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絕密★啟用前

湘豫名校聯(lián)考

2024屆春季學(xué)期高三第四次模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填

寫在試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，然后認(rèn)真核對條

形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)

的答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程必―2%+2=0的兩個根分別為毛,%，貝葉/+29|=（）

A.1B.A/5C.A/7D.V10

2.已知集合4={.用2尤—14）（尤—5）<0},B={xeZ|2r>100},則A（颯=（）

A.{4,5,6,7}B.{4,5,6}C.{5,6,7}D.{5,6}

22

3.已知橢圓石：：+方=1（。〉6〉0）與矩形A8C。的四條邊都相切，若A5=4,AD=2,則E的離

心率為（）

,V311

A.----B.-旦D.

22c,23

4.已知sin[e+]，則5<6?_方]=(

)

5511

A.——B.-C.——D.——

9999

5.在某次游戲中，甲、乙分別用弓箭對準(zhǔn)同一個弓箭靶，兩人同時射箭.已知甲、乙中靶的概率分別為0.5,

0.4,且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為（）

71

6.如圖，A,5和C,。分別是函數(shù)/（%）=2sinCOXH---（-刃＞0）圖象的兩個最低點(diǎn)和兩個最高點(diǎn)，若四

6

邊形A8CQ的面積為8兀，且/（九）在區(qū)間亍上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是（）

7.已知函數(shù)〃尤）=1083（32X+1）—無，則滿足了（2%—1）＞/（%）的彳的取值范圍為（）

A.（1,+co）B.[-。0]]。,+8）

C.Q,1D.1-。0,-；）（L+00）

8.中國古代建筑中重要的構(gòu)件之一一一柱（俗稱“柱子”）多數(shù)為木造，屬于大木作范圍，其中，瓜棱柱

是古建筑木柱的一種做法，即木柱非整根原木，而是多塊用柳卯拼合而成.寧波保國寺大殿的瓜棱柱，一

部分用到了“包鑲式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周圍，根據(jù)需要再用若干根一定厚度的木料包鑲而成的

柱子，圖1為“包鑲式瓜棱柱”，圖2為此瓜棱柱的橫截面圖，中間大圓木的直徑為2R外部八根小圓木的

直徑均為2r，所有圓木的高度均為/?,且粗細(xì)均勻，則中間大圓木與一根外部小圓木的體積之比為（）

圖1圖2

A.74+2夜-1B.4+2及-2,4+2及

C.3D.5+2應(yīng)-24+2應(yīng)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知加，"（mW”）為實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X?N（1,CJ2）,且P（XW〃Z）=P（X2〃），則（）

A.mn<lB.2"'+2">4C.m2+/i2<2D.—+->2

mn

10.已知四棱錐P—A5CD的底面ABC。是邊長為4的正方形，E4_L平面ABC。，且QA=4,E,F,G

分別為PB,PD,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段必上靠近點(diǎn)尸的四等分點(diǎn)，則（）

A.EG〃平面PCD

B.直線PG與A8所成的角為30°

C.EQ//FG

D.經(jīng)過E,F,G的平面截四棱錐P-ABCD所得到的截面圖形的面積為5遍

11.已知拋物線r:丁=2px（p>0），點(diǎn)4（1,2）為z■上一點(diǎn)，直線/與7交于8,C兩點(diǎn)（異于A點(diǎn)），與

無軸交于M點(diǎn)，直線AC與A8的傾斜角互補(bǔ)，則（）

A.線段BC中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為—2

3兀

B.直線/的傾斜角為三

4

C.當(dāng)叫?眼。|=忸。|時，M點(diǎn)為r的焦點(diǎn)

D.當(dāng)直線/在y軸上的截距小于3時，△ABC的面積的最大值為七叵

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量〃=（百"），/?=（0,-1）,若。在匕上的投影向量為一〃，則幾的值為.

13.設(shè)5“是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若&=10,則鼠=____.

$2”S”

2'—l,xe[0,l）,

14.已知函數(shù)/?（》）=R—l,xe[l,2）,的圖象在區(qū)間[2“—2,2〃]（“eN*）內(nèi)的最高點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)

2/（^-2）,xe[2,+oo）

為（七,以）,則集合｛M"=%?,+1,1<"<1000,^^1'<>,%6?>｝*｝中元素的個數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,且Zasin?-----bcosA=c-b.

2

（1）證明：a+b=2c；

（2）若3=3，△ABC的面積為4石，求b.

3

16.（本小題滿分15分）

如圖，在三棱錐尸-ABC中，平面以C,平面PBC,ZXRIC和△ABC均為等腰直角三角形，且

PA=PC=y[l,=.

