上海市徐匯區2023-2024學年高一數學第二學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數列滿足，且，其前n項之和為，則滿足不等式的最小整數n是（）A．5 B．6 C．7 D．82．若，，且與夾角為，則（）A．3 B． C．2 D．3．已知函數，（，，）的部分圖像如圖所示，則、、的一個數值可以是（）A． B．C． D．4．已知集合，則（）A． B． C． D．5．下列結論正確的是（）A． B．若，則C．當且時， D．6．設，，在，，…，中，正數的個數是（）A．15 B．16 C．18 D．207．的值等于()A． B． C． D．8．已知直線傾斜角的范圍是，則此直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知數列是各項均為正數且公比不等于1的等比數列，對于函數，若數列為等差數列，則稱函數為“保比差數列函數”，現有定義在上的如下函數：①，②，③；④，則為“保比差數列函數”的所有序號為（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④10．直線在軸上的截距為（）A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．把正整數排列成如圖甲所示的三角形數陣，然后擦去偶數行中的奇數和奇數行中的偶數，得到如圖乙所示的三角形數陣，再把圖乙中的數按從小到大的順序排成一列，得到一個數列，若，則________________．12．若點在冪函數的圖像上，則函數的反函數=________.13．直線與的交點坐標為________.14．在中，角所對的邊分別為，若，則=______．15．設x、y滿足約束條件，則的取值范圍是______.16．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得份量成等差數列，且較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為___.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數．（Ⅰ）求函數的最小正周期；（Ⅱ）求函數在區間上的最值以及相應的x的取值．18．在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若的面積為，求在上的投影.19．已知數列滿足．證明數列為等差數列；求數列的通項公式．20．的內角所對的邊分別為，向量，若.（1）求角的大小；（2）若，求的值.21．已知等差數列與等比數列滿足，，且.（1）求數列，的通項公式；（2）設，是否存在正整數，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

首先分析題目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n項和為Sn，求滿足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整數n．故可以考慮把等式3an+1+an=4變形得到，然后根據數列bn=an﹣1為等比數列，求出Sn代入絕對值不等式求解即可得到答案．【詳解】對3an+1+an=4變形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到數列bn=an﹣1為首項為8公比為的等比數列．所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數n=7故選C．【點睛】此題主要考查不等式的求解問題，其中涉及到可化為等比數列的數列的求和問題，屬于不等式與數列的綜合性問題，判斷出數列an﹣1為等比數列是題目的關鍵，有一定的技巧性屬于中檔題目．2、B【解析】

由題意利用兩個向量數量積的定義，求得的值，再根據，計算求得結果．【詳解】由題意若，，且與夾角為，可得，.故選：B．【點睛】本題考查向量數量積的定義、向量的模的方法，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意不要錯選成A答案.3、A【解析】

從圖像易判斷，再由圖像判斷出函數周期，根據，將代入即可求得【詳解】根據正弦函數圖像的性質可得，由，，又因為圖像過，代入函數表達式可得，即，，解得故選：A【點睛】本題考查三角函數圖像與性質的應用，函數圖像的識別，屬于中檔題4、A【解析】

由，得，然后根據集合的交集運算，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以.故選：A【點睛】本題主要考查集合的交集運算及對數不等式.5、D【解析】

利用不等式的性質進行分析，對錯誤的命題可以舉反例說明．【詳解】當時，A不正確；，則，B錯誤；當時，，，C錯誤；由不等式的性質正確．故選：D.【點睛】本題考查不等式的性質，掌握不等式性質是解題關鍵．可通過反例說明命題錯誤．6、D【解析】

根據數列的通項公式可判斷出數列的正負，然后分析的正負，再由的正負即可確定出，，…，中正數的個數.【詳解】當時，，當時，，因為，所以，因為，，所以取等號時，所以均為正，又因為，所以均為正，所以正數的個數是：.故選：D.【點睛】本題考查數列與函數綜合應用，著重考查了推理判斷能力，難度較難.對于數列各項和的正負，可通過數列本身的單調性周期性進行判斷，從而為判斷各項和的正負做鋪墊.7、A【解析】=,選A.8、B【解析】

根據直線的斜率等于傾斜角的正切值求解即可.【詳解】因為直線傾斜角的范圍是,又直線的斜率,.故或.故.故選：B【點睛】本題主要考查了直線斜率與傾斜角的關系,屬于基礎題.9、B【解析】

