期末專題07圓錐曲線小題綜合（橢圓、雙曲線、拋物線）（附加）（精選40題）一、單選題1．（22-23高二下·江蘇鎮江·期末）拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線方程求出的值，從而可求出其焦點坐標.【詳解】由于拋物線的方程為，所以，，則所以拋物線的焦點坐標是，故選：A.2．（22-23高二下·河北·期末）已知雙曲線與雙曲線，則兩雙曲線的（

）A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通過的范圍，結合曲線，求解焦距，實半軸長，虛半軸長，判斷選項即可．【詳解】的實半軸的長為5，虛半軸的長為3，實數滿足，曲線是雙曲線，實半軸的長為，虛半軸的長為，顯然兩條曲線的實軸的長與虛軸的長不相等，所以A、B均不正確；焦距為：，焦距相等，所以D正確；離心率為：和，不相等，所以C不正確．故選：D．3．（22-23高二下·湖北荊門·期末）過拋物線的焦點作斜率為直線與拋物線交于、兩點，與拋物線的準線相交于點．若為的中點，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯立，結合已知點的關系求出交點橫坐標作答.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，直線的方程為，

由消去y并整理得：，設，則，而點的橫坐標為，又是的中點，則有，由，，解得，因此，又，解得，所以.故選：D4．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知拋物線的焦點為，過的直線交于點，分別在點處作的兩條切線，兩條切線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設直線的方程為，，與拋物線聯立可得，再利用求曲線上一點的切線方程得過與相切的直線方程，再利用兩條直線的交點坐標得???????，再利用兩點間的距離公式計算得結論.【詳解】顯然直線的斜率存在，因此設直線的方程為，，由得，因此，故.因為，所以過與相切的直線方程分別為：、，因此由得，即，所以.因為，所以，因此，所以的取值范圍是.故選:C.5．（22-23高二下·廣東·期末）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．5【答案】C【分析】利用點到直線的距離公式求出，利用勾股定理求出，由銳角三角函數得出，在利用余弦定理可得出、、的齊次方程，可解出雙曲線離心率的值．【詳解】如下圖所示，雙曲線的右焦點，漸近線的方程為，由點到直線的距離公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化簡得，，即，因此，雙曲線的離心率為，故選：C．【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出、，可計算出離心率；②構造、的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解．6．（22-23高二下·福建福州·期末）設點、分別是橢圓的左、右焦點，點、在上（位于第一象限）且點、關于原點對稱，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，四邊形為矩形，設，則，利用橢圓定義可得出與的等量關系，利用勾股定理可得出與的等量關系，由此可得出橢圓的離心率的值.【詳解】如下圖所示：

由題意可知，為、的中點，則四邊形為平行四邊形，則，又因為，則四邊形為矩形，設，則，所以，，由勾股定理可得，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.7．（22-23高二下·廣西河池·期末）已知雙曲線的左?右焦點分別是，焦距為，以線段為直徑的圓在第一象限交雙曲線于點，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據圓的直徑得出垂直關系，再根據正弦值得出邊長，結合雙曲線定義可得2a，計算漸近線即可.【詳解】

因為線段為直徑的圓在第一象限交雙曲線于點所以，則漸近線方程為．故選:B．8．（22-23高二下·廣東韶關·期末）已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點向的角平分線作垂線，垂足為點Q，則點和點Q距離的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】延長，交于點T，則可得，再結合雙曲線的定義得，連接，則，而為定值，所以由圖可知，從而可求得結果.【詳解】如圖所示，延長，交于點T，則因為平分，，所以，，因為P在雙曲線上，所以，所以，連接，則，因為，所以，當三點共線時取等號，即點和點Q距離的最大值為3，故選：C【點睛】關鍵點點睛：此題考查雙曲線的幾何性質的應用，解題的關鍵是利用已知條件結合雙曲線的性質可得，，考查數形結合的思想，屬于中檔題.9．（22-23高二下·廣東廣州·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，設點為右支上一點，點到直線的距離為，過的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．C．直線的斜率的取值范圍是 D．的內切圓圓心到軸的距離為1【答案】D【分析】根據題意作圖，結合雙曲線的焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程，可得答案.【詳解】由題意，，，可作圖如下：

