2025屆北京西城14中數學高一下期末經典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數列an中，若a3+A．6 B．7 C．8 D．92．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，二面角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．設向量，，若三點共線，則（）A． B． C． D．24．在正四棱柱中，，則點到平面的距離是（）A． B． C． D．5．如圖所示，4個散點圖中，不適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是（）A． B．C． D．6．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．7．某正弦型函數的圖像如圖，則該函數的解析式可以為（）.A． B．C． D．8．實數滿足,則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知實數，滿足，，且，，成等比數列，則有（）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值10．()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若是等差數列，首項，，，則使前項和最大的自然數是________.12．如圖，正方形中，分別為邊上點，且，，則________.13．已知角的終邊經過點，則______．14．已知,，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____;15．已知向量，，若向量與垂直，則__________．16．67是等差數列-5，1，7，13，……中第項，則___________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個內角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，，，求的長18．已知分別為三個內角的對邊長，且（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.19．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（三條邊，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數，并求出定義域；(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.20．數列的前項和.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.21．甲、乙兩臺機床同時加工直徑為10cm的零件，為了檢驗零件的質量，從零件中各隨機抽取6件測量，測得數據如下（單位：mm）：甲：99，100，98，100，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.（1）分別計算上述兩組數據的平均數和方差（2）根據（1）的計算結果，說明哪一臺機床加工的零件更符合要求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

通過等差數列的性質可得答案.【詳解】因為a3+a9=17【點睛】本題主要考查等差數列的性質，難度不大.2、D【解析】

當平面ACD垂直于平面BCD時體積最大，得到答案.【詳解】取中點，連接當平面ACD垂直于平面BCD時等號成立.此時二面角為90°故答案選D【點睛】本題考查了三棱錐體積的最大值，確定高的值是解題的關鍵.3、A【解析】

利用向量共線的坐標表示可得，解方程即可.【詳解】三點共線，，又，，，解得.故選：A【點睛】本題考查了向量共線的坐標表示，需掌握向量共線，坐標滿足：，屬于基礎題.4、A【解析】

計算的面積，根據可得點到平面的距離．【詳解】中，，，∴的邊上的高為，∴，設到平面的距離為，則，又，∴，解得．故選A．【點睛】本題涉及點面距離的求法，點面距可以通過建立空間直角坐標系來求得點面距離，或者尋找面面垂直，再直接過點做交線的垂線即可;當點面距離不好求時，也可以根據等積法把點到平面的距離歸結為一個容易求得的幾何體的體積.5、A【解析】

根據線性回歸模型建立方法，分析選項，找出散點比較分散且無任何規律的選項可得答案.【詳解】根據題意，適合用線性回歸擬合其中兩個變量的散點圖必須散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，分析選項可得A選項的散點圖雜亂無章，最不符合條件.故選A【點睛】本題考查了統計案例散點圖，屬于基礎題.6、B【解析】

∵，∴.∴，即，∴,，故選B.【考點定位】向量的坐標運算7、C【解析】試題分析：由圖象可得最大值為2，則A=2，周期，∴∴，又，是五點法中的第一個點，∴，∴把A,B排除，對于C：，故選C考點：本題考查函數的圖象和性質點評：解決本題的關鍵是確定的值8、A【解析】

畫出可行域，平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數的取值范圍.【詳解】畫出可行域如下圖所示，平移基準直線到可行域邊界的位置，由圖可知目標函數分別在出取的最小值和最大值，最小值為，最大值為，故的取值范圍是，故選A.【點睛】本小題主要考查線性規劃求最大值和最小值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.9、C【解析】試題分析：因為，，成等比數列，所以可得，有最小值，故選C.考點：1、等比數列的性質；2、對數的運算及基本不等式求最值.10、A【解析】

將根據誘導公式化為后，利用兩角和的正弦公式可得.【詳解】.故選：A【點睛】本題考查了誘導公式，考查了兩角和的正弦公式，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知條件推導出，，由此能求出使前項和成立的最大自然數的值．【詳解】解：等差數列，首項，，，，．如若不然，，則，而，得，矛盾，故不可能．使前項和成立的最大自然數為．故答案為：．【點睛】本題考查等差數列的前項和取最大值時的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的通項公式的合理運用．12、（或）【解析】

先設，根據題意得到，再由兩角和的正切公式求出，得到，進而可得出結果.【詳解】設，則所以，所以，因此.故答案為【點睛】本題主要考查三角恒等變換的應用，熟記公式即可，屬于常考題型.13、【解析】由題意，則.14、【解析】

與的夾角為鈍角，即數量積小于0.【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以與的數量積小于0且不平行.且所以【點睛】本題考查兩向量的夾角為鈍角的坐標表示，一定注意數量積小于0包括平角．15、【解析】，所以，解得．16、13【解析】

根據數列寫出等差數列通項公式,再令算出即可.【詳解】由題意,首項為-5,公差為,則等差數列通項公式,令,則故答案為：13.【點睛】等差數列首項為公差為,則通項公式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知可得：，結合兩角和的正弦公式及誘導公式可得：，問題得解.（2）利用可得：，兩邊平方并結合已知及平面向量數量積的定義即可得解.【詳解】解：（1）因為，所以由正弦定理可得,即,因為,所以，，,故.（2）由已知得，所以,所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用及兩角和的正弦公式，還考查了利用平面向量的數量積解決長度問題，考查轉化能力及計算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理、三角形內角和定理、兩角和的正弦公式，特殊角的三角函數值，化簡等式進行求解即可（2）根據余弦定理，結合三角形面積公式、重要不等式進行求解即可【詳解】（1）由正弦定理可知：，，，所以可得：，；（2）由余弦定理可知：，由可知：，所以，所以面積的最大值為【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了重要不等式，考查了兩角和的正弦公式，考查了數學運算能力.19、（1），；（2）或時，L取得最大值為米．.【解析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數解析式，并注明θ的范圍．（2）設sinθ+cosθ=t，根據函數L=在[，]上是單調減函數，可求得L的最大值．所以當時，即

或

時，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設，則，由于，由于在上是單調減函數，當時，即或時，L取得最大值為米．【點睛】三角函數值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數式變換成的形式求值域3.通過換元，轉化成其他類型函數求值域20、(1)(2)【解析】

(1)當時，，利用得到通項公式，驗證得到答案.(2)根據的正負將和分為兩種情況，和，分別計算得到答案.【詳解】(1)當時，，當時，.綜上所述.(2)當時，，所以，當時，，.綜上所述.【點睛】本題考查了利用求通項公式，數列的絕對值和，忽略時的情況是容易犯的錯誤.21、（1）見解析；（2）乙機床加