第一章線性方程組與矩陣第一節矩陣概念的引進第二節矩陣的定義第三節矩陣的初等變換釋疑解難習題課第四節方程組的消元法第一節矩陣概念的引進主要內容矩陣的定義幾種常用的特殊矩陣第一節矩陣的定義

定義1

由m

n

個數aij(i=1,2,…,m;j=1,叫做一個

m

n

矩陣,

這m

n

個數叫做矩陣的

一、矩陣的定義元素,aij

叫做矩陣A的第i行第j列元素.2,…,n)排成的m行n列的數表元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩例如３×４矩陣5×2矩陣

A＝(aij

)m

n

或A

=(aij

).陣稱為復矩陣．（1）式也可簡記為通常用大寫字母A,B,C,X,Y等表示矩陣。矩陣A

=(aij

)m×n與B

=(bij

)p×q如果滿足與當a=3,b=-1,c=4,d=2,e=-5,f=6時,它們相等.判斷矩陣A和矩陣B

相等（A=B）：

m=p

且

n=q,則稱這兩個矩陣為同型矩陣.

①同型矩陣（相同的行、列數）②對應的元素相等

二、幾種常用的特殊矩陣

(1)行矩陣和列矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣(也稱為行向量).如A=(a1a2…an).如只有一列的矩陣稱為列矩陣(也稱為列向量).

(2)零矩陣

若一個矩陣的所有元素都為零，則稱這個矩

行數和列數相同的矩陣稱為方陣．例如

(3)n階方陣

引起混淆的情況下，也可記為0．陣為零矩陣，m

n

零矩陣記為0m

n

，在不會A

稱為n

n方陣，常稱為n階方陣或

n階矩陣，主對角線方陣稱為對角矩陣，如除主對角線的元素外，其余的元素全為0的

(4)對角矩陣常簡記為A=(aij)n.為n

階對角矩陣,其中未標記出的元素全為零,即對角矩陣例如

aij

=0,i

j,i,j=1,2,…,n,

(5)單位矩陣

主對角線上的元素全為1

的對角矩陣稱為單n

階單位矩陣E

在矩陣代數中占有很重要的地位,它的作用與“1”在初等代數中的作用相似.位矩陣,簡記為E.如

(6)數量矩陣

主對角線上的元素全相等的對角矩陣稱為數量矩陣.

(7)三角矩陣主對角線下(上)方的元素全為零的方陣稱為上(下)三角矩陣.例如主要內容第三節

矩陣的初等變換

矩陣的初等變換行階梯形矩陣

矩陣的標準形

行最簡形矩陣行階梯形、行最簡形、標準形矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算,它在解線性方程組、求逆陣及矩陣理論的探討中都可起重要的作用.(第j

行的k倍加到第

i

行上,記作

ri+krj).

一、矩陣的初等變換(i)

對調A的兩行(對調i,j

兩行,記作

ri

rj

);(ii)

以一個非零數

k

乘以A的某一行中的所有元素

(第

i

行乘以

k,記作

kri

);(iii)

把A的某一行所有元素的

k倍加到另一行對應的元素上去定義1

矩陣的初等行變換:(第j

列的k倍加到第

i

列上,記作

ci+kcj).

(i)

對調A的兩列(對調i,j

兩列,記作

ci

cj

);(ii)

以非零數k

乘以A的某一列中的所有元素

(第

i

列乘以

k,記作

kci

);(iii)

把A的某一列所有元素的

k倍加到另一列對應的元素上去定義2

矩陣的初等列變換:矩陣的初等行（列）變換，統稱為矩陣的初等變換.注：初等變換可逆，且其逆變換是同一類型的初等矩陣.定義3

矩陣的等價

如果矩陣A經有限次初等行變換變成矩陣

B,就稱矩陣A與B行等價,記作

A~B;r

如果矩陣A經有限次初等列變換變成矩陣

B,就稱矩陣

A與B

列等價,記作A~B;c如果矩陣

A

經有限次初等變換變成矩陣B

,就稱矩陣A與B等價,記作

A~B.

二、行階梯形矩陣

(2)每個非零行的第一個非零元（主元）前面0的個數是嚴格增加的.

(1)

零行全部位于非零行的下方.行階梯形矩陣:

定義4

滿足下面兩個條件的矩陣稱為例如階梯形矩陣

行階梯形矩陣的特點:階梯線下方的元素全為零;

每個臺階只有一行,臺階數即是非零行的行數,階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元（主元）.

三、行最簡形矩陣

定義5

一個行階梯形矩陣若滿足

(1)

主元全為1;

(2)

主元所在列的其它元素全為零，則稱之為行最簡形矩陣.

四、矩陣的標準形F其中r為矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數.則稱這個矩陣為標準形矩陣F.

定義6

如果一個矩陣的左上角為r階單位矩陣,其余元素全為零,

五、矩陣的行階梯形、行最簡形、我們以矩陣B

為例.矩陣B

的行階梯形、行最簡形、標準形分別如下：標準形的比較

行階梯形矩陣

其特點是：階梯線以下的元素全是０，臺階數即為非零行數,豎線后面的第一個元素為非零元（主元）.

行最簡