對于A，由題意以及圖象可知：當與右頂點重合時，取得最小值為，故A錯誤；對于B，令且，則，故B錯誤；對于C，由漸近線方程為，過的直線與雙曲線的右支有兩個交點，結合圖象可知：直線的斜率的取值范圍為，故C錯誤；對于D，若內切圓與三邊相切于，如圖象所示，則，，，又，即，由，，即與右頂點重合，易知的內切圓圓心到軸的距離為，故D正確.故選：D.10．（22-23高二下·浙江杭州·期末）設橢圓的左右焦點分別為，，是橢圓上不與頂點重合的一點，記為的內心．直線交軸于點，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用角平分線性質得到，設，則，根據橢圓定義得到，然后利用平面向量的數量積和余弦定理即可求解.【詳解】不妨設點位于第一象限，如圖所示，

因為為的內心，所以為的角平分線，所以，因為，所以，設，則，由橢圓的定義可知，，可得，所以，，又因為，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，則，故選：B.11．（22-23高二下·江蘇南京·期末）直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，為雙曲線右支上一個動點，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】求出圓的圓心，根據題意可得、，利用平面向量的線性運算可得，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑，因為直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，所以，又雙曲線，則，，右焦點為，所以，又，即，所以，當點在右頂點時取等號，即，所以的最小值為，故選：D.

12．（22-23高二下·廣東深圳·期末）已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再根據橢圓的定義求出，再利用勾股定理構造齊次式即可得解.【詳解】如圖，設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可得，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的離心率為.故選：A.

13．（22-23高二下·廣東汕頭·期末）已知橢圓方程是其左焦點，點是橢圓內一點，點是橢圓上任意一點，若的最大值為，最小值為，那么（

）A． B．4 C．8 D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義轉化為的最值問題，數形結合即可求解.【詳解】由題意，設橢圓的右焦點為，連接，則，如圖：

當點P在位置M時，取到最大值，當點P在位置N時，取到最小值，所以的取值范圍是，即，所以的最大值，最小值，所以.故選：C.14．（22-23高二下·湖南·期末）如圖，已知是雙曲線的左?右焦點，為雙曲線上兩點，滿足，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據雙曲線的定義和性質分析可得，進而可得，結合勾股定理運算求解.【詳解】延長與雙曲線交于點，因為，根據對稱性可知，設，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.

【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值；2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．15．（22-23高二下·浙江·期末）雙曲線右焦點為，離心率為，，以為圓心，長為半徑的圓與雙曲線有公共點，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圓的方程，聯立方程組，由得出的范圍，從而得解.【詳解】由題意，右焦點，又，則，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，，聯立方程組，得，由圓與雙曲線有公共點，所以，即，結合，化簡為，由方程兩根為：，，所以不等式的解為，或，由已知，得所以，當時，取得最小值.故選：A【點睛】解決本題關鍵是曲線與曲線的位置關系，用聯立方程組的方法，其中化簡是個難點.二、多選題16．（22-23高二下·江蘇南通·期末）雙曲線的離心率為e，若過點能作該雙曲線的兩條切線，則e可能取值為（

）．A． B． C． D．2【答案】AC【分析】設出切線方程，與雙曲線方程聯立，根據過點能作該雙曲線的兩條切線，求得a的取值范圍，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍，從而可得答案.【詳解】斜率不存在時不合題意，所以直線切線斜率一定存在，設切線方程是，由得，顯然時，所得直線只有一條，不滿足題意，所以，由得，整理為，由題意此方程有兩不等實根，所以，，則為雙曲線的半焦距，，即，代入方程，得，此時，綜上，e的范圍是故選：AC

17．（22-23高二下·湖北咸寧·期末）已知，為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，則下面四個結論正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．的最大值為4C．的最大值為3 D．的最大值為【答案】BCD【分析】由橢圓方程求出離心率可判斷A；由基本不等式可判斷B；由向量數量積的坐標運算可判斷C；當點為短軸的端點時，取得最大值，求出可判斷D.【詳解】由橢圓方程得，，，因此，，選項A中，，，故，A錯誤；選項B中，，當且僅當時取等號，B正確；選項C中，令，則，故C正確；選項D中，當點為短軸的端點時，取得最大值，此時，則，，的最大值為，D正確.故選：BCD.

18．（22-23高二下·重慶渝中·期末）已知過點的直線交拋物線于，兩點，設，，點是線段的中點，則下列說法正確的有（

）A．為定值－8 B．的最小值為4C．的最小值為 D．點的軌跡方程為【答案】ACD【分析】設直線的方程，與拋物線的方程聯立，可得兩根之和及兩根之積，再一一判斷即可．【詳解】由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程為，顯然，兩點在軸的兩側，設，且，，聯立，整理可得，顯然，，，，，所以A正確；所以，當且僅當時取等號，所以B不正確；因為，，所以，當且僅當時取等號，所以C正確；由題意可得的中點，設，則，消參可得，整理可得，所以D正確．故選：ACD．19．（22-23高二下·廣東深圳·期末）已知拋物線的焦點為，準線為，過的一條直線與交于，兩點，若點在上運動，則（

