專題15一次函數(shù)應(yīng)用題重難點題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一方案選擇問題題型二營銷利潤問題題型三行程問題題型四幾何問題題型五其他問題【經(jīng)典例題一方案選擇問題】【解題技巧】一次函數(shù)方案選擇題目的解題思路一般分為以下幾步：一、設(shè)出自變量和因變量。自變量一般是題目中變化的那個量，通過這個量的變化引起其他量的變化，因變量比較好找，一般題目中最后問的什么就設(shè)什么為因變量，二、根據(jù)題目列函數(shù)關(guān)系式，并化簡。函數(shù)關(guān)系式同學(xué)們可以類比一元一次方程來列，因為因變量y，就放在等號的左邊，右邊全是關(guān)于x的關(guān)系式，因此可以類比一元一次方程，寫出代數(shù)式，結(jié)合我們所學(xué)的公式。例如利潤=總售價-總成本，之后分析總售價有哪些部分組成，總成本有哪些部分組成，結(jié)合題目把等號右邊的式子列出來。關(guān)于利潤類型的題目同學(xué)們除了記住：利潤=總售價-總成本，還要記住：利潤=單個商品利潤*所售商品的數(shù)量。三、確定自變量取值范圍。這是方案選擇類題目的難點所在，確定自變量的取值范圍主要考慮兩個方便：（1）、題目中給定的限定條件，一般題目中出現(xiàn)什么什么以內(nèi)，不超過多少，小于多少，至少等等詞匯的時候，可以列出不等式，求解不等式可以求出自變量的取值范圍。（2）、結(jié)合實際，方案選擇類的題目都是實際問題，因此還要結(jié)合實際情況，例如人數(shù)、桌椅數(shù)量等等以“個”為單位時，要注意必須是大于0的整數(shù)，如果題目中是以“萬”為單位，可以不用考慮整數(shù)這一條件四、在取值范圍內(nèi)，進行比較，確定方案。確定好自變量的取值范圍后，根據(jù)題目進行方案的確定，如果是讓我們自行設(shè)置方案，那么一般就是最值的問題，看看題目要求的是最小值還是最大值，之后根據(jù)一次函數(shù)的增減性，確定x取何值時，y取最值。如果是題目中給定的幾個方案進行選擇，那么就進行比較，一般情況下就要分類討論了，在不同的取值范圍內(nèi)，確定不同的方案，或者根據(jù)給定的結(jié)果，選擇好取值范圍之后，確定方案。五、回歸實際問題，寫出選擇的方案。很多同學(xué)忽視了最后一步，既然是利用一次函數(shù)解決實際問題，那么最終要回歸到解決實際問題上，因此最后要寫出你通過數(shù)學(xué)計算，得到的最優(yōu)方案，這樣才能夠得到這一題目的滿分。如果是多方案的問題就寫在哪一范圍內(nèi)選擇什么方案，如果是自己設(shè)計，那么就寫誰多少，獲得最大或最小，獲得多少，確定這一方案。【例1】（2021春·八年級課時練習(xí)）單位組織職工觀看某場足球比賽，球票的原價為每張100元．在購買門票時，體育場給出了兩種不同的團體購票方案．方案一：單位贊助10000元，則該單位所購門票的價格為每張60元；方案二：不交贊助費，當(dāng)購買票數(shù)不超過100張時，按原價收費，超過100張時，超出部分每張80元，設(shè)某單位購票x張，總費用為y元．（1）若該單位采用方案一購票，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______；（2）若該單位采用方案二購票，則當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____，當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____；（3）若甲、乙兩單位共購買了本場足球賽門票700張（每個單位都至少購買了10張），共付費58000元，且甲單位付費較多，則甲單位采用方案______（填“一”或“二”）購票_______張，乙單位采用方案____（填“一”或“二”）購票______張．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）小李同學(xué)長大后當(dāng)上了個體老板，一次他準(zhǔn)備租用甲、乙兩種貨車將200噸貨物運回眉山賣給廠家，兩種貨車的載貨量和租金如下表所示：甲種貨車乙種貨車載貨量（噸/輛）2520租金（元/輛）20001800請問：李老板最少要花掉租金（

）．A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元【變式2】（2021·全國·八年級課時練習(xí)）單位組織職工觀看某場足球比賽，球票的原價為每張100元．在購買門票時，體育場給出了兩種不同的團體購票方案．方案一：單位贊助10000元，則該單位所購門票的價格為每張60元；方案二：不交贊助費，當(dāng)購買票數(shù)不超過100張時，按原價收費，超過100張時，超出部分每張80元，設(shè)某單位購票x張，總費用為y元．（1）若該單位采用方案一購票，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______；（2）若該單位采用方案二購票，則當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____，當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____；（3）若甲、乙兩單位共購買了本場足球賽門票700張（每個單位都至少購買了10張），共付費58000元，且甲單位付費較多，則甲單位采用方案______（填“一”或“二”）購票_______張，乙單位采用方案____（填“一”或“二”）購票______張．【變式3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）A城有肥料，B城有肥料，現(xiàn)要把這些肥料全部運往C、D兩鄉(xiāng)，從A城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費元用分別為20元/t和25元/t；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料分別為15元/t和24元/t．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料，D鄉(xiāng)需要肥料，設(shè)A城運往C鄉(xiāng)的肥料為x噸，運往C鄉(xiāng)肥料的總運費為，運往D鄉(xiāng)肥料的總運費為；(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出自變量的取值范圍；(2)怎么樣調(diào)度使得該過程的總運費最少并求出最少的運輸費以及最少的運輸方案；(3)由于從B城到D鄉(xiāng)開辟了一條新的公路，使B城到D鄉(xiāng)的運輸費每噸減少了a元，如何調(diào)度才能使總運費最少？最少運輸費是多少？（用含a的式子表達）【經(jīng)典例題二營銷利潤問題】【解題技巧】牢記公式：利潤=銷售額-成本或利潤=單利×數(shù)量；【例2】（2022春·重慶銅梁·七年級校考階段練習(xí)）今年清明節(jié)期間，為提倡文明、環(huán)保祭祖，某煙花銷售商擬今年不再銷售煙花爆竹，改為銷售鮮花．經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四種鮮花組合比較受顧客的喜愛，于是制定了進貨方案，其中甲、丙的進貨量相同，乙、丁的進貨量相同；甲與丁單價均20元/束，乙、丙的單價均為40元/束，且甲、乙的進貨總價比丙、丁的進貨總價多560元．由于年末資金周轉(zhuǎn)緊張，所以臨時決定只購進甲、乙兩種組合，甲、乙的進貨量與原方案相同，且甲、乙的進貨總量不超過400束，則該銷售商最多需要準(zhǔn)備____元進貨資金．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021·福建廈門·八年級期末）某商場銷售一種兒童滑板車，經(jīng)市場調(diào)查，售價x（單位：元）、每星期銷量y（單位：件）、單件利潤w（單位：元）之間的關(guān)系如圖1、圖2所示．若某星期該滑板車單件利潤為20元，則本星期該滑板車的銷量為（）A．94 B．96 C．1600 D．