2023-2024學年甘肅省涇川縣第三中學高一數學第二學期期末聯考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．集合，，則中元素的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．32．我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1500石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得250粒內夾谷30粒，則這批米內夾谷約為多少石？A．180 B．160 C．90 D．3603．某高中三個年級共有3000名學生，現采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三年級的全體學生中抽取一個容量為30的樣本進行視力健康檢查，若抽到的高一年級學生人數與高二年級學生人數之比為3∶2，抽到高三年級學生10人，則該校高二年級學生人數為（）A．600 B．800 C．1000 D．12004．的斜二測直觀圖如圖所示，則原的面積為（）A． B．1 C． D．25．在ΔABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=π3，B=π4，A．23 B．2 C．3 D．6．如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A,B的任意一點，M,N分別為VA,VC的中點，則下列結論正確的是()A．MN//AB B．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45° D．OC⊥平面VAC7．在數列{an}中，若a1，且對任意的n∈N*有，則數列{an}前10項的和為（）A． B． C． D．8．直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．9．已知函數和的定義域都是，則它們的圖像圍成的區域面積是（）A． B． C． D．10．已知圓錐的母線長為8，底面圓周長為，則它的體積是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，且與垂直，則的值為______.12．設三棱錐滿足，，則該三棱錐的體積的最大值為____________.13．在正四面體中，棱與所成角大小為________.14．古希臘數學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點，，動點滿足（其中和是正常數，且），則的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．15．函數的最小正周期為______________.16．若實數滿足，，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系中，已知圓和圓.（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．18．共享單車是指由企業在校園、公交站點、商業區、公共服務區等場所提供的自行車單車共享服務，由于其依托“互聯網+”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關注.某部門為了對該城市共享單車加強監管，隨機選取了50人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調査，并將問卷中的這50人根據其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數頻率第1組80.16第2組▆第3組200.40第4組▆0.08第5組2合計▆▆（1）求的值；（2）若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求所抽取的2人中至少一人來自第5組的概率.19．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（三條邊，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數，并求出定義域；(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.20．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，且平面平面.為的中點，為的中點，過點，，的平面交于.（1）求證：平面；（2）若時，求二面角的余弦值.21．在中，角的平分線交于點D，是面積的倍.（I）求的值；（II）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】，則，所以，元素個數為2個。故選C。2、A【解析】

根據數得250粒內夾谷30粒，根據比例，即可求得結論。【詳解】設批米內夾谷約為x石，則，解得：選A。【點睛】此題考查簡單隨機抽樣，根據部分的比重計算整體值。3、B【解析】

根據題意可設抽到高一和高二年級學生人數分別為和，則，繼而算出抽到的各年級人數，再根據分層抽樣的原理可以推得該校高二年級的人數．【詳解】根據題意可設抽到高一和高二年級學生人數分別為和，則，即，所以高一年級和高二年級抽到的人數分別是12人和8人，則該校高二年級學生人數為人．故選：．【點睛】本題考查分層抽樣的方法，屬于容易題．4、D【解析】

根據直觀圖可計算其面積為，原的面積為，由得結論.【詳解】由題意可得，所以由，即.故選：D.【點睛】本題考查了斜二側畫直觀圖，三角形的面積公式，需要注意的是與原圖與直觀圖的面積之比為，屬于基礎題.5、A【解析】

利用正弦定理asinA=【詳解】在ΔABC中，由正弦定理得asinA=故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計算能力，屬于基礎題。6、B【解析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】A.∵M，N分別為VA，VC的中點，∴MN//AC，又AC⊥BC，∴MN與BC所成的角為90°，故C不正確；∵MN//AC，AC∩AB=A，∴MN//AB不成立，故A不正確．B.∵AB是⊙O的直徑，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，∴AC⊥BC，∵VA垂直⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，∴VA⊥BC，又AC∩VA=A，∴BC⊥平面VAC，又BC?平面VBC，∴平面VAC⊥平面VBC，故B正確；C.∵AB是⊙O的直徑，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，∴AC⊥BC，又A、B、C、O共面，∴OC與AC不垂直，∴OC⊥平面VAC不成立，故B不正確；∵M，N分別為VA，VC的中點，∴MN//AC，又AC⊥BC，∴MN與BC所成的角為90°，故C不正確；D.∵AB是⊙O的直徑，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，∴AC⊥BC，又A、B、C、O共面，∴OC與AC不垂直，∴OC⊥平面VAC不成立，故D不正確.故選B.【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，考查異面直線所成的角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.7、A【解析】

