第1頁（共1頁）2022-2023學年江蘇省南京市鼓樓區金陵中學高一（下）期末數學試卷一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知復數z＝1+2i（i為虛數單位），則z2＝（）A．﹣3+2i B．﹣3+4i C．5+2i D．5+4i2．（5分）函數f(x)=A．2 B．0 C．1 D．33．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分別為棱CC'、AB的中點，則異面直線A'D'與EF所成角的余弦值是（）A．63 B．33 C．22 4．（5分）若鈍角三角形的邊長分別為a，a+3，a+6，則實數a的取值范圍為（）A．（3，9） B．（0，9） C．（3，+∞） D．（9，+∞）5．（5分）如圖，在五個正方形拼接而成的圖形中，β﹣α的值為（）A．π6 B．π4 C．π3 6．（5分）已知△ABC是正三角形，若點M滿足AM→=13ABA．63 B．36 C．1912 7．（5分）如圖，在正四面體ABCD中，E，F是棱CD上的三等分點，記二面角C﹣AB﹣E，E﹣AB﹣F，F﹣AB﹣D的平面角分別為θ1，θ2，θ3，則（）A．θ1＝θ2＝θ3 B．θ1＜θ2＜θ3 C．θ1＝θ3＞θ2 D．θ1＝θ3＜θ28．（5分）已知三棱錐A﹣BCD的所有頂點都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面積為22π，則三棱錐A﹣BCD（以A．6 B．212 C．252 D二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，則（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，則m∥n D．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥n（多選）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，則（）A．A：B：C＝4：5：6 B．sinA+sinC＝2sinB C．cosC=18 D．3sinA＝（多選）11．（5分）拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，記骰子向上的點數．用x表示紅色骰子的點數，用y表示綠色骰子的點數，用（x，y）表示一次試驗的結果．記“x+y＝7”為事件A，“xy是奇數”為事件B，“x＞3”為事件C，則（）A．A與B互斥 B．A與B對立 C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立（多選）12．（5分）已知正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，側棱長為22，則（）A．棱臺的側面積為127 B．棱臺的體積為286 C．棱臺的側棱與底面所成的角的余弦值為12D．棱臺的側面與底面所成銳二面角的余弦值為7三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）在平行四邊形ABCD中，AE→=2ED→，BF→14．（5分）若一個圓柱的側面展開圖是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為．15．（5分）如圖，在△ABC中，AC＝2，A=π3，點D在線段AB上，且AD＝2DB，sin∠ACD=7sin∠BCD，則△ABC的面積為16．（5分）在△ABC中，若cosB=22，則（tan2A﹣3）sin2C的最小值為四、解答題：共6小題，共70分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在直角坐標系xOy中，設向量a→=（2sinθ，1），b→=（1，sin（θ+（1）若a→?b→=0，求（2）若a→∥b→，且θ∈（0，π218．（12分）已知向量a→，b→滿足|（1）若|a→+2（2）若a→?(a→19．（12分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分別為B1D，AB的中點．（1）求證：OE∥平面BCC1B1；（2）求證：平面B1DC⊥平面B1DE．20．（12分）某市推出了關于生態文明建設進展情況的調查，調查數據表明，環境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，現從參與關注生態文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求出a的值；（2）求這200人年齡的樣本平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）和中位數（精確到小數點后一位）；（3）現在從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調查，求這2人恰好在同一組的概率．21．（12分）如圖，在△ABC中，AB=2，BC＝2，以AC為邊，向△ABC外作正方形ACDE，連接BD（1）當AB⊥BC時，求B到直線DE的距離；（2）設∠ABC＝θ（0＜θ＜π），試用θ表示BD，并求BD的最大值．22．（12分）如圖，已知△ABC是邊長為2的正三角形，M，N分別是邊AB，AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，設∠MGA＝α（π3≤α（1）分別記△AGM，△AGN的面積為S1，S2，試將S1，S2表示為α的函數；（2）求y=1

