河南省漯河市漯河實驗高中2025屆數學高一下期末教學質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出以下四個結論：①D1C∥平面A1ABB1②A1D1與平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1正確的結論個數是（）A．1 B．2 C．3 D．42．在三棱錐中，已知所有棱長均為，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3．設有直線m、n和平面、.下列四個命題中，正確的是()A．若m∥,n∥,則m∥nB．若m,n,m∥,n∥,則∥C．若，m,則mD．若，m，m,則m∥4．數列1，，，，…的一個通項公式為（）A． B． C． D．5．在△中，點是上一點，且，是中點，與交點為，又，則的值為（）A． B． C． D．6．在中，，，，則（）A． B． C． D．7．將函數的圖象向左平移個長度單位后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．8．在中，點滿足，則（）A． B．C． D．9．三邊，滿足，則三角形是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形10．下列說法正確的是（）A．小于的角是銳角 B．鈍角是第二象限的角C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角與角的終邊相同，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖所示，已知點，單位圓上半部分上的點滿足，則向量的坐標為________．12．若直線與圓相交于，兩點，且（其中為原點），則的值為________．13．從集合中隨機選取一個數記為，從集合中隨機選取一個數記為，則直線不經過第一象限的概率為__________．14．已知圓的圓心在直線，與y軸相切，且被直線截得的弦長為，則圓C的標準方程為________.15．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則=.16．觀察下列等式：（1）；（2）；（3）；（4），……請你根據給定等式的共同特征，并接著寫出一個具有這個共同特征的等式（要求與已知等式不重復），這個等式可以是__________________.（答案不唯一）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從全校參加科技知識競賽初賽的學生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長方形的高之比是，最后一組的頻數是6.請結合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績在分的學生人數；（3）從樣本中成績在90.5分以上的同學中隨機地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.18．已知數列中，，．（1）證明數列為等比數列，并求的通項公式；（2）數列滿足，數列的前項和為，求證．19．的內角，，的對邊分別為，，，設.（1）求；（2）若，求.20．在中，角所對的邊為.已知面積（1）若求的值；（2）若，求的值.21．解方程:.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

在①中，由，得到平面；在②中，由，得到平面；在③中，由，得到與平面相交但不垂直；在④中，由平面，得到平面平面，即可求解．【詳解】由正方體中，可得：在①中，因為，平面，平面，∴平面，故①正確；在②中，∵，平面，平面，∴平面，故②錯誤；在③中，∵，∴與平面相交但不垂直，故③錯誤；在④中，∵平面，平面，∴平面平面，故④正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．2、A【解析】

取的中點，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計算出的三條邊長，并利用余弦定理計算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，由于、分別為、的中點，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，三棱錐是邊長為的正四面體，則、均是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對異面直線所成的角進行說明；（3）三計算：選擇合適的三角形，并計算出三角形的邊長，利用余弦定理計算所求的角．3、D【解析】

當兩條直線同時與一個平面平行時，兩條直線之間的關系不能確定，故A不正確，B選項再加上兩條直線相交的條件，可以判斷面與面平行，故B不正確，C選項再加上m垂直于兩個平面的交線，得到線面垂直，故C不正確，D選項中由α⊥β，m⊥β，m，可得m∥α，故是正確命題，故選D4、A【解析】

把數列化為，根據各項特點寫出它的一個通項公式.【詳解】數列…可以化為，所以該數列的一個通項公式為.故選：A【點睛】本題考查了根據數列各項特點寫出它的一個通項公式的應用問題，是基礎題目.5、D【解析】試題分析：因為三點共線，所以可設，又，所以，，將它們代入，即有，由于不共線，從而有，解得，故選擇D.考點：向量的基本運算及向量共線基本定理.6、D【解析】

直接用正弦定理直接求解邊.【詳解】在中，，，由余弦定理有：,即故選：D【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎題.7、B【解析】

試題分析：由題意得，，令，可得函數的圖象對稱軸方程為，取是軸右側且距離軸最近的對稱軸，因為將函數的圖象向左平移個長度單位后得到的圖象關于軸對稱，的最小值為，故選B．考點：兩角和與差的正弦函數及三角函數的圖象與性質．【方法點晴】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數及三角函數的圖象與性質，將三角函數圖象向左平移個單位，所得圖象關于軸對稱，求的最小值，著重考查了三角函數的化簡、三角函數圖象的對稱性等知識的靈活應用，本題的解答中利用輔助角公式，化簡得到函數,可取出函數的對稱軸，確定距離最近的點，即可得到結論．8、D【解析】

