2024年東北三省高考模擬試題（一）

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符

合題目要求的.

[.若z（l+2i）=a—2i（aeR）,則在復平面內復數z對應點不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.一組數據：155,156,156,157,158,160,160,161,162,165的第75百分位數是（）

A.161B.160.5C.160D.161.5

3.下列函數中在區間（0,+8）上單調遞減的是（

A.y=cosxB,丁=2忖C.D._y=x2-1

已知〃是單位向量，若卜+2目=|2口一q

4.，則Q，b的夾角是（)

71712%3萬

A.B.—C.D.

72T

5.某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼輸入錯誤，該銀行卡將被鎖定.某人到銀行取錢時,

發現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的5個密碼之一，他決定從中

不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試，否則繼續嘗試，直至該銀行卡被鎖定.則他至

少嘗試兩次才能成功的概率是（）

132

A.-B.—C.一

5105

/\4

6.（%2-X-2）展開式中尤的系數是（）

A.8B.-8C.32D.-32

7.等比數列｛4｝中，同=1,%=—8g，a5<a2,則a“=()

A.(—2尸B.-(-2)""1D.—(—2)"

222

8.已知雙曲線與-2=1(。〉0力〉0)的兩條漸近線與直線》=幺分別相交于48兩點，且線段48的

長等于它的一個焦點到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±xB.y=+y/3xC.y=±xD.y=+-\/2x

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.用一個平面去截一個三棱柱，可以得到的幾何體是()

A.四棱臺B.四棱柱C.三棱柱D.三棱錐

10.設函數/(x)=sin在區間(0,兀)上恰有兩個極值點，兩個零點，則口取值可能是()

1335

A.B.2C.D.

~623

11.已知函數/(X)的定義域為[0,+8),且滿足①/'(W(y))/(y)=/(x+y)；②〃2)=0；③當xe[0,2)

時，/(x)w0,則()

A./(3)=—2B.若/(x+y)=0,則x22—y

C./(I)=2D.”x)在區間［0,2)是減函數

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線y=—百(％—2)截圓%2+y2=4得到的劣弧所對的圓心角為.

13.在正四面體的側面三角形的高線中，垂足不在同一側面上的任意兩條所成角的余弦值是.

14.若函數f(x)=(l—x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.四名黨員教師在暑假中去某社區做志愿者工作，他們中的每人都可以從甲、乙、丙三項工作中隨機選擇

一個，且每人的選擇相互獨立.

(1)設這四名教師中選擇工作甲的人數為X,求X的分布列及數學期望；

(2)求上述三項工作中恰有一個沒被任何人選中的概率.

16.已知二ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且是2C邊上的高.(sinA-sin3)(。+人)=

(c-?)sinC.

(1)求角A；

⑵若sin(B-C)=條,

a=5,求AD.

17.如圖，棱柱ABC。—A4C］O］的所有棱長都等于2,且NABC=NAAC=60。，平面平面

ABCD.

(1)求平面。與平面C44］所成角的余弦值;

(2)在棱cq所在直線上是否存在點尸，使得BP//平面。4G.若存在，求出點尸的位置；若不存在,

說明理由.

18.已知橢圓。：?+%=1(。〉6〉0)的離心率是\點。在橢圓上，且|。團=2,ZF,QF2=60°.

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖，設橢圓C的上、下頂點分別為4，4,尸為該橢圓上異于4，4的任一點，直線AP,

人尸分別交X軸于M，N兩點，若直線OT與經過M,N兩點的圓G相切，切點為T.證明：線段OT的長

為定值.

19.設函數/(x)=%-ln(x+J1+尤.

(1)探究函數/(x)單調性;

(2)若％20時，恒有/(x)VQX3,試求a取值范圍;

iarin

⑶令為=+〃￡N*,試證明：4+%+???+〃〃.

90

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符

合題目要求的.

1,若z(l+2i)=a—2i(awR),則在復平面內復數z對應的點不可能在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數的除法求出z,由復平面內復數z對應的點所在各象限的條件，判斷實數a有無解即可.

a-2i(a-2i)—4—2a—2.

【詳解】若z(l+2i)=a—2i(aeR),則2=

1+2?~(l+2i)(l-2i)-55

/7—4

------>0

:c，不等式無解;

復平面內復數z對應的點在第一象限，《

檢匕〉0

5

jo

,解得；

復平面內復數z對應的點在第二象限，〈fca<—1

一吆2〉0

5

*<0

,解得—；

復平面內復數z對應的點在第三象限，《fcl<a<4

5

〃一4

-->0

，解得；

復平面內復數z對應的點在第四象限，《fca>4

5

所以復平面內復數z對應的點不可能在第一象限.