用累乘法可得．利用錯位相減法可得S，即可求解S10＝22．【詳解】∵，則．∴，．Sn，．∴，∴S，則S10＝22．故選：A．【點評】本題考查了累乘法求通項，考查了錯位相減法求和，意在考查計算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．9、C【解析】

由可得，所以的圖像是以原點為圓心，為半徑的圓的上半部分；再結合圖形求解.【詳解】由可得，作出兩個函數的圖像如下：則區域①的面積等于區域②的面積，所以他們的圖像圍成的區域面積為半圓的面積，即.故選C.【點睛】本題考查函數圖形的性質，關鍵在于的識別.10、D【解析】

圓錐的底面周長，求出底面半徑，然后求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【詳解】∵圓錐的底面周長為

∴圓錐的底面半徑

雙∵圓錐的母線長∴圓錐的高為∴圓錐的體積為故選D.【點睛】本題是基礎題，考查計算能力，圓錐的高的求法，熟練掌握公式是解題的關鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據與垂直即可得出，進行數量積的坐標運算即可求出x的值．【詳解】；；．故答案為．【點睛】本題考查向量垂直的充要條件，以及向量數量積的坐標運算，屬于基礎題．12、【解析】

取中點，連，可證平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.【詳解】取中點，連，所以，，，平面，平面，設中邊上的高為，，當且僅當時，取等號.故答案為:.【點睛】本題考查錐體的體積計算，考查線面垂直的判定，屬于中檔題.13、【解析】

根據正四面體的結構特征，取中點，連，，利用線面垂直的判定證得平面，進而得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取中點，連，，正四面體是四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱與所成角為.【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.14、【解析】

設，由動點滿足（其中和是正常數，且），可得，化簡整理可得.【詳解】設，由動點滿足（其中和是正常數，且），所以，化簡得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【點睛】本題考查圓方程的標準形式和兩點距離公式，難點主要在于計算.15、【解析】

利用函數y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結論．【詳解】函數y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點睛】本題主要考查函數y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數y＝Atan（ωx+φ）的周期為．16、【解析】

由反正弦函數的定義求解．【詳解】∵，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查反正弦函數，解題時注意反正弦函數的取值范圍是，結合誘導公式求解．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或，(2)點P坐標為或．【解析】(1)設直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離d＝＝1，結合點到直線距離公式，得＝1，化簡得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.所求直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)設點P坐標為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等．由垂徑定理，得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等．故有，化簡得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因為關于k的方程有無窮多解，所以有解得點P坐標為或.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據頻率分布表可得b.先求得內的頻數,即可由總數減去其余部分求得.結合頻率分布直方圖,即可求得的值.（2）根據頻率分布表可知在內有4人,在有2人.列舉出從這6人中選取2人的所有可能,由古典概型概率計算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布表可得內的頻數為,∴∴內的頻率為∴∵內的頻率為0.04∴（2）由題意可知,第4組共有4人,第5組共有2人,設第4組的4人分別為、、、；第5組的2人分別為、從中任取2人的所有基本事件為：,,,,,,,,,,,,,,共15個.至少一人來自第5組的基本事件有：,,,,,,,共9個.所以.∴所抽取2人中至少一人來自第5組的概率為.【點睛】本題考查了頻率分布表及頻率分布直方圖的應用,列舉法表示事件的可能,古典概型概率計算方法,屬于基礎題.19、（1），；（2）或時，L取得最大值為米．.【解析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數解析式，并注明θ的范圍．（2）設sinθ+cosθ=t，根據函數L=在[，]上是單調減函數，可求得L的最大值．所以當時，即

或

時，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設，則，由于，由于在上是單調減函數，當時，即或時，L取得最大值為米．【點睛】三角函數值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數式變換成的形式求值域3.通過換元，轉化成其他類型函數求值域20、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）首先證明平面，由平面平面，可說明，由此可得四邊形為平行四邊形，即可證明平面；（2）延長交于點，過點作交直線于點，則即為二面角的平面角，求出的余弦值即可得到答案．【詳解】（1）∵為矩形∴，平面，平面∴平面.又因為平面平面，∴.為中點，為中點，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形所以，平面，平面所以平面（2）不妨設，.因為為中點，為等邊三角形，所以，，且∵，所以有平面，故因為平面平面∴平面，又，∴平面，則延長交于點，過點作交直線于點，由于平行且等于，所以為中點，，由于，，，所以平面，則，所以即為二面角的平面角在