）A．當時，B．當時，C．當時，三點的縱坐標成等差數列D．當時，【答案】ACD【分析】由拋物線的定義可判斷A項，聯立直線AB方程與拋物線方程求得、，進而可求得可判斷B項，由直角三角形性質及拋物線的定義可判斷C項，設出點M坐標，計算可得，可得，運用等面積法、直角三角形性質及基本不等式可判斷D項.【詳解】對于選項A：如圖所示，

由拋物線定義可知，若，則，故選項A正確；對于選項B：如圖所示，

當時，為正三角形，所以直線的傾斜角為，設直線的方程為，由可得，，所以，故選項B錯誤；對于選項C：過點作直線垂直于，垂足分別為，作的中點N，如圖所示，

由選項B可知，又因為，所以，由拋物線定義可知，所以，所以M為的中點，所以三點的縱坐標成等差數列，故選項正確；對于選項D：如圖所示，

設，直線的斜率為，直線的斜率為，則，由B項可知，由選項C可知，所以，所以，所以，又因為，所以，且，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立.故選項D正確.故選：ACD.20．（22-23高二下·湖北·期末）“嫦娥五號”是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器，是中國探月工程的收官之戰，實現了月球區域著陸及采樣返回.如圖所示，月球探測器飛到月球附近時，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行，然后在點處變軌進入以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行，最后在點處變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行，設圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則以下說法正確的是（

）

A．橢圓軌道Ⅱ的焦距為B．橢圓軌道Ⅱ的短軸長為C．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大D．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大【答案】AC【分析】根據圖中幾何關系列方程組求出a，c，然后可得b，可判斷AB；分離常數，利用反比例函數的性質可判斷CD.【詳解】在橢圓中，由圖可知，解得，所以，所以，A正確，B錯誤；，當不變時，由反比例函數的性質可知，函數在上單調遞增，C正確；，當不變時，由反比例函數的性質可知，函數在上單調遞減，D錯誤.故選：AC21．（22-23高二下·廣東江門·期末）已知拋物線的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點（其中點A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切【答案】ACD【分析】由弦長公式計算可得選項A、B；C、D選項，可以利用圓的性質，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與圓相切.【詳解】

由題，焦點，設直線,聯立，，，同理可得，，，故A選項正確；，故弦AB的長度最小值為4，B選項錯誤；記中點，則點M到y軸的距離為，由拋物線的性質，，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項正確；，記中點，則點N到拋物線的準線的距離，故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，D選項正確.故選：ACD.【點睛】結論點睛：拋物線的焦點弦常見結論：設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

(1)(2)弦長(α為弦AB的傾斜角)．(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切．(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長度等于2p，通徑是過焦點最短的弦．(5)（定值）.(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.22．（22-23高二下·山西長治·期末）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作直線垂直于雙曲線的一條漸近線，直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的漸近線方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】當點在第一象限時，由余弦定理化簡得，求得，當點在第四象限時，由余弦定理化簡得，求得，即可求解.【詳解】因為，所以，根據雙曲線的對稱性，不妨設直線的斜率小于零，如圖（1）所示，當點在第一象限時，，由余弦定理可得，化簡得，解得（舍去），此時雙曲線的漸近線方程為，如圖（2）所示，當點在第四象限時，，由余弦定理可得，化簡得，解得（舍去），此時雙曲線的漸近線方程為.故選：AB.

23．（22-23高二下·廣東茂名·期末）已知拋物線的焦點為，準線為為拋物線上任意一點，點為在上的射影，線段交軸于點為線段的中點，則（

）A．B．直線與拋物線相切C．點的軌跡方程為D．可以是直角【答案】ABC【分析】分別應用拋物線定義，直線與拋物線位置關系的判定，求軌跡方程的方法，向量法判斷垂直進行求解.【詳解】對于選項，設準線與軸交于點，由拋物線知原點為的中點，軸，所以為線段的中點，由拋物線的定義知，所以，故正確；對于B選項，由題意知，為線段的中點，從而設，則，直線的方程：，與拋物線方程聯立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直線與拋物線相切，故B正確；對于C選項，設點，則點，而是拋物線上任意一點，于是得，即，所以點的軌跡方程為，故C正確；對于D選項，因點的軌跡方程為，則設，令，有，，于是得為銳角，故錯誤.故選：ABC.

