微專題13輕松搞定立體幾何的軌跡問題【題型歸納目錄】題型一：軌跡圖形題型二：軌跡長度題型三：軌跡面積【典型例題】題型一：軌跡圖形【典例1-1】（2024·北京密云·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是（

）A．與不可能平行B．與是異面直線C．點的軌跡是一條線段D．三棱錐的體積為定值【答案】A【解析】設平面與直線交于，連接，，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，如圖.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又、是平面內的兩條相交直線，∴平面平面，而平面，∴平面，得點的軌跡為一條線段，故C正確；并由此可知，當與重合時，與平行，故A錯誤；∵平面平面，和平面相交，∴與是異面直線，故B正確；∵，則點到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．故選：A．【典例1-2】（2024·高二·江西·階段練習）四棱柱的底面為正方形，側棱與底面垂直，點是側棱的中點，，若點在側面(包括其邊界)上運動，且總保持，則動點的軌跡是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用正方體的性質可得體對角線垂直于平面，進而得出動點的軌跡.正四棱柱截去下半部分，剩余部分為正方體，如圖所示：連接，由正方體性質易知，平面，所以，，因為，所以平面，所以，同理可得，因為，可得平面，即動點在側面（包括其邊界）上的運動軌跡為線段故選：D【變式1-1】（2024·高一·全國·課后作業）在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，點M是內（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，則動點M的軌跡是（

）A．平面 B．直線C．線段，但只含1個端點 D．圓【答案】C【解析】利用面面平行的判定定理構造平面平面，由此確定點的軌跡.過D作DN∥A1C1，交B1C1于N，連結BN，由于平面,平面，所以平面.∵在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，且平面,平面，∴平面.∵AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，∵點M是內（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，∴M的軌跡是線段DN，且M與D不重合，∴動點M的軌跡是線段，但只含1個端點.故選：C【變式1-2】（2024·高一·北京西城·階段練習）如圖，正方體中，為底面上的動點，且于，且，則點的軌跡是（

）A．線段 B．圓弧C．拋物線的一部分 D．以上答案都不對【答案】A【解析】連接、，如下圖所示：因為平面，平面，，因為，，，所以，，，所以，為定點，取線段的中點，連接，因為，則，所以點在過點且垂直于線段的垂面上，而此垂面與底面相交于一條線段，故點的軌跡為線段.故選：A.【變式1-3】（2024·高一·全國·課后作業）如圖所示，四棱錐的底面為正方形，側面為等邊三角形，且側面底面，點在正方形內運動，且滿足，則點在正方形內的軌跡一定是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據題意，可知，則點符合“點在正方形內的一個動點，且滿足”，設的中點為，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，根據題目條件可得，所以和全等，所以，點也符合“點在正方形內的一個動點，且滿足”，故動點的軌跡肯定過點和點，而到點到點的距離相等的點為線段的垂直平分面，線段的垂直平分面與平面的交線是一直線，所以的軌跡為線段，故選：B題型二：軌跡長度【典例2-1】（2024·四川南充·模擬預測）已知三條射線，，兩兩所成的角都是60°.點在上，點在內運動，，則點的軌跡長度為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過作平面于，則點在的平分線上，在平面內，作于，連結，根據三垂線定理，則，，點的軌跡是以為圓心，6為半徑的圓在內的圓弧，圓弧的長度為：故選：C【典例2-2】（2024·高二·安徽宣城·期末）已知正方體的棱長為分別是棱?的中點，點為底面四邊形內（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接，如圖所示：分別是棱?的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為平面，平面，所以平面.因為，所以平面平面.因為點為底面四邊形內（包括邊界）的一動點，直線與平面無公共點，所以的軌跡為線段，則.故選：B【變式2-1】（2024·高一·河南周口·期末）如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點N為側面上的一點，且MN//平面，若點N的軌跡長度為2，則（

）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6【答案】B【解析】如圖，取的中點D，的中點E，連接MD，DE，ME，由，，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面所以平面平面，又平面，故點N的軌跡為線段DE，又由，可得．故選：B．【變式2-2】（2024·高一·浙江寧波·期中）如圖，已知長方體，，，E、F分別是棱、的中點，點為底面四邊形ABCD內（包括邊界）的一動點，若直線與平面BEF無公共點，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：取的中點，連接.在長方體，分別是棱、的中點，所以.因為且,分別是中點，所以且,所以四邊形為平行四邊形，所以.因為，面，面，所以面.同理可證：面.因為面，面，面,面,,所以面面.因為點為底面四邊形ABCD內（包括邊界）的一動點，且直線與平面BEF無公共點，面.所以點的軌跡為線段.已知長方體，，，為的中點,所以，所以.故選：C題型三：軌跡面積【典例3-1】（2024·高三·江西撫州·期中）已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時.若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為.