1800【變式2】（2022·全國·八年級）某公司以A、B兩種材料，利用不同的搭配方式推出了兩款產(chǎn)品，其中，甲產(chǎn)品每份含克A、克B；乙產(chǎn)品每份含克A、克B，甲乙兩種產(chǎn)品每份成本價分別為A、B兩種材料的成本之和，若甲產(chǎn)品每份成本為元，公司在核算成本的時候把A、B兩種材料單價看反了，實際成本比核算時的成本多元，如果每天甲銷量的倍和乙銷量的倍之和不超過份，那么公司每天的實際成本最多為______元【變式3】（2022·山東·濟寧市第十三中學(xué)一模）由于霧霾天氣頻發(fā)，市場上防護口罩出現(xiàn)熱銷，某醫(yī)藥公司每月固定生產(chǎn)甲、乙兩種型號的防霧霾口罩共萬只，且所有產(chǎn)品當(dāng)月全部售出，原料成本、銷售單價及工人生產(chǎn)提成如表：價格(元/只)型號種類甲乙原料成本128銷售單價1812生產(chǎn)提成10.8(1)若該公司五月份的銷售收入為萬元，求甲、乙兩種型號的產(chǎn)品分別是多少萬只；(2)公司實行計件工資制，即工人每生產(chǎn)一只口罩獲得一定金額的提成，如果公司六月份投入總成本（原料總成本＋生產(chǎn)提成總額）不超過萬元，應(yīng)怎樣安排甲、乙兩種型號的產(chǎn)量，可使該月公司所獲利潤最大？并求出最大利潤（利潤＝銷售收入－投入總成本）．【經(jīng)典例題三行程問題】【解題技巧】一次函數(shù)在行程問題中的應(yīng)用，難度不算太大，但是必須要會求解析式，求交點坐標(biāo)，求函數(shù)值的差等。行程問題一般有相遇問題、追及問題；【例3】（2022秋·山東青島·八年級校考期末）沿河岸有A，B，C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A，B港口出發(fā)，勻速駛向C港，最終到達C港．設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為，（km），，與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．有如下結(jié)論：①甲船的速度是25km/h；②從A港到C港全程為120km；③甲船比乙船早1.5小時到達終點；④圖中P點為兩者相遇的交點，P點的坐標(biāo)為；⑤兩船在整個運動過程中有4個時刻相距10km，其中正確的有______．（只填序號）【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·山東濟南·八年級期中）為培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新精神，某校舉辦校園科技節(jié)活動，八年級同學(xué)進行了機器人行走性能試驗．在試驗場地有A，B，C三點順次在同一筆直的賽道上，甲、乙兩機器人分別從A，B兩點同時同向出發(fā)，歷時8分鐘同時到達C點，乙機器人始終以60米/分的速度行走，如圖是甲、乙兩機器人之間的距離y（米）與它們的行走時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象，若前3.5分鐘甲機器人的速度不變，則出發(fā)（

）分鐘后兩機器人最后一次相距6米．A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2【變式2】（2022·福建泉州·八年級期末）甲、乙兩名同學(xué)參加戶外拓展活動，過程如下：甲、乙分別從直線賽道、兩端同時出發(fā)，勻速相向而行．相遇時，甲將出發(fā)時在地抽取的任務(wù)單遞給乙后繼續(xù)向地前行，乙就原地執(zhí)行任務(wù)，用時14分鐘，再繼續(xù)向地前行，此時甲尚未到達地．當(dāng)甲和乙分別到達地和地后立即以原路原速返回并交換角色，即由乙在地抽取任務(wù)單，與甲相遇時交給甲，由甲原地執(zhí)行任務(wù)，乙繼續(xù)向地前行．抽取和遞交任務(wù)單的時間忽略不計．甲、乙兩名同學(xué)之間的距離（米與運動時間（分之間的關(guān)系如圖所示．已知甲的速度為每分鐘60米，且甲的速度小于乙的速度，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①兩地距離1680米；②出發(fā)10分鐘，甲乙兩人第一次相遇；③乙的速度為每分鐘100米；④甲在出發(fā)后第44分鐘時開始執(zhí)行任務(wù)．其中正確的是__．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【變式3】（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處一模）小華早起鍛煉，往返于家與體育場之間，離家的距離y（米）與時間x（分）的關(guān)系如圖所示．回答下列問題：(1)小華家與體育場的距離是___________米，小華在體育場休息___________分鐘；(2)小華從體育場返回家的速度是___________米/分；(3)小明與小華同時出發(fā)，勻速步行前往體育場，假設(shè)小明離小華家的距離y（米）與時間x（分）的關(guān)系可以用來表示，而且當(dāng)小華返回到家時，小明剛好到達體育場．求k的值并在圖中畫出此函數(shù)的圖象（用黑水筆描清楚）．【經(jīng)典例題四幾何問題】【解題技巧】一次函數(shù)是一條傾斜的直線，直線是由無數(shù)個點組成的；幾何圖形是由線段組成的，線段是由兩個點組成的。由此我們可以得到以下兩點：（1）函數(shù)與幾何圖形是通過點來建立聯(lián)系的，具體來說就是用點的坐標(biāo)表示距離（線段長），有了線段就有了幾何圖形（2）點的坐標(biāo)表示距離通常分為兩類：類型一：一個點的坐標(biāo)表示距離。在坐標(biāo)系中有一點A（x,y）那么這個點到x軸的距離是|y|,到x軸的距離是|x|。點到坐標(biāo)軸的距離在形的角度上看，是過點向坐標(biāo)軸作垂線，這也是函數(shù)中最常見的輔助線的做法。類型二：兩個點的坐標(biāo)表示距離。綜上在函數(shù)中所有需要表示的距離都應(yīng)該用絕對值表示；在函數(shù)中所有遇見的距離都應(yīng)該用絕對值表示；在函數(shù)中所有遇見的距離都應(yīng)該用絕對值表示。【例4】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，x軸上一點，過點A作直線軸，交正比例函數(shù)的圖象于點B．點M從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線運動，設(shè)其運動時間為t（秒），過點M作交直線于點N，當(dāng)時，______秒（寫出所有可能的結(jié)果）．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)李松蓢學(xué)校八年級期中）如圖所示，直線分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段為邊，在第二象限內(nèi)作等腰直角，，則過B、C兩點直線的解析式為（）A． B． C． D．【變式2】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象過點，且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△APB是等腰三角形，則點P的坐標(biāo)可以是______．【變式3】（2022·陜西渭南·八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，過點作軸的平行線，分別交的圖象于點，交的圖象于點，連接．(1)求與的值；(2)求的面積；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形，若存在，求出所有點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題五其他問題】【例5】（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）甲、乙兩人分別加工100個零件，甲第1個小時加工了10個零件，之后每小時加工30個零件，在甲加工3小時后乙開始追趕甲，結(jié)果兩人同時完成任務(wù)．設(shè)甲、乙兩人各自加工的零件數(shù)為y（個）（時），y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)甲、乙兩人相差15個零件時，甲加工零件的時間為_____．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·山東濟南·八年級期中）漏刻是我國古代的一種計時工具，據(jù)史書記載，西周時期就已經(jīng)出現(xiàn)了漏刻，這是中國古代人民對函數(shù)思想的創(chuàng)造性應(yīng)用，小明同學(xué)依據(jù)漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)水位h(cm)是時間t(min)的一次函數(shù)，如下表是小明記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)，其中有一個h的值記錄錯誤，請排除后利用正確的數(shù)據(jù)確定當(dāng)時間t為8時，對應(yīng)的高度h為(