24．（22-23高二下·湖南·期末）已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為，為上一點，下列說法正確的是（）A．的離心率為B．的最小值為C．若，為的左、右頂點，與，不重合，則直線，的斜率之積為D．設的左焦點為，若的面積為，則【答案】ACD【分析】根據題意列關于的等式，從而可得雙曲線的方程，計算離心率，的最小值，結合動點滿足的方程，列式計算，在焦點三角形中，由雙曲線的定義，余弦定理以及三角形面積公式列式即可計算出.【詳解】由已知可得，，所以，則的方程為，離心率為，A正確；因為的最小值為，所以B錯誤；設，則，，，所以C正確；設，由可得，得，則，所以D正確．故選：ACD25．（22-23高二下·安徽阜陽·期末）已知雙曲線的左?右焦點分別是，為雙曲線右支上的動點，，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．雙曲線與雙曲線共漸近線C．若點的橫坐標為3，則直線的斜率與直線的斜率之積為D．若，則的內切圓半徑為【答案】AC【分析】根據題意，求得雙曲線的方程為，其中，結合雙曲線的定義和幾何性質，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以，則，所以雙曲線，其中，對于A中，由雙曲線的離心率，所以A正確；對于B中，由雙曲線的漸近線方程為，又由雙曲線的漸近線方程為，故B錯誤；對于中，由點的橫坐標為，不妨記在第一象限，則，因為，可得，所以C正確；對于D中，設，則，在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的周長為，又由的面積為，所以的內切圓半徑為，所以D錯誤.故選：AC.26．（22-23高二下·安徽宣城·期末）已知拋物線，準線為，過焦點的直線與拋物線交于兩點，，垂足為，設，則（

）A．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線恰有2條B．已知曲線上的兩點到點的距離之和為10，則線段的中點的橫坐標是4C．的最小值為D．的最小值為4【答案】BCD【分析】由點在拋物線外從而判斷A；由拋物線的定義結合中點坐標公式判斷B；由拋物線的定義結合圖像判斷C；聯立直線和拋物線方程，由韋達定理結合基本不等式得出的最小值.【詳解】對于A，因為在拋物線外，顯然過與拋物線相切的直線有2條，當此直線與x軸平行時，與拋物線也是僅有一個公共點，所以過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條，故A錯誤；對于B，設，則，即，則線段的中點的橫坐標為，故B正確；對于C，，（當點在線段上時，取等號），故C正確；對于D，設，設直線的方程為，由，得，易得，則，，（當且僅當時，等號成立），故D正確；故選：BCD

.

27．（22-23高二下·浙江·期末）雙曲線，點，則（

）A．該雙曲線漸近線為B．過點的直線與雙曲線交于兩點，若，則滿足的直線有1條C．與雙曲線兩支各有一個交點的直線斜率可以是1.1D．過點能作4條僅與雙曲線有一個交點的直線【答案】ACD【分析】由雙曲線漸近線的定義可求出漸近線方程，判斷A選項；再由直線與雙曲線的位置關系依次判斷選項B、C、D.【詳解】由題意，雙曲線，則雙曲線漸近線為，選項A正確；依題意，當過點的直線直線與雙曲線的右支交于兩點時，通徑最短，為，當直線與雙曲線的兩支交于兩點時，的最小值為，所以，若，則滿足條件的直線有3條，故選項B錯誤；由于雙曲線漸近線為，與雙曲線兩支各有一個交點的直線斜率，而，選項C正確；過點能作兩條與漸近線平行的直線和兩條切線，均與雙曲線只有一個交點，故滿足條件的直線有4條，選項D正確.故選：ACD

28．（22-23高二下·浙江·期末）已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別為，的離心率，點是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（

）A．面積為B．若，則C．若，則的取值范圍為D．若，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】由橢圓和雙曲線的焦點三角形面積公式可判斷A；由和結合基本不等式可判斷B；由條件可得，結合函數的性質可判斷C、D.【詳解】設，，，不妨設點是，在第一象限內的交點，則，，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，一方面，所以，此時面積為；另一方面，，所以，此時面積為，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為且，所以，所以，所以，所以，又，所以，故B正確；當時，由得，即，所以，所以，，對于C，令，則，所以，，故C錯誤；對于D，，記，則，函數是對勾函數，在上單調遞增，所以，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD29．（22-23高二下·湖南岳陽·期末）已知拋物線的焦點為，，為上兩個相異的動點，分別在點，處作拋物線的切線，，與交于點，則（

