流體力學上海大學

2流體靜力學分析流體靜止狀態時的力平衡關系，靜止流體中的壓強分布規律,流體與固體表面之間的相互作用力.

流體靜止的概念流體靜壓強（壓力）的特點重力場中的壓強分布規律

求靜水總壓力。靜止是相對于坐標系而言的，不論相對于慣性系或非慣性系靜止的情況，流體質點之間肯定沒有相對運動，這意味著粘性將不起作用。2.1作用在流體上的力一.體積力和面力

在流體中取一以封閉曲面S為界面的體積

，則作用在流體上的外力可以分為體積力和面力。

作用在流體上的力1.體積力（質量力）：指徹體分布作用于每一個流體質點上的外力，且與流體的質量成正比。例如：重力、慣性力。

——表示作用于

處單位質量

流體上的體力，如：流體團所受體力合力=與體積直接相關，如

質量力單位質量力:

作用在體積元d

上的體力是

若F的大小有限，體積元d

，則作用在體積元d

上的體力df是三階無窮小量。質量力作用在體積團

上的體力合力是（z軸正向垂直向上）表面力2.(表)面力：與流體團表面S接觸的其他流體或固體作用于該流體團上的力。面力與作用面的面積成正比。

例如：壓力、摩擦力，與表面積S直接相關。應力：作用于流團單位面積表面上的面力。

面力的特點：在流體中某點處取不同法向的面元，一般說來各面元上應力不同，應力的大小和方向與面元的法向有關，且一般說來應力的方向與法向不一致。（在場中任一點處取球形流體微團，球面各點處應力不同，且未必沿徑向。）面力面力應力的符號表示：

指向的那邊的流體作用于dS上的應力

指向的那邊的流體作用于dS上的應力

據Newton第三定律，有面力面力應力：作用于流體團表面單位面積上的面力。取外法線方向。

pn為矢量，一般不是n的方向，故可以分解。法向分量pnn

切向分量pn

或按坐標軸方向分解:

應力分量

pnx

pny

pnz

面力作用在面元dS上的面力是

則作用在面積元dS上的面力dP是二階無窮小量。

作用在面積S上的面力合力是

法向應力沿內法線方向，即受壓的方向（流體不能受拉）。這個法向應力稱為靜

壓強，記作pn(x,y,z)

，腳標中n為作用面法線方向。§2.2靜止流體中應力的性質

靜止流體的應力只有內法向分量—靜壓強靜止流體的應力只有法向分量（流體質點之間沒有相對運動不存在切應力）。PnnPnn靜止流體中一點的應力在這個表達式中，已包含了應力四要素：作用點、作用面、受力側和作用方向。

靜壓強的大小與作用面的方位無關

在靜止流體中取出以M(O)

為頂點的四面體流體微元，它受到的質量力和表面力必是平衡的①表面力：（只有各面上的垂直壓力即流體靜壓力）②質量力：（只有重力、靜止）單位質量力在各方向上的分別為X、Y、Z，則質量力在各方向上的分量為在靜止流體中的四面體流體微元，它受到的質量力和表面力必是平衡的，以y

方向為例，寫出平衡方程Y

是質量力在y

方向的分量dxdydzpxpnpzpyxyzno此時，pn，px，py，pz已是同一點（M點）在不同方位作用面上的靜壓強，其中斜面的方位n又是任取的，這就證明了靜壓強的大小與作用面的方位無關。

當四面體微元趨于M點時，注意到質量力比起面力為高階無窮小，即得pn=py，同理有pn=px，pn=pzdxdydzpxpnpzpyxyzno

靜止流體的應力狀態只須用一個靜壓強數量場p=p(x,y,z)

來描述，在任意一個作用點、以任意方位n

為法向的面元上的應力為：

靜壓強pn(x,y,z)

與作用面的方位無關，僅取決于作用點的空間位置，所以可將腳標去掉寫成p(x,y,z)

Pnn也適用于流體與固體接觸的表面§2.3流體的平衡微分方程

平衡微分方程的推導

表面力在y

方向上的分量只有左右一對面元上的壓力，合力為

odxdzpxyzdy在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在

y

方向的受力。微元所受y

方向上的質量力為注：在垂直于X軸的左、右兩個平面中心點上的靜壓強分別為略去二階以上無窮小量后，分別等于

odxdzpxyzdy得y方向平衡方程為或同理有和其中X,Y,Z

是質量力

f的三個分量。稱為靜壓強場的梯度。它

是數量場p(x,y,z)對應的一

個矢量場。

稱為哈米爾頓算子,它同時具有矢量和微分（對跟隨其后的變量）運算的功能。用它來表達梯度，非常簡潔，并便于記憶。平衡微分方程的矢量形式其中

的三個分量是壓強在三個坐標軸方向的方向導數，它反映了數量場在空間上的不均勻性。流體的平衡微分方程實質上表明了質量力和壓差力之間的平衡。壓強對流體受力的影響是通過壓差來體現的。

平衡微分方程的物理意義壓強的全微分等壓面dp=0性質：在靜止流體中，作用于任意點的質量力垂直于經過該點的等壓面所以重力場中，等壓面為水平面。兩種互不相混的靜止流體的分界面必為等壓面說明：等壓面可能是水平面、斜面、曲面、分界面

