河北省石家莊市康福外國語學校2024屆數學高一下期末學業質量監測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，向量，則（）A． B． C． D．2．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.153．下列說法正確的是（）A．銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;B．如果向量，則；C．在中，記，，則向量與可以作為平面ABC內的一組基底；D．若，都是單位向量，則.4．已知數列的前4項依次為，1，，，則該數列的一個通項公式可以是（）A． B．C． D．5．點是空間直角坐標系中的一點，過點作平面的垂線，垂足為，則點的坐標為（）A．（1，0，0） B． C． D．6．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．7．某市舉行“中學生詩詞大賽”，分初賽和復賽兩個階段進行，規定：初賽成績大于90分的具有復賽資格，某校有800名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區間（30，150]內，其頻率分布直方圖如圖．則獲得復賽資格的人數為（）A．640 B．520 C．280 D．2408．為了得到函數y=sin（2x+）的圖象，只需將函數y=sin2x圖象上所有的點()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度9．若直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行，則m的值為（）A．7 B．0或7 C．0 D．410．如圖，長方體的體積為，E為棱上的點,且，三棱錐E－BCD的體積為，則=（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某次體檢，6位同學的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77則這組數據的中位數是_________（米）.12．數列中，已知，50為第________項.13．如圖，長方體中，，，，與相交于點，則點的坐標為______________．14．函數的最小值為____________．15．已知函數，的最小正周期是___________.16．已知數列滿足，，，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數n，存在多項式函數，使得對所有實數x均成立，其中均為整數，當n為奇數時，，當n為偶數時，；（3）利用（2）的結論判斷是否為有理數？18．已知常數且，在數列中，首項，是其前項和，且，.（1）設，，證明數列是等比數列，并求出的通項公式；（2）設，，證明數列是等差數列，并求出的通項公式；（3）若當且僅當時，數列取到最小值，求的取值范圍．19．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量與的夾角；（2）設，且向量滿足，求的最小值；（3）在（2）的條件下，隨機選取一個向量，求的概率.20．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.（1）若點E為邊CD上的動點，求的最小值；（2）若，，，求的值.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，連，交于點.（Ⅰ）若點是側棱的中點，連，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

設，根據系數對應關系即可求解【詳解】設，即，故選：C【點睛】本題考查向量共線的基本運算，屬于基礎題2、B【解析】

已知三次投籃共有20種，再得到恰有兩次命中的事件的種數，然后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】三次投籃共有20種，恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種∴該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選：B【點睛】本題主要考古典概型的概率求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.3、C【解析】

可舉的角在第一象限，但不是銳角，可判斷A；考慮兩向量是否為零向量，可判斷B；由不共線，推得與不共線，可判斷C；考慮兩向量的方向可判斷D，得到答案．【詳解】對于A，銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定為銳角，比如的角在第一象限，但不是銳角，故A錯誤；對于B，如果兩個非零向量滿足，則，若存在零向量，結論不一定成立，故B錯誤；對于C，在中，記，可得與不共線，則向量與可以作為平面內的一組基底，故C正確；對于D，若都是單位向量，且方向相同時，；若方向不相同，結論不成立，所以D錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查了命題的真假判斷，主要是向量共線和垂直的條件，著重考查了判斷能力和分析能力，屬于基礎題．4、A【解析】

根據各選擇項求出數列的首項，第二項，用排除法確定．【詳解】可用排除法，由數列項的正負可排除B,D，再看項的絕對值，在C中不合題意，排除C，只有A.可選．故選：A.【點睛】本題考查數列的通項公式，已知數列的前幾項，選擇一個通項公式，比較方便，可以利用通項公式求出數列的前幾項，把不合的排除即得．5、B【解析】

根據空間直角坐標系的坐標關系,即可求得點的坐標.【詳解】空間直角坐標系中點過點作平面的垂線,垂足為,可知故選:B【點睛】本題考查了空間直角坐標系及坐標關系,屬于基礎題.6、D【解析】

先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角.【詳解】由題得直線的斜率.故選：D【點睛】本題主要考查直線的斜率和傾斜角的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、B【解析】

由頻率分布直方圖得到初賽成績大于90分的頻率，由此能求出獲得復賽資格的人數．【詳解】初賽成績大于90分的具有復賽資格，某校有800名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區間（30，150]內，由頻率分布直方圖得到初賽成績大于90分的頻率為：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．∴獲得復賽資格的人數為：0.1×800＝2．故選：B．【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查頻數的求法，考查頻率分布直方圖等基礎知識，是基礎題．8、A【解析】

由條件根據函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得結論．【詳解】∵，故要得到的圖象，只需將函數y=sin2x，x∈R的圖象向左平移個單位長度即可，故選:A．【點睛】本題主要考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于基礎題．9、B【解析】

根據直線和直線平行則斜率相等，故m(m-1)=3m×2，求解即可。【詳解】∵直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行，∴m(m-1)=3m×2，∴m=0或7，經檢驗，都符合題意，故選B.【點睛】本題屬于基礎題，利用直線的平行關系，斜率相等求解參數。10、D【解析】