)t（min）……0123……h(huán)（cm）……0.71.21.51.9……A．3.3 B．3.65 C．3.9 D．4.7【變式2】（2022·山東·濟南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心七年級期中）疫苗接種，利國利民．甲、乙兩地分別對本地各40萬人接種新冠疫苗．甲地在前期完成5萬人接種后，甲、乙兩地同時以相同速度接種．甲地經(jīng)過a天后接種人數(shù)達到30萬人，由于情況變化，接種速度放緩，結(jié)果100天完成接種任務(wù)，乙地80天完成接種任務(wù)，在某段時間內(nèi)，甲、乙兩地的接種人數(shù)y（萬人）與各自接種時間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，當(dāng)乙地完成接種任務(wù)時，甲地已接種疫苗的人數(shù)為______萬人．【變式3】（2022·福建三明·八年級期中）秤是我國傳統(tǒng)的計重工具，方便了人們的生活．如圖1，可以用秤跎到秤紐的水平距離得出秤鉤上所掛物體的重量．稱重時，若秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為（厘米）時，秤鉤所掛物重為（斤），則是的一次函數(shù)．下表中為若干次稱重時所記錄的一些數(shù)據(jù)．（厘米）（斤）(1)在上表、的數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)有一對數(shù)據(jù)記錄錯誤．在圖2中，請通過描點、畫圖的方法，觀察判斷出錯誤的一對數(shù)是____________（用坐標(biāo)表示）．(2)根據(jù)表格和描點發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)秤桿上秤砣到秤紐的水平距離每增加1厘米時，秤鉤所掛物重的具體變化是_______________；②當(dāng)秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為厘米時，秤鉤所掛物重是_____________斤；③直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：____________________．(3)當(dāng)秤鉤所掛物重為斤時，求秤桿上秤砣到秤紐的水平距離是多少厘米．【培優(yōu)檢測】1．（2023秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點A、點B，過點A作直線將分成周長相等的兩部分，則直線的函數(shù)表達式為()A． B． C． D．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）某天，小明到學(xué)校時發(fā)現(xiàn)有物品遺忘在家中，此時離上課還有分鐘，于是立即步行回家去取．同時，他爸爸從家里出發(fā)騎自行車以他倍的速度給他送遺忘的物品，兩人在圖中相遇，相遇后小明立即坐爸爸的自行車趕回學(xué)校．爸爸和小明在這個過程中，離學(xué)校的路程（米）與所用時間（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（假設(shè)騎自行車和步行的速度始終保持不變）．下列說法：①學(xué)校離家的距離是米；②小明步行速度每分鐘米；③爸爸騎自行車的速度是每分鐘米；④小明能在上課開始前到達學(xué)校．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將位于第三象限的點，和位于第二象限的點，先向下平移個單位，再向右平移個單位得到點和點，連接，過點作的垂線，在上任取一點，連接，則的最小值為，下列幾個結(jié)論：①直線與軸平行；②；③四邊形是菱形；④若點，是直線上的點，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)校考期末）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車分別從甲地開往乙地（轎車的平均速度大于貨車的平均速度），如圖線段OA和折線BCD分別表示兩車離甲地的距離y（單位：千米）與時間x（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①兩車同時到達乙地②轎車在行駛過程中進行了提速③貨車出發(fā)3.9小時后，轎車追上貨車④兩車在前80千米的速度相等A．1 B．2 C．3 D．45．（2022秋·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的斜邊，點A，的坐標(biāo)分別是，，將沿第一象限的角平分線方向平移，當(dāng)點落在直線上時記作點，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．6．（2022春·河南開封·八年級統(tǒng)考期中）水果店購買一種葡萄所付款金額（元）與購買量（千克）情況如圖，萌萌一次購買6千克這種葡萄比她分三次購買每次購2千克這種葡萄可節(jié)省（

）元．A．18 B．12 C．9 D．67．（2022秋·安徽馬鞍山·八年級校考期中）6月份以來，豬肉價格一路上漲．為平抑豬肉價格，某省積極組織貨源，計劃由A、B、C三市分別組織10輛、10輛和8輛運輸車向D、E兩市運送豬肉，現(xiàn)決定派往D、E兩地的運輸車分別是18輛、10輛，已知一輛運輸車從A市到D、E兩市的運費分別是200元和800元，從B市到D、E兩市的運費分別是300元和700元，從C市到D、E兩市的運費分別是400元和500元．若設(shè)從A、B兩市都派x輛車到D市，則當(dāng)這28輛運輸車全部派出時，總運費W（元）的最小值和最大值分別是（）A．8000，13200 B．9000，10000 C．10000，13200 D．13200，154008．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖是某種產(chǎn)品30天的銷售圖象，圖1是產(chǎn)品日銷售量y(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系，圖2是一件產(chǎn)品的利潤z(元)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系．則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．第24天銷售量為300件 B．第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元C．第27天的日銷售利潤是1250元 D．第15天與第30天的日銷售量相等9．（2023春·七年級單元測試）我國很多城市水資源缺乏，為了加強居民的節(jié)水意識，某自來水公司采取分段收費標(biāo)準(zhǔn)，某市居民月交水費y（元）與用水量x（噸）之間的關(guān)系如圖所示，若某戶居民4月份用水18噸，則應(yīng)交水費_____元．10．（2022秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）某物流公司的快遞車和貨車同時從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，快遞車到達乙地后卸完物品再另裝貨物共用45分鐘，立即按原路以另一速度勻速返回，直至與貨車相遇．已知貨車的速度為60千米/時，兩車之間的距離（千米）與貨車行駛時間x（小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示，快遞車從乙地返回時的速度為___________千米/時．11．（2023秋·浙江寧波·八年級校考期末）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，C兩點，點B與點A關(guān)于y軸對稱，連接，，點M，N分別是線段上的動點（M不與A，B重合），且滿足．當(dāng)為等腰三角形時，M的坐標(biāo)為______．12．（2022秋·浙江寧波·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，于點C，P是線段上的一個動點，連接，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為___________．