2025屆廣東東莞市數學高一下期末學業水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．2．已知函數在處取得極小值，則的最小值為（）A．4 B．5 C．9 D．103．數列1，，，，…的一個通項公式為（）A． B． C． D．4．若圓與圓外切，則（）A．21 B．19 C．9 D．-115．給出下列四個命題：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③若直線滿足，則；④若直線，是異面直線，則與，都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知,是兩個不同的平面,是兩條不同的直線,下列命題中錯誤的是（）A．若∥，，，則B．若∥，，，則C．若，，,則⊥D．若⊥，，,,則7．已知向量若為實數，則＝（）A．2 B．1 C． D．8．在區間上隨機地取一個數,則事件“”發生的概率為()A． B． C． D．9．函數f(x)=4A．2kπ+π6C．2kπ+π1210．若圓心坐標為的圓,被直線截得的弦長為，則這個圓的方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數列的首項，且（），則數列的通項公式是__________．12．把函數的圖象向左平移個單位長度，所得圖象正好關于原點對稱，則的最小值為________.13．已知數列滿足且，則____________．14．已知點和點，點在軸上，若的值最小，則點的坐標為______.15．三棱錐P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，側面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，則該三棱錐的外接球表面積為_____．16．已知函數的最小正周期為，若將該函數的圖像向左平移個單位后，所得圖像關于原點對稱，則的最小值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數滿足.（1）若，對任意都有，求的取值范圍；（2）是否存在實數，，使得不等式對一切實數恒成立？若存在，請求出，，使；若不存在，請說明理由.18．已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數的單調遞增區間.19．數列中，，（為常數，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求證：①；②；（3）比較++…+與的大小，并加以證明.20．某公司為了提高職工的健身意識，鼓勵大家加入健步運動，要求200名職工每天晚上9:30上傳手機計步截圖，對于步數超過10000的予以獎勵.圖1為甲乙兩名職工在某一星期內的運動步數統計圖，圖2為根據這星期內某一天全體職工的運動步數做出的頻率分布直方圖.（1）在這一周內任選兩天檢查，求甲乙兩人兩天全部獲獎的概率；（2）請根據頻率分布直方圖，求出該天運動步數不少于15000的人數，并估計全體職工在該天的平均步數；（3）如果當天甲的排名為第130名，乙的排名為第40名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖.21．已知函數．（I）求的最小正周期；（II）求在上的最大值與最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.2、C【解析】由，得，則，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選C.3、A【解析】

把數列化為，根據各項特點寫出它的一個通項公式.【詳解】數列…可以化為，所以該數列的一個通項公式為.故選：A【點睛】本題考查了根據數列各項特點寫出它的一個通項公式的應用問題，是基礎題目.4、C【解析】試題分析：因為,所以且圓的圓心為,半徑為,根據圓與圓外切的判定(圓心距離等于半徑和)可得,故選C.考點：圓與圓之間的外切關系與判斷5、B【解析】

利用空間直線的位置關系逐一分析判斷得解.【詳解】①為假命題.可舉反例，如a，b，c三條直線兩兩垂直；②平行于同一條直線的兩條直線平行,是真命題；③若直線滿足，則，是真命題；④是假命題，如圖甲所示，c，d與異面直線，交于四個點，此時c，d異面，一定不會平行；當點B在直線上運動（其余三點不動），會出現點A與點B重合的情形，如圖乙所示，此時c，d共面且相交.故答案為B【點睛】本題主要考查空間直線的位置關系，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、A【解析】

根據平面和直線關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.若，，，則如圖所示情況，兩直線為異面直線，錯誤其它選項正確.故答案選A【點睛】本題考查了直線平面的關系，找出反例是解題的關鍵.7、D【解析】

求出向量的坐標，然后根據向量的平行得到所求值．【詳解】∵，∴．又，∴，解得．故選D．【點睛】本題考查向量的運算和向量共線的坐標表示，屬于基礎題．8、A【解析】由得，，所以，由幾何概型概率的計算公式得，，故選.考點：1.幾何概型；2.對數函數的性質.9、D【解析】

解不等式4sin【詳解】因為f(x)=4所以4sinxcos解得kπ+π故選：D【點睛】本題主要考查三角函數定義域的求法，考查解三角不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.10、B【解析】

設出圓的方程，求出圓心到直線的距離，利用圓心到直線的距離、半徑和半弦長滿足勾股定理，求得圓的半徑，即可求得圓的方程，得到答案．【詳解】由題意，設圓的方程為，則圓心到直線的距離為，又由被直線截得的弦長為，則，所以所求圓的方程為，故選B．【點睛】本題主要考查了圓的方程的求解，以及直線與圓的弦長的應用，其中解答中熟記直線與圓的位置關系，合理利用圓心到直線的距離、半徑和半弦長滿足勾股定理是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】，得（）,兩式相減得，即（），，得，經檢驗n=1不符合。所以，12、【解析】

