數學（滿分：120分時間：120分鐘）一、選擇題：本大題10個小題，每小題3分，共30分，每個小題只有一個選項是正確的，請將正確答案的代號填在表格中1.的相反數的倒數是（）A.2024 B. C. D.答案：C解析：詳解：解：的相反數是，倒數是，∴的相反數的倒數是，故選：C．2.黨的二十大報告指出，我國建成世界上規模最大的教育體系、社會保障體系、醫療衛生體系，教育普及水平實現歷史性跨越，基本養老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫療保險參保率穩定在百分之九十五、將數據1040000000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.答案：C解析：詳解：解：，故選：C．3.《清朝野史大觀·清代述異》稱：“中國講求烹茶，以閩之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶為最．”如圖是喝功夫茶的一個茶杯，關于該茶杯的三視圖，下列說法正確的是（）A.主視圖與左視圖相同 B.主視圖與俯視圖相同C.左視圖與俯視圖相同 D.三視圖都相同答案：A解析：詳解：解：這個茶杯的主視圖與左視圖相同，俯視圖與主視圖和左視圖不相同．故選：A．4.如圖為某品牌折疊椅子側面示意圖，，與地面平行，，則（）A.78° B.73° C.69° D.61°答案：B解析：詳解：解：由題意，得：，∴，∵，∴，故選B．5.我縣文化宮向全縣中小學生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發，參加分享活動．甲同學的速度是乙同學的速度的1.2倍，乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點．若設乙同學的速度是每分鐘x米，則下列方程正確的是（）A. B.C. D.答案：D解析：詳解：解：設乙同學的速度是米/分，可得：故選

D．6.在平面直角坐標系中，若將一次函數的圖像向右平移2個單位長度后經過原點，則一次函數的圖像不經過第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四答案：B解析：詳解：解：根據題意，將一次函數的圖像向右平移2個單位長度后的函數解析式為，∵平移后的函數圖像經過原點，∴，則，∴一次函數的圖像經過第一、三、四，不經過第二象限，故選：B．7.不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A. B.C. D.答案：A解析：詳解：解不等式①得：解不等式②得：不等式組的解集為．

故選：A．8.如圖，分別是的邊的點，且與交于點，則的值為（）A. B. C. D.答案：D解析：詳解：解：，，，，，又，，故選：D．9.某學校九年級20名同學參加了學校舉辦的“抗擊疫情，你我同行”主題宣傳進社區活動，以下是參與宣傳活動的同學所作宣傳活動的場次數，如表所示：參加宣傳活動場次45678人數26543這些參加宣傳活動場次數的眾數、中位數分別是（）A.5、6 B.5、5 C.6、5 D.6、6答案：A解析：詳解：解：因為5出現的次數最多，所以眾數是5，將這組數據按從小到大進行排序后，第10個數和第11個數的平均數即為中位數，所以中位數是，故選：A．10.如圖，為的直徑，點C，D都在上，，若，則的度數為（）A. B. C. D.答案：C解析：詳解：解：連接，∵，∴，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴．故選：C．二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）11.分解因式：___________答案：解析：詳解：解：，故答案為：．12.2023年第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進行巧妙融合，其中浪潮設計借助了黃金分割比以給人協調的美感．如圖，若點C可看做是線段的黃金分割點（），，則______．（結果保留根號）答案：##解析：詳解：解：點可看作是線段的黃金分割點，，，故答案為：．13.如圖，過點作軸，垂足為C，軸，垂足為D．，分別交反比例函數（）的圖象于點A，B，則陰影部分的面積是________．答案：6解析：詳解：∵點，∴，，∴．∵反比例函數，∴，∴．故答案為：6．14.如圖，在一次數學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點處前行到達斜坡的底部點C處，然后沿斜坡前行到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，且點A，B，C，D，在同一平面內，小明同學測得古塔的高度是___________．答案：解析：詳解：解：過D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH=BF，BH=DF，∵斜坡的斜面坡度i=1：，∴，設DF=xm，CF=xm，∴CD=，∴x=10，∴BH=DF=10m，CF=m，∴DH=BF=+30（m），∵∠ADH=30°，∴AH=（m），∴AB=AH+BH=（m），故答案為：．15.如圖中，，，，點為上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為______．答案：

