廣東省陸豐市甲子中學2025屆高一下數學期末經典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正方體中，、分別是棱和的中點，為上底面的中心，則直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．數列，通項公式為，若此數列為遞增數列，則的取值范圍是A． B． C． D．3．《趣味數學·屠夫列傳》中有如下問題：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：“有一個姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？”（）A． B． C． D．4．《九章算術》中有這樣一個問題：今有竹九節，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節容四升，下三節容二升，中三節容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升5．已知平面向量，且，則（）A． B． C． D．6．在中，已知三個內角為，，滿足，則（）．A． B．C． D．7．在邊長為的正方形內有一個半徑為1的圓，向正方形中隨機扔一粒豆子（忽略大小，視為質點），若它落在該圓內的概率為，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（）A． B． C． D．8．數列滿足，，則（）A． B． C． D．29．已知角的終邊經過點，則A． B． C． D．10．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．將一個圓錐截成圓臺，已知截得的圓臺的上、下底面面積之比是1:4，截去的小圓錐母線長為2，則截得的圓臺的母線長為________.12．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________．13．在直角梯形.中，，分別為的中點，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動（如圖）.若，其中，則的最大值是________.14．已知向量，，若，則實數___________.15．已知數列前項和，則該數列的通項公式______.16．在中，若，，，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，.（1）把表示為的形式，并寫出函數的最小正周期、值域；（2）求函數的單調遞增區間：（3）定義：對于任意實數、，設，（常數），若對于任意，總存在，使得恒成立，求實數的取值范圍.18．某地區有小學21所，中學14所，現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取5所學校，對學生進行視力檢查．（1）求應從小學、中學中分別抽取的學校數目；（2）若從抽取的5所學校中抽取2所學校作進一步數據分析：①列出所有可能抽取的結果；②求抽取的2所學校至少有一所中學的概率．19．已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求（1）過點A且平行于BC邊的直線的方程；（2）BC邊的中線所在直線的方程．20．已知直線的方程為，其中.(1)求證：直線恒過定點；(2)當變化時，求點到直線的距離的最大值；(3)若直線分別與軸、軸的負半軸交于兩點，求面積的最小值及此時直線的方程.21．已知等差數列滿足．（1）求的通項公式；（2）設等比數列滿足,求的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【詳解】解：先畫出圖形，將平移到，為直線與所成的角，設正方體的邊長為，，，，，，故選：．【點睛】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應用，屬于基礎題．2、B【解析】因為的對稱軸為,因為此數列為遞增數列,所以.3、D【解析】

根據題意，得到該屠戶每天屠的肉成等比數列，記首項為，公比為，前項和為，由題中熟記，以及等比數列的求和公式，即可得出結果.【詳解】由題意，該屠戶每天屠的肉成等比數列，記首項為，公比為，前項和為，所以，，因此.故選：D【點睛】本題主要考查等比數列的應用，熟記等比數列的求和公式即可，屬于基礎題型.4、B【解析】

由題意可得，上、中、下三節的容量成等差數列．再利用等差數列的性質，求出中三節容量，即可得到答案．【詳解】由題意，上、中、下三節的容量成等差數列，上三節容四升，下三節容二升，則中三節容量為，故選B．【點睛】本題主要考查了等差數列的性質的應用，其中解答中熟記等差數列的等差中項公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．5、B【解析】試題分析：因為，，且，所以，，故選B.考點：1、平面向量坐標運算；2、平行向量的性質.6、C【解析】

利用正弦定理、余弦定理即可得出.【詳解】由正弦定理，以及，得，不妨取，則，又，.故選：C.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．7、A【解析】

通過幾何概型可得答案.【詳解】由幾何概型可知，則.【點睛】本題主要考查幾何概型的相關計算，難度中等.8、C【解析】

根據已知分析數列的周期性，可得答案．【詳解】解：∵數列滿足，，∴，，，，故數列以4為周期呈現周期性變化，由，故，故選：C．【點睛】本題考查的知識點是數列的遞推公式，數列的周期性，難度中檔．9、A【解析】

根據三角函數的定義，求出，即可得到的值．【詳解】因為，，所以．故選：A．【點睛】本題主要考查已知角終邊上一點，利用三角函數定義求三角函數值，屬于基礎題．10、B【解析】，，．選B.點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