根據條件先求出平移后的函數表達式為，令即可得解.【詳解】由題意可得平移后的函數表達式為，圖象正好關于原點對稱，即，又，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了函數圖像的平移以及三角函數的圖像與性質，屬于基礎題.13、【解析】

由題得為等差數列，得，則可求【詳解】由題：為等差數列且首項為2，則，所以．故答案為：2550【點睛】本題考查等差數列的定義，準確計算是關鍵，是基礎題14、【解析】

作出圖形，作點關于軸的對稱點，由對稱性可知，結合圖形可知，當、、三點共線時，取最小值，并求出直線的方程，與軸方程聯立，即可求出點的坐標.【詳解】如下圖所示，作點關于軸的對稱點，由對稱性可知，則，當且僅當、、三點共線時，的值最小，直線的斜率為，直線的方程為，即，聯立，解得，因此，點的坐標為.故答案為：.【點睛】本題考查利用折線段長的最小值求點的坐標，涉及兩點關于直線對稱性的應用，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.15、【解析】

求出的外接圓半徑，的外接圓半徑，求出外接球的半徑，即可求出該三棱錐的外接球的表面積．【詳解】由題意，設的外心為，的外心為，則的外接圓半徑，在中，因為，由余弦定理可得，所以，所以的外接圓半徑，在等邊中，由，所以，所以，設球心為，球的半徑為，則，又由面，面，則，所以該三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三棱錐的外接球的表面積的求解，其中解答中熟練應用空間幾何體的結構特征，確定球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．16、【解析】

先利用周期公式求出，再利用平移法則得到新的函數表達式，依據函數為奇函數，求出的表達式，即可求出的最小值．【詳解】由得，所以，向左平移個單位后，得到，因為其圖像關于原點對稱，所以函數為奇函數，有，則，故的最小值為．【點睛】本題主要考查三角函數的性質以及圖像變換，以及型的函數奇偶性判斷條件．一般地為奇函數，則；為偶函數，則；為奇函數，則；為偶函數，則．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，使不等式恒成立，詳見解析.【解析】

（1）由知函數關于對稱，求出后，通過構造函數求出；（2）利用不等式的兩邊夾定理，令，得，結合已知條件，解出；然后設存在實數，，命題成立，運用根的判別式建立關于實數的不等式組，解得.【詳解】（1）由得此時，，構造函數，.即的取值范圍是.（2）由對一切實數恒成立，得由得由得恒成立，也即，此時，.把，.代入，不等式也恒成立，所以，.【點睛】本題第（1）問，常用“反客為主法”，即把參數當成主元，而把看成參數；第（2）問，不等式對任意實數恒成立，常用賦值法切入問題.18、（1）（2）【解析】

（1）通過降次公式和輔助角公式化簡函數得到，再根據周期公式得到答案.（2）根據（1）中函數表達式，直接利用單調區間公式得到答案.【詳解】（1）由題意得．可得：函數的最小正周期（2）由，得，所以函數的單調遞增區間為．【點睛】本題考查三角函數的最小正周期，函數的單調區間，將函數化簡為標準形式是解題的關鍵，意在考查學生對于三角函數性質的應用和計算能力.19、(1)；(2)①見證明；②見證明；(3)++…+，證明見解析【解析】

（1）將代入，結合可求出的值；（2）可知，，即可證明結論；（3）由題意可得，從而可得到，求和可得，然后作差，通過討論可比較二者大小.【詳解】（1）由題意：，.而，得，即，解得或，因為，所以滿足題意.（2）因為，所以.則.，因為，，所以，所以.（3）由，可得，從而，所以.因為，所以，所以.，，，,當n=1時，,故；當n=2時，，；當n≥3時，，則，.【點睛】本題主要考查了數列的遞推關系式和數列的求和，考查了不等式的證明，考查了學生的邏輯推理能力與計算能力，屬于難題.20、（1），（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解析】

（1）根據統計圖統計出甲乙兩人合格的天數，再計算全部獲獎概率；（2）根據頻率分布直方圖求出人數及平均步數；（3）根據頻率分布直方圖計算出甲乙的步數從而判斷出星期幾．【詳解】（1）由統計圖可知甲乙兩人步數超過10000的有星期一、星期二、星期五、星期天設事件A為甲乙兩人兩天全部獲獎，則（2）由圖可知，解得所以該天運動步數不少于15000的人數為（人）全體職工在該天的平均步數為：（千步）（3）因為假設甲的步數為千