(1)證明：平面ABC_L平面以C；

(2)設(shè)BF=2BP,0<2<l,若平面BAB與平面ACF夾角的余弦值為若，求實(shí)數(shù)2的值.

17.(本小題滿分15分)

連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子eN*)次，第左,V凡左eN*)次拋擲落地時朝上的點(diǎn)數(shù)記為知，

ake(1,2,3,4,5,6}.

(1)若〃=4,記出現(xiàn)軟為奇數(shù)的次數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望；

(2)若〃=5,求事件“64%+1(，=1,2,3,4)”的概率.

18.(本小題滿分17分)

22

已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:會—2=1(?！?涉〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，過C上一點(diǎn)尸作C

的兩條漸近線的平行線，分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，S.\OM\-\ON\=1,△甲岑內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)軸的距

離為

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(i)設(shè)點(diǎn)。(%,%)為C上一點(diǎn)，試判斷直線號-yy0=l與C的位置關(guān)系，并說明理由；

(ii)設(shè)過點(diǎn)居的直線與C交于A,8兩點(diǎn)(異于C的兩頂點(diǎn))，C在點(diǎn)A,8處的切線交于點(diǎn)E,線段

的中點(diǎn)為。，證明：O,D,E三點(diǎn)共線.

19.(本小題滿分17分)

在平面直角坐標(biāo)系。孫中，定義：如果曲線G和G上分別存在點(diǎn)M，N關(guān)于無軸對稱，則稱點(diǎn)〃和點(diǎn)N

為G和G的一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)若G：/+町+/=6上任意一點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)Q,求點(diǎn)。所在的曲線方程和|。陽+|。。|的

最小值;

（2）若和：（/+力2=4移2&2%>0）上任意一點(diǎn)5的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)八求⑹刀的最大值；

（3）若C：y=21nx—2奴和G：y=l—（a+l）f在區(qū)間（0,七?）上有且僅有兩對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

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2024屆春季學(xué)期高三第四次模擬考試

數(shù)學(xué)參考答案

題號1234567891011

答案DDACBCBDABACDABD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.D【解析】由小—2%+2=0,得（x—1）2=—1,解得x=l土i,

即X]=l+i,%2=1—i或％i=l—i，%2=l+i.

所以X1+2%=3土i,所以J%+2x?=.故選D.

2.D【解析】因?yàn)锳={xwN|（2x—14）（x—5）V0}={xwN|5?xV7}={5,6,7},

B={xeZ|2r>100}={xeZ|x>7},所以&5）={xeZ|x<7},

所以A（53）={5,6}.故選D.

3.A【解析】根據(jù)題意，得勿=4,2b=2,則a=2,b=l,

所以c=6.所以￡的離心率為e=￡=Y3.故選A.

a2

4.C【解析】sin"，一；[=sin]2，+看一?

=—cosf20+—|=-1+2sin2[0+—|=-1+2x—=――.故選C.

I6jI12；99

5.B【解析】設(shè)事件A=“甲中靶"，B=“乙中靶"，C="弓箭靶被射中”，

則P（A）=0.5,P（B）=0.4,所以P（A^）=0.5x0.6=0.3,P（AB）=0.5x0.4=0.2,

P（AB）=0.5x0.4=0.2.所以P（C）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=0.3+0.2+0.2=0.7.

所以P（A國C）=H粵="=3.故選B.

I17P（c）0.77

OjT

6.C【解析】由題意，得四邊形A3CD為平行四邊形，且|A5|=2X3,

CD

2冗

A5與CD之間的距離為4,則4x2x——=8兀，解得G=2.

CD

函數(shù)y=sin2x在區(qū)間上是增函數(shù)，對于/(x)=sin2［x+^1］,

71

將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移已個單位長度，

即得/(x)=sin2(x+土］的圖象，所以°的最大值是空—△=%.故選c.

112J12126

2Vv

7.B【解析】由題易得/(%)的定義域?yàn)镽,/(%)=log3(3'+1)-%=log3(3+3-).

vv

因?yàn)?(-x)=log3(3-+3-)=/(x),所以/(x)偶函數(shù).

當(dāng)xNO時,令〃(%)=3、+3-,,則M(x)=(3,-37)111320,

所以M(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，所以/(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

由/(2x—l)>/(%),得忖)，所以|2x—l|〉W，

兩邊平方并整理，得3/—4x+l>0,解得8,；］(l,+oo).故選B.

8.D【解析】八根小圓木截面圓的圓心構(gòu)成一個正八邊形，邊長為2廠，

7T

相鄰兩根小圓木圓心與大圓木圓心構(gòu)成一個底邊長為2r,腰長為R+r,頂角為士的等腰三角形.