因為，所以，即；故選D.9、C【解析】

由基本不等式得出，將三個不等式相加得出，由等號成立的條件可判斷出的形狀．【詳解】為三邊，，由基本不等式可得，將上述三個不等式相加得，當且僅當時取等號，所以，是等邊三角形，故選C．【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查基本不等式的應用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”條件的應用，考查推理能力，屬于中等題．10、B【解析】

可通過舉例的方式驗證選項的對錯.【詳解】A：負角不是銳角，比如“”的角，故錯誤；B：鈍角范圍是“”，是第二象限的角，故正確；C：第二象限角取“”，第一象限角取“”，故錯誤；D：當角與角的終邊相同，則.故選B.【點睛】本題考查任意角的概念，難度較易.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設點，由和列方程組解出、的值，可得出向量的坐標.【詳解】設點的坐標為，則，由，得，解得，因此，，故答案為.【點睛】本題考查向量的坐標運算，解題時要將一些條件轉化為與向量坐標相關的等式，利用方程思想進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.12、【解析】

首先根據題意畫出圖形，再根據求出直線的傾斜角，求斜率即可.【詳解】如圖所示直線與圓恒過定點，不妨設，因為，所以，兩種情況討論，可得，.所以斜率.故答案為：【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，同時考查了數形結合的思想，屬于簡單題.13、【解析】

首先求出試驗發生包含的事件的取值所有可能的結果，滿足條件事件直線不經過第一象限，符合條件的有種結果，根據古典概型概率公式得到結果.【詳解】試驗發生包含的事件，，得到的取值所有可能的結果有：共種結果，由得，當時，直線不經過第一象限，符合條件的有種結果，所以直線不經過第一象限的概率.故答案為：【點睛】本題是一道古典概型題目，考查了古典概型概率公式，解題的關鍵是求出列舉基本事件，屬于基礎題.14、或【解析】

由圓心在直線x﹣3y＝0上，設出圓心坐標，再根據圓與y軸相切，得到圓心到y軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，距離d，由圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．【詳解】設圓心為（3t，t），半徑為r＝|3t|，則圓心到直線y＝x的距離d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圓心是（3，1）或（-3，-1）故答案為或．【點睛】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．根據題意設出圓心坐標，找出圓的半徑是解本題的關鍵．15、【解析】

如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點：1.直線與圓的位置關系；2.平面向量的數量積.16、【解析】

觀察式子特點可知，分子上兩余弦的角的和是，分母上兩個正弦的角的和是，據此規律即可寫出式子【詳解】觀察式子規律可總結出一般規律：，可賦值，得故答案為：【點睛】本題考查歸納推理能力，能找出余角關系和補角關系是解題的關鍵，屬于基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）48；（2）30；（3）【解析】

（1）設樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據比例列式求解即可；（3）根據比例得成績在90.5分以上的同學有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個數，然后列舉出最高分甲被抽到的基本事件個數，根據概率公式可得結果.【詳解】解：（1）設樣本容量為，則，解得，所以樣本的容量是48；（2）樣本中成績在分的學生人數為：人；（3）樣本中成績在90.5分以上的同學有人，設這6名同學分別為，其中就是甲，從這6名同學中隨機地抽取2人參加決賽有：共15個基本事件，其中最高分甲被抽到的有共5個基本事件，則最高分甲被抽到的概率為.【點睛】本題考查頻率，頻數，樣本容量間的關系，考查古典概型的概率公式，重點是列舉出總的基本事件和滿足題目要求的基本事件，是基礎題.18、（1）證明見解析；；（2）【解析】

（1）先證明數列是以3為公比，以為首項的等比數列，從而，由此能求出的通項公式；（2）由（1）推導出，從而，利用錯位相減法求和，利用放縮法證明．【詳解】由，，得，，數列是以3為公比，以為首項的等比數列，從而，數列滿足，，，，兩式相減得：，，，【點睛】本題主要考查等比數列的定義、通項公式與求和公式，以及錯位相減法的應用，是中檔題．一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解,在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.19、(1)(2)【解析】

（1）由正弦定理得，再利用余弦定理的到.（2）將代入等式，化簡得到答案.【詳解】解：（1）由結合正弦定理得；∴又，∴.（2）由,∴∴,∴∴又∴解得：，.【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理