故選：A

2.一組數據：155,156,156,157,158,160,160,161,162,165的第75百分位數是（）

A.161B.160.5C.160D.161.5

【答案】A

【解析】

【分析】結合百分位數的定義，直接求解即可.

【詳解】由題意得此組數據已從小到大排列，此組數據共有10個數，

所以第75百分位數的位置為10x75%=7.5,

所以第75百分位數為第8個數161,故A正確.

故選：A.

3.下列函數中在區間（0,+8）上單調遞減的是（）

A.y=cosxB.丁=2忖C.y=HD.y=x2-l

【答案】C

【解析】

【分析】結合常見函數的圖象和性質進行判斷.

【詳解】對于A,因為y=cosx是周期函數，在（0,+8）上不單調，故A錯誤；

對于B,、=2岡在（0,+8）上是丁=2"單調遞增，故B錯誤；

對于D,丁=/-1是二次函數，圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為》軸，

所以它在（0,+"）上為增函數，故D錯誤；

對于C,只有y=x-2=4這個函數在（0,+“）上單調遞減，故C正確.

故選：c

4.己知人是單位向量，若卜+2目=|2口一可，則人的夾角是（）

乃萬2萬3萬

A.-B.—C.—D.—

3234

【答案】B

【解析】

TT

【分析】根據向量模的數量積運算得a為=0,進而a，的夾角是一.

2

【詳解】解：因為。，6是單位向量，所以口=M=1，

因為卜+2b|=〔2a_q,所以+4a0+4k「=4:/1+，

22

所以12+4>B+4XF=4xl-4a-S+l，即a力=0，

一一71

所以a_L6，即a，b夾角是一.

2

故選：B

5.某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼輸入錯誤，該銀行卡將被鎖定.某人到銀行取錢時，

發現自己忘記了銀行卡密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的5個密碼之一，他決定從中

不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試，否則繼續嘗試，直至該銀行卡被鎖定.則他至

少嘗試兩次才能成功的概率是()

1321

A.-B.—C.—D.-

51052

【答案】C

【解析】

【分析】由題嘗試兩次或三次成功，分別計算概率，相加即可得答案.

【詳解】由題，嘗試兩次或三次成功.

411

嘗試兩次成功的概率為：-x-=-,

545

4311

嘗試三次成功的概率為：-x-x-=-,

5435

則至少嘗試兩次才能成功的概率是g+g=g,故C正確.

故選：C.

2

6.(%-X-2)的展開式中x的系數是()

A.8B.-8C.32D.-32

【答案】C

【解析】

45

[分析]根據題意(代一》一2?=[(必一%)一2]利用二項式定理的展開式從而可求解.

【詳解】由題意得(/—%—2?=[(%2—%)—21，其展開式為2]=《(f—2)”,

rr

則對于(V—尤)j的展開式為乙=CL卜2廣?(-x)=(-l)CL產2J,Q<r<4-k,

令8—2A—r=l,則當左=3,廠=1時符合題意，此時系數為(―2)七式一1)七：=32,故C正確.

故選：C.

7.等比數列｛4｝中，M=1,a5=-802,%<%，則%=()

A.(—2)"TB.—(—2)”TC.(-2),!D.—(—2)”

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意等比數列的性質可得公比q=-2,且由%<%可得q=-1，從而可求解.

【詳解】由題意知數列｛4｝為等比數列，設公比為4，由%=-84,得。2/=-8g，解得4=-2,

因為%<生，即即16al<-2a「所以％<0,又因為同=1,所以q=T,

所以4=%q"T=-lx(-2)n-1=_(一2-，故B正確.

故選：B.

222

8.已知雙曲線I-g=l(a〉0,6〉0)的兩條漸近線與直線了=幺分別相交于A，8兩點，且線段的

長等于它的一個焦點到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為()

Ay-+xB.y=+y/3xC.y=+^-xD.y=+41x

【答案】B

【解析】

【分析】根據雙曲線的基本幾何量求焦點到漸近線的距離為。，幾何性質求解即

可得仙明=一

=人，根據”,仇c的關系，即可得漸近線方程.