13．（2022秋·江蘇泰州·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段的端點坐標(biāo)為，，若直線與線段沒有交點，則的值可能是___．（只需寫一個）14．（2022秋·山東青島·八年級校考期末）沿河岸有A，B，C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A，B港口出發(fā)，勻速駛向C港，最終到達C港．設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為，（km），，與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．有如下結(jié)論：①甲船的速度是25km/h；②從A港到C港全程為120km；③甲船比乙船早1.5小時到達終點；④圖中P點為兩者相遇的交點，P點的坐標(biāo)為；⑤兩船在整個運動過程中有4個時刻相距10km，其中正確的有______．（只填序號）15．（2023秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線：與軸，軸分別交于點，，另一直線：與軸，軸分別交于點，，連接，直線與直線交于點，在軸上有一點（其中），過點作軸的垂線，分別與直線，交于點，．(1)求的值及的面積；(2)若，求的值．16．（2023秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）高度為120厘米的圓柱形容器注滿了水（即容器的水位高度為120厘米），上端有一關(guān)閉狀態(tài)的注水口，底端有一關(guān)閉狀態(tài)的放水口，如圖1所示．現(xiàn)先打開放水口，放水速度為12厘米/分鐘（即：僅打開放水口時，每分鐘能使圓柱形容器內(nèi)的水位高度下降12厘米），放水口打開一段時間后，再打開注水口，同時保持放水口開放狀態(tài)，繼續(xù)經(jīng)過一段時間后關(guān)閉放水口，同時注水口仍保持開放狀態(tài)，直至容器注滿水時立即關(guān)閉注水口．圓柱形容器的水位高度記為（厘米），從打開放水口時開始計時，至容器注滿水時停止計時，時間記為（分鐘），已知關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示．根據(jù)圖中所給信息，解決下列問題：(1)的值為______；(2)求注水速度（注水速度即：僅打開注水口時，每分鐘能使圓柱形容器內(nèi)的水位高度上升的高度）；(3)求圖2中線段所在直線的解析式；(4)在圓柱形容器的水位高度變化過程中，當(dāng)滿足：（厘米）時，時間（分鐘）的取值范圍是______．17．（2023·陜西西安·西安市慶華中學(xué)校考一模）某商場計劃購進、兩種新型節(jié)能臺燈共100盞，這兩種臺燈的進價、售價如表所示：類型/價格進價（元/盞）售價（元/盞）型6090型80120(1)若商場預(yù)計進貨款為6500元，則這兩種臺燈各購進多少盞？(2)若商場規(guī)定型臺燈的進貨數(shù)量不超過型臺燈數(shù)量的2倍，應(yīng)怎樣進貨才能使商場在銷售完這批臺燈時獲利最多？此時利潤為多少元？18．（2023秋·湖北十堰·七年級統(tǒng)考期末）某車間有50名工人，每人每天可加工16個甲種零件或15個乙種零件，安排其中一部分工人加工甲種零件，其余工人加工乙種零件，已知每加工一個甲種零件可獲利20元，每加工一個乙種零件可獲利24元．(1)若該車間某天獲利17000元，問這天加工甲種零件的工人多少人？(2)由于生產(chǎn)需要，每天都需要加工兩種零件，設(shè)加工甲種零件的人數(shù)為m．①請用含m的式子表示該車間每天的獲利w（元）；②若，求當(dāng)m為何值時，該車間一天的獲利w最大？最大為多少元？19．（2023秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線與x軸、y軸相交于點A、B，直線與x軸、y軸相交于點C、D．(1)如果點A的坐標(biāo)為，且，求直線AB的表達式；(2)如果點在直線CD上，連接OP，且，求直線CD的表達式；(3)如果點是直線AB與直線CD的交點，且，求直線AB的表達式．20．（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，長方形的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知，，點D為y軸上一點，其坐標(biāo)為，點P從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段的方向運動，當(dāng)點P與點B重合時停止運動．(1)當(dāng)點P與點C重合時，求直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)運動時間為t秒．當(dāng)點P在運動過程中，①求的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題15一次函數(shù)應(yīng)用題重難點題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一方案選擇問題題型二營銷利潤問題題型三行程問題題型四幾何問題題型五其他問題【經(jīng)典例題一方案選擇問題】【解題技巧】一次函數(shù)方案選擇題目的解題思路一般分為以下幾步：一、設(shè)出自變量和因變量。自變量一般是題目中變化的那個量，通過這個量的變化引起其他量的變化，因變量比較好找，一般題目中最后問的什么就設(shè)什么為因變量，二、根據(jù)題目列函數(shù)關(guān)系式，并化簡。函數(shù)關(guān)系式同學(xué)們可以類比一元一次方程來列，因為因變量y，就放在等號的左邊，右邊全是關(guān)于x的關(guān)系式，因此可以類比一元一次方程，寫出代數(shù)式，結(jié)合我們所學(xué)的公式。例如利潤=總售價-總成本，之后分析總售價有哪些部分組成，總成本有哪些部分組成，結(jié)合題目把等號右邊的式子列出來。關(guān)于利潤類型的題目同學(xué)們除了記住：利潤=總售價-總成本，還要記住：利潤=單個商品利潤*所售商品的數(shù)量。三、確定自變量取值范圍。這是方案選擇類題目的難點所在，確定自變量的取值范圍主要考慮兩個方便：（1）、題目中給定的限定條件，一般題目中出現(xiàn)什么什么以內(nèi)，不超過多少，小于多少，至少等等詞匯的時候，可以列出不等式，求解不等式可以求出自變量的取值范圍。（2）、結(jié)合實際，方案選擇類的題目都是實際問題，因此還要結(jié)合實際情況，例如人數(shù)、桌椅數(shù)量等等以“個”為單位時，要注意必須是大于0的整數(shù)，如果題目中是以“萬”為單位，可以不用考慮整數(shù)這一條件四、在取值范圍內(nèi)，進行比較，確定方案。確定好自變量的取值范圍后，根據(jù)題目進行方案的確定，如果是讓我們自行設(shè)置方案，那么一般就是最值的問題，看看題目要求的是最小值還是最大值，之后根據(jù)一次函數(shù)的增減性，確定x取何值時，y取最值。如果是題目中給定的幾個方案進行選擇，那么就進行比較，一般情況下就要分類討論了，在不同的取值范圍內(nèi)，確定不同的方案，或者根據(jù)給定的結(jié)果，選擇好取值范圍之后，確定方案。五、回歸實際問題，寫出選擇的方案。很多同學(xué)忽視了最后一步，既然是利用一次函數(shù)解決實際問題，那么最終要回歸到解決實際問題上，因此最后要寫出你通過數(shù)學(xué)計算，得到的最優(yōu)方案，這樣才能夠得到這一題目的滿分。如果是多方案的問題就寫在哪一范圍內(nèi)選擇什么方案，如果是自己設(shè)計，那么就寫誰多少，獲得最大或最小，獲得多少，確定這一方案。【例1】（2021春·八年級課時練習(xí)）單位組織職工觀看某場足球比賽，球票的原價為每張100元．在購買門票時，體育場給出了兩種不同的團體購票方案．方案一：單位贊助10000元，則該單位所購門票的價格為每張60元；方案二：不交贊助費，當(dāng)購買票數(shù)不超過100張時，按原價收費，超過100張時，超出部分每張80元，設(shè)某單位購票x張，總費用為y元．（1）若該單位采用方案一購票，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______；（2）若該單位采用方案二購票，則當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____，當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____；（3）若甲、乙兩單位共購買了本場足球賽門票700張（每個單位都至少購買了10張），共付費58000元，且甲單位付費較多，則甲單位采用方案______（填“一”或“二”）購票_______張，乙單位采用方案____（填“一”或“二”）購票______張．【答案】