4

方法一：根據(jù)余弦定理，得4/=2(R+r)2—2(7?+r)2義也，解得兇=,4+2應(yīng)一1,

2r

所以中間大圓木與一根外部小圓木的體積之比為

^^?=￡=("+20_1)2=5+20_24+2應(yīng).

__rpyr「,兀兀［c?2兀

方法—.：因?yàn)?-----sin—，cos——1—2sin——---，

R+r8482

mirx/2-V2u-R+rR1r_T-/r7

所以---------------.所以------bl-y4+2yl2，

R+r2rr

所以0=,4+2后—l,所以"言=￡=5+20-2“+2/.故選D.

rnrhr

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.AB【解析】由正態(tài)曲線的對稱性，可得加+〃=2,因?yàn)橄啵ǎ?/p>

所以相巴]=1|]=1,A正確；21n+2">242~2"=26^=4,B正確；

2（/n2+n2）>（77i+n）2=4,即機(jī)2+/>2,c錯誤；

112

由于當(dāng)初=—1,〃=3時，滿足加+〃=2,但1—=<2,D錯誤.故選AB.

mn3

10.ACD【解析】因?yàn)镋G是△P8C的中位線，所以EG〃PC,

又￡6<2平面PCDPCu平面PCD,所以EG〃平面PC。，A正確.

如圖，取B4的中點(diǎn)跖連接心，BM,則0M=AM=2,MF〃AD且MF=2.

因?yàn)锽G〃AD且BG=2,所以吹〃5G且ME=BG.

所以四邊形MPG2為平行四邊形，所以BM〃EG,

所以/MBA或其補(bǔ)角即為直線網(wǎng)?與A8所成的角.由抬，平面ABCD,

得A4LAB.因?yàn)閠anNMBA=&^=2=L,

AB42

所以FG與A3所成角的正切值為工，B錯誤.由題意，得。是PM的中點(diǎn)，

2

所以又MB〃BG,所以EQ〃尸G,C正確.

顯然E,G,F,。四點(diǎn)共面，取C。的中點(diǎn)H,連接FH,GH,

可得四邊形EGHf1為平行四邊形，所以E,G,H,尸四點(diǎn)共面，

所以E,G,H,F,。五點(diǎn)共面，即五邊形EGHF。即為所求的截面.

設(shè)ACGH=T,則QT〃PC,且QT=>PC=>義=36，

~44

EG=LPC=26,GH=~BD=2y[l.

22

因?yàn)橐訽15￡）,ACLBD,PAAC=A,所以平面以C.

所以5￡>_LPC.又BD〃GH,EG//PC,所以￡G，GH,

所以S五邊形EGHFQ=EGXGH+yFX（QT—EG）=2昌2也+；義272（3百一26）=5痣，

D正確.故選ACD.

11.ABD【解析】將A（l,2）代入V=2內(nèi)，可得p=2,所以7的方程為V=4x.

設(shè)5（4x）,C（x2,y2）,貝””=*1=—=-同理的c=-

1-^11_y1_2+x2+y2

4

因?yàn)橹本€AC與AB的傾斜角互補(bǔ)，所以KB+Ke=0，

即一--+---=―16：4（%:%）_=Q,解得/+%=-4,且％為w4,

2+弘2+%4+2（%+%）+%%

所以8c中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為—2,A正確.因?yàn)樵璫=%二&=蟄二"=^^=—1，

再一％%+%

44

37r

所以/的傾斜角為丁，B正確.設(shè)〃（加,0）,則/的方程為％=—y+根，

由〈‘4"得y2+4y-4加=0.

x=-y+m,

根據(jù)A=16（l+"z）>0,解得初>一1,所以弘+為=-4,/％=一4m，

則忸Cj=夜上一%|=夜xV16+16m=4A/2XJl+c,

\MB\-\MC\=后,|?應(yīng)國=2|%%|=8帆，所以4夜xjl+m=8帆，

解得加=—g或加=1,c錯誤.當(dāng)/在y軸上的截距小于3時，即—1<m<3.

因?yàn)辄c(diǎn)A至"的距離為%4,所以AABC的面積為

S=gxx40Jl+m=2x|3-m|Jl+m=2-^（1+m）（m-3）2.

設(shè)函數(shù)/z（根）=（1+m）（加-3）2,-1<m<3,則/（m）=（3加-1）?（m—3）,

令〃（m）=0,得加=g或加=3（舍去）.