由截得圓臺上，下底面積之比可得上，下底面半徑之比，再根據小圓錐的母線即可得圓臺母線．【詳解】設截得的圓臺的母線長為.因為截得的圓臺的上、下底面面積之比是1:4，所以截得的圓臺的上、下底面半徑之比是1:2.因為截去的小圓錐母線長為2，所以，解得.【點睛】本題考查求圓臺的母線，屬于基礎題．12、【解析】

分析：先根據三角形面積公式求出母線長,再根據母線與底面所成角得底面半徑，最后根據圓錐側面積公式求結果.詳解：因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側面積為13、【解析】

建立直角坐標系，設，根據，表示出，結合三角函數相關知識即可求得最大值.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系：，分別為的中點，，以為圓心，為半徑的圓交于，點在上運動，設，，即，，所以，兩式相加：，即，要取得最大值，即當時，故答案為：【點睛】此題考查平面向量線性運算，處理平面幾何相關問題，涉及三角換元，轉化為求解三角函數的最值問題.14、【解析】

由垂直關系可得數量積等于零，根據數量積坐標運算構造方程求得結果.【詳解】，解得：故答案為：【點睛】本題考查根據向量垂直關系求解參數值的問題，關鍵是明確兩向量垂直，則向量數量積為零.15、【解析】

由，n≥2時，兩式相減，可得{an}的通項公式；【詳解】∵Sn＝2n2（n∈N*），∴n＝1時，a1＝S1＝2；n≥2時，an＝Sn﹣＝4n﹣2，a1＝2也滿足上式，∴an＝4n﹣2故答案為【點睛】本題考查數列的遞推式，考查數列的通項，屬于基礎題．16、2；【解析】

利用余弦定理可構造關于的方程，解方程求得結果.【詳解】由余弦定理得：解得：或（舍）本題正確結果：【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）（3）【解析】

（1）結合二倍角正弦公式和輔助角公式即可化簡；（2）結合（1）中所求表達式，正弦型函數單調增區間的通式即可求解；（3）根據題意可得，，求出的值域，列出關于的不等式組，即可求解【詳解】（1），，值域為；（2）令，解得，所以函數的單調遞增區間為，;（3）若對于任意，總存在，使得恒成立，則，，當，即時，，當，即時，，故，所以，解得，所以實數的取值范圍是【點睛】本題考查三角函數的化簡和三角函數的性質應用，函數恒成立問題的轉化，屬于中檔題18、（1）3所、2所；（2）①共10種；②【解析】

（1）根據分層抽樣的方法，得到分層抽樣的比例，即可求解樣本中小學與中學抽取的學校數目；（2）①3所小學分別記為；2所中學分別記為，利用列舉法，即可求得抽取的2所學校的所有結果；②利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率．【詳解】（1）學校總數為35所，所以分層抽樣的比例為，計算各類學校應抽取的數目為：，故從小學、中學中分別抽取的學校數目為3所、2所．（2）①3所小學分別記為；2所中學分別記為應抽取的2所學校的所有結果為：共10種．②設“抽取的2所學校至少有一所中學”作為事件．其結果共有7種，所以概率為．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用，以及古典概型及其概率的計算，其中解答中認真審題，合理利用列舉法求得基本事件的總數是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．19、（1）3x﹣4y﹣19＝1（2）7x﹣y﹣11＝1【解析】

（1）先求出BC的斜率，再用點斜式求出過點A且平行于BC邊的直線方程；

（2）先求出BC的中點為D的坐標，再用兩點式求出直線AD的方程．【詳解】（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，1），故BC的斜率為，故過點A且平行于BC邊的直線的方程為y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝1．（2）BC的中點為D（2，3），由兩點式求出BC邊的中線所在直線AD的方程為，即7x﹣y﹣11＝1．【點睛】本題主要考查直線的斜率公式，用點斜式、兩點式求直線的方程，屬于基礎題．20、（1）見解析;（2）5;（3）見解析【解析】試題分析：(1)分離系數m，求解方程組可得直線恒過定點；(2)結合(1)的結論可得點到直線的距離的最大值是5；(3)由題意得到面積函數：，注意等號成立的條件.試題解析：（1）證明：直線方程可化為該方程對任意實數恒成立，所以解得，所以直線恒過定點（2）點與定點間的距離，就是所求點到直線的距離的最大值，即（3）由于直線過定點，分別與軸，軸的負半軸交于兩點，設其方程為，則所以當且僅當時取