梁的彎曲彎曲的概念梁的彎曲是材料力學部分最重要的內容彎曲變形是工程構件最常見的基本變形PPPPPPPP工程實際中的彎曲問題彎曲的概念PqMRARB當直桿受垂直其軸線的橫向外力或者在桿軸平面內的外力偶作用時，桿的軸線將由直線變成曲線，稱為彎曲。產生彎曲變形的桿稱為梁梁受到與其軸線垂直的橫向力作用要發生彎曲變形平面彎曲的概念我們只研究矩形截面梁的平面彎曲矩形截面梁有一個縱向對稱面

當外力都作用在該縱向對稱面內，彎曲也發生在該對稱面內，我們稱之為平面彎曲。因此，我們可以用梁軸線的變形代表梁的彎曲梁的載荷與支座情況a、梁的載荷#集中力#均布載荷#集中力矩正負號規定：集中力和均布載荷與坐標軸同向為正、反向為負；集中力矩逆時針為正、順時針為負。b、梁的支座反力滑動鉸支1(Ry)固定鉸支2(Rx，Ry)固定端3(M，Rx，Ry)RyRxMRy圖示法反力未知反力數名稱RxRy梁的支承方法及反力c、梁的類型根據梁的支撐情況可以將梁分為3種類型簡支梁一端固定鉸支座一端活動鉸支座懸臂梁一端固定一端自由外伸梁一端固定鉸支座活動鉸支座位于梁中某個位置d、求支座反力的平衡方程求解梁彎曲問題必須在梁上建立直角坐標系求支座反力要利用外載荷與支座反力的平衡條件舉例說明P左邊固定鉸支座，有兩個約束反力AB右邊活動鉸支座，1個約束反力l再以懸臂梁為例假設該懸臂梁承受均布載荷ql固定端有3個約束反力RxRyABMA建立平衡方程求約束反力§4-2梁的彎曲內力梁的內力、彎矩圖#截面法求內力#彎矩概念#彎矩的正負號規定#彎矩圖a、剪力和彎矩與前面三種基本變形不同的是，彎曲內力有兩類：剪力和彎矩考察彎曲梁的某個橫截面仍使用截面法。在截面形心建立直角坐標系。剪力與截面平行，用Q表示彎矩作用面在縱向對稱面內，方向沿Z軸方向，用M

表示QM在細長梁中，剪力對強度和剛度影響較小，可略去不計，只考慮彎矩的影響用截面法求彎曲時的內力b、剪力和彎矩正負號的規定剪力正負號對所截截面上任一點的力矩順時針為正，逆時針為負彎矩正負號QQMMMM正負正負使梁下凹為正，向上凸為負c、截面法求剪力和彎矩P1P2RAyABRAxRBP1RAyaaMQ對截面中心建立力矩平衡方程mmRAx說明：1、一般情況下，x方向的約束反力為零。2、如果不求剪力，可以不建立y

方向的平衡方程。3、不考慮剪力時，彎矩平衡方程一定要建立在截面的中心。舉例：lq求圖示簡支梁x

截面的彎矩qRAyMAB在x

處截開，取左半部分分析畫出外力、約束反力、彎矩

x

截面剪力、力矩平衡方程qxQ可見剪力在該簡支梁內的分布為一條斜直線，彎矩為一條曲線——拋物線彎矩最大值在梁的中點，此處剪力為零，有由對稱性，可以求得lqABd、剪力圖和彎矩圖將彎曲內力、即剪力和彎矩沿桿截面的分布規律用圖形表示例如上面的受均布載荷的簡支梁lqAB（1）列剪力方程和彎矩方程

（2）畫剪力圖和彎矩圖例2例3

圖4-14a

所示為一簡支梁，在C點受集中力P的作用，作此梁的剪力圖和彎矩圖。(1)求支座反力(2)

列剪力方程和彎矩方程AC段:(0<x<a)CB段：(3)畫剪力圖和彎矩圖集中力使剪力圖突變集中力使彎矩圖折曲AC段:(0<x<a)CB段：（1）求支座反力（2）列剪力方程和彎矩方程例5（3）畫剪力圖和彎矩圖集中力偶使彎矩圖突變集中力偶不使剪力圖變化（1）求支座反力（2）列寫彎矩方程例6（3）畫彎矩圖集中力偶使彎矩圖突變集中力使彎矩圖折曲疊加法：注意事項1、不是簡單形狀疊加，是縱坐標值的疊加

