山西省西安中學2024屆高考沖刺模擬數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

C2、

1.已知偶函數/(%)在區間(—8,0］內單調遞減，a=/(log0百)，b=fsin，貝!I。，b,

c滿足()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

2

2.已知復數2=幣‘其中】為虛數單位,則目=<)

A.B.73C.2D.V2

3.已知集合”=任卜l〈xV2},N={x|x(x+3)<0},則)

A.[-3,2)B.(-3,2)C.(-1,0]D.(-1,0)

4.設函數/Xx)的定義域為R,滿足/(x+2)=2/。)，且當xe(0,2］時，/(x)=—%(%-2).若對任意xe(―8,列),

40

都有了(九)<至，則加的取值范圍是().

91923

A.—00,—B.—co,——C.(-co,7]D.—00,——

433

5.已知在平面直角坐標系xQy中，圓G：+(y-nz-6)2=2與圓C2：(x+l)~+(y-2j=1交于A,3兩

點，若|。4|=|。用，則實數機的值為()

A.1B.2D.-2

x-<iy+3>0

6.已知y=or+人與函數/(x)=21nx+5和g(x)=12+4都相切，則不等式組<7。八所確定的平面區域在

x+by-2>0

_?+丁+2%—2y—22=0內的面積為()

A.171B.3nC.6?D.\2兀

7.已知復數Z]=cos23+zsin23和復數Z2=cos37+zsin37,貝!Jzjz2為

叵iB,@+LD,是一,

22222222

8.如圖，在三棱柱ABC-43]G中，底面為正三角形，側棱垂直底面，AB=4,A41=8.若￡,歹分別是棱5與CC

上的點，且3￡=與后，￡F=；CG，則異面直線4E與A尸所成角的余弦值為()

A.叵B.叵C.巫D.叵

10131310

V(m)+/(n-2)>0

9.已知奇函數/(%)是R上的減函數，若以〃滿足不等式組/(m-1)?0，則2m—”的最小值為()

/(m)<0

A.-4B.-2C.0D.4

10.已知定義在R上的函數/(x)=x?2W,a=/(log3^),^=-/(log31),c=/(ln3),則a,b,c的大小關

系為()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

11.已知復數z滿足z—N=o,且z-2=9,則2=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

12.在棱長為。的正方體ABC。—A4Gq中，E、尸、”分別是A3、AD.A4的中點，又尸、。分別在線段4月、

4。上，且AP=AQ=根(0(根＜a)，設平面MEbf平面MPQ=/,則下列結論中不成立的是()

A.///平面3。。用B.ILMC

C.當機=@時，平面砂D.當m變化時，直線/的位置不變

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(x+1)，的展開式中/的系數為.

IT1TT

14.若sin(cr+—)=一一，1￡(0,兀),貝！Jcos(-----a)=__________.

6312

15.已知復數zi=l-2i,Z2=a+2i(其中，是虛數單位，aGR),若ziz是純虛數，則〃的值為.

16.已知等比數列｛。“｝的各項都是正數，且3a2，；%，4%成等差數列，則/。82(。3+/)+%)=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐尸-A5CD中，底面ABC。是矩形，〃是K4的中點，平面ABCD,且

PD=CD=4,AD=2.

(1)求AP與平面CMB所成角的正弦.

(2)求二面角M—CB—尸的余弦值.

18.(12分)已知函數/(x)=|x—1|-2,+3].

(1)求不等式/(%)<1的解集；

(2)若存在實數x,使得不等式機2—3加-/(x)<0成立，求實數機的取值范圍.

19.(12分)已知函數/(x)=r^——(?>0).

廣一ax+1

(1)當a=0時，試求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線；

(2)試討論函數/(尤)的單調區間.

20.(12分)已知函數/(》)=日sinx+c嗯[(-R).

(1)當xc[0,刃時，求函數的值域；

(2)八A6C的角A,瓦C的對邊分別為”,"。且°=石，/(C)=1,求A5邊上的高//的最大值.

21.(12分)已知六面體ABCDEF如圖所示，跖1平面ABC。，BE//AF,AD!IBC,BC=1,CD=后,

FM1

AB=AF=AD=2,M是棱ED上的點，且滿足——=一.