2022-2023學年江蘇省南京市鼓樓區金陵中學高一（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知復數z＝1+2i（i為虛數單位），則z2＝（）A．﹣3+2i B．﹣3+4i C．5+2i D．5+4i【解答】解：z2＝（1+2i）2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，故選：B．2．（5分）函數f(x)=A．2 B．0 C．1 D．3【解答】解：由已知可得，f(因為0≤x≤又y＝cosx在[π所以，當x+π3=π3，即故選：C．3．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分別為棱CC'、AB的中點，則異面直線A'D'與EF所成角的余弦值是（）A．63 B．33 C．22 【解答】解：取CD的中點M，連結ME，FM，因為F，M分別為AB，DC的中點，所以FM∥AD，又A'D'∥AD，所以A'D'∥FM，則∠EFM即為異面直線A'D'與EF所成角，不妨設正方體的棱長為2，則FM＝2，EM=1+1所以EF=2在Rt△EFM中，cos∠EFM=FM所以異面直線A'D'與EF所成角的余弦值是63故選：A．4．（5分）若鈍角三角形的邊長分別為a，a+3，a+6，則實數a的取值范圍為（）A．（3，9） B．（0，9） C．（3，+∞） D．（9，+∞）【解答】解：由已知得a+∴3＜a＜9．故選：A．5．（5分）如圖，在五個正方形拼接而成的圖形中，β﹣α的值為（）A．π6 B．π4 C．π3 【解答】解：由圖可得tanβ＝3，tanα=1∴tan（β﹣α）=tanβ-∵0＜β＜π2，0＜α＜π2，∴-π∴β﹣α的值為π4故選：B．6．（5分）已知△ABC是正三角形，若點M滿足AM→=13ABA．63 B．36 C．1912 【解答】解：∵AM→=1∴|AM∴|AM∴AM→?AC→=13∴cos＜∴AM→與AC→夾角的余弦值為故選：D．7．（5分）如圖，在正四面體ABCD中，E，F是棱CD上的三等分點，記二面角C﹣AB﹣E，E﹣AB﹣F，F﹣AB﹣D的平面角分別為θ1，θ2，θ3，則（）A．θ1＝θ2＝θ3 B．θ1＜θ2＜θ3 C．θ1＝θ3＞θ2 D．θ1＝θ3＜θ2【解答】解：如圖1，在正四面體ABCD中，取AB的中點G，連接CG，DG，則CG⊥AB，DG⊥AB，而CG∩DG＝G，所以AB⊥平面CDG，連接EG，FG，因為EG?平面CDG，FG?平面CDG，所以AB⊥EG，AB⊥FG．由二面角的平面角的定義可以判斷θ1＝∠CGE，θ2＝∠EGF，θ3＝∠FGD，由對稱性容易判斷θ1＝θ3．設該正四面體的棱長為6，如圖2，CD＝6，易得CG=DG=33，取CD的中點H，則GH⊥CD，CE＝2，EH＝在△GCH中，由勾股定理可得GH=GC于是，在△GCE中，由余弦定理可得cosθ在△GEF中，由余弦定理可得cosθ而(757)2=4957=9311083＞(1719)2=289361=8671083?757＞17故選：D．8．（5分）已知三棱錐A﹣BCD的所有頂點都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面積為22π，則三棱錐A﹣BCD（以A．6 B．212 C．252 D【解答】解：取BC中點E，∵∠BAC＝90°，∴E為△ABC的外接圓圓心，過E作AD的平行線，由球的性質可知，球心O必在此平行線上，作OF∥AE，交AD于F，如圖所示：OA=OEOA＝OD，∴AF＝DF＝OE=12AD＝∵球O的表面積為22π∴球O的半徑R=222，設AB＝x，AC＝由R=OC=CE2+OE∴三棱錐A﹣BCD側面積S＝S△ABD+S△ACD+S△ABC=12?2x+12?2y+12xy＝由x2+y2≥2xy，得：xy≤9，（當且僅當x＝y＝3時取等號），又（x+y）2＝x2+y2+2xy≤18+x2+y2＝36（當且僅當x＝y＝3時取等號），∴S≤6+92=212（當且僅當x故選：B．二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，則（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，則m∥n D．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥n【解答】解：A．若m∥α，n∥α，則m與n可能平行、相交或為異面直線，因此A不正確；B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β，因此B正確；C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，則m∥n，因此C正確；D．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m與n可能平行、相交或為異面直線，因此D不正確．故選：BC．（多選）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，則（）A．A：B：C＝4：5：6 B．sinA+sinC＝2sinB C．cosC=18 D．3sinA＝【解答】解：對于A，由題意可知，sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，但推不出A：B：C＝4：5：6，故A錯誤；對于BC，由a：b：c＝4：5：6，不妨設a＝4k，b＝5k，c＝6k，則a+c＝2b，由正弦定理可得，sinA+sinC＝2sinB，故B正確；cosC=16k2又sinAsin2C=a2ccosC=4故選：BCD．（多選）11．（5分）拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，記骰子向上的點數．用x表示紅色骰子的點數，用y表示綠色骰子的點數，用（x，y）表示一次試驗的結果．記“x+y＝7”為事件A，“xy是奇數”為事件B，“x＞3”為事件C，則（）A．A與B互斥 B．A與B對立 C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立【解答】解：對于A，事件：A＝“x+y＝7”包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），事件B＝“xy為奇數”，包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），（5，1），（5，3），A與B不能同時發生，是互斥事件，故A正確；對于B，A與B不能同時發生，能同時不發生，不是對立事件，故B錯誤；P（A）=66×6=16，P（B）=96×6=14，P（P（A）?P（C）=16×12=112，P（AC）＝P（A）?P（C），P（BC）=B與C不相互獨立，A與C獨立，故C正確，D錯誤．故選：AC．（多選）12．（5分）已知正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，側棱長為22，則（）A．