2、要考慮正負不同符號縱坐標的重疊和相同符號縱坐標的累加

3、按縱坐標方向劃出有效區標志線，正負抵消的部分不可劃標志線

4、標明有效區的正負符號

5、標注極值大小總結：彎矩圖的形狀和載荷之間的關系1.在兩個集中載荷之間的梁段內，彎矩圖一般為斜直線，并且在集中力作用處彎矩線轉折。2.在集中力偶作用處，其左右兩側橫截面上的彎矩值發生突變，突變值等于集中力偶矩的值3.在均布載荷作用的梁段內，彎矩圖為拋物線。如均布載荷方向向下，則拋物線開口向下，反之則向上§4-2彎曲時的正應力與強度計算1.純彎曲時的正應力#純彎曲與剪切彎曲#中性層和中性軸#彎曲正應力分布規律#彎曲正應力的計算、抗彎截面模量各橫截面上同時有彎矩M和剪力Q，稱為剪切彎曲。各橫截面只有彎矩M，而無剪力Q，稱為純彎曲。

a、變形幾何關系純彎曲梁變形后各橫截面仍保持為一平面，仍然垂直于軸線，只是繞中性軸轉過一個角度，稱為彎曲問題的平面假設。中性層中性軸#中性層和中性軸

中性層

梁彎曲變形時，既不伸長又不縮短的縱向纖維層稱為中性層。

對矩形截面梁來講，就是位于上下中間這一層。

中性軸中性層與橫截面的交線。梁彎曲時，實際上各個截面繞著中性軸轉動。如果外力偶矩如圖作用在梁上，該梁下部將伸長、上部將縮短變形的幾何關系為：上式說明離中性軸越遠(y越大)，則變形越大。b、應力和變形的關系（物理關系）由虎克定律C、彎曲正應力分布規律M

與中性軸距離相等的點，正應力相等；

正應力大小與其到中性軸距離成正比；

彎矩為正時，正應力以中性軸為界下拉上壓；

彎矩為負時，正應力上拉下壓；M

中性軸上，正應力等于零d、靜力學關系分析如圖，取一微元進行分析Z:中性軸抗彎剛度橫截面上某點正應力該點到中性軸距離該截面彎矩該截面慣性矩顯然正應力的最大值對應于該點到中性軸的距離(y)的最大值

例7

圖5-8所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長l=1m，均布載荷集度q=6kN/m；梁由10號槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應力和最大壓應力。（1）作彎矩圖，求最大彎矩梁的彎矩圖如圖5-8b所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為

因危險截面上的彎矩為負，故截面上緣受最大拉應力，其值為在截面的下端受最大壓應力，其值為（2）求最大應力f、慣性矩的計算可直接記憶也可以查表矩形截面圓形與圓環截面實心圓空心圓g、彎曲正應力的計算、抗彎截面模量

某截面上最大彎曲正應力發生在截面的上下邊界上：WZ

稱為抗彎截面模量，Z

為中性軸.矩形截面Zbh實心圓截面Zd2.彎曲強度計算#梁的最大正應力#梁的強度條件#舉例a、梁的最大正應力

梁的危險截面梁的危險截面在該梁內彎矩最大的截面上危險截面位于梁中部危險截面位于梁根部

梁的最大正應力梁的最大正應力發生在危險截面上離中性軸最遠處b、梁的強度條件Mmax梁內最大彎矩WZ危險截面抗彎截面模量[σ]材料的許用應力利用強度條件可以校核強度、設計截面尺寸、確定許可載荷例8圖示圓截面輥軸，中段BC受均部載荷作用，試確定輥軸BC段截面的直徑。已知q=1KN/mm，許用應力[σ]=140MPa。q3003001400ABCDqRAyM300700300q3003001400ABCD危險截面在軸的中部利用截面法求該截面彎矩qRAyM300700300由對稱性可求得：例10圖示懸臂梁承受均布載荷q，假設梁截面為b

h的矩形，h=2b，討論梁立置與倒置兩種情況哪一種更好？bhhbq注意：Z軸為中性軸bhhbq根據彎曲強度條件同樣載荷條件下，工作應力越小越好因此，WZ越大越好梁立置時：梁倒置時：立置比倒置強度大一倍。例11

