湖南省2024屆高三九校聯盟第二次聯考

數學

由長沙市一中常德市一中湖南師大附中雙峰縣一中桑植縣一中

武岡市一中湘潭市一中岳陽市一中株洲市二中聯合命題

炎德文化審校、制作

命題學校：長沙市一中審題學校：雙峰縣一中

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.對兩個變量％和y進行回歸分析，得到一組樣本數據（%,%）,（%,%），…，（怎，笫），下列統計量的數值能

夠刻畫其經驗回歸方程的擬合效果的是（）

A.平均數B.相關系數廠C.決定系數尺2D.方差

2.已知｛凡｝是等比數列，5,是其前幾項和.若。1=3總=552,則為的值為（）

A.2B.4C.±2D.+4

3.關于復數z與其共輒復數彳，下列結論正確的是（）

A.在復平面內，表示復數z和彳的點關于虛軸對稱

B.z-z>0

C.z+N必為實數，z—N必為純虛數

D.若復數z為實系數一元二次方程狽2+公+c=。的一根，則彳也必是該方程的根

22

4.已知M為雙曲線土-乙=1上一動點，則M到點（3,0）和到直線x=l的距離之比為（）

36

A.lB，72C，V3D.2

5.如圖，在四面體P—A3C中，平面A3C,AC，CB,PA=AC=23C=2,則此四面體的外接球表

面積為（)

p

A.3兀B.9兀C.36兀D.48兀

6.某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入大額存款劭元，按照復利計算10年后得到

的本利和為40,下列各數中與4k最接近的是（）

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

7.已知函數/（x）=sin（0x）+Gcos（ox）,若沿％軸方向平移〃龍）的圖象，總能保證平移后的曲線與直線

y=l在區間[0,可上至少有2個交點，至多有3個交點，則正實數。的取值范圍為（）

A\-之8、「010、C「,[1-0,4八jD.J[2,4八）

8.過點P（-l,0）的動直線與圓C:（x—of+（y—2）2=4（。〉0）交于AB兩點，在線段AB上取一點。，使

112,,「

得囪「回「正到，已知線段忸0的最小值為及，則。的值為（）

A.lB.2C.3D.4

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.下列函數的圖象與直線y=x+l相切的有（）

A.y=exB.y=Inx

C.y=sinx+lD.y=x3+l

10.在中，角A,8,C所對的邊分別為a,。,c,且c=Z?（2cosA+l）,則下列結論正確的有（）

A.A=2B

B.若a=6b，貝hABC為直角三角形

C.若ABC為銳角三角形，—------匚的最小值為1

tanBtanA

D.若ABC為銳角三角形，則金的取值范圍為(42其

a

11.如圖，點P是棱長為2的正方體ABC。—的表面上一個動點，尸是線段4耳的中點，則

A.若點尸滿足APJ.BC，則動點P的軌跡長度為4后

B.三棱錐A-尸與，體積的最大值為當

C.當直線AP與AB所成的角為45時，點尸的軌跡長度為兀+40

D.當P在底面ABCD上運動，且溶足〃平面4cA時，線段產尸長度最大值為20

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

—1XgP

12.對于非空集合P,定義函數%（x）=,''已知集合A={x[0<x<l},8={x|/<x<2f},若存在

[1,XGP,

xeR,使得以（%）+%（￡）>0,則實數力的取值范圍為.

22221

13.已知橢圓[+與=15〉人〉0）與雙曲線二―==1,橢圓的短軸長與長軸長之比大于一，則雙曲線離

a"b'a~b~2

心率的取值范圍為.

14.函數/（x）=e&nx-ecosx在（0,2兀）范圍內極值點的個數為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（木小題滿分15分）

如圖所示，半圓柱的軸截面為平面8C是圓柱底面的直徑，。為底面圓心，44]為一條母線，E

為CG的中點，且AB=AC=A&=4.

(1)求證：OEAB1；

(2)求平面A耳E與平面30E夾角的余弦值.

16.(本小題滿分15分)

猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有4B,C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游

戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且

獲得本歌曲對應的獎勵基金.假設甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應的

獎勵基金如下表：

歌曲ABC

猜對的概率0.80.50.5

獲得的獎勵基金金額/元100020003000

(1)求甲按“A6,C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率;

(2)甲決定按或者兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期

望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.

17.(本小題滿分15分)

已函數f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c&R),其圖象的對稱中心為(1,一2).