棱臺的側面積為127 B．棱臺的體積為286 C．棱臺的側棱與底面所成的角的余弦值為12D．棱臺的側面與底面所成銳二面角的余弦值為7【解答】解：根據題意，如圖所示，作正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1，依次分析選項：對于A，在側面梯形ABB1A1中，A1B1＝2，AB＝4，則AH=12（4﹣2）＝1，則斜高A1H故梯形ABB1A1的面積S′=(4+2)72故棱臺的側面積S＝4S′＝127，A正確；對于B，底面ABCD為正方形，則HM＝AH＝1，A1H=7則棱柱的高A1M=7-1故棱臺的體積VOA=13（4+16+8）×6對于C，棱臺的側棱與底面所成的角即∠A1AM，則余弦值cos∠A1AM=AMAA對于D，棱臺的側面ABB1A1與底面ABCD所成銳二面角的平面角為∠DHM，則cos∠DHM=HMA1故選：ACD．三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）在平行四邊形ABCD中，AE→=2ED→，BF→【解答】解：由AE→=2ED在平行四邊形ABCD中，由加法的平行四邊形法則可得：AC→故AC→故λ=答案為：3414．（5分）若一個圓柱的側面展開圖是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為4π【解答】解：設圓柱的底面半徑為r，高為h，因為圓柱的側面展開圖是一個邊長為4的正方形，所以2πr＝2，h＝2，所以h＝2，r=1所以圓柱的體積為πr2?h=4故答案為：4π15．（5分）如圖，在△ABC中，AC＝2，A=π3，點D在線段AB上，且AD＝2DB，sin∠ACD=7sin∠BCD，則△ABC的面積為【解答】解：在△ACD中，由正弦定理得ADsin∠ACD=CD在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD又sin∠ACD=聯立（1）（2）（3）得，sinB=在△ABC中，由正弦定理得BCsinπ3由余弦定理得cosA=即AB2﹣2AB﹣3＝0，因為AB＞0，解得AB＝3，因此，△ABC的面積為S△故答案為：3316．（5分）在△ABC中，若cosB=22，則（tan2A﹣3）sin2C的最小值為【解答】解：因為cosB=22，所以B則（tan2A﹣3）sin2C＝（tan2A﹣3）sin[2π﹣2（A+B）]＝﹣（tan2A﹣3）sin（2A+π2）=-sin2令t＝1+cos2A，因為A∈（0，3π4），所以t∈（0，①=2[1+2(t-1)](t-1)t=2(2t2-3t+1)t=4t故答案為：42-6四、解答題：共6小題，共70分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在直角坐標系xOy中，設向量a→=（2sinθ，1），b→=（1，sin（θ+（1）若a→?b→=0，求（2）若a→∥b→，且θ∈（0，π2【解答】解：（1）在直角坐標系xOy中，已知向量a→=（2sinθ，1），b→=（1，sin（θ+∵a→?b→∴2sinθ+sin（θ+π3）＝即2sinθ+sinθcosπ3+cosθsinπ即52sinθ+32cosθ∴tanθ=-（2）∵a→∥b∴2sinθsin（θ+π3）＝∴2sin2θcosπ3+2sinθcosθsinπ∴12（1﹣cos2θ）+32sin2θ整理得32sin2θ-12cos2所以sin（2θ-π6）又θ∈（0，π2所以2θ-π6∈（-π所以2θ-π即θ=π18．（12分）已知向量a→，b→滿足|（1）若|a→+2（2）若a→?(a→【解答】解：（1）由題得|b|a∴a→∴|2a（2）a→∴a→∴|a∴投影向量坐標為12∴投影向量坐標為(119．（12分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分別為B1D，AB的中點．（1）求證：OE∥平面BCC1B1；（2）求證：平面B1DC⊥平面B1DE．【解答】證明：（1）：連接BC1，設BC1∩B1C＝F，連接OF，…2分因為O，F分別是B1D與B1C的中點，所以OF∥DC，且OF=又E為AB中點，所以EB∥DC，且d1＝1，從而d2=d所以OE∥BF，…6分又OE?面BCC1B1，BF?面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因為DC⊥面BCC1B1，BC1?面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C?面B1DC，DC∩B1C＝C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE?面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分20．（12分）某市推出了關于生態文明建設進展情況的調查，調查數據表明，環境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，現從參與關注生態文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求出a的值；（2）求這200人年齡的樣本平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）和中位數（精確到小數點后一位）；（3）現在從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調查，求這2人恰好在同一組的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035；（2）平均數為：20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5歲，因為0.1+0.15＝0.25＜0.5，0.1+0.15+0.35＝0.6＞0.5所以中位數落在[35，45）內，設中位數為m，則10×0.010+10×0.015+（m﹣35）×0.035＝0.5，所以m≈42.1歲；（3）第1，2組的人數分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