【詳解】解：雙曲線\=l(a〉0/〉0)的兩條漸近線方程為y=±，x,則焦點(±c,0)到漸近線的

2（27\/21

又兩條漸近線與直線x=9分別相交于48兩點，所以A?修,3?子

則c=2a,所以Z，=jc2_q2=后,故漸近線方程為'=±氐.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.用一個平面去截一個三棱柱，可以得到的幾何體是（）

A.四棱臺B.四棱柱C.三棱柱D.三棱錐

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據棱柱，棱錐和棱臺的定義結合圖形分析判斷即可

【詳解】如圖三棱柱ABC-A4G，連接3G，AC],則可得平面ABG截三棱柱，得到一個三棱錐

Q-ABC,所以D正確，

若用一個平行于平面5CG用的平面去截三棱柱，如圖平面。瓦G,則得到一個三棱柱和一個四棱柱，所

以BC正確，

因為四棱臺的上下底面要平行，所以要得到四棱臺，則截面要與三棱柱的上下底面相交，而四棱臺的側棱

延長后交與一點，棱柱的側棱是相互平行的，所以用一個平面去截一個三棱柱，不可能得到一個四棱臺，

所以A錯誤，

故選：BCD

B

10.設函數/(X)=sin0X-m在區間(0,兀)上恰有兩個極值點，兩個零點，則。的取值可能是()

【答案】AB

【解析】

【分析】利用換元法，結合正弦函數的圖象，可求。的取值范圍.

【詳解】因為0<兀<兀=>——<cox——<am——.

333

令t=a)xj,則函數y=sint在］一!?,0兀一m］上恰有兩個極值點，兩個零點.

結合y=sint的圖象，如圖:

y=sint37r

一,口3兀?,3兀兀?117

可得一<t<2n,所以一〈am——V271n-<&)<—.

22363

故選：AB

11.已知函數“X)的定義域為[0,+8),且滿足①/(獷(y))/(y)=/(x+y)；②"2)=0；③當xe[0,2)

時，/(無”0,則()

A./⑶=-2B.若/(x+y)=0,則x22—y

C./⑴=2D.在區間［。,2)是減函數

【答案】BC

【解析】

【分析】根據題意求出/(x)的解析式/(x)=<2，然后就可逐項求解判斷

—0<%<2

、2-x

【詳解】由題意得當x>2時，令％=2+/。>0),則/［/(2)］/(2)=/。+2)=〃力

因為/(2)=0,所以〃"=0(x22),

當0W尤<2時，令x+f=2(r>o),則0=/(2)=/(%+。=/[/

又因為/'["(x)]=o,所以礦(x)?2,即/(X)N2=：J,

tx+2

9

但/(%)>--在xe[0,2)時不成立,

2-x

2

若有百[0,2)且/(x)>5^,則得〃石)(2—不)>2,

這時總可以找到丁<2-%，使/(不)y?2,所以/'[W(xJ]=0,

即/(%+%)=/[封'(芯)]/(%)=0,此式與西+丁22矛盾，即/(x)=J—,

0x>2

從而“x)=H0-2，

、2-x

對A：/(3)=0,故A錯誤；

對B：/(x+y)=0,即x+y22,即x22—y,故B正確；

對C：/(1)=/_=2,故C正確；

2—1

2

對D：當xe[0,2),/(%)=--為增函數，故D錯誤；

2—%

故選：BC.

【點睛】關鍵點點睛：本題主要是根據題中給出的3個條件進行合理運用求出函數的解析式，在求解析式

時需要分情況討論并且要巧妙的當x>2時設X=2+/(/>0),當0Wx<2時設x+f=2(f>0),再結合

題中條件從而可求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線>=-百(>-2)截圓/+寸=4得到的劣弧所對的圓心角為.

TT

【答案】60°##-

3

【解析】

【分析】先求直線與圓相交所得的弦長，再求劣弧所對圓心角的大小.

【詳解】如圖

圓心（0,0）到直線瓜+y-28=0的距離：口。=I2=<3,

，㈣+1

所以弦長：|AB|=2,2—=2,

所以.Q4B為等邊三角形，所以NAOfi=60°.

故答案為：60°

13.在正四面體的側面三角形的高線中，垂足不在同一側面上的任意兩條所成角的余弦值是

【答案】|

3

【解析】

【分析】根據題意作出相關圖形，利用幾何關系作出相應的角，再利用余弦定理從而可求解.