【答案】【解析】取中點，連接，則，，平面，所以平面，又因為，則，作于，設點軌跡所在平面為，則平面經過點，且，設三棱錐外接球的球心為，半徑為，的中心分別為，可知平面平面，且四點共面，由題可得，在Rt中，可得，又因為，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為.故答案為：.【典例3-2】（2024·高二·廣東汕頭·期末）已知棱長為的正方體，為棱中點，現有一只螞蟻從點出發，在正方體表面上行走一周后再回到點，這只螞蟻在行走過程中與平面的距離保持不變，則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為．【答案】【解析】分析：由題可知，螞蟻在正方體表面上行走一周的路線構成與平面平行的平面，且圍成的圖形為菱形，從而求得答案.由題可知，螞蟻在正方體表面上行走一周的路線構成與平面平行的平面，

設、分別為、中點，連接，，和，則為螞蟻的行走軌跡.正方體的棱長為2，易得，，，四邊形為菱形，故答案為.【變式3-1】（2024·高三·浙江杭州·期末）在棱長為的正方體中，棱，的中點分別為，，點在平面內，作平面，垂足為．當點在內（包含邊界）運動時，點的軌跡所組成的圖形的面積等于．【答案】【解析】由正方體性質可知平面平面，且平面，故點的軌跡所組成的圖形與平面在平面正投影圖形全等，故可求得投影的面積，即為所求解.由正方體性質可知平面平面，且平面，故點的軌跡所組成的圖形與平面在平面正投影圖形全等，又為正三棱錐，故正投影如圖即再平面的正投影為，且，，，，，點的軌跡所組成的圖形的面積為，故答案為：.【過關測試】1．（多選題）（2024·高一·安徽黃山·期末）在棱長為的正方體中，已知點在面對角線上運動，點，，分別為，，的中點，點是該正方體表面及其內部的一動點，且平面，則下列選項正確的是（

）A．平面B．平面平面C．過，，三點的平面截正方體所得的截面面積為D．動點的軌跡所形成區域的面積是【答案】ABD【解析】對于A,在正方體中，由平面，平面，平面，同理可得平面，又，所以平面平面,而平面,故平面，故A對,對于B,因為,所以平面,又平面,因此,同理可得,又,故平面,因為平面，故平面平面，所以B對，對于C,可知過三點平面截正方體所得的截面為正六邊形,且正六邊形的變長為,所以截面正六邊形的面積為，故C錯，對于D,由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形邊上以及內部運動，而三角形是邊長為的正三角形，故面積為，故D對，故選：ABD2．（多選題）（2024·高一·廣西河池·期末）如圖，正方體的棱長為2，動點M在側面內運動（含邊界），且，則（

）

A．點M的軌跡長度為B．三棱錐的體積不為定值C．的最小值為D．取最小值時三棱錐的體積為【答案】ACD【解析】如圖，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，平面，所以，若，則點M的軌跡為，因為正方體的棱長為2，所以點的軌跡長度為，故A正確；三棱錐就是三棱錐，底面積和高都不變，因此體積不變，故B錯誤；將平面翻折到與平面重合，如圖，此時A，M，三點共線，取得最小值A，是邊長為的等邊三角形，是邊長為2的等腰直角三角形，且M是的中點，所以，，取得最小值為，故C正確.設M到平面ABCD的距離為h，由三角形面積相等，有，則，，于是，故D正確.故選：ACD.3．（多選題）（2024·高一·四川成都·期末）在棱長為4的正方體中，，，，，分別是，，，，的中點，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，為底面上的動點，且面，則（

