專題9立體幾何初步測試題命題報告:高頻考點:三視圖的認識,幾何體的表面積和體積的求解。考情分析:高考主要以選擇題填空題形式出現,每年必考,重點考查三視圖和表面積、體積的綜合,與球有關的外接和內切問題。3.重點推薦:基礎卷16題,涉及數學文化題的應用,是近幾年熱點問題；一．選擇題1.所有棱長都為1的正四棱錐的體積是（）A、B、C、D、【答案】:C【解析】正四棱錐的側棱、高、底面對角線的一半構成直角三角形,所以高為,正四棱錐的底面積為1,所以體積為,故選C.2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側視圖為()【答案】B【解析】先根據正視圖和俯視圖還原出幾何體,再作其側視圖.由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①,故其側視圖為圖②.3.（2018?黃山一模）將正方體（如圖（1）所示）截去兩個三棱錐,得到如圖（2）所示的幾何體,則該幾何體的側視圖為（）A． B． C． D．【答案】:B4.如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為()A.90π B.63π C.42π D.36π答案B解析法一(割補法)由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得,如圖所示.將圓柱補全,并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分.由圖可知,該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2),所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.法二(估值法)由題意知,eq\f(1,2)V圓柱<V幾何體<V圓柱,又V圓柱＝π×32×10＝90π,∴45π<V幾何體<90π.觀察選項可知只有63π符合.5.在棱長為a的正方體中,P、Q是體對角線上的動點,且,則三棱錐P-BDQ的體積為（）A、B、C、D、【答案】:A【解析】特殊化處理,讓點Q與C重合,則三棱錐P-BDC的體積為所求,因為,由三角形的相似比可得P到底面BCD的距離為,所以,故選A.6.（2018?煙臺一模）已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為的正三角形,PA,PB,PC兩兩垂直,則球O的體積為（）A． B． C．3π D．4【答案】:A7.長方體的體積為V,P是的中點,Q是AB上的動點,則四面體P-CDQ的體積是（）A、B、C、D、【答案】:D【解析】設長方體的長、寬、高分別為AB=a,BC=b,,則有V=abc,由題意知,所以8.（2018?三明二模）如圖,已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,則以下四個命題中錯誤的是（）A．直線A1C1與AD1為異面直線 B．A1C1∥平面ACD1C．BD1⊥AC D．三棱錐D1﹣ADC的體積為【答案】:D【解析】由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,知:在A中,直線A1C1?平面A1B1C1D1,BD1?平面A1B1C1D1,D1?直線A1C1,由異面直線判定定理得直線A1C1與AD1為異面直線,故A正確；在B中,∵A1C1∥AC,A1C1?平面ACD1,AC?平面ACD1,∴A1C1∥平面ACD1,故B正確；在C中,∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC⊥DD1,∵BD∩DD1,∴AC⊥面BDD1,∴BD1⊥AC,故C正確；在D中,三棱錐D1﹣ADC的體積:==,故D錯誤．故選:D．9.如圖是棱長為2的正八面體（八個面都是全等的等邊三角形）,球O是該正八面體的內切球,則球O的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A；【解析】:由題意,該八面體的棱長為2,設球O的半徑為r,=,解得r=,所以球O的表面積為:4=．故選:A．10.（2018年東北三省三校（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學）三模）棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E為棱AD中點,過點B1,且與平面A1BE平行的正方體的截面面積為（）A．5 B．2 C．2 D．6【答案】.C11.如圖,若Ω是長方體ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體,其中E為線段A1B1上異于B1的點,F為線段BB1上異于B1的點,且EH∥A1D1,則下列結論中不正確的是（）A．EH∥FG B．四邊形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．四邊形EFGH可能為梯形【答案】D；【解析】:若FG不平行于EH,則FG與EH相交,交點必然在B1C1上,與EH∥B1C1矛盾,所以FG∥EH,故A正確；由EH⊥平面A1ABB1,得到EH⊥EF,可以得到四邊形EFGH為矩形,故B正確；將Ω從正面看過去,就知道是一個五棱柱,故C正確；因為EFGH截去幾何體EFGHB1C1后,EHB1C1CF,所以四邊形EFGH不可能為梯形,故D錯誤．故選:D．12.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高二丈,問:積幾何？”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體,下底面寬3丈,長4丈,上棱長2丈,高2丈,問:它的體積是多少？”已知l丈為10尺,該楔體的三視圖如圖所示,其中網格紙上小正方形邊長為1,則該楔體的體積為（）A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺【答案】:A【解析】由題意,將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體,作出幾何體的直觀圖如圖所示:沿上棱兩端向底面作垂面,且使垂面與上棱垂直,則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱,則三棱柱的體積V1=×3×2×2=6,四棱錐的體積V2=×1×3×2=2,由三視圖可知兩個四棱錐大小相等,∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故選:A．二．填空題13.正△AOB的邊長為a,建立如圖所示的直角坐標系xOy,則它的直觀圖的面積是________.答案eq\f(\r(6),16)a2解析畫出坐標系x′O′y′,作出△OAB的直觀圖O′A′B′(如圖).D′為O′A′的中點.易知D′B′＝eq\f(1,2)DB(D為OA的中點),∴S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)S△OAB＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.14.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為．