【詳解】不妨設正四面體為A—5CD,設四面體的棱長為“，尸分別為DC,A3邊上的中線,

由題意下所成角余弦值就是要求角的余弦值,

取AC的中點G,A。的中點”，分別連接尸G,EH,

則FG//BC,FH//BD,因為<Z平面BC。，u平面88,

所以FG//平面BCD,FH//平面BCD,又因為FHcFG=F,FH,FGu平面FGH,

所以平面/⑦//平面8co且△FGH?乙BCD,

所以GH邊上的中線EK//BE,則。產和BE所成的角就是NDEK，則FK=^=也a，

24

在，DKH中，由余弦定理得

zC(aX(a\八aa,一?7

DK~=—+——2x—x—cos120=—a2，

ujuJ2416

在，DEK中，由余弦定理得

故-答案為,：2一.

3

14.若函數f(x)=(l—x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值是.

【答案】16；

【解析】

【詳解】依題意，/(x-2)為偶函數，/(x-2)=(-x2+4x-3)[x2+(A-4)X+4-2?+Z7]

展開式中V的系數為8—。，故a=8,x的系數為28+46—11a,故6=15,令/'(x)=0,得

?+6%2+7X-2=0,由對稱軸為-2可知，將該式分解為(x+2)(Y+4x-1)=0,可知其在6―2和

-石-2處取到最大值，帶入/a),可知最大值為16.

【考點定位】本題考查函數的性質，考查學生的化歸與轉化能力以及基本運算能力.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.四名黨員教師在暑假中去某社區做志愿者工作，他們中的每人都可以從甲、乙、丙三項工作中隨機選擇

一個，且每人的選擇相互獨立.

(1)設這四名教師中選擇工作甲的人數為X,求X的分布列及數學期望；

(2)求上述三項工作中恰有一個沒被任何人選中的概率.

4

【答案】15.分布列見解析，數學期望為；

3

【解析】

【分析】(1)結合古典概型的概率計算公式、組合數的計算，求得X的分布列并求得數學期望.

（2）結合古典概型的概率計算公式、組合數、排列數的計算求得正確答案.

【小問1詳解】

X的可能值為0,1,2,3,4,

P（X=0）4TP（X=1）=孥嗡P"=2）=手嗡小

P"=3）=導啥;P（X=4）4$

X的分布列為

X01234

1632881

P

8181278181

16322Q1J

X數學期望為E(X)=0x，+lx'+2xa+3><9+4x—=—.

81812781813

【小問2詳解】

依題意，三個工作中恰有一個工作未分配到任何志愿者的概率為:

可年+。心3。3+4）><2:14

―27

16.已知一ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且AD是8C邊上的高.（sinA-sin3）（。+〃）=

（c—岳）sinC.

（1）求角A；

也、

(2)右sin(3—C)=---,a=5,求AD.

10

【答案】（1）A

4

（2）AD=6

【解析】

【分析】（1）已知條件利用正弦定理角化邊，化簡后由余弦定理求出cosA,得角A；

(2)由sin(B-C)=—，sin(B+C)=—，得sin5cosC=W2,cos3sinC=冬回，有

1021010

33

tanB=-tanC,得CD=—BD,有BD=2,CD=3，再由即

22

八「、n-A。AD.ADAD八…人…

tanB+tanC+1-tanBtanC=-----b------Fl-------------=0,解出AD的值.

BDCDBDCD

【小問1詳解】

ABC中，(sinA-sinB)(a+b)=(c—y/2b)sinC,

由正弦定理，有(a—b)(a+b)=(c-6b)c,即/一〃=/一行人。，

得〃+/一=及尻，

^22_2?Jibey/2

由余弦定理，cosA=3~^——

2bc2bc-f

jr

由。＜A＜兀，得A=“

【小問2詳解】

叵

sin(B一C)=sinBcosC-cosBsinC=

10

sinA=sin[兀一(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,

解得sinBcosC=3>cos5sinC=2徨,則B,C都為銳角,

1010

.sinBcosC3_3_

有----------=一，得ZRtan3=—tanC,

cosBsinC22

銳角^ABC中,ADJ_BC,則有tanB=/萬,tanC=，

又BC=a=BD+CD=5,得60=2,8=3,

由tanA=-tan(8+C)=1,得Jan'+tanC=一］,即tan5+tanC+l-tanjBtanC=0,

1-tanBtanC

ADADADADADAD,AD2

---1----FlA--------=0，----+-----+1-=0>解得AO=6.