）A．若直線過焦點，則點一定在拋物線的準線上B．若點在直線上，則直線過定點C．若直線過焦點，則面積的最小值為D．若，則面積的最大值為【答案】AB【分析】設，，，與拋物線相切的切線方程為，與拋物線方程聯立，求出直線的方程結合韋達定理可得，根據直線過焦點可判斷A；根據點在直線上，把，代入直線的方程可判斷B；根據直線過焦點，求出，求出點到直線的距離，求出面積由基本不等式可判斷C；由弦長公式求出，可得點到直線的距離，再由基本不等式可得面積最大值可判斷D.【詳解】設，，，與拋物線相切的切線方程為，則化簡得，由，可得，將點坐標代入方程，可得，，所以過的切線方程為，同理，過的切線方程為，所以直線的方程為，又，①

，②聯立①②可得，因為在拋物線上，所以，所以，對于，若直線過焦點，則，故，所以點一定在拋物線的準線上，故A正確；對于B，若點在直線上，則，代入直線的方程得，解得，，所以直線過定點，故B正確；對于C，若直線過焦點，則，直線的方程為，即，，點到直線的距離為，所以面積為，當且僅當時等號成立，故C錯誤；對于D，，可得，點到直線的距離為，當且僅當時等號成立，所以面積的最大值為，故D錯誤.故選：AB.

【點睛】關鍵點點睛：利用與拋物線相切的切線方程與拋物線方程聯立，由韋達定理得到，在直線與圓錐曲線的位置關系中，常常利用韋達定理解決相關問題.30．（22-23高二下·福建廈門·期末）在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，則（

）A．P的軌跡方程為 B．P的軌跡關于直線對稱C．的面積的最大值為2 D．P的橫坐標的取值范圍為【答案】BCD【分析】由動點滿足的條件可求軌跡方程，由橢圓定義知軌跡是以為焦點的橢圓，利用橢圓的性質求對稱軸，求焦點三角形的最大面積，通過聯立方程組利用判別式求P的橫坐標的取值范圍.【詳解】對于A，設，則，得到，故A錯誤.對于B，由橢圓定義知P的軌跡是以為焦點的橢圓，故所在直線是橢圓的對稱軸，故B正確.對于C，因為長半軸，半焦距，所以短半軸，當點P在短軸頂點上，，此時的面積最大，最大值為2，故C正確.對于D，聯立方程，得，由，得，故D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：由已知和橢圓定義可知，P的軌跡是以為焦點的橢圓，充分利用橢圓的性質，可以更快找到解題思路，減少運算量.三、填空題31．（22-23高二下·湖南·期末）已知拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，且AB的中點到x軸的距離為6，則的最大值為．【答案】20【分析】根據拋物線的定義，結合梯形中位線定理、兩點間線段最短進行求解即可．【詳解】由題意知，拋物線C的準線方程為．設AB的中點為M，分別過點A，B，M作準線的垂線，垂足分別為C，D，N．

因為M到軸的距離為6，所以．由拋物線的定義知，所以．因為，當點F在線段AB上時等號成立，所以，即的最大值為20．故答案為：20．32．（22-23高二下·河南信陽·期末）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則此雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】以雙曲線和橢圓的焦點坐標特征為突破點解答即可；【詳解】解析：橢圓的焦點為，，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點所以，得，所以雙曲線的離心率．故答案為：.33．（22-23高二下·江蘇鎮江·期末）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為，且直線的斜率為，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】由距離公式得出，，進而由等面積法得出，由，結合離心率公式求解即可.【詳解】由題意得，雙曲線的一條漸近線方程為，則，記為坐標原點，則，所以，過點作軸的垂線，垂足為，因為因為直線的斜率為，所以則，即，，則整理得，則離心率為.

故答案為：34．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點，且，則直線的方程為.【答案】【分析】根據中點坐標以及點差法即可求解斜率，進而由點斜式求直線方程.【詳解】因為在拋物線內部，又，所以是的中點.設，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：

35．（22-23高二下·安徽亳州·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與的一條漸近線的一個交點為（點在第一象限），且，則的離心率為．【答案】或【分析】寫出雙曲線漸近線方程，由題意求出點M坐標，結合求得，列式求得，即可求得答案.【詳解】由題意可得雙曲線漸近線方程為，

聯立，求得，則，因為，可知為銳角，故，即得，解得或，故答案為：或36．（22-23高二下·福建龍巖·期末）在棱長為2的正方體中，P是側面上的動點，且滿足，則的最小值為．【答案】【分析】以為空間直角坐標系的原點建系，設，根據可得的軌跡，進而可得的最小值.【詳解】以為空間直角坐標系的原點，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標系，設.則，故，，由可得，解得，故的軌跡是線段，則的最小值為到線段的距離.

故答案為：37．（22-23高二