）A．B．三棱錐的外接球的球心到面的距離為C．多面體為三棱臺D．在底面上的軌跡的長度是【答案】ACD【解析】根據題意，可知平面，如圖畫出平面，取的中點，連接，在中，由中位線定理可知，所以為中點，則在中，由中位線定理得，，由，得，由平行線性質，所以，可得所以，選項A正確；依題意，由于為直角三角形，則其外心為點，又因為平面，可知三棱錐的外接球的球心在直線上（如圖），設，由中，得，即，解得，，則球心到面的距離為，選項B錯誤；由題意，可知平面平面，延長，與交于點，與交于點，由于，且，所以為的中點，同理為的中點，所以與重合，即多面體三條側棱交于一點，故多面體為三棱臺，選項C則正確；取的中點，連接，由題意易知，平面，平面，所以平面，同理平面，平面，平面，，所以平面平面，當點時，平面，所以平面，則在底面上的軌跡為，且，選項D正確.故選：ACD4．（多選題）（2024·高一·吉林長春·期末）在棱長為4的正方體中，點E為棱的中點，點F是正方形內一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（

）A．直線與直線AC夾角為60°B．平面截正方體所得截面的面積為18C．若，則動點F的軌跡長度為πD．若平面，則動點F的軌跡長度為【答案】ABD【解析】對A，連接，可得正，根據正方體的性質，，故直線與直線夾角為直線與直線的夾角為，故A正確；對B，因為面面，平面面，根據面面平行的性質可得平面截的交線，故平面截的交點為的中點，故，故截面為等腰梯形.在等腰梯形中，高，故截面的面積為，故B正確；對C，若，則，故動點的軌跡為以為圓心的四分之一圓弧，其長度為，故C錯誤；對D，取中點，連接如圖，由B知截面為等腰梯形，由四邊形為平行四邊形得.又面面，所以面，由四邊形為平行四邊形得，面面，所以面.由平面,得平面平面，又平面，所以平面.故的軌跡為線段，其長度為，故D正確；故選:ABD.5．（多選題）（2024·遼寧沈陽·二模）在正方體中，，點P在正方體的面內（含邊界）移動，則下列結論正確的是（

）A．當直線平面時，則直線與直線成角可能為B．當直線平面時，P點軌跡被以A為球心，為半徑的球截得的長度為C．若直線與平面所成角為，則點P的軌跡長度為D．當直線時，經過點B，P，的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為【答案】BCD【解析】A：如下圖，連接、、，由正方體性質知：，，由面，面，則面，同理可證面，又，面，故面面，由面，面面，且P在正方體的面內，所以，要使直線平面，則面，即，又△為等邊三角形，故在上運動時，直線與直線成角為，錯誤；B：由A分析知：直線平面，P點軌跡為線段，取中點，連接，而△為等邊三角形，則，以A為球心，為半徑的球截的長度為，正確；C：由面，顯然、與面夾角為，所以，要直線與平面所成角為，則P軌跡是以為圓心為半徑的圓，如下圖示：所以，軌跡長度為，正確；D：若，而，則，而面，面，又面面，故P軌跡為線段，過作交于，連接，易知：截面為平行四邊形，如下圖，當與或重合時，截面為矩形，此時面積最大，為；當為的中點時，截面為菱形，此時面積最小，為；所以截面面積的取值范圍為，正確.故選：BCD6．（2024·高一·河北唐山·期中）已知正方體的邊長為2，M是的中點，點P在正方體內部或表面上，且平面，則動點P的軌跡所形成的區域面積是.【答案】【解析】設分別是的中點，根據正方體的性質可知，，共面.由于平面平面，所以平面，同理可證得平面，由于，所以平面平面，所以動點P的軌跡所形成的區域為正六邊形，正六邊形的邊長為，面積為.故答案為：7．（2024·高二·江蘇無錫·階段練習）已知正方體的棱長為為體對角線的三等分點，動點在三角形內，且三角形的面積，則點的軌跡長度為.【答案】【解析】因為正方體的棱長為，所以，所以，設到的距離為，由，得，平面，平面，，又，，平面，，同理可證，又，面，點在所在平面的軌跡是以為半徑的圓，內切圓的半徑為，該圓一部分位于三角形外，如圖有，解得，，圓在三角形內的圓弧為圓周長的一