§2.4重力作用下的液體平衡

重力作用下的平衡方程

z

軸垂直向上，流體不可壓縮。壓力分布靜止液體中的壓力分布

取z軸垂直向上，xy為水平面，則有

靜力學壓力分布積分得

靜力學壓力分布從基本方程可得到以下規律：——帕斯卡定律自由表面壓強p0變化，則流體內所有各點p都隨著等值變化。壓力分布z=0321靜力學壓力分布靜壓強分布規律

重力場中連通的同種靜止液體中：

①壓強隨位置高程線性變化；

②等壓面是水平面，與質量力垂直；

③是常數。

絕對壓強、相對壓強、真空

壓強p記值的零點不同，有不同的名稱：以完全真空為零點，記為

pabs絕對壓強兩者的關系為:

pr=

pabs-

pa以當地大氣壓

pa

為零點，記為

pr

相對壓強為負值時，其絕對值稱為真空壓強。相對壓強真空壓強§2—5壓強的測量絕對壓強、相對壓強、真空

BA絕對壓強基準A點絕對壓強B點真空壓強A點相對壓強B點絕對壓強相對壓強基準O大氣壓強

paO壓強

今后討論壓強一般指相對壓強，省略下標，記為

p，若指絕對壓強則特別注明。

壓強單位：應力單位帕Pa（=N/m2）液柱高度水柱**mH2O，汞柱**mmHg大氣壓:標準大氣壓1atm=101325Pa工程大氣壓1at=98070Pa

如果z=0

為靜止液體的自由表面，自由表面上壓強為大氣壓，則液面以下

h

處的相對壓強為γh

，所以在液體指定以后高度也可度量壓強，稱為液柱高，例如：××m(H2O)，××mm(Hg)等。特別地，將水柱高稱為水頭。把真空壓強轉換成水柱高表示，稱為真空度。hp=0一個工程大氣壓為98.10kN/m2，相當于10m(H2O)

或736mm(Hg)位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭

在靜水壓強分布公式

中，各項都為長度量綱，稱為水頭（液柱高）。

——

位置水頭，以任取水平面為基準面

z=0

，鉛垂向

上為正。

——

壓強水頭，以大氣壓為基準，用相對壓強代入計

算。

——

測壓管水頭。

在內有液體的容器壁選定測點，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。OO測壓管內的靜止液面上

p=0，其液面高程即為測點處的，所以叫測壓管水頭。

測壓管水頭的含義§2—6測壓計如果容器內的液體是靜止的，一根測壓管測得的測壓管水頭也就是容器內液體中任何一點的測壓管水頭。如接上多根測壓管，則各測壓管中的液面都將位于同一水平面上。OO

測靜壓只須一根測壓管

敞口容器和封口容器接上測壓管后:如圖總勢能

位置水頭（勢能）與壓強水頭（勢能）可以互相轉換，但它們之和—

測壓管水頭（總勢能）是保持不變的。

各項水頭也可理解成單位重量液體的能量位置勢能，（從基準面

z=0

算起鉛垂向上為正。）

z

壓強勢能（從大氣壓強算起）

液體的平衡規律表明測壓原理

測壓管的一端接大氣，這樣就把測管水頭揭示出來了。再利用液體的平衡規律，可知連通的靜止液體區域中任何一點的壓強，包括測點處的壓強。用測壓管測量αA如果連通的靜止液體區域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過渡。

即使在連通的靜止流體區域中任何一點的壓強都不知道，也可利用流體的平衡規律，知道其中任何二點的壓差，這就是比壓計的測量原理

用比壓計測量流體的平衡規律必須在連通的靜止流體區域（如測壓管中）應用，不能用到管道中去，因為管道中的流體可能是在流動的，測壓管不只是為測量靜壓用的。例§2—7非慣性系中液體的平衡一.非慣性系中靜止液體的平衡方程慣性系中靜止液體的平衡方程非慣性系中靜止液體的平衡方程這樣非慣性系中平衡方程在處理上就和慣性系沒有區別了。替代用表面力中仍無切應力

二.兩個例子

所有流體質點加速度大小、方向都相同，重力加上慣性力仍是均勻的，因此等壓面還是平面，但不再是水平的。相對于勻加速直線運動坐標系靜止的液體單位質量流體的慣性力為離心加速度，與向心加速度反向，重力加上慣性力不再均勻，等壓面成為旋轉拋物面，由于離軸越遠，離心力越大，等壓面坡度越陡。

相對于繞鉛垂軸勻速轉動的坐標系靜止的液體筒內液體都以等角速度ω旋轉。下面推導這種相對平衡情況下的等壓面方程和壓強分布規律。取與筒一起等角速度旋轉的運動坐標系，z軸垂直向上，坐標原點取在新自由表面旋轉拋物面的頂點上。此時流體所受的質量力亦是兩個：一是重力，鉛垂向下；另一是離心慣性力，與r軸方向一致。AxyrAzoxxyyop0gω

單位質量力在直角坐標軸上的三個分量

代入歐拉平衡微分方程式積分得

由x=0，y=0，z=0處p=p0得c=p0，代入上式整理得這就是等角速度旋轉的直立容器