MD2

(1)求證：直線〃平面M4C；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

22.(10分)某市環保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每一位市民僅有一次參加機會，通

過隨機抽樣，得到參加問卷調查的1000人的得分(滿分：100分)數據，統計結果如下表所示.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數2515020025022510050

(1)已知此次問卷調查的得分Z服從正態分布N(〃,210),〃近似為這1000人得分的平均值(同一組中的數據用該

組區間的中點值為代表)，請利用正態分布的知識求尸(36<Z<79.5)；

(2)在(1)的條件下，環保部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案.

(i)得分不低于〃的可以獲贈2次隨機話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機話費；

(ii)每次贈送的隨機話費和相應的概率如下表.

贈送的隨機話費/元2040

3_j_

概率

44

現市民甲要參加此次問卷調查，記X為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列及數學期望.

附：7210?14.5>若X,則X<〃+cr)=0.6827,P(/z-2a<X<//+2cr)=0.9545,

—3。<XW〃+3cr)=0.9973.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

2

首先由函數為偶函數，可得函數/（%）在［0,+8）內單調遞增，再由log06>sin7C3,即可判定大小

>7

【詳解】

因為偶函數“X）在（7,0］減，所以/（%）在［0,+w）上增,

2

log在百>1，713

sinee,c<b<a.

144°4

故選:D

【點睛】

本題考查函數的奇偶性和單調性，不同類型的數比較大小，應找一個中間數，通過它實現大小關系的傳遞，屬于中檔題.

2、D

【解析】

把已知等式變形，然后利用數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算得答案.

【詳解】

22（1-/）

解：Z=T77=（I+,?）（-）=一，

則|z|=V1+1=V2.

故選：D.

【點睛】

本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題.

3、C

【解析】

先化簡N={x|x(x+3)<0}={x|-3￡r<0},再根據M={?-l<x<2},求兩集合的交集.

【詳解】

因為N={x|x(x+3)<0}={x|-3<r<0}>

又因為M^{x\-l<x<2},

所以MAN={x|-1<爛0}.

故選：C

【點睛】

本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

4、B

【解析】

求出/'(*)在xe(2",2〃+2]的解析式，作出函數圖象，數形結合即可得到答案.

【詳解】

當xe(2〃,2〃+2]時,x-2n&(0,2],/(x)=2"(x—2〃)=—2"(x—2〃)(x—2〃—2),

40

/(X)max=2"，X4<y<8,所以加至少小于7,此時/(X)=—23(X—6)(X—8),

令/(x)=3得—23(x—6)(x—8)=],解得X=?或X=?,結合圖象，故機

故選：B.

【點睛】

本題考查不等式恒成立求參數的范圍，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.

5、D

【解析】

由|Q4|=|O用可得，。在AB的中垂線上，結合圓的性質可知。在兩個圓心的連線上，從而可求.

【詳解】

因為|。4|=|。石，所以O在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，0(0,0),G(阿加+6),G(—L2)三點

m+6

共線，所以一^=-2,得m=-2,故選D.

m

【點睛】

本題主要考查圓的性質應用，幾何性質的轉化是求解的捷徑.

6、B

【解析】

根據直線丁=奴+人與/(%)和g(x)都相切，求得a,6的值，由此畫出不等式組所表示的平面區域以及圓

x2+y2+2x-2y-22^0,由此求得正確選項.

【詳解】

,2.2

/'(%)=—,g'(x)=2x.設直線y=ax+Z?與“X)相切于點A?,21nx0+5),斜率為一，所以切線方程為

X/

22.21(1)1

y-(21nx0+5)=—(x-x0),化簡得y=—％+2111%+3①.令g(x)=2x=—，解得x=—，g一=—+4,

211

所以切線方程為y——+4=—x——,化簡得丁=一九—二+4②.由①②對比系數得21nx0+3=一二+4,

[天)xo<xoJx0x0x0

化簡得21n%+J—1=0③.構造函數％(x)=21nx+g—l(x>0),"(x)=2=2(「(1),所以從同在

(0,1)上遞減，在(L+⑹上遞增，所以可尤)在x=l處取得極小值也即是最小值，而從1)=0,所以〃(尤)=0有唯一

x-ay+3>Qfx-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解毛=1.所以切線方程為y=2x+3.即a=2力=3.不等式組《「°八即/"八，

\x+by-2>0[x+3y-2>0

2

畫出其對應的區域如下圖所示.圓爐+V+2》_2y—22=0可化為(x+lp+(J；-1)=24,圓心為A(-l,l).而方程

x-2y+3=0fx=-lfx-2y+3>0

組/c八的解也是，?畫出圖像如下圖所示，不等式組0c八所確定的平面區域在

x+3y-2=0[y=l[x+3y-2>Q

f+V+2x—2y—22=0內的部分如下圖陰影部分所示.直線x—2y+3=0的斜率為；，直線x+3y—2=0的斜率

11

1----1--

為一：.所以tan4AC=tan(NA￡D+N/4￡>E)='y'=l,所以/氏4。=?,而圓4的半徑為@=26，所

1--X—

23

以陰影部分的面積是:xfx(26『=3乃.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查根據公共切線求參數，考查不等式組表示區域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計算，考

查扇形面積公式，考查數形結合的數學思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.