當(dāng)加￡1一1,；）時，/zr（m）>0,/z（m）單調(diào)遞增；

當(dāng)機(jī)時，〃（根）<0,/z（加）單調(diào)遞減，所以加=；時，/?（加）取得最大值等,

所以S的最大值為-----,D正確.故選ABD.

9

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.1【解析】由題意，得d在匕上的投影向量為普?，!=—少，

HH

即上『.結(jié)合已知，得一丸=—1,解得2=1.

13.13【解析】設(shè)數(shù)列｛凡｝的公比為q,由題意，顯然4〉0,q〉0且

.(T)

則邑J4=]+/=]0,解得q"=3,

S2”.(1-/)

"q

.(1_力

所以&=—>—q=]+/+/”=1+3+9=13.

S"%(1T)

i-q

14.10【解析】作出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[0,2)上的圖象，

如圖，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，此時/(%)2=/"⑴=1.

又當(dāng)x?2時，/(%)=2/(%-2),所以當(dāng)％之2時，/(x)=1/(x+2),

部分函數(shù)圖象如圖，由圖象可得X]=l,x2=3,X3—5,???,xn—2n-i,

%=1,%=2，乂=4,…，4=2"，即2*T=2相，即根=2匕€[i』000]，

解得2W左W11,即左=2,3,4,-■,10,11,

故集合｛耳九=七，+1,1Vm<1000,左wN*,meN*｝中的元素個數(shù)為H—2+1=10.

共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】(1)由已知，^#a(l-cosB)-bcosA=c-b,

由正弦定理，得sinA(1—cos5)-sin5cosA=sinC-sin5,

即sinA+sin5—(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

即sinA+sinB-sin(A+B)=sinC.

由A+5+C=TI,得sin(A+5)=sinC,

所以sinA+sin5=2sinC.由正弦定理，得Q+Z?=2c.

(2)因?yàn)?g〃csinB=#^c=4j5,所以QC=16①.

由余弦定理，^b2=a2+c2-2accosB,BPb2=a2+c2-ac.

由(1),得b-2c—a,所以/+4/—4-cic—4+/—,

化簡，得。=。，代入①，得c=〃=4,所以b=4.

16.【解析】(1)由題意，得PCLB4,所以AC=《P曾+PC?=’(可+(3)2=2?

因?yàn)槠矫鍷4CL平面P2C,且平面PAC〕平面？fiC=PC,B4u平面陰C,

所以上4_L平面PBC.

因?yàn)?？Su平面P8C,BCu平面PBC,所以上PA1BC.

所以AB?+=8,即AB=2后.

又因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，AC=2<AB,

所以AC=5C=2,AC±BC.

因?yàn)镽4u平面E4C,ACu平面B4C,PA\AC=A,所以BCJ_平面E4C.

又因?yàn)锽Cu平面ABC,所以平面ABC，平面PAC.

(2)取AC的中點(diǎn)。，的中點(diǎn)E,連接尸O,OE,

則OE〃5C,AC±PO,所以ACLOE.

由(1)知平面ABCJ_平面E4C,

因?yàn)槠矫鍭BC1平面K4C=AC,尸Ou平面B4C,所以尸0,平面A2C.

因?yàn)?￡u平面ABC,所以尸O_LO石，

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(O,O,1),4(—1,0,0),B(1,2,0),C(l,0,0).

所以AP=(1,O,1),BP=(-1,-2,1),AC=(2,0,0).

由BE=ABP=(-2,-22,2),得/(1—42—244),

所以AF=(2—Z2—242).

設(shè)平面PAB的法向量為m=（Xi，%,zJ,

m-AP=0,九1+4=0,

則即＜

m-BP=0,、一石_2y1+z1=0.

令X]=1,則平面E48的一個法向量為加=（1,一1,一1）-

設(shè)平面ACF的法向量為〃=（X2，%，Z2），

n?AF-0,（2—X）%2+（2-2X）%+Xz2—0,

則即《

n,AC=0,2X2=0.

令為=九，則平面Ab的一個法向量為〃=（0,422—2）.

設(shè)平面PAB與平面ACF的夾角為。，

則c°s8=|cosg,力|=制一/|2-322|V15

IT

?||〃|A/3xyjA—oA+4

i4

整理，得IOa?—134+4=0,解得4=—或/=—.

25

14

所以/I的值為二或士.

25

17?【解析】（1）由題易得，拋擲一枚骰子1次，出現(xiàn)出.為奇數(shù)的概率為工,

2

出現(xiàn)怎不是奇數(shù)的概率也為L,X的可能取值為0,1,2,3,4.

