銅川市2024年高三質量檢測卷

數(shù)學(理科)

全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

相旃

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形蹄貼在答題卡上的

轆回

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草頻和答題卡上的非答題

區(qū)域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇用黑色簽字筆在答題卡上作

答；字體工整，筆跡清楚。

4.考神束后，請將試卷和答題旨-并上交。

5.本卷主要考查內容：高考范圍。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若集合河=卜辰—1>5},N={xeN[-l<x<5},貝”他3/)03=()

A.{04,2.3}B.{1,2,3}

C.{0,L2}D.{1,2}

2.已知復數(shù)(l+2i)(二-1)=一2+i,則舊=()

A.72B.2C.⑺D.

3.從1,2,9這九個數(shù)字中任取兩個，這兩個數(shù)的和為康數(shù)的概率為()

A1=4「1「13

A.?—H■—(/?,lx?,

391836

4.已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的9倍，則它的側面積擴大為原來的()

A.6倍B.3倍C.3A5倍D.9倍

5.已知月，3是OC：(x—2)2+(J，-4)2=25上的兩個動點，尸是線段，仍的中點、，若|且3|=6,則點尸的

軌跡方程為()

A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(x-4)2+(y-2)2=11

6.已知函數(shù)〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(x)=e\則/(ln2)=()

A.-2B.2C.--D.-

22

7.設廠為拋物線。：丁=入的焦點，點尸在拋物線上，點。在準線/上.滿足產軸.若|尸@=|QF|,

則附|=（）

A.2B.2gC.3D.3君

8.在遞增等比數(shù)列｛?。?，其前〃項和為邑，且6小是為和火的等差中項，則11=（）

S3

A.28B.20C.18D.12

9.已知函數(shù)/（x）=2sin；｝0>0）且滿足了；=貝I」。的最小值為（）

A.-B.-C.1D.2

23

1ffn

10.已知函數(shù)/（“滿足/*（切111》+《I/（力<0（其中/*（可是/（》）的導數(shù)）,若。=1/e2I，b=fe3,

（i>

c=fe",則下列選項中正確的是（）

\7

A.6a<46<3cB.6a<3c<46

C.4b<6a<3cD.4b<3c<6a

11.正四棱錐P-ABCD內有一球與各面都相切，球的直徑與邊AB的比為4:5,則PA與平面W3C。所成

角的正切值為（）

.5口萬r2072八1/

A.—B.yjlC.-----D.----

499

12.已知斜率為6的直線,經過雙曲線C:*-晨=1>04>0）的右焦點F,交雙曲線C的右支于/,

a0

方兩點，目善=6而，則雙曲線的離心率為（）

人67尸10

A■BD?C?D?

5573

二、填空匙本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量石=。-2,3）,5=（3-1）,且（石+2可48,則同=.

14.已知銳角a,/7滿足sina=1,cos/?=|,則cos（a-0=

15.如圖所示是一系列有機物的結構簡圖，途中的“小黑點”表示原子，兩黑點、間的“短線”表示化學鍵，按

圖o中結m構第n個圖o的化學n鍵和原子的…個數(shù)之和為______個.(用含〃的代數(shù)式表示)

(1)(2)⑶⑺

15.已知函數(shù)〃x)=[a(x-l)-21nx]e，在已收)上單調遞熠，則實數(shù)。的取值范圍為.

三、解答黑共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

清明節(jié)，又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等是傳統(tǒng)的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖先，是中華民族

自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng).某社區(qū)進行流動人口統(tǒng)計，隨機抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖，得到如下

不完整的2x2列聯(lián)表：

回老家不回老家總計

50周歲及以下55

50周歲以上1540

總計100

(1)根據(jù)統(tǒng)計完成以上2x2列聯(lián)變，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計該社區(qū)流動人口中50周歲以上的居民今年回老家

祭祖的概率；

(2)能否有99.9%的把握認為回老家祭祖與年齡有關？

參考公式：H=g+b)(cL)(a+)c)("d),其中〃=A°+c+,

參考數(shù)據(jù)：

尸①法)0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

18.(本小題滿分12分)

在△dffC中,內角4>B>C的對邊分別為a,b>c〉tanJtanB+tanJtanC=3tanBtanC.

(1)證明：3c2+3tr=5cr；

(2)若。=巫，當d取最大值時，求△以8。的面積.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，側面R4CJ■底面.45C,且△-1BC為等邊三角形，PA±PC,APAC=1，

6

。為R4的中點.

（1）求證：;

（2）求直線班與平面P5C所成角的正弦值.