【答案】.eq\f(1,3)【解析】由題意可知四棱錐A1-BB1D1D的底面是矩形,邊長為1和eq\r(2),四棱錐的高為eq\f(1,2)A1C1=eq\f(eq\r(2),2),則四棱錐A1-BB1D1D的體積為eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(eq\r(2),2)=eq\f(1,3)．故答案為eq\f(1,3)．15.有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示),∠ABC＝45°,AB＝AD＝1,DC⊥BC,則這塊菜地的面積為________.答案2＋eq\f(\r(2),2)解析如圖1,在直觀圖中,過點A作AE⊥BC,垂足為E.在Rt△ABE中,AB＝1,∠ABE＝45°,∴BE＝eq\f(\r(2),2).又四邊形AECD為矩形,AD＝EC＝1.∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此還原為原圖形如圖2所示,是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中,A′D′＝1,B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1,A′B′＝2.∴這塊菜地的面積S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).16.《九章算術》中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂,例如:將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵．將一塹堵沿其一頂點與相對的棱刨開,得到一個陽馬（底面是長方形,且有一條側棱與底面垂直的四棱錐）和一個鱉臑（四個面均勻直角三角形的四面體）．在如圖所示的塹堵ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,則陽馬C1﹣ABB1A1的外接球的表面積是_______。【答案】50π 【解析】:由題意知,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,四棱錐C1﹣ABB1A1的外接球即為直三棱柱的外接球,以AB、BC、BB1為共頂點,畫出長方體,如圖所示,則長方體的外接球即為三棱柱的外接球；∴所求的外接球的直徑為體對角線2R=AC1==,∴外接球的表面積是S=4πR2=π?（2R）2=50π．三．解答題17.已知某線段的正視圖、俯視圖、側視圖對應線段長度分別為2,4,4,試求此線段的長度。【解析】:如圖想象出線段所在的空間幾何體是長方體,可得其正視圖、俯視圖、側視圖分別為,…………3分設長方體三條棱長分別為a,b,c,則有,,,從而得＝…………10分18.現需要設計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB＝6m,PO1＝2m,則倉庫的容積是多少？【解析】由PO1＝2m,知O1O＝4PO1＝8m.因為A1B1＝AB＝6m,所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；…………4分正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3),所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3).故倉庫的容積是312m3.…………12分19.如圖,長方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝16,BC＝10,AA1＝8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E＝D1F＝4.過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.【解析】(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.…………5分(2)如圖,作EM⊥AB,垂足為M,則AM＝A1E＝4,EB1＝12,EM＝AA1＝8.因為四邊形EHGF為正方形,所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6,AH＝10,HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56,S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).…………12分20.在三棱柱ABC－A1B1C1中,側面AA1C1C⊥底面ABC,AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2,且點O為AC中點.(1)證明:A1O⊥平面ABC；(2)求三棱錐C1－ABC的體積.(1)證明因為AA1＝A1C,且O為AC的中點,所以A1O⊥AC,…………3分又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC＝AC,且A1O?平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABC.…………6分(2)解∵A1C1∥AC,A1C1?平面ABC,AC?平面ABC,∴A1C1∥平面ABC,即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離.由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(3),∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·A1O＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.…………12分21.如圖所示,在三棱錐P－ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點.已知∠BAC＝eq\f(π,2),AB＝2,AC＝2eq\r(3),PA＝2.求:(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.【解析】(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3),三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).…………5分(2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則ED∥BC,所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角).在△ADE中,DE＝2,AE＝eq\r(2),AD＝2,cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).…………12分22．（2018?海淀區二模）如圖,已知菱形AECD的對角線AC,DE交于點F,點E為的A