7、C

【解析】

利用復數的三角形式的乘法運算法則即可得出.

【詳解】

ziZ2=（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）=cos60°+isin60°=—+烏

'一22

故答案為C.

【點睛】

熟練掌握復數的三角形式的乘法運算法則是解題的關鍵，復數問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數的對應關系,

點的象限和復數的對應關系，復數的加減乘除運算，復數的模長的計算.

8、B

【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線4E與AE所成角的余弦值.

【詳解】

依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設A3的中點為。，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以

A（0,-2,8）,E（0,2,4）,A（0,-2,0）,F（-273,0,6）,所以4石=（0,4,—4）,AF=卜26,2,6）所以異面直線人也與

\E-AF8—24_V26

AF所成角的余弦值為

MM472x2713—13

故選：B

【點睛】

本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.

9、B

【解析】

根據函數的奇偶性和單調性得到可行域，畫出可行域和目標函數，根據目標函數的幾何意義平移得到答案.

【詳解】

m<2-n

奇函數/（尤）是R上的減函數，則"0）=0,m-n-l<Q,畫出可行域和目標函數，

m>0

z=2m—n,即〃=2根—z,z表示直線與y軸截距的相反數，

根據平移得到：當直線過點（0,2）,即加=0.〃=2時，2=2〃?-〃有最小值為-2.

故選：B.

【點睛】

本題考查了函數的單調性和奇偶性，線性規劃問題，意在考查學生的綜合應用能力，畫出圖像是解題的關鍵.

10、D

【解析】

先判斷函數在％>0時的單調性，可以判斷出函數是奇函數，利用奇函數的性質可以得到b=/(log32),比較

Iog36，bg32,ln3三個數的大小，然后根據函數在％>0時的單調性，比較出三個數”，"c的大小.

【詳解】

當尤>0時，/(%)=%-2|v|=x-2X=>/'(x)=2r+x-In2-2X>0,函數/XM在天〉。時，是增函數.因為

HX

/(-%)=-X-2=-X-2=-/(x)，所以函數/(%)是奇函數，所以有b=-f(log31)=/(-log31)=/(log32),

ln3>1>log3A/5>log32>0,函數/(尤)在尤>0時，是增函數，所以c>a>b,故本題選D.

【點睛】

本題考查了利用函數的單調性判斷函數值大小問題，判斷出函數的奇偶性、單調性是解題的關鍵.

11、C

【解析】

設2=〃+初，貝！二〃一次，禾(］用z-z=0和z-N=9求得a,/?即可.

【詳解】

設2=〃+初，貝!=a-bi,

因為z—5=0,則(a+切)一(a—次)=2次=0,所以b=o,

又zN=9,即a2=9,所以a=±3,

所以z=±3,

故選:c

【點睛】

本題考查復數的乘法法則的應用，考查共朝復數的應用.

12、C

【解析】

根據線面平行與垂直的判定與性質逐個分析即可.

【詳解】

因為473=4。=〃2,所以/3。//用2,因為瓜廠分別是45、40的中點,所以石尸//5￡>,所以尸。//班,因為面同￡戶

面MPQ=/,所以P。〃跳？//.選項A、D顯然成立；

因為BD//EF//1,6。_L平面ACQA，所以/，平面ACCX\，因為MCu平面ACQA，所以/J_,所以B項成

立；

易知AQ1平面MEF,AC1平面MP0而直線AG與&C不垂直，所以C項不成立.

故選：C

【點睛】

本題考查直線與平面的位置關系.屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、6

【解析】

在二項展開式的通項中令x的指數為2,求出參數值，然后代入通項可得出結果.

