平行四邊形的性質與判定1、平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。表示：平行四邊形用符號“□”來表示。２、平行四邊形性質：平行四邊形性質平行四邊形對邊相等；平行四邊形對角相等；平行四邊形對角線互相平分。３、擴展性質： 平行四邊形對角線分平行四邊形成面積相等的四個小三角形。平行四邊形對角線分平行四邊形成四個小三角形中，相鄰兩個小三角形周長差等于邊長差平行四邊形對角線的一半和大于任意一邊長過平行四邊形對角線交點的任意一條直線分平行四邊形成面積相等兩部分二.平行四邊形的面積：平行四邊形的面積：等于底和高的積，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊到其對邊的距離，即對應的高。平行四邊形中的等積法使用：【典例精析】例題1如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則線段BE，EC的長度分別為（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4例題2如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（）A．2B．4C．4D．8一、平行四邊形的判定1、平行四邊形的判定判定前提：在同一平面內判定定理兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。二.已知平面內三點作平行四邊形：過點Ｅ、Ｆ、Ｇ三點作對邊平行線，圖中四邊形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四邊形例題1如圖，△ABC是等邊三角形，點P是三角形內的任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為12，則PD+PE+PF=（）A．8B．6C．4D．3例題2如圖，平面直角坐標系中有一個5×5的方陣，在方陣中的點的橫、縱坐標都是整數的點叫格點，四個點都是格點的四邊形叫格點四邊形，已知：A（1，2），B（3，2）．以A、B為頂點，面積為2的格點平行四邊形的個數是（）A．9個B．10個C．11個D．13個動點形成平行四邊形實例：如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與點B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求證：BF=FD；

（2）點D在運動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請說明理由；如能，求出此時∠A的度數．實例：在△ABC中，AB=AC，點D在邊BC所在的直線上，過點D作DF∥AC交直線AB于點F，DE∥AB交直線AC于點E．（1）當點D在邊BC上時，如圖①，求證：DE+DF=AC．（2）當點D在邊BC的延長線上時，如圖②；當點D在邊BC的反向延長線上時，如圖③，請分別寫出圖②、圖③中DE，DF，AC之間的數量關系，不需要證明．（3）若AC=6，DE=4，則DF=．

關于性質的補充：（1）過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。（2）平行四邊形對角線把平行四邊形面積分成四等分。（3）平行四邊形中,一個角的頂點向他對角的兩邊所做的高，與這個角的兩邊組成的夾角相等。（4）平行四邊形的對角線一半的和大于平行四邊開任意一邊，差小于任意一邊。已知平面內三點作平行四邊形：關于判定的補充：過點Ｅ、Ｆ、Ｇ三點作對邊平行線，圖中四邊形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四邊形中位線定理的應用考點1：（1）三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（2）要將中位線與中線區別開。一個三角形有三條中位線。考點2：三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。證明圖示：拓展：（1）三角形三條中位線分三角形所成的四個三角形全等，每個三角形面積等于三角形面積的四分之一。（2）三角形三條中位線組成的三角形周長為原三角形周長的二分之一。【典例精析】例題1如圖，在四邊形ABCD中，點P是對角線BD的中點，點E、F分別是AB、CD的中點，AD=BC，∠PEF=30°，則∠PFE的度數是（）A．15°B．20°C．25°D．30°例題2如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，點E、F、G、H分別是AB，BC，CD，DA的中點，則下列結論一定正確的是（）A．∠HGF=∠GHEB．∠GHE=∠HEFC．∠HEF=∠EFGD．∠HGF=∠HEF例題3如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足為N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，則△ABC的周長是（）A．28B．32C．18D．25例題4:如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE∥AC，在BG上取點E，連接DE交AC的延長線于點F．（1）求證：DF=EF；（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于點C，AC=2CF，求BE的長．【總結提升】1、要把三角形的中位線與三角形的中線區分開．三角形中線是連接一頂點和它的對邊中點的線段，而三角形中位線是連接三角形兩邊中點的線段。2、當圖形中有一個中點的時候考慮倍長中線，當圖形中有兩個中點的時候考慮連接后用中位線。3、連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。4、直角三角形斜邊中線：如果一個三角形是直角三角形,那么這個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。平行四邊形的性質與判定1.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列結論正確的是（）A．S?ABCD=4S△AOBB．AC=BDC．AC⊥BDD．?ABCD是軸對稱圖形2.如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，且AB=5，△OCD的周長為23，則平行四邊形ABCD的兩條對角線的和是（）A．18B．28C．36D．463.已知?ABCD中，∠A+∠C=200°，則∠B的度數是（）A．100°B．160°C．80°D．60°4.如圖，在?ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD邊于點E，且AE=3，則AB的長為（）A．4B．3C．D．25.下列說法正確的有（）①平行四邊形的對角線相等；②平行四邊形的對邊相等；③平行四邊形的對角線互相垂直；④平行四邊形的對角線互相平分；⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；⑥一組對邊平行而且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形．A．4個B．3個C．2個D．1個6.如圖所示，在?ABCD中，E，F分別在BC，AD上，若想使四邊形AFCE為平行四邊形，須添加一個條件，這個條件可以是①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE．7.已知△ABC的面積為36，將△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使B′和C重合，連接AC′交A′C于D，則△C′DC的面積為8.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC交AB于點E，BF平分∠ABC，交CD于點F．（1）求證：DE=BF；（2）連接EF，寫出圖中所有的全等三角形．（不要求證明）9、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，∠1=∠2．（1）求證：AE=CF；（2）求證：四邊形EBFD是平行四邊形．10、已知，如圖，在?ABCD中，延長DA到點E，延長BC到點F，使得AE=CF，連接EF，分別交AB，CD于點M，N，連接DM，BN．

（1）求證：△AEM≌△CFN；

（2）求證：四邊形BMDN是平行四邊形．中位線定理的應用1.已知△ABC的各邊長度分別為3cm，4cm，5cm，則連結各邊中點的三角形的周長為（）A．2cmB．7cmC．5cmD．6cm2.如圖，為測量池塘邊A、B兩點的距離，小明在池塘的一側選取一點O，測得OA、OB的中點分別是點D、E，且DE=14米，則A、B間的距離是（）A．18米B．24米C．28米D．30米3．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD．若BD平分∠ABC，則下列結論錯誤的是（）A．BC=2BEB．∠A=∠EDAC．BC=2ADD．BD⊥AC4.如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不改變D．線段EF的長不能確定5.如圖，點D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，連接DE、EF、FD，則圖中平行四邊形的個數為．6.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC的中點，F是BC延長線上一點，CF=1，DF交CE于點G，且EG=CG，則BC=．7.如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點A落在點A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A