一

500

二

200【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式和題目給出的數(shù)量關(guān)系判斷計算即可．【詳解】解：（1）該單位采用方案一購票，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；故答案為：；（2）該單位采用方案二購票，則當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；當(dāng)x＞100時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000；故答案為：，（3）若兩單位都采用方案一，則總票款應(yīng)為，矛盾．若兩單位都采用方案二，則至少一個單位購票超過100張，若是一個超過100張另一個不超過100張，設(shè)購票較少的買了x張，則有，解得，與已知矛盾；若兩個單位購票都超過100張，則總票款應(yīng)為，矛盾．故只能是一個單位采用方案一，另一個單位采用方案二．此時設(shè)采用方案一的購票x張，若采用方案二的購票不超過100張，則有，解得，但此時，矛盾；若采用方案二的購票超過100張，則有，解得，此時，符合題意，再由甲單位付費較多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙．故答案為：一、500，二、200．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，運用函數(shù)知識解決問題．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）小李同學(xué)長大后當(dāng)上了個體老板，一次他準(zhǔn)備租用甲、乙兩種貨車將200噸貨物運回眉山賣給廠家，兩種貨車的載貨量和租金如下表所示：甲種貨車乙種貨車載貨量（噸/輛）2520租金（元/輛）20001800請問：李老板最少要花掉租金（

）．A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元【答案】B【分析】設(shè)需要租用甲種貨車x輛，則租用乙種貨車輛，需要的費用為y元，用x將y表示出來，進行判斷即可．【詳解】解：設(shè)需要租用甲種貨車x輛，則租用乙種貨車輛，需要的費用為y元，根據(jù)題意得：，∵，∴，∴當(dāng)時，y最小，最小值為：（元），即李老板最少要花掉租金16000元，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，列出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021·全國·八年級課時練習(xí)）單位組織職工觀看某場足球比賽，球票的原價為每張100元．在購買門票時，體育場給出了兩種不同的團體購票方案．方案一：單位贊助10000元，則該單位所購門票的價格為每張60元；方案二：不交贊助費，當(dāng)購買票數(shù)不超過100張時，按原價收費，超過100張時，超出部分每張80元，設(shè)某單位購票x張，總費用為y元．（1）若該單位采用方案一購票，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______；（2）若該單位采用方案二購票，則當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____，當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_____；（3）若甲、乙兩單位共購買了本場足球賽門票700張（每個單位都至少購買了10張），共付費58000元，且甲單位付費較多，則甲單位采用方案______（填“一”或“二”）購票_______張，乙單位采用方案____（填“一”或“二”）購票______張．【答案】

一

500

二

200【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式和題目給出的數(shù)量關(guān)系判斷計算即可．【詳解】解：（1）該單位采用方案一購票，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；故答案為：；（2）該單位采用方案二購票，則當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；當(dāng)x＞100時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000；故答案為：，（3）若兩單位都采用方案一，則總票款應(yīng)為，矛盾．若兩單位都采用方案二，則至少一個單位購票超過100張，若是一個超過100張另一個不超過100張，設(shè)購票較少的買了x張，則有，解得，與已知矛盾；若兩個單位購票都超過100張，則總票款應(yīng)為，矛盾．故只能是一個單位采用方案一，另一個單位采用方案二．此時設(shè)采用方案一的購票x張，若采用方案二的購票不超過100張，則有，解得，但此時，矛盾；若采用方案二的購票超過100張，則有，解得，此時，符合題意，再由甲單位付費較多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙．故答案為：一、500，二、200．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，運用函數(shù)知識解決問題．【變式3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）A城有肥料，B城有肥料，現(xiàn)要把這些肥料全部運往C、D兩鄉(xiāng)，從A城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費元用分別為20元/t和25元/t；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料分別為15元/t和24元/t．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料，D鄉(xiāng)需要肥料，設(shè)A城運往C鄉(xiāng)的肥料為x噸，運往C鄉(xiāng)肥料的總運費為，運往D鄉(xiāng)肥料的總運費為；(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出自變量的取值范圍；(2)怎么樣調(diào)度使得該過程的總運費最少并求出最少的運輸費以及最少的運輸方案；(3)由于從B城到D鄉(xiāng)開辟了一條新的公路，使B城到D鄉(xiāng)的運輸費每噸減少了a元，如何調(diào)度才能使總運費最少？最少運輸費是多少？（用含a的式子表達）【答案】(1)，(2)從A城運往C鄉(xiāng)0噸，運往D鄉(xiāng)200噸；從B城運往C鄉(xiāng)240噸，運往D鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，總運費最小值是10040元(3)時，從A城運往C鄉(xiāng)0噸，運往D鄉(xiāng)200噸；從B城運往C鄉(xiāng)240噸，運往D鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，；當(dāng)時，從A城運往C鄉(xiāng)200噸，運往D鄉(xiāng)0噸；從B城運往C鄉(xiāng)40噸，運往D鄉(xiāng)260噸，此時總運費最少，【分析】（1）直接根據(jù)題意分別列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）設(shè)總運費為y元，列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)一次函數(shù)圖像的性質(zhì)作答即可；（3）分三種情況討論即可．【詳解】（1）據(jù)題意得：，．（2）設(shè)總運費為y元，根據(jù)題意可得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：，∵，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，，∴從A城運往C鄉(xiāng)0噸，運往D鄉(xiāng)200噸；從B城運往C鄉(xiāng)240噸，運往D鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，總運費最小值是10040元．