【詳解】

44r

(x+1)的展開式的通項為Tr+1=C]x-,令4—r=2nr=2,

因此，a+i)4的展開式中好的系數為c：=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查二項展開式中指定項系數的求解，涉及二項展開式通項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

14、

6

【解析】

因為(。+5+?所以②一]=；一(1+5?因為°￡(。，兀)，所以1+又sin(o+g)=-：<0,所

6124124666663

以。+工￡（兀,-^）,所以

66

7120/71、R7LJI、、71/71、.71./71、

--------,cos(------a)=cos[----(a+—)]=cos—cos(cr+—)+sm—sm(a+—)

6312464646

-4-A/2

6

15、-1

【解析】

a+4=0

由題意馬/2=。+4+（2-2a?,令°°八即可得解.

2—2aH0

【詳解】

Vzi=l-2i,Z2=a+li,

/.Zj-z2=(1-2i)(a+2z)=a+4+(2-2a)i,

_a+4=0

又z『Z2是純虛數，?八，解得：a--1.

2-2aw0

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了復數的概念和運算，屬于基礎題.

16、-2

【解析】

根據等差中項性質，結合等比數列通項公式即可求得公比；代入表達式，結合對數式的化簡即可求解.

【詳解】

等比數列｛%｝的各項都是正數，且3a2,g/，4al成等差數列，

則%-3%+4%,

由等比數列通項公式可知qq?=3au+4q,

所以/_3q_4=0,

解得q=4或q=-l（舍），

所以由對數式運算性質可得

Zog2（a3+4）-（。4+。5）

,a,q2+a,q3,1

="暇仁方=/限7

,1。

=lo§24=2

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查了等差數列通項公式的簡單應用，等比數列通項公式的用法，對數式的化簡運算，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

4

17、（1）y.

⑶3710

⑵F

【解析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標系，然后求出面的法向量和已知線的向量，再結合向量的夾角公式求解即可；（2）

先分別得出兩個面的法向量，然后根據向量交角公式求解即可.

詳解：

（1）???ABC。是矩形，

AAD1CD,

又；平面ABC。，

APD±AD,PD±CD,即P￡>,AD,CO兩兩垂直，

...以。為原點，DA,DC,0P分別為％軸，y軸，z軸建立如圖空間直角坐標系，

由尸。=CD=4,AD=2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,￡>（0,0,0）,P（0,0,4）,M（l,0,2）,

則北=（一2,0,4）,BC=（-2,0,0）,MB=（1,4,-2）,

設平面CMS的一個法向量為&=（%,%，4）,

BCn.=0-2x=0

則《，即L+“2【0'令"I'得當=°'…，

MB?々二0

：?勺=(0,1,2),

?cos(AP,\n[,8_4

2>/5-A/5-5)

4

故AP與平面CMB所成角的正弦值為j.

(2)由(1)可得PC=(O,4,T),

設平面PBC的一個法向量為巧=(x2,j2,z2),

BCn2=—2x?=0

即4f令%=1，得冗2=°，

PC%=o4%-4z2=0

:.%=(0,1,1),

3_3廂

..cosq%%6友一10

故二面角M-CB-P的余弦值為上叵.

10

點睛：考查空間立體幾何的線面角，二面角問題，一般直接建立坐標系，結合向量夾角公式求解即可，但要注意坐標

的正確性，坐標錯則結果必錯，務必細心，屬于中檔題.

18、(1)(-co,-6)l(-2,+oo)；(2)(-1,4).

【解析】

(1)將函數y=/(九)的解析式表示為分段函數，然后分xW—3、—3<x<l、1?1三段求解不等式/(%)<1,綜合

可得出不等式的解集；

(2)求出函數y=/(x)的最大值/(1)1mJ由題意得出加—3w</(x)111ax,解此不等式即可得出實數心的取值范

圍.

【詳解】

x+7,x<-3

?'/(x)=|x-l|-2|x+3|=<-3x-5,-3<x<l.

—x—7,%21

(1)當xW—3時，由/(x)=x+7<l,解得x<-6,此時x<-6；

當一3<%<1時，由=解得］>-2,此時一2<%<1；

當時，由/(%)=—*一7<1,解得x>—8,此時xNl.

綜上所述，不等式八%)<1的解集(f,-6)!(―2,轉)；

(2)當3時，函數〃x)=x+7單調遞增，則3)=4；

當—3<x<l時,函數/(%)=-3x-5單調遞減,則/⑴</(%)</(—3),即-8</(x)<4；

當時，函數/(X)=—x—7單調遞減，貝!|/(x)W/(—l)=—8.