(1)求a-b—c的值；

(2)判斷函數的零點個數.

18.(本小題滿分17分)

已知數列｛4｝的前〃項和為S“，滿足2s〃+%=3；數列｛2｝滿足勿+4+1=2〃+1,其中4=1.

(1)求數列｛。/，｛包｝的通項公式；

(2)對于給定的正整數，(，=1,2,?,〃)，在%和4+1之間插入，個數使如￡1，

。2,…,%，q+1成等差數列.

(i)求4=。11+。21+。22++Cn\+Cn1++Cnn；

m+2

(ii)是否存在正整數機，使得-------黑③恰好是數列｛為｝或｛2｝中的項？若存在，求出所有滿足條

b-1------------

2Tm-3

件的加的值；若不存在，說明理由.

19.(本小題滿分17分)

直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如x=療+1表示過點(1,0)的直線，直線的包絡曲線定義

為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某

條直線.

(1)若圓￡：必+丁=1是直線族樞x+〃y=l(%“eR)的包絡曲線，求利,72滿足的關系式；

(2)若點尸(毛，為)不在線族：Q(2a—4)x+4y+(0—2)2=0(。eR)的任意一條直線上，求為的取值范

和直線族。的包絡曲線石；

(3)在(2)的條件下，過曲線E上兩點作曲線上的切線I］，，其交點為P.已知點若

A,5c三點不共線，探究ZPC4=ZPCB是否成立？請說明理由.

湖南省2024屆高三九校聯盟第二次聯考

數學參考答案

命題學校：長沙市一中審題學校：雙峰縣一中

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的每個這項中，只有一項

是符合題目要求的）

題號12345678

答案CCDCBDAA

1.C【解析】平均致與方差是用來反饋數據集中趨勢與波動程度大小的就計量：變量y和x之間的相關系

數”的絕對值總大，則變量y和尤之間線性相關關系越強；用決定系數R來刻畫回歸效果，R越大說明擬合效

果總好：綜上選C

2.C【解析】S4=5S2,化簡得毋一q1=5磯q），整理得1+/=5,.-.q=±2,又

1-q1-q

%-％=a/一％=3,ax-1,a2=aiq=±2.故選C.

3.D【解析】對于選項A,表示復數z和N的點關于實軸對稱，故錯誤：對于選項仇選項G當z=0時均

不成立，故錯誤.故選。

4.C【解析】取雙曲線上一點（石,0）,則2=卜％）2+02,故選c

5.B【解析】將四面體P-A3C補形成長方體，長、寬、高分別為2,1,2,外接球直徑等于體對角線長故

2R=,所以外接球表面積為S=4兀斤=9兀.故選B.

6.D【解析】存入大額存款1元，按照復利計算，可得每年末本利和是以為旬首項，1+3%為公比的等比

數列，，所認%（1+3%）1°=q0,可得

10210

包=（1+3%）=C10+Cox0.03+CQX0.03++C；°xO.O3?1.34,故選D

7.A【解析】由題知，/（x）=2sin[ox+]J,若沿x軸方向平移，考點其任意性，不妨設得到的函數

g（x）=2sin（（z>x+^）,令g（x）=l,即sin（0x+°）=；,由正弦曲線性質知，sinx=1■至少有2解，至

多有3解，則自變量》的區間長度在2兀到.之間，耶2兀,，。兀<與，那選A.

8.A【解析】圓心C（a,2）,半徑為2,所以圓與了解相切，設切點為".則加（。,0）,連接PM,則

\PM\=a+l,貝U|PM|2=|PA||Pfi|=(a+l)2.

設AB的中點為。，連接CD,則CDLAB,

語圓心C列直線AB的距離為d,則Q,d<2,\P^+\PB\=\PD\+\AD\+\PD\-\AD\=2\PD\

11_2,，_(a+1)2_(?+l)2

由網+畫一匣i可得ID/J_&+1)2+4_/

(tz+1)~ID?i(a+1)2

因為0”d<2.所以,PQ\<I2=■

V(a+1)+4-0J(a+l)2+4-4

(a+1)2rr

因此/,^==(2,解得：。=1,故選A.

7(?+l)+4-0

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

題號91011

答案ACABDCD

9.AC【解析】選項A中，y=e*與y=x+l相切于點（0,1）；選項8中，y=Inx與y=x+1沒有交點;

選項C中，y=sinx+l與y=x+l相切于點(0,1)；選項。中，y=%工+1與y=%+1有三個交點，

(0,1),(1,2),(-1,0),均不是切點.