20.（本小題滿分12分）

已知橢圓C：:+二=1（。>>>0）的左、右焦點分別為石，片，點j-L史'在橢圓C上，且橢圓。的離

abt2J

心率為*?

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）相互垂直且斜率存在的直線4,乙都過點B（L0）.直線］與橢圓C相交于產，。兩點，直線"與橢圓。

相交于M,N兩點，點。為線段尸0的中點，點E為線段MV的中點，證明：直線OE過定點.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）=lnx+3—0.

XX

（1）若4=0,求/（X）在點（L/（l））處的切線方程；

（2）若不，巧（演〈電）是“X）的兩個極值點、，證明：*'L〃七）<2_.

再—%24a

（-）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選中作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為=1+（a為參數(shù)）.以坐標原點為極點，x軸的正

y=sina

半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為P=-2sin6.

<i）求曲線G的極坐標方程和曲線G的直角坐標方程；

（2）設直線/：擊》+1，=。與曲線G，G分別交于/,方兩點（異于極點），求線段一仍的長度.

23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知a>0,b>Q,函數(shù)〃x)=b+a|+k-b|的最小值為2,證明:

2

(1)3cr+b>3)

41

⑵f3。

銅川i|f2024年高三質量檢測卷?數(shù)學(理科)

參考答案、提示及評分細則

1.B由題意知乂={司2》一1>5}={》卜>3},N={xeN[—l<x<5}={L234},所以

◎M)nN={123}.故選B.

-2+i?.(_2+il?]

2.Ay+l=l+i,則目=#.故選A.

l+2i-(l+2i)(l-2i)

3.C和為質數(shù)有(L2),(L4),(2.3),(1,6),(2,5),(3,4),(2,9),(3.8),(4,7),(5,6),(4,9),(5,8),(6,7),

(89)共14種情況，因此概率為2=[.故選C.

Cg18

4.B設圓柱的高為h,底面半徑為r,則體積為加明，體積擴大為原來的9倍，則擴大后的體積為9m4,

因為高不變，故體積9何%=兀(3廠)2%，即底面半徑擴大為原來的3倍，原來側面積為2m力，擴大后的圓柱

側面積為2大3泌=6用力，故惻面積擴大為原來的3倍.故選B.

5.C因為中點為尸，又|融|=6,所以|。?|=/25-(9)=4,點尸在以C為圓心，4為半徑的圓上,

其軌跡方程為(X—2)2+3—4)2=16.故選C.

6.C因為函數(shù)〃力是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(ln2)=-/(Tn2)=-e-s2=_：.故選C.

7.A依題意,\PQ\=\QF\=\PF\,△尸。F為等邊三角形，二|尸尸|=|尸0|=4。尸|=2.故選A.

8.A根據(jù)題意得12生=/+勾，12=q+/,解得g=3或g=T(舍)，則

?(1-5)

爭=—:{=]+5=]+33=28,故選A.

s3q(1一月1一二

1-q

仔-x卜小一看可知：〃力關于X弋對稱，故0彳+1

2

時,。取最小值為§.故選B.

10.Af(x)lnx+—/(x)<0=>j^/(x)lnxj<0,令g(x)=/(x)lnK>則g'(x)<0在(0,例)上恒成

(i\/i>(］、］

立，故g(x)在(0,+co)上為減函數(shù)，故ge:<ge3<g\e4,則

<7\7\7

(1(1(1iii

fe:lne:<fe3Ine3<fIn￡,故一a<—b<—c,即6a<4b<3c.故選A.

I)I7I；234

11.C設球心為O,。在平面A5CO內的射影為H,M■為BC中點，()HLPM于E,半徑為r,

5vh—?,h50

.4B=-r=x,PH=h,^/\POE^>/\PMH=>-=-=■,=

2

tm/PAH=L=巫/?故選C.

AH5r9

P

A

AB

［出+

x=—y+c,

12.C設/(甬J。,3(七,當)，直線，的方程為x=9+c,其中c?

=〃+〃，聯(lián)立，3,得

《上=L

L2b2-

(b1-3a2)y2+Z^b^cy+Sb4=Q.：.y+y=~i_2>J'M=*_3

12b3(］2,由Q=6FB，得=-6J、>

即2i=_6,.』+x=W，即^￡=§,

整理得

y2y2H6yxy263b

b2-3a2

c2_100

,一離心率c=￡=當.故選c.

a*49a7

13.3匹,+記=(f+4/)，?.?(3+2b)#%二一(7+4)=3,解得，=一7,二不=(一9,3),同=3癡.