綜上所述，函數y=/(x)的最大值為=/(-3)=4,

由題知，m2-3m<f(x)^=4,解得一1<相<4.

因此，實數隙的取值范圍是(—L4).

【點睛】

本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了絕對值不等式中的參數問題，考查分類討論思想的應用，考查運算求

解能力，屬于中等題.

19、(1)y=x+l.(2)見解析

【解析】

(1)對函數進行求導，可以求出曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線

方程；

(2)對函數進行求導，對實數。進行分類討論，可以求出函數/(尤)的單調區間.

【詳解】

(1)當。=0時，函數定義域為R,=\(::2"'(0)=1,

(%+1)

所以切線方程為y=x+i；

x~-ax+l-2x+ajex(^x2-(a+2)x+l+a^ex(%-l)(%-(a+l))

(2)/(%)=-

(d-ox+l)(Y-ax+l)卜2-奴+1)

,ex(x-l)2

當。=0時，函數定義域為R,f(x)=(22°」/(x)在火上單調遞增

(x+1)

當ae(0,2)時，△=片一4<0,.“2—以+1>0恒成立，函數定義域為R,又a+1>1,，/(幻在(-0,1)單調遞增,

(1,1+a)單調遞減，(1+a,+8)單調遞增

當。=2時，函數定義域為(f,l)u(L+8),/'(力=小二2,，/(%)在(-8』)單調遞增，(1,3)單調遞減，(3,+8)

(x-l)

單調遞增

當ae(2,+oo)時，A=Q2—4＞。設式―依+1=。的兩個根為芯,多且占＜%，由韋達定理易知兩根均為正根，且

0＜占＜1＜》2，所以函數的定義域為(-00,%)口(9，+30),又對稱軸工="|＜。+1,且

(a+1)2—a(a+1)+1=a+2＞0x9＜a+1,

???/(%)在(—,石),(玉,1)單調遞增，。，尤2)，(%M+1)單調遞減，(l+a,+8)單調遞增

【點睛】

本題考查了曲線切線方程的求法，考查了利用函數的導數討論函數的單調性問題，考查了分類思想.

113

20、(1)---,1.(2)—

L2J2

【解析】

(1)由題意利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，得出結論.

(2)由題意利用余弦定理.三角形的面積公式.基本不等式求得ah的最大值，可得A6邊上的高〃的最大值.

【詳解】

癡,?、..十嶺、6.2%16-1+COSX1.(乃)

解：(1).函數f(九)=——sin%+cos------=--sin%+------------=sin%+—＞

2222226J

n77r

當xe[0,時，x+—e,sinx+—e

666I6?

(2)ABC中，c=6,/(C)=l=sin^C+|j/.c=1.

由余弦定理可得/=3=tz2+Z?2-2ab-cosC=a2+b2-ab..ab，當且僅當〃=b時，取等號，

即ab的最大值為3.

再根據SABC=5?也,”=gassing,故當ah取得最大值3時，〃取得最大值為

【點睛】

本題考查降易公式、兩角和的正弦公式，考查正弦函數的性質，余弦定理，三角形面積公式，所用公式較多，選用恰

當的公式是解題關鍵，本題屬于中檔題.

21、(1)證明見解析(2)I運

18

【解析】

(1)連接設BDcAC=O,連接M。.通過證明MO/ABF,證得直線平面以4C.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面MAC和平面MCD的法向量，計算出二面角A-MC-。的正弦值.

【詳解】

(1)連接3。，設BDcAC=O,連接M。,

因為AD〃3C,所以△BOCSA￡)Q4,所以空=422

OBBCT

4m.MD2DO

在一EBD中，因為標=,~OB

所以MO且MOu平面MAC,

故3尸〃平面MAC.

(2)因為AD〃3C,AB=2,BC=1,AD=2,CD=#),所以ABLAD,

因為5EAF,班1平面ABC。，所以”，平面ABC。，

所以AF_LAB,AFLAD,

取AB所在直線為％軸，取AQ所在直線為丁軸，取AF所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

由已知可得8(2,0,0),C(2,l,0),D(0,2,0),E(2,0,3),歹(0,0,2)

所以。E=(0,—2,2),因為——=—,

MD2

2(44、

所以。/=耳。歹=[0,一耳,耳，

所以點"的坐標為

所以AC=(2,1,0),AM=0,|,1,設加=(x,y,z)為平面MAC的法向量,

2x+y=0

m-AM=0

則n24八，令x=l,解