一矩形截面木梁如圖5-14a所示，已知P=10kN，a=1.2m，木材的許用應力[]=10MPa

。設梁橫截面的高寬比為h/b=2，試選梁的截面尺寸。解：（1）作彎矩圖，求最大彎矩

用疊加法作出梁的彎矩圖如圖5-14b所示，由圖知最大彎矩為（2）選擇截面尺寸截面的抗彎截面模量最后選用12.525cm2的截面。§4-4彎曲剛度計算本部分主要內容

梁的撓曲線近似微分方程積分法求梁的變形疊加法求梁的變形梁的剛度校核1撓度和轉角

梁任一橫截面的轉角

等于該截面處撓度y對x的一階導數。梁的撓曲線近似微分方程

（2）角位移

梁任一橫截面繞其中性軸轉動的角度稱為該截面的轉角。

梁的撓曲線微分方程為

y=f(x)梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。（1）線位移

y

梁軸線上的一點在垂直于梁變形前軸線方向的線位移稱為該點的撓度

2撓曲線的近似微分方程注意：y軸要向上，保證方程兩邊符號相同將上式代入式(a),得梁的撓曲線近似微分方程3.用積分法求梁的變形簡支梁：懸臂梁：積分常數C和D的值可通過梁支承處已知的變形條件來確定，這個條件稱為邊界條件。以A為原點，取直角坐標系，x軸向右，y軸向上。（1）求支座反力列彎矩方程由平衡方程得：列彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程例12（3）積分（4）代入邊界條件，確定積分常數在x=0處：將邊界條件代入(c)、(d)得：將常數

C

和D

代入(c)、(d)得：（6）求最大轉角和最大撓度（5）確定轉角方程和撓度方程說明：轉角為負，說明橫截面繞中性軸順時針轉動；撓度為負，說明B點位移向下。例13一簡支梁如圖6-9所示,在全梁上受集度為q的均布載荷作用.試求此梁的轉角方程和撓度方程,并確定最大轉角|θ|max

和最大撓度|y|max由對稱關系得梁的兩個支座反力為以A點為原點，取坐標如圖，列出梁的彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程并進行積分(1)求支座反力，列彎矩方程簡支梁的邊界條件是：在兩支座處的撓度等于零在x=0處，yA=0；在x=l處，yB=0（3）確定積分常數邊界條件代入（d），解得將積分常數C，D代入式（c）和（d）得（4）確定轉角方程和撓度方程由對稱性可知，最大撓度在梁的中點處，將x=l/2代入（f），得：（5）求最大轉角和最大撓度又由圖6-9可見，在兩支座處橫截面的轉角相等，均為最大。由式（e）4.疊加法求梁的變形

當梁上同時作用幾個載荷時，梁的總變形為各個載荷單獨作用下梁的變形的代數和。疊加原理、疊加法前提是小變形、線彈性由疊加法得：直接查表2-3例145.梁的剛度校核彎曲構件的剛度條件:例15將主軸簡化為如圖例6-13b所示的外伸梁，主軸橫截面的慣性矩為材料的彈性模量：（1）計算變形由表2-3查出，因P1在C處引起的撓度和在B引起的轉角（圖c）為：由表2-3查得，因P2在C處引起的撓度和在B處引起的轉角（d）為：主軸的許用撓度和許用轉角為：故主軸滿足剛度條件

（2）校核剛度

§4-5組合變形時的強度條件一、概述疊加原理應用的基本步驟：(1)將載荷進行分解，得到與原載荷等效的幾組載荷，使構件在每一組載荷的作用下，只產生一種基本變形;（2）分析每種載荷的內力，確定危險截面；（3）分別計算構件在每種基本變形情況下的危險截面內的應力；（4）將各基本變形情況下的應力疊加，確定最危險點；（5）選擇強度理論，對危險點進行強度校核。在外力的作用下，構件若同時產生兩種或兩種以上基本變形的情況，就是組合變形二、彎曲與拉伸的組合載荷與桿件軸線平行，但不通過橫截面的形心，桿件的變形也是彎曲與拉伸（或壓縮）的組合，稱為偏心拉伸（壓縮）。載荷的作用線至橫截面形心的垂直距離稱為偏心距。3在Px作用下：在Py作用下：危險截面處的彎矩例16