分別求出長方體和三棱錐E－BCD的體積，即可求出答案.【詳解】由題意，，，則.故選D.【點睛】本題考查了長方體與三棱錐的體積的計算，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1.76【解析】

將這6位同學的身高按照從低到高排列為：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，這六個數的中位數是1.75與1.77的平均數，顯然為1.76.【考點】中位數的概念【點睛】本題主要考查中位數的概念，是一道基礎題目.從歷年高考題目看，涉及統計的題目，往往不難，主要考查考生的視圖、用圖能力，以及應用數學解決實際問題的能力.12、4【解析】

方程變為，設，解關于的二次方程可求得。【詳解】，則，即設，則，有或取得，，所以是第4項。【點睛】發現，原方程可通過換元，變為關于的一個二次方程。對于指數結構，，等，都可以通過換元變為二次形式研究。13、【解析】

易知是的中點，求出的坐標，根據中點坐標公式求解.【詳解】可知，，由中點坐標公式得的坐標公式，即【點睛】本題考查空間直角坐標系和中點坐標公式，空間直角坐標的讀取是易錯點.14、【解析】

將函數構造成的形式，用換元法令，在定義域上根據新函數的單調性求函數最小值，之后可得原函數最小值。【詳解】由題得，，令，則函數在遞增，可得的最小值為，則的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了換元法，以及函數的單調性，是基礎題。15、【解析】

先化簡函數f(x)，再利用三角函數的周期公式求解.【詳解】由題得，所以函數的最小正周期為.故答案為【點睛】本題主要考查和角的正切和正切函數的周期的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.16、-2【解析】

根據題干中所給的表達式得到數列的周期性，進而得到結果.【詳解】根據題干表達式得到可以得數列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【點睛】這個題目考查了求數列中的某些項，一般方法是求出數列通項，對于數列通項不容易求的題目，可以列出數列的一些項，得到數列的周期或者一些其它規律，進而得到數列中的項.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數學歸納法進行證明；（3）根據（2）的結論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數時，時，，其中，成立時，，其中，成立時，，其中，成立，則當時，所以得到因為均為整數，所以也均為整數，故原式成立；為偶數時，時，，其中，時，，其中，成立，時，，其中，成立，則當時，所以得到其中，因為均為整數，所以也均為整數，故原式成立；綜上可得：對任何正整數，存在多項式函數，使得對所有實數均成立，其中，均為整數，當為奇數時，，當為偶數時，；（3）由（2）可得其中均為有理數，因為為無理數，所以均為無理數，故為無理數，所以不是有理數.【點睛】本題考查利三角函數的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數學歸納法證明，屬于難題.18、（1）證明見解析，；（2）證明見解析，；（3）.【解析】

（1）令，求出的值，再令，由，得出，將兩式相減得，再利用等比數列的定義證明為常數，可得出數列為等比數列，并確定等比數列的首項和公比，可求出；（2）由題意得出，再利用等差數列的定義證明出數列為等差數列，確定等差數列的首項和公差，可求出數列的通項公式；（3）求出數列的通項公式，由數列在時取最小值，可得出當時，，當時，，再利用參變量分離法可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，有，即，；當時，由，可得，將上述兩式相減得，，，且，所以，數列是以，以為公比的等比數列，；（2）由（1）知，，由等差數列的定義得，且，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，因此，；（3）由（2）知，，，由數列在時取最小值，可得出當時，，當時，，由，得，得在時恒成立，由于數列在時單調遞減，則，此時，；由，得，得在時恒成立，由于數列在時單調遞減，則，此時，.綜上所述：實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用定義證明等比數列和等差數列，證明時需結合題中數列遞推式的結構進行證明，同時也考查數列最值問題，需要結合題中條件轉化為與項的符號相關的問題，利用參變量分離法可簡化計算，考查化歸與轉化思想和運算求解能力，綜合性較強，屬于難題.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）根據向量的垂直，轉化出方程組，求解方程組即可；（2）將向量賦予坐標，求得向量對應點的軌跡方程，將問題轉化為圓外一點，到圓上一點的距離的最值問題，即可求解；（3）根據余弦定理，解得，以及的臨界狀態時，對應的圓心角的大小，利用幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）因為故可得，解得①②由①-②可得，解得，將其代入①可得，即將其代入②可得解得，又向量夾角的范圍為，故向量與的夾角為.（2）不妨設，由可得.不妨設的起始點為坐標原點，終點為C.因此，點C落在以)為圓心，1為半徑的圓上（如圖）.因為，即由圓的特點可知的最小值為，即：.（3）當時，因為，，滿足勾股定理，故容易得.當時，假設此時點落在如圖所示的F點處.如圖所示.因為，由余弦定理容易得，故.所以，本題化為，在半圓上任取一點C，點C落在弧CF上的概率.由幾何概型的概率計算可知：的概率即為圓心角的弧度除以，即.【點睛】本題考查向量垂直時數量積的表示，以及利用解析的手段解決向量問題的能力，還有幾何概型的概率計算，涉