*2

—,P（X=l）=C：xL

因?yàn)镻（X=0）=C；

16''214

22

P（X=2）=C",P（X=3）=C：x

1

P（X=4）=C：x

16,

所以X的分布列為

X01234

1￡3￡1

P

1648416

1,1c3c1“1c

所以E（X）=0x----F1x—F2x—F3x—F4x——2.

1648416

（2）記事件A為事件?=1,2,3,4）”，

則事件A包含以下5種情況：

①拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同，有6種可能;

②拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有2個數(shù)字,有4xC：=60種可能;

③拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有3個數(shù)字,有6xC：=120種可能;

④拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有4個數(shù)字,有4xC：=60種可能;

⑤拋擲5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有5個數(shù)字,有C，=6種可能,

6+60+120+60+67

所以尸(A)=

65216

7

即事件(i=1,2,3,4)”的概率為——.

216

22

18?【解析】(1)設(shè)？(%,%)，則表—得=1.

Ah

不妨設(shè)直線PM的方程為y-yp=-(x-xpy則直線PN的方程y—y尸二一一(x—/).

aa

令％=0,得V[o,-2%p+%],N\Q,—bxp+p

aa

22

所以|QMJQN|=yP-^\\yP+—==^xj-b=b=l.

a\\aaaa

設(shè)△耳PE的內(nèi)切圓(圓心為D分別與P￡,PF2,耳工切于點(diǎn)心S,T,

則2a=歸耳|-|尸劇=||網(wǎng)+|班|-閥-解國|即|-朋口|用-|叫『

所以T為C的頂點(diǎn)，所以/T,九軸，/的橫坐標(biāo)為土a,所以a=Q.

故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土=i.

3

-2-1

-?一yj

(2)(i)由<得(3y；-a；*+6%0%―9-9y；=0,

?f0=l,

結(jié)合工;—3y；=3,得一一a%。%+%；=0,所以A=4片—4%；=0.

所以直線其-yy0=1與C相切.

(ii)由題易得直線A8的斜率不為0.

設(shè)直線AB的方程為％=夕+2,代入必―3^=3,

,,廣一3H0,

得(產(chǎn)_3)/+4h+]=0,其中

、7[A=16?2-4(Z2-3)=12(?2+1)>0,

設(shè)A(X]，M),3(%,%),則為+%=;^^,

I—Jt—3

由(i),。在點(diǎn)A,3處的切線方程分別為玉=3,93y2y=3.

兩式聯(lián)立，得*=3（%-y）3(%-%)_3(%-%):3

(陰+2)%-(y+2)%2(%-%)2

X

y—,即E

3(%-%)3(%-%)214-

所以直線?！甑姆匠虨槎?：》.

-6

x=ty+2,X—~~z

3—6—2t]

由＜解得<即直線AB與OE的交點(diǎn)為3

t2

丁=尸，-Itt-3'r-3)

p_%+%_-2tc-2?c-6

又％=^^=涔二，芍%+2=K+2=不

即。/恚,總］'所以。與"重合?

故。，D,E三點(diǎn)共線.

19?【解析】（1）設(shè)點(diǎn)Q（x,y）,則點(diǎn)Q的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為P（x,—y）,

代入x?+孫+y?=6,得尤2+x(-y)+(-y)2=6,§Px2-+y2=6,

所以點(diǎn)。所在的曲線方程為x2-xy+y2^6.

根據(jù)對稱性，|OP|=|OQ|,則10H+\OQ\=2\OQ\=2舊+/.

2222

2222

由一呼+y2=6,x+y=xy+6>_x+6,BPx+y>」+6,

解得必+_/24,當(dāng)且僅當(dāng)x=—y且f-xy+_/=6,

即x=J5,y=—或x=—J5,y=J5時取等號.

故當(dāng)x=J^,y=-叵或x=f,y=e'時，(\OP\+\OQ\)m,n=4.

（2）設(shè)S?y）,則根據(jù)對稱性，得好?=2|訃

設(shè)d+丁2=加2(加>0),x-mCos0,y=<6<]

代入(%2+y2『=4盯2,得加=4cos8sin2e,

所以y=msin^=4cos<9sin3<6<]).

(5、3

方法一：令cose=/Q<t<—,則=—/)2,

3o」

所以(?)=4(1—//x/>x(-2?)

當(dāng)0</<；時，/'")>0；當(dāng)g<r<乎，/'")<0,

所以/(，)在［o，g)上單調(diào)遞增，在1，與上單調(diào)遞減,

所以是/⑺的最大值點(diǎn)，即/⑺曄

故同)=2乂空=基

、I!/max42

方法二：y1=16cos29sin66^=—x3cos29xsin29xsin29xsin26

3

lx^Scos2+sin20+sin20+sin24—27