（3）根據(jù)題意可知，改善后的總運費為∶，∵，∴．①當(dāng)，即時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，，②當(dāng)，即時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，，③當(dāng)時，即時，無論x去何值，y的值為．綜上，時，從A城運往C鄉(xiāng)0噸，運往D鄉(xiāng)200噸；從B城運往C鄉(xiāng)240噸，運往D鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，；當(dāng)時，從A城運往C鄉(xiāng)200噸，運往D鄉(xiāng)0噸；從B城運往C鄉(xiāng)40噸，運往D鄉(xiāng)260噸，此時總運費最少，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，能夠?qū)⑦\費問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二營銷利潤問題】【解題技巧】牢記公式：利潤=銷售額-成本或利潤=單利×數(shù)量；【例2】（2022春·重慶銅梁·七年級校考階段練習(xí)）今年清明節(jié)期間，為提倡文明、環(huán)保祭祖，某煙花銷售商擬今年不再銷售煙花爆竹，改為銷售鮮花．經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四種鮮花組合比較受顧客的喜愛，于是制定了進貨方案，其中甲、丙的進貨量相同，乙、丁的進貨量相同；甲與丁單價均20元/束，乙、丙的單價均為40元/束，且甲、乙的進貨總價比丙、丁的進貨總價多560元．由于年末資金周轉(zhuǎn)緊張，所以臨時決定只購進甲、乙兩種組合，甲、乙的進貨量與原方案相同，且甲、乙的進貨總量不超過400束，則該銷售商最多需要準(zhǔn)備____元進貨資金．【答案】12280【分析】一是甲、乙、丙、丁四種鮮花求進價時都滿足：總價=單價×數(shù)量關(guān)系式；二是甲乙的總價丙丁的總價=560元；三是甲、乙的進貨量數(shù)量關(guān)系為；四是銷售商貨資金表示為，綜合用不等式的知識結(jié)合函數(shù)知識可求進貨最多資金．【詳解】解：設(shè)甲、丙進貨量各為x束，乙丁進貨量各為y束；甲、丁單價為20元/束，乙、丙單價為40元/束，依題意得：，化簡得：，即，∵年末只購進甲、乙兩種組合，且進貨量不變，總數(shù)不超過400束，∴，∴，解得：，設(shè)進貨總資金為w元，則有：，當(dāng)時，的最大值為，∴該銷售商最多需要準(zhǔn)備12280元進貨資金．故答案為12280．【點睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，重點掌握總價、數(shù)量和單價之間的等量關(guān)系，進貨總數(shù)不超過400束列不等量關(guān)系，難點是列不等關(guān)系時是否用取等號．【變式訓(xùn)練】【變式1】【例1】（2021·福建廈門·八年級期末）某商場銷售一種兒童滑板車，經(jīng)市場調(diào)查，售價x（單位：元）、每星期銷量y（單位：件）、單件利潤w（單位：元）之間的關(guān)系如圖1、圖2所示．若某星期該滑板車單件利潤為20元，則本星期該滑板車的銷量為（）A．94 B．96 C．1600 D．1800【答案】D【分析】先由圖1求出y與x的函數(shù)解析式，再由圖2求出x與w的函數(shù)解析式，然后把w＝20代入即可．【詳解】解：由圖1可設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，把（92，1400）和（98，2000）代入得，解得：，∴y與x的函數(shù)解析式為：y＝100x﹣7800；由圖2可設(shè)x與w的函數(shù)解析式為x＝mw+n，把（18，98）和（24，92）代入得：解得：∴x與w的函數(shù)解析式為：x＝﹣w+116，當(dāng)w＝20時，x＝﹣20+116＝96，y＝100×96﹣7800＝9600﹣7800＝1800（件），∴本星期該滑板車的銷量為1800件，故選：D．【點睛】本題考察一次函數(shù)的應(yīng)用和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式．【變式2】（2022·全國·八年級）某公司以A、B兩種材料，利用不同的搭配方式推出了兩款產(chǎn)品，其中，甲產(chǎn)品每份含克A、克B；乙產(chǎn)品每份含克A、克B，甲乙兩種產(chǎn)品每份成本價分別為A、B兩種材料的成本之和，若甲產(chǎn)品每份成本為元，公司在核算成本的時候把A、B兩種材料單價看反了，實際成本比核算時的成本多元，如果每天甲銷量的倍和乙銷量的倍之和不超過份，那么公司每天的實際成本最多為______元【答案】【分析】設(shè)每克A種材料的成本價為元，每天銷售份甲產(chǎn)品，份乙產(chǎn)品，公司每天實際成本為元，則每克B種材料的成本價為元，根據(jù)實際成本比核算時的成本多元，即可得出，利用餐廳每天實際成本每份甲產(chǎn)品的成本銷售數(shù)量每份乙產(chǎn)品的成本銷售數(shù)量，可得出，由每天甲銷量的倍和乙銷量的倍之和不超過份，可得出，將其代入w中可求出w的取值范圍，取其最大值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每克A種材料的成本價為元，每天銷售份甲產(chǎn)品，份乙產(chǎn)品，每天公司實際成本為元，則每克B種材料的成本價為元，依題意，得：，化簡，得：．，，．∴公司每天實際成本最多為元．故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次不定方程的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出與（4m＋3n）之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·山東·濟寧市第十三中學(xué)一模）由于霧霾天氣頻發(fā)，市場上防護口罩出現(xiàn)熱銷，某醫(yī)藥公司每月固定生產(chǎn)甲、乙兩種型號的防霧霾口罩共萬只，且所有產(chǎn)品當(dāng)月全部售出，原料成本、銷售單價及工人生產(chǎn)提成如表：價格(元/只)型號種類甲乙原料成本128銷售單價1812生產(chǎn)提成10.8(1)若該公司五月份的銷售收入為萬元，求甲、乙兩種型號的產(chǎn)品分別是多少萬只；(2)公司實行計件工資制，即工人每生產(chǎn)一只口罩獲得一定金額的提成，如果公司六月份投入總成本（原料總成本＋生產(chǎn)提成總額）不超過萬元，應(yīng)怎樣安排甲、乙兩種型號的產(chǎn)量，可使該月公司所獲利潤最大？并求出最大利潤（利潤＝銷售收入－投入總成本）．【答案】(1)甲、乙兩種型號的產(chǎn)品分別為萬只，萬只(2)安排甲型號產(chǎn)品生產(chǎn)萬只，乙型號產(chǎn)品生產(chǎn)萬只，所獲利潤最大，最大利潤為萬元【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲型號的產(chǎn)品有萬只，則乙型號的產(chǎn)品有萬只，可以列出相應(yīng)的一元一次方程，從而可以得到甲、乙兩種型號的產(chǎn)品分別是多少萬只；根據(jù)題意，可以得到利潤和生產(chǎn)甲種產(chǎn)品數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)公司六月份投入總成本（原料總成本+生產(chǎn)提成總額）不超過萬元，可以得到生產(chǎn)甲種產(chǎn)品數(shù)量的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到應(yīng)怎樣安排甲、乙兩種型號的產(chǎn)量，可使該月公司所獲利潤最大，并求出最大利潤．【詳解】（1）解：設(shè)甲型號的產(chǎn)品有萬只，則乙型號的產(chǎn)品有萬只，根據(jù)題意，得，解得，則，答：甲、乙兩種型號的產(chǎn)品分別為萬只，萬只．（2）設(shè)安排甲型號產(chǎn)品生產(chǎn)萬只，則乙型號產(chǎn)品生產(chǎn)萬只，根據(jù)題意，得，解得，設(shè)該月公司所獲利潤為萬元，則，因為，所以當(dāng)時，最大，最大值為萬元，此時，答：安排甲型號產(chǎn)品生產(chǎn)萬只，乙型號產(chǎn)品生產(chǎn)萬只，所獲利潤最大，最大利潤為萬元．