解析：詳解：解：如圖，設PQ，AC交于點D，過點D作DE⊥BC于點E，∴∠CED=90°∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴，，當PD⊥BC時，PD取得最小值，即PQ最小，∴當P、E重合時，PD最小，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴∠CAB=∠CED，，又∵∠DCE=∠BCA，∴△CED∽△CAB，∴，即，∴，∴．故答案為：．三、解答題（共8小題，滿分75分）16.（1）計算：；（2）化簡代數式，并請你取一個合適的a值，代入化簡后的代數式求值；（3）解方程：．答案：（1）；（2），（答案不唯一）；（3），解析：詳解：解：（1）原式；（2）原式，由題意可知，，，即，當時，原式；（3），∵，，，則，∴，∴，．17.如圖，A，B，C，D四點在同一條直線上，，，．求證：．答案：見解析解析：詳解：證明：，，即，∵，，∵，，．18.如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，，．（1）請畫出關于y軸對稱的；（2）若與關于原點成中心對稱，請直接寫出點A的對應點的坐標______．答案：（1）見解析（2）解析：小問1詳解：解：如圖所示，即為所求．小問2詳解：解：∵與關于原點成中心對稱，∴點的對應點的坐標，故答案為：．19.小明和小樂兩位同學都是體育愛好者，小明喜歡觀看“足球、乒乓球、羽毛球”賽事，小樂喜歡觀看“籃球、排球”賽事，他們商定采用抽簽的方式確定觀看的賽事項目，并制作了五張卡片（這些卡片除賽事名稱外，其余完全相同）并將卡片背面朝上洗勻后放在桌面上．（1）小樂從五張卡片中隨機抽取一張卡片，是他喜歡的賽事的概率是_____．（2）我們常稱足球、排球、籃球為“三大球”，小明先從洗勻后的五張卡片中抽取一張卡片，小樂從剩下的卡片中再抽取一張卡片，求他倆抽取的卡片上都是“三大球”中的賽事項目的概率．答案：（1）（2）他倆抽取的卡片上都是“三大球”中的賽事項目的概率為．解析：小問1詳解：解：小樂從五張卡片中隨機抽取一張卡片，是他喜歡的賽事的情況有2種，是他喜歡的賽事的概率是，故答案為：；小問2詳解：解：設足球－A、乒乓球－B、羽毛球－C，籃球－D、排球－E，畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有20種等可能結果，其中他倆抽取的卡片上都是“三大球”中的賽事項目的有6種結果，則他倆抽取的卡片上都是“三大球”中的賽事項目的概率為．20.如圖，已知（1）在平面內求作一點D，使得以A，B，C，D為頂點且以為對角線的四邊形是平行四邊形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）請你說明你的作圖主要運用了平行四邊形的什么定理？寫出完整的定理內容．答案：（1）見解析（2）作圖主要運用了平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形解析：小問1詳解：解：分別以點A、C為圓心，、長為半徑畫弧，兩弧交點為點D，連接、，四邊形即為所求作．小問2詳解：∵，，∴四邊形是平行四邊形．即：作圖主要運用了平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．21.小王和小麗在物理課學習了水在標準氣壓的沸點是，據此他兩在老師指導下進行了有關食用油的沸點探究活動：活動主題：有關食用油沸點探究活動．活動過程：某食用油的沸點溫度遠高于水的沸點溫度．小王想用刻度不超過的溫度計測算出這種食用油沸點的溫度．在老師的指導下，他在鍋中倒入一些這種食用油均勻加熱，并每隔測量一次鍋中油溫，得到的數據記錄如下：時間010203040油溫1030507090如果你參與了這個探究學習活動，根據他們的探究情況，請你完成下列任務．任務一：在直角坐標系中描出了表中數據對應的點．經老師介紹，在這種食用油達到沸點前，鍋中油溫度y（單位：）與加熱的時間t(單位：s)符合初中學習過的某種函數關系，填空：可能是函數關系；任務二：請你根據以上判斷，求出這種食用油達到沸點前y關于t的函數解析式；任務三：當加熱時，油沸騰了，請推算沸點的溫度．答案：任務一：一次；任務二：；任務三：解析：詳解：解：任務一：由表格中兩個變量對應值的變化規律可知，時間每增加，油的溫度就升高，故可知可能是一次函數關系，故答案為：一次；任務二：設這個一次函數的解析式為，當時，；當時，，，解得，∴y關于t的函數解析式為；任務三：當時，答：當加熱時，油沸騰了，推算沸點的溫度為．22.綜合與實踐問題情境：在數學活動課上，李老師給同學們提供了一個矩形（如圖1），其中，連接對角線，且，要求各小組以圖形的旋轉為主題開展數學活動．以下是部分小組的探究過程，請你參與活動并解答所提出的問題：猜想證明：（1）如圖2，“奮勇”小組將繞點旋轉得到，當點落到對角線上時，與交于點．試猜想線段與的數量關系，并加以證明；（2）“勤學”小組在“奮勇”小組的基礎上，取的中點，連接，，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；深入探究：（3）在繞點旋轉的過程中，當時，求點與點之間的距離，請你思考此問題，直接寫出答案．答案：（1），理由見解析；（2）菱形，理由見解析；（3）6或解析：詳解：（1），證明：∵四邊形是矩形，∴，又∵，∴，，由旋轉可得，，∴是等邊三角形，∴，∴；（2）四邊形是菱形．理由：由（1）得是等邊三角形，∴，由旋轉得，，，，∴，∴，又∵，∴，∵，點E是線段的中點，∴，又∵，，，∴，又∵，∴，∴與互相平分，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形；（3）如圖所示，當點在上方時，連接，∵，∴，由旋轉可得，，，，∴，∴，∵，∴，∴點A，，三點共線，∴，∴，，∴；如圖所示，當點在線段下方時，由旋轉可得，，，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．綜上所述，當時，點與點之間的距離為6或．23.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，，．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內的拋物線上確定一點P，使四邊形的面積最大．求出點P的坐標；（3）在（2）的結論下，點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點Q．使點P、B、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在．請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．答案：（1）；（2）；（3）或或解析：詳解：解：（1）∵，，∴，即，解得：，，∴，，，代入中，則，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，四邊形的面積＝的面積＋的面積，而的面積是定值，故四邊形的面積最大，只需要的最大面積即可，過點P作y軸的平行