懸臂吊車,橫梁由25a號工字鋼制成，l=4m，電葫蘆重Q1=4kN，起重量Q2=20kN,

=30o,[]=100MPa，試校核強度。抗彎截面模量4強度條件為：根據疊加原理，可得橫截面上的總應力為：解：（1）外力計算取橫梁AB為研究對象，受力如圖b所示。梁上載荷為P=Q1+Q2=24kN，斜桿的拉力S可分解為XB和YB。橫梁在橫向力P和YA、YB作用下產生彎曲；同時在XA和XB作用下產生軸向壓縮。這是一個彎曲與壓縮組合的構件。

當載荷移動到梁的中點時，可近似地認為梁處于危險狀態。此時，由平衡條件（2）內力和應力計算繪出橫梁的彎矩圖如圖c所示。在梁中點截面上的彎矩最大，其值為從型鋼表上查25a號工字鋼，得：所以最大彎曲應力為5

其分布如圖e所示，梁危險截面的上邊緣處受最大壓應力，下邊緣處受最大拉應力作用。橫梁所受的軸向壓力為則危險截面上的壓應力為并均勻分布于橫截面上，如圖d所示。故梁中點橫截面上，下邊緣處總正應力分別為；（3）強度校核

由計算可知，此懸臂吊車的橫梁是安全的。6例17

鉆床P=15kN，e=40cm，[

T]=35MPa,[

C]=120MPa.試計算鑄鐵立柱所需的直徑。

解：（1）計算內力

將立柱假想地截開，取上段為研究對象，由平衡條件，求出立柱的軸力和彎矩分別為：（2）選擇立柱直徑

求解d的三次方程7滿足強度條件，最后選用立柱直徑d=12.5cm。解得立柱的近似直徑取d=12.5cm,再代入偏心拉伸的強度條件校核，得設計中常采用的簡便方法：因為偏心距較大，彎曲應力是主要的，故先考慮按彎曲強度條件設計截面尺寸89解：由于鋼板在截面1-1處有一半圓槽，因而外力P對此截面為偏心拉伸，其偏心矩之值為截面1-1的軸力和彎矩分別為：軸力S和彎矩在半圓槽底部的a點處都引起拉應力（圖b)，a點即為危險點。最大應力為例18

一帶槽鋼板受力如圖，已知鋼板寬度b=8cm,厚度

=1cm,槽半徑r=1cm,P=80kN,鋼板許用應力[

]=140MPa。試對此鋼板進行強度校核。

計算結果表明，鋼板在截面1-1處的強度不夠。由分析知，造成鋼板強度不夠的原因，是由于偏心拉伸而引起的彎矩Pe，使截面1-1的應力顯著增加。為了保證鋼板具有足夠的強度，在允許的條件下，可在槽的對稱位置再開一槽如圖c。這樣就避免了偏心拉伸。此時鋼板在截面1-1處滿足強度條件。10此時截面1-1上的應力(如圖d)為三、彎曲與扭轉的組合1.彎扭組合是工程中常見的變形組合形式112.彎扭組合常用計算公式的建立12

將力P向A端面形心平移，得到一橫向力P和矩為TA=PR的力偶，桿AB受力情況如圖b。圓桿的彎矩圖和扭矩圖如圖c、d。圓軸復合彎曲的彎矩xyzPxPyPzPMzMyL

注意：

1公式僅對圓軸復合彎曲適用

2公式可用于任何受力形式的圓軸的復合彎曲部分

3平面彎曲可看成它的特例PyPzM=PL13zy

例19

手搖絞車d=3cm,D=36cm，l=80cm，[]=80MPa.按第三強度理論計算最大起重量Q.解：（1）外力分析將載荷Q向輪心平移，得到作用于輪心的橫向力Q和一個附加的力偶，其矩為TC=QD/2。軸的計算簡圖如圖b所示。（3）求最大安全載荷

14

（2）作內力圖絞車軸的彎矩圖和扭矩圖如圖c、d所示。

由圖可見