圖象與y=log]x（a>0,且a=l）的圖象有

a

什么關系？

提示：函數y=log2X與尸log1x的圖象，函數p=log3X與y=log]x的圖象如圖所

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示，結合圖象可知函數尸logaX（d〉0,且aWl）的圖象與y=log1x（a>0,且aWl）的圖象

a

關于X軸對稱.

其實y=log1log'=Tog/,因為y=logaX與y=—logaX的圖象關于X軸

；log」T

a

對稱，所以函數y=logax與y=logix的圖象也關于x軸對稱.

a

自主思考2底數對對數函數圖象的影響？

提示：在同一坐標系中畫出以下