14.二^由sinc=1,cos/7=*,a,月均為銳角，得8$。=二^,sin月=，，則

cos(tz-/5)=

15.9〃+3由圖，第1個圖中有6個化學鍵和6個原子；

第2個圖中有11個化學鍵和10個原子；

第3個圖中有16個化學鍵和14個原子，

觀察可得，后一個圖比前一個圖多5個化學鍵和4個原子，

則第〃個圖有6+5（〃-1）=5〃+1個化學鍵和4〃+2個原子，所以總數(shù)為9”+3.

222

16.[2+<x))f(x)=a--+^(x-l)-21nxex=av---21nxex>0RPav---21nx>0>對

sLxJLxJx

/、_/、,22

xe(L+oo)恒成立,當。之2時,ax---2Inx>2x---21nx=g(x)>

XX

727y2_7

gf(x)=2+4--=------2-->0,故g(x)>g(l)=o符合題意，當a<2時，g(l)=。一2<0,

XXX

3?7?€（13+<?）,在（L冽）上,g（x）<0不合題意,故。22.

17.解：（1）補全表格如下:

回老家不回老家總計

50周歲及以下55560

50周歲以上152540

總計2080100

該社區(qū)50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為1弓5=g3：

408

力.”「00x(5x25-15X55)2」225

.A.=-----------------------=-?---1--2-,760>10.828,

20x80x60x4096

.?.有99.9%的把握認為是否回老家祭祖與年齡有關.

sinA\sin5sinCsinBsinC

18.(1)證明:tanAtan5+tanAtanC=3tan5tanC=>

cos-4\cos5cosCcosBcosC

則sin(5+C)sinyl=3sinBsinCcosA>

jfijsin(5+C)=sinyl)

故sint4=3sin5sinCcos4>

故/=35ccosyl=^-(62+c2-a1))

故"2+%=5入

2<

當且僅當b=c時，乙4取最大值,此時，6〃=方目6b2=5（T=75,則/=奇

故S-=2csin/=L乩叵=也.

32254

19.（1）證明：如圖，取AC中點E,連接QE,BE,

?.?△23。為等邊三角形，二BELAC,

又側面24C_L底面X3C,3Ku底面NBC,側面PNCD底面.鋁。=且。，

/.BE_L平面PAC.'：PAu平面PAC,BELPA,

又。，E分別為R4,.4。中點，二。E〃PC,

又R4_LPC,

;DECBE=E,。及￡石<Z平面班底，,上4_1平面31元，

又助匚平面也加，二川_￡3。；

（2）解：以石為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設等邊△以8。的邊長為4,

二3僅在0,0),C(0.2.0),P(0,l,^3),q0,-1,

定=(O,LM)，cs=(2^-2so),

設平面PBC的法向量為n=（xj,二），

PCn=0,y-g二=0,

則即！則可取方=（L4」），

CBn=Q,12&-2y=0,

?■?lcos兩小解=琉%=嗜

二直線助與平面P5C所成角的正弦值為淮1.

65

A

20.解：（1）設點石，目的坐標分別為（一60）、（c,0）.

13,

~~5-+---T=L

a1462。=2,

由題意有“<?=a2-b2,解得，6=L

c_上.c=a

a~~23

故橢圓C的標準方程為—+y2=lj

4

<2）證明：謾直線4的斜率為左（左工0）,可得直線乙的斜率為-!，

k

設點。的坐標為（2力i）,點石的坐標為（為,乃）>

直線/】的方程為.y=Mx—l）,

X248左24M

聯(lián)立方程彳+，’='消除］，后有（4好+i）f-8好x+4二一4=0,有2再=可得再

4P+14左一+1

j=k（x-l）,

由對稱性可知直線DE所過的定點T必定在x軸上，設點T的坐標為（力0）,

kk

有$_=上，有f+4=為+1,化簡得（5博+5上=4倍+4,解得，=?

巧T七一」__t4k5

為2+44左？+1

故直線過定點;;”

21.解：(1)當a=0時，/(x)=lnx+-,/(x)=^,/(l)=3,/(1)=-2,

XXT

所以在(L/⑴)處的切線方程為2x+y—5=03

(2)證明如下：由題意可知再，巧(再〈巧)是方程f-3x+2a=0的兩個不等的正實數(shù)根,

.二毛+毛=3,再為=2a)

.3a（3a

〃再）-小）「再+二工g+/對

_In^-lnxj3。(再+巧)

玉一天

Inx1-Inx.33aInx-InXj3

=---------———+—=---------———