設數列{an}的公比為q（q≠1），利用保比差數列函數的定義，逐項驗證數列{lnf（an）}為等差數列，即可得到結論．【詳解】設數列{an}的公比為q（q≠1）①由題意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnlnq是常數，∴數列{lnf（an）}為等差數列，滿足題意；②由題意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq2＝2lnq是常數，∴數列{lnf（an）}為等差數列，滿足題意；③由題意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnan+1﹣an不是常數，∴數列{lnf（an）}不為等差數列，不滿足題意；④由題意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq是常數，∴數列{lnf（an）}為等差數列，滿足題意；綜上，為“保比差數列函數”的所有序號為①②④故選：B．【點睛】本題考查新定義，考查對數的運算性質，考查等差數列的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．10、B【解析】

令,求出值則是截距。【詳解】直線方程化為斜截式為：，時，，所以，在軸上的截距為－3。【點睛】軸上的截距：即令,求出值；同理軸上的截距：即令,求出值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由圖乙可得：第行有個數，且第行最后的一個數為，從第三行開始每一行的數從左到右都是公差為的等差數列，注意到，，據此確定n的值即可.【詳解】分析圖乙，可得①第行有個數，則前行共有個數，②第行最后的一個數為，③從第三行開始每一行的數從左到右都是公差為的等差數列，又由，，則，則出現在第行，第行第一個數為，這行中第個數為，前行共有個數，則為第個數．故填．【點睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法．12、【解析】

根據函數經過點求出冪函數的解析式，利用反函數的求法，即可求解．【詳解】因為點在冪函數的圖象上，所以，解得，所以冪函數的解析式為，則，所以原函數的反函數為．故答案為：【點睛】本題主要考查了冪函數的解析式的求法，以及反函數的求法，其中熟記反函數的求法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．13、【解析】

直接聯立方程得到答案.【詳解】聯立方程解得即兩直線的交點坐標為.故答案為【點睛】本題考查了兩直線的交點，屬于簡單題.14、【解析】根據正弦定理得15、【解析】

由約束條件可得可行域，將問題轉化為在軸截距取值范圍的求解；通過直線平移可確定的最值點，代入點的坐標可求得最值，進而得到取值范圍.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將的取值范圍轉化為在軸截距的取值范圍問題由平移可知，當過圖中兩點時，在軸截距取得最大和最小值，，的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查線性規劃中的取值范圍問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化成直線在軸截距的取值范圍的求解問題，通過數形結合的方式可求得結果.16、【解析】

設此等差數列為{an}，公差為d，則（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份為a1，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）時，取得最大值2；時，取得最小值.【解析】

（Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式將函數化為y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函數的周期公式求函數的最小正周期．（Ⅱ）利用x∈[，]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值．【詳解】(Ⅰ)因為函數f（x）＝4cosxsin（x）1．化簡可得：f（x）＝4cosxsinxcos4cos2xsin1sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x＝2sin（2x）所以的最小正周期為．(Ⅱ)因為，所以．當，即時，f（x）取得最大值2；當，即時，f（x）取得最小值-1．【點睛】本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵，屬于基礎題．18、（1）；（2）當時，在上的投影為；當時，在上的投影為.【解析】

（1）由已知條件，結合正弦定理，求得，即可求得C的大小；（2）由已知條件，結合三角形的面積公式及余弦定理，求得的值，再由向量的數量積的運算，即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理知，即，又，所以，所以，在中，，所以，又，所以；（2）在中，由余弦定理得，由，即，因此，所以，解得或，當時，在上的投影為；當時，在上的投影為.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）已知遞推關系取倒數，利用等差數列的定義，即可證明.（2）由（1）可知數列為等差數列，確定數列的通項公式，即可求出數列的通項公式．【詳解】證明：，且有，，又，，即，且，是首項為1，公差為的等差數列．解：由知，即，所以．【點睛】本題考查數列遞推關系、等差數列的判斷方法，考查了運用取倒數法求數列的通項公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）2【解析】

（1）根據向量的數量積定義，結合余弦的倍角公式，即可求得；（2）由余弦定理，及（1）中所求角度，即可直接求得.【詳解】（1）由已知易得：所以，又故.（2）由及余弦定理可得：所以，所以得：（舍）所以.【點睛】本題考查余弦定理，余弦的倍角公式，涉及向量的數量積，屬基礎題.21、（1），．（2）存在正整數，，證明見解析【解析】

（1）根據題意，列出關于d與q的兩個等式，解方程組，