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．【經(jīng)典例題三行程問題】【解題技巧】一次函數(shù)在行程問題中的應(yīng)用，難度不算太大，但是必須要會求解析式，求交點坐標(biāo)，求函數(shù)值的差等。行程問題一般有相遇問題、追及問題；【例3】（2022秋·山東青島·八年級校考期末）沿河岸有A，B，C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A，B港口出發(fā)，勻速駛向C港，最終到達C港．設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為，（km），，與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．有如下結(jié)論：①甲船的速度是25km/h；②從A港到C港全程為120km；③甲船比乙船早1.5小時到達終點；④圖中P點為兩者相遇的交點，P點的坐標(biāo)為；⑤兩船在整個運動過程中有4個時刻相距10km，其中正確的有______．（只填序號）【答案】②④【分析】由速度=路程時間，可知甲、乙兩船的速度，由此可判斷①不成立；結(jié)合圖形中甲的圖象可知，A、C兩港距離，由此可判斷②成立；由時間路程速度可知甲、乙兩船到達C港的時間，由此可判斷③不成立；由A港口比B港口離C港口多，結(jié)合時間路程速度，得出兩者相遇的時間，從而判斷④成立；由行駛過程中的路程變化可得出甲、乙兩船相距時，的取值，從而能判斷出⑤不成立；由上述即可得出結(jié)論.【詳解】解：甲船速度為，故①不正確；乙船速度為，從港到港全程為，故②正確；甲船到達港的時間為（小時），（小時），故③不正確；設(shè)兩船相遇的時間為小時，則有，解得，，∴P點的坐標(biāo)為，故④正確；兩船第一次相距的時間為：（小時）；兩船第二次相距的時間為：（小時）；兩船第三次相距的時間為：（小時）；即兩船在整個運動過程中有3個時刻相距10km，故⑤不正確；故答案為：②④．【點睛】本題考查實際問題中函數(shù)關(guān)系所表示的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，清楚甲、乙兩船的行駛過程，理解圖中點的坐標(biāo)的意義．【變式訓(xùn)練】【變式1】【例1】（2022·山東濟南·八年級期中）為培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新精神，某校舉辦校園科技節(jié)活動，八年級同學(xué)進行了機器人行走性能試驗．在試驗場地有A，B，C三點順次在同一筆直的賽道上，甲、乙兩機器人分別從A，B兩點同時同向出發(fā)，歷時8分鐘同時到達C點，乙機器人始終以60米/分的速度行走，如圖是甲、乙兩機器人之間的距離y（米）與它們的行走時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象，若前3.5分鐘甲機器人的速度不變，則出發(fā)（

）分鐘后兩機器人最后一次相距6米．A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2【答案】B【分析】甲機器人用3分鐘追上乙機器人，可得甲機器人速度比乙機器人快（米分鐘），即得3.5分鐘時，甲機器人在乙機器人前面15米，設(shè)4到8分鐘的解析式為，用待定系數(shù)法可得，令解出即可．【詳解】解：由圖可知，甲機器人用3分鐘追上乙機器人，甲機器人速度比乙機器人快（米分鐘），分鐘時，甲機器人在乙機器人前面（米，設(shè)4到8分鐘的解析式為，將，代入得：，解得，，當(dāng)時，，解得，故選：B．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能用待定系數(shù)法求出4到8分鐘的解析式．【變式2】（2022·福建泉州·八年級期末）甲、乙兩名同學(xué)參加戶外拓展活動，過程如下：甲、乙分別從直線賽道、兩端同時出發(fā)，勻速相向而行．相遇時，甲將出發(fā)時在地抽取的任務(wù)單遞給乙后繼續(xù)向地前行，乙就原地執(zhí)行任務(wù)，用時14分鐘，再繼續(xù)向地前行，此時甲尚未到達地．當(dāng)甲和乙分別到達地和地后立即以原路原速返回并交換角色，即由乙在地抽取任務(wù)單，與甲相遇時交給甲，由甲原地執(zhí)行任務(wù)，乙繼續(xù)向地前行．抽取和遞交任務(wù)單的時間忽略不計．甲、乙兩名同學(xué)之間的距離（米與運動時間（分之間的關(guān)系如圖所示．已知甲的速度為每分鐘60米，且甲的速度小于乙的速度，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①兩地距離1680米；②出發(fā)10分鐘，甲乙兩人第一次相遇；③乙的速度為每分鐘100米；④甲在出發(fā)后第44分鐘時開始執(zhí)行任務(wù)．其中正確的是__．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①④【分析】函數(shù)圖象可看作是線段CD、DE、EF、FH、HI構(gòu)成：CD對應(yīng)兩人從出發(fā)到第一次相遇，其中5分鐘時，兩人相距980米；DE對應(yīng)乙在原地執(zhí)行任務(wù)，甲繼續(xù)前進；EF對應(yīng)甲繼續(xù)向B地走，乙繼續(xù)向A地走；FH對應(yīng)甲到達B地返回走，乙繼續(xù)向A地走，其中x＝31時，兩人相距1180米；HI對應(yīng)兩人都返回走到第二次相遇．設(shè)乙的速度為v米/分，AB兩地距離為s米，根據(jù)兩個確定的x和y值找等量關(guān)系列方程．【詳解】解：甲的速度為60米分，設(shè)乙的速度為米分，兩地距離為米，時，，此時兩人相距980米，列方程得：（1），當(dāng)時，甲走的路程為：（米，圖象中，時，，即此時甲乙兩人相距1180米，甲已經(jīng)到達地并返回，乙還在前往地，列方程得：（2），（1）（2）聯(lián)立方程組解得，兩地距離1680米，乙的速度為每分鐘80米，故①說法正確，③說法錯誤；（分，故出發(fā)12分鐘，甲乙兩人第一次相遇，故②說法錯誤；設(shè)甲出發(fā)分鐘時開始執(zhí)行任務(wù)，此時甲乙第二次相遇，兩人走的總路程和為，列方程得：，解得：，即甲在出發(fā)后第44分鐘時開始執(zhí)行任務(wù)，故④說法正確；所以正確的是①④．故答案為：①④．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是把條件表述的幾個過程對應(yīng)圖象理解清楚，再找出對應(yīng)x和y表示的數(shù)量關(guān)系．【變式3】（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處一模）小華早起鍛煉，往返于家與體育場之間，離家的距離y（米）與時間x（分）的關(guān)系如圖所示．回答下列問題：(1)小華家與體育場的距離是___________米，小華在體育場休息___________分鐘；(2)小華從體育場返回家的速度是___________米/分；(3)小明與小華同時出發(fā)，勻速步行前往體育場，假設(shè)小明離小華家的距離y（米）與時間x（分）的關(guān)系可以用來表示，而且當(dāng)小華返回到家時，小明剛好到達體育場．求k的值并在圖中畫出此函數(shù)的圖象（用黑水筆描清楚）．【答案】(1)米，分鐘(2)(3)，見解析【分析】（1）由圖象直接可得小華家與體育場的距離是米，小華在體育場休息5分鐘；（2）由速度路程時間可得小華從體育場返回家的速度是米/分；（3）把代入得，畫出圖象即可．【詳解】（1）解：由圖象可知小華家與體育場的距離是米，小華在體育場休息（分鐘）；故答案為：，；（2）小華從體育場返回家的速度是（米/分）；故答案為：；（3）根據(jù)題意知圖象經(jīng)過，代入得：，∴，畫出函數(shù)的圖象如下：【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能正確識圖．【經(jīng)典例題四幾何問題】【解題技巧】一次函數(shù)是一條傾斜的直線，直線是由無數(shù)個點組成的；幾何圖形是由線段組成的，線段是由兩個點組成的。由此我們可以得到以下兩點：（1）函數(shù)與幾何圖形是通過點來建立聯(lián)系的，具體來說就是用點的坐標(biāo)表示距離（線段長），有了線段就有了幾何圖形（2）點的坐標(biāo)表示距離通常分為兩類：類型一：一個點的坐標(biāo)表示距離。在坐標(biāo)系中有一點A（x,y）那么這個點到x軸的距離是|y|,到x軸的距離是|x|。