BDCDBDCD23~6~

17.如圖，棱柱ABC。—A4G。的所有棱長都等于2,且NABC=NAAC=60。，平面平面

ABCD.

(1)求平面DAM與平面C44所成角的余弦值;

(2)在棱CG所在直線上是否存在點P,使得BP//平面D41G.若存在，求出點尸的位置；若不存在，

說明理由.

【答案】(1)—

5

(2)存在，點P在GC的延長線，且CP=GC.

【解析】

【分析】(1)取AC中點。，先證4。，平面A3CD.再以。為原點，建立空間直角坐標系，用空間向量的

方法求二面角所成的余弦.

(2)根據P在線段CG上，設CP=4CG,再由5尸和平面。AG的法向量，求;I,即可得解.

【小問1詳解】

如圖：

取AC中點。，連接A。，AC，BD.

因為各棱長均為2,且NABC=60，所以AA6C是等邊三角形.

所以AC=2.

又因為4&=2,Z^AC=60,所以A^AC是等邊三角形.

所以A。，AC,又平面A4cle，平面A3CD,平面平面A3CD=AC,

4。u平面A41cle',

所以4。，平面A3CD.

由AC/5O,所以可以以。為原點，建立如圖空間直角坐標系.

那么：￡>(—6,0,0),4(0,—1,0),^(0,0,V3),c(o,i,o).

設平面DAA,的法向量為m=(%,y,z),則

m-DA=0(x,y,z).(6,-l,0)=0布x-y=0

=><=><取根=(6,3,-6卜

m-DA=0|(x,y,z).(60,?=0［底+3=0

因為08，平面CAA,可取平面CAAX的法向量〃=(1,0,0).

vn.rix/3x/5

貝!Jcosm,n=即為平面與平面C44所求角的余弦值.

|m|-|n|V155

【小問2詳解】

因為G(0,2,句，B(AO,O)

設P(%，％,zj,因為尸在CG上，可設CP=4CC；,

可得P(0,l+X,"l).

設平面D41G的法向量為S=(%,%,Z2),

s-DA,=0(々,％/2卜(百,0,百)=0fx2+z2=0

SDQ=0(x2,y2,z2).(V3,2,^)=016%+2%+=0

取S=(1,0,-1).

由s.§P=0=>(1,0,-1)-^-73,1+2,A/32j=0n一6一6九=。=九=-l.

所以存在點P,使得BP//平面DAG，此時點尸在CC的延長線，且CP=GC.

22

18.己知橢圓C:=+二=l(a〉6〉0)的離心率是:，點。在橢圓上，且|Q周=2,/耳。鳥=60。.

a~b'-

yM*

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，設橢圓c的上、下頂點分別為a,A,P為該橢圓上異于A，4的任一點，直線4尸，

劣尸分別交X軸于M,N兩點，若直線OT與經過M,N兩點的圓G相切，切點為T.證明：線段。7的長

為定值.

22

【答案】(1)土+匕=1

43

(2)證明見解析，定值2.

【解析】

【分析】(1)根據已知條件，用待定系數解方程組即可得到C的方程.

(3)設P點坐標，求出M和N坐標，結合尸在橢圓上可得0HQV|=4,并結合切割線定理可得

|OT|2=\OM\-\ON\=4,從而可求解.

【小問1詳解】

c1

由e=1=5,得a=2c，由橢圓定義可得制+|Q閭=2a,

在.心中/耳。6=60。，所以可得

則c=l,所以6=石.

故橢圓C的方程為工+上=1.

43

【小問2詳解】

如圖：

A(o,豆)，&(o,—Q),設

直線尸4：y—百=生芭x,令y=0,得%=-五;

%為73

直線P4：y+Q=￡U8x,令y=0,得4=西斗;

xo為+，3

則阿wL/|=|其因以+?”所以"4一苧,

//2、

3x4--%

I3J

所以|。河/。時

由切割線定理得|。刀2=|。閘.|。2=4,所以|。刀=2,

即線段OT的長度為定值2.

【點睛】關鍵點睛：本題(2)中主要利用設出點P(%，%)，并分別求出直線尸4，P4方程，從而求解

在橢圓上可得到其=4-手

M,N坐標，由點P從而由切割線定理

A/3X0

\OT[=\OM\\ON\=4,從而可求解.

J0+A/3

19.設函數/(無)=x-ln(龍+

(1)探究函數/(%)的單調性;

(2)若xNO時，恒有/(%)＜以3,試求。的取值范圍;

【答