10.ABD【解析】對于A-ABC中，由正弦定理得sinC=2sirLBcosA+sinB,由sinC=sin(A+5),得

sinAcosB—cosAsinB=sinB.Bpsin(A—=sinB,由0<A,_B<TI,貝iJsinB〉。，故0<A—3<兀，所

以A—5=5或+3=即A=25或4=兀（舍去），即A=2B,A正確:

對于8,結合4=25和正弦定理知，一=芭絲=”-3053=@，又0<43<兀，數

sinAsin2BsinB2

7171

A=2B=-.C=~,8正確;

32

TTJTTT

對于C,在銳角AfiC中，0<3<一,0<A=23<—,0<。=兀一33<一,即

222

71?7TA/3?,

一<JB<一,—<taiiiB<1?

643

,,111l-tan2Bl+tan2B「上廿、口

故-----------=----------------=--------->11,。錯誤；

tanBtanAtanB2tanB2tanB

對于D,在銳角.ABC中，由巴<5（色，正<cos3<y5.

6422

csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB___1

—=------=--------=------------------------------=zcosn----------.

asinAsin2Bsin2B2cos5

c（Ji2百）

由對勾函數性質知，一e—,D正確；故選ABD.

aI23J

11.CD【解析】對A,易知與Cd.平面ABG2，Ae平面A3G2,故動點P的軌跡為矩形A§G2，動

點P的軌跡長度為40+4,所認A錯誤；

對B因為匕一心向=%_明4,而.AB】，的面積為定值2JL要使三棱錐尸-AB］。1的體積最大，當且僅當

點P到平面AAA距離最大，易知，點C是正方體意向到平面A5］。距離最大的點，

（匕—pgJmax=%-破4=|，8錯誤；

對C：連接AC,AB「以8為圓心，85］為半徑畫弧與C，如圖1所示，

當點P在線段AC,A片和弧4c上時，直線AP與AB所成的角為45，

又AC=辦笈+叱=&4=2叵AB［=小AB?+BB；=（4+4=20,

弧8。長度1x兀x2?=兀，故點P的軌跡長度為兀+4近，故C正確；

對D；取AA，RD,DC,CB,BB{,AB的中點分別為Q,R,N,M,T,H,

SQR,QF,FT,TM,MN,NR,FH,HN,HM,如圖2所示,

因為bT〃2CRT面D［BIC,u面231c,故fT〃面2耳。，

TM//B.C,面231cBeu面D］用C,故7M〃面。4。；

又FTcTM=T,FTTMu^FTM,故平面尸7M〃面。4。；

又。/〃NM,QR//TM,RN//FT,故平面廠力3衣。與平面廠力欣是同一個平面.

則點P的軌跡為線段MV：

在三角形引VM中，

FN=yjFH2+HN2=V4+4=2^2;FM=^FH2+HM2=74+2=屈;NM=&

則同以2+上加2=8=印2,故三角形RVM是以NTTWN為直角的直角三角形；

故FPa=FN=2叵,故EP長度的最大值為2忘，故D正確.故選：CD.

n

四2

三、填空題(本大題共3小題，年小題5分，共15分)

12.(0,1)【解析】由題知：人(力+人(％)可取±2,0,若以(%)+%(%)>().則以(力+%(%)=2,即

集合AC3W0,得0<1<1,郎方的取值范圍為(0,1).

sinvC0SXsinx+cosTsinxcosx

14.2［解析】/'(x)=e-cosx+esin%=e-—：—I--------

e-sinxecCOSx

/-TTXJT

當無時，fr(x)>0；當xe7t,—時，/(%)<0；

當xe]m，7t]時，"=5皿；和"=cosx均為單調減函數，又y=￡在〃e(-1,1)上是單調增函數，根據復合

函數單調性可知0(x)=噤+縷;為減函數丁=esmx+ssx〉0,又尸(W]<0,/(2兀)〉0,故函數f\x)

ee<2；

在該區間上存在一個零點，該零點為函數/（X）的極值點;

從而函數/（%）在（0,2兀）內一共有2個極值點.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.【解析】（1）由5c是直徑可知AB，AC,則A5C是是等腰直角三角形，故AOJL3C,

由圓柱的特征可知3片，平面A5C,又AOC平面A3C,所以B與LA。，

因為83]c=B,BB},BCu平面BCCXBX,則AO±平面BCCXBX,

而OEu平面BCCiB],則AO±OE,

因為AB=AC=A4,=4,則BC=血AB=4夜,「.402=+BO2=24,

OE2=OC-+CE2=12,B/2=EC；+BC2=36=BQE2,

t。+

所以4。LOE,

因為40_LOE,AO±OE,AOnBQ=O,AO,BQu平面ABXO,

所以OE,平面A耳。，又AB】u平面A耳。，故。ELAB].

（2）由題意及（1）易知A&,AB,AC兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系,

則4（4,0,4）,E（0,4,2）,0（2,2,0）,所以股=（4,0,4）,AE=（0,4,2）,AO=

（2,2,0）,

由⑴知49,平面片。E,故平面30E的一個法向量是40=（2.2,0）,

設”=（%,y,z）是平面A與E的一個法向量,

n-AB,=4X+42=0,

則有取z=-2nx=2,y=l,所以〃=（2,1,_2）,

n-AE=4y+2z=0,

設平面ABXE與平面B,OE夾角為氏

限A。_6

所以cos。=cos（n,AO

|n|-|AO|-272x32

則平面A與E與平面B{OE夾角的余弦值為叵.

2

16.【解析】1)設“甲按”，B,。的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E,

則尸(E)=0.8x0.5x0.5+0.8x0.5x0.5=0.4；

貝UX的所有可能取值為0,1000,3000,6000,

p(x=0)=1-0.8=0.2,

P(X=1000)=0.8x(l-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8x0.5x(1-0.5)=0.2

尸(X=6000)=0.8x0.5x0.5=0.2

所以石(X)=0x0.2+1000x0.4+3000x0.2+6000x0.2=2200；

則Y的所有可能取值為0,3000,5000,6000,

p(y=0)=0.5,

尸(F=3000)=0.5x(l-0.5)=0.25,

P(y=5000)=0.5x0.5x(1-0.8)=0.05

尸(F=6000)=0.5x0.5x0.8=0.2

所以石(F)=0x0,5+3000x0,25+5000x0,05+6000x0,2=2200.

參考答案一：由于￡>(X)=22002x0.2+12002x0.4+8002x0.2+38002x0.2=4560000,

Z)(y)=22002X0.5+8002x0.25+28002x0.05+38002x0.2=5860000,

由于D(y)>D(X),所以應該安裝“A,3,c”的順序猜歌名.

參考答案二：甲按“C,B,A”的順序猜歌名時，獲得。元的概率為0.5,大于按照“A,B,。'的順序猜歌名時

獲得。元的概率，所以應孩按照“A,B,的順序猜歌名.

其他合理答案均給分，

17.【解析】(1)圖為函教了(龍)的圖象關于點(L—2)中心付稱，故y=/(x+l)+2為奪函數,

從而有/(x+l)+2+/(—x+l)+2=0,即/(x+l)+/(—x+l)=-4.

f(x+1)=(x+1)3+a(x+1)2+3(x+l)+c=%3+(Q+3)x2+(2a+Z?+3)x+a+3+c+l,

f(1—x)=(1—+a(l—x)~+3(1—x)+c=—+(a+3)x2—(2a+/j+3)x+a+Z^+c+l.

2a+6=。，a=-3,

所以《解得故j=B

2a+2b+2c+2——4,

(2)法一：由(1)可知，/(x)=x3-3x2-cx+c,/,(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

當6—3時，/(%)為單調增函教，/(1)=-2<0,

,6)=c4-3c4-c3+c..9c4-3c4—c3+c=6c4—c3+c=4c4+卜，-/)+仔+c)>0,

函數7(%)有且僅有一個零點；

當—3<c<0時，/'(x)=0有兩個正根玉<%，滿足％+X3=2,玉?工2=—；>0,且3x；-6%-c=0,

數了(%)在區間(口,％)上單調遞增，在區間,9)上單調遞減，在區間(％，+。)上單調遞增，

/(xj=xf_3x；-1)(3尤;=-2玉(龍；—3X]+3^<0,/(3)=-2>0,

函數7(%)有且僅有一個零點；

當C=0時，"力=%3—3%2有兩個零點

當c>0時，/'(%)=0有兩個根石<0<%2，滿足%+兀2=2,%?々=—■|<0,

函數/(X)在區間(y,玉)上單調遞增，在區間(玉,9)上單調遞減，在區間(%,+8)上單調遞增，

/(^)>/(0)=00,/(^)</(1)=-2<0,

函致/(%)有且僅有三個零點；

綜上，當c>0時，函數7(%)有三個零點；當c=0時，函數了(九)有兩個零點；當c<0時，函數/(%)有

一個零點

3—12

法二：由(1)可知，/(X)=^-3X2-CX+C,/(1)=-2^0,今〃%)=0,則.J一“

x-1

r3-3r2

可以轉化為V=。與y=兩個這數圖象交點的個數,

x-1

322

x_3xz、,2x（x-3x+3）

今"（x）=1（xHl）'則1（x）=（1）2~-，

故/z（x）在區間（-。,0）上單調遞減，在區間（0,1）上單調遞增在區間（L+。）上單調遞增,

當x單調遞增+8時，h（x）=犬（1）>X2,A（X）趁于+8；可0）=0;

當尤趨于1且比1小時，M%）趨于+00：當X趨于1且比1大時，//（無）趨于-力：

2

x(x-3)>^-X2,/2(X)趨于+”.

當X單調遞增+“時，/z（x）=

x-1

所以，當c>0時，有三個交點；當c=0時，有兩個交點；當c<0時，有一個交點.

綜上，當c>0時，函數了（九）有三個零點；當c=0時，函數/（九）有兩個零點；當c<0時，函數/（%）有

一個零點.

注意，如果是保留參數6,則答案為:

當6>0時，函數八力有一個零點；當6=0時，函數4》）有兩個零點；當6<0時，函數九）有三個零

點.

18.【解析】（1）由2s=3①，當〃..2時,2S“T+O“T=3②，

①-②得2an+an-an_x=O..\an=2）,

當Yl—\時，2%+Q]=3,..q=1,

.??｛。”｝是首項為1,公比為g的等比數列，故怎

由勿+4+1=2〃+l③.由4=l

得8=2,又n+1+a+2=2九+3④.

④-③得a+2-勿=2,

｛d｝的所有奇數項構成首項為1,公差為2的等差數列：所有偶數項構成首項為2,公差為2的等差數列.

得Z?2M=l+(〃—l)x2=2〃一1,62n=2+(〃—l)x2=2〃,/.b〃=〃(〃EN*)

n-l

,*

綜上：an=,bn=n(neN

(2)(i)在。〃和4+i之間新入二個數0,或2,…,c加,使。九,％,%2,…,c〃九,。〃+1成等差數列,

n—1

設公差為4,則%+1一%2

4

n(n+2)-1n+13"5+1)

2k§_n2n(n+1)2n

則C.=4+姐,=3”(“+1廣?才成一三

3"(n+l)23V

12

++%2++Cnn=2—1—7+

332

則'=212

-rH-T++

3233、

⑤-⑥得：g(=211n12〃+3

—I—++=1-可，

3323^

7

n-1

)，又T=2"+3

(ii)由(1)也二n(neN)"22x3"

4T+L

4+2m-l+3m+]

由已知

加一］_包土3吁1+3"，

2T「3

_-iiom+l

假設"T”是數量列｛4｝或也｝中的一項,

m-1+3m

不妨設"L1+3"=左(左〉0,〃zeN*

),二(左_1)(m_1)=(3—左)位,

機-1+3”\

n-l

因為L03">0?eN*，所以1<￡,3,而4”1，

m+1

m_i+3.、

所以〃z1十,不可能是數列｛4｝中的項.

m-l+3w

_i3m+1、

假設m+是｛(2｝中的項,則左eN*.

m-1+3m

當左=2時，有機一1=3很，即千=1,令/W)=h"W+l)-/(m)=升—千=3，〃+i,

當加=1時，/(1)</(2)；當祖.2時，f(m+1)-/(m)<0,/(I)<f(2)>f(3)>f(4)>,由

]-ryi_1

/⑴=0"(2)=3知k=1無解?

_13m+1,、

當左=3時，有加—1=0,即加=1.所以存在m=1使得7?1"上+J=3是數列也｝中的第3項.

機一1+3”

故存在正整數m=1使得-------素行是數列｛2｝中的第3項.

b-1-------

m

2Tm-3

19.【解析】⑴由定義可知，7nx+“、