點到坐標(biāo)軸的距離在形的角度上看，是過點向坐標(biāo)軸作垂線，這也是函數(shù)中最常見的輔助線的做法。類型二：兩個點的坐標(biāo)表示距離。綜上在函數(shù)中所有需要表示的距離都應(yīng)該用絕對值表示；在函數(shù)中所有遇見的距離都應(yīng)該用絕對值表示；在函數(shù)中所有遇見的距離都應(yīng)該用絕對值表示。【例4】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，x軸上一點，過點A作直線軸，交正比例函數(shù)的圖象于點B．點M從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線運動，設(shè)其運動時間為t（秒），過點M作交直線于點N，當(dāng)時，______秒（寫出所有可能的結(jié)果）．【答案】2或8【分析】分當(dāng)點M在線段上時，當(dāng)點M在延長線上時，兩種情況利用全等三角形的性質(zhì)求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)點M在線段上時，∵，，∴點B的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；如圖2所示，當(dāng)點M在延長線上時，∵，∴，∴，∴；綜上所述，當(dāng)或時，故答案為：2或8．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】【例1】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)李松蓢學(xué)校八年級期中）如圖所示，直線分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段為邊，在第二象限內(nèi)作等腰直角，，則過B、C兩點直線的解析式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過C作垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及，證明與全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到，由求出的長，即可確定出C坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得過B、C兩點的直線對應(yīng)的函數(shù)表達式．【詳解】解：對于直線，令，得到，即B（0，2），，令，得到，即，過C作軸，可得，∴，∵是等腰直角三角形，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，即，∴，設(shè)直線BC的解析式為，∵B（0，2），∴b=2?5k+b=3，解得．∴過B、C兩點的直線對應(yīng)的函數(shù)表達式是．故選：B．【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，以及全等三角形的判定和性質(zhì)．正確的求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象過點，且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△APB是等腰三角形，則點P的坐標(biāo)可以是______．【答案】，，，【分析】先把點A（1，2）代入一次函數(shù)y=x+b求出b的值，故可得出B點坐標(biāo)，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三種情況進行分類討論．【詳解】解：如圖，∵一次函數(shù)y=x+b的圖象過點A（1，2），∴2=1+b,解得b=1，∴一次函數(shù)的解析式為：y=x+1，∴B（-1，0）．當(dāng)AB=AP時，∵B（-1，0），∴；當(dāng)AB=BP時，∵，∴；當(dāng)AP=BP時，則，設(shè)P（t，0），則，解得：t=1，∴．綜上所述，P點坐標(biāo)為：，，，．故答案為：，，，．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．【變式3】（2022·陜西渭南·八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，過點作軸的平行線，分別交的圖象于點，交的圖象于點，連接．(1)求與的值；(2)求的面積；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形，若存在，求出所有點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)點的坐標(biāo)為或或或或或【分析】（1）先把點A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式進行求解t，然后再代入正比例函數(shù)解析式進行求解k即可；（2）由點的坐標(biāo)可得出點、的坐標(biāo)，進而可得出的長度，由的長度結(jié)合三角形的面積公式即可求出的面積；（3）假設(shè)存在，當(dāng)點在軸上時，設(shè)點的坐標(biāo)為，當(dāng)點在軸上時，設(shè)點的坐標(biāo)為，分及兩種情況考慮，根據(jù)兩點間的距離公式結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得出關(guān)于、的方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：把點代入一次函數(shù)得：，解得：，∴，把代入正比例函數(shù)得：，∴；（2）解：軸，，把代入中，解得：，，把代入中，解得：，，．又，，；（3）解：假設(shè)存在，當(dāng)點在軸上時，設(shè)點的坐標(biāo)為，當(dāng)點在軸上時，設(shè)點的坐標(biāo)為．，，是以為腰的等腰三角形，分及兩種情況考慮．①當(dāng)時，有或，解得：，，點的坐標(biāo)為或或或；②當(dāng)時，有或，解得：，（舍去）或，（舍去），點的坐標(biāo)為或．綜上所述：在坐標(biāo)軸上存在點，使是以為腰的等腰三角形，點的坐標(biāo)為或或或或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積、兩點間的距離公式以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出兩函數(shù)的解析式；（2）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出點、的坐標(biāo)；（3）分及兩種情況求出點的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題五其他問題】【例5】（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）甲、乙兩人分別加工100個零件，甲第1個小時加工了10個零件，之后每小時加工30個零件，在甲加工3小時后乙開始追趕甲，結(jié)果兩人同時完成任務(wù)．設(shè)甲、乙兩人各自加工的零件數(shù)為y（個）（時），y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)甲、乙兩人相差15個零件時，甲加工零件的時間為_____．【答案】時或時或時【分析】先根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得甲提高加工速度后甲加工的零件數(shù)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意和函數(shù)中的數(shù)據(jù)可以得到當(dāng)甲、乙兩人相差15個零件時，甲加工零件的時間．【詳解】解：設(shè)甲提高加工速度后甲加工的零件數(shù)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：，則，解得：，即甲提高加工速度后甲加工的零件數(shù)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是，當(dāng)甲乙兩人相差15個零件時，①，解得：，，②，解得，，即當(dāng)甲、乙兩人相差15個零件時，甲加工零件的時間是時或時或時．故答案為：時或時或時．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式訓(xùn)練】【變式1】【例1】（2022·山東濟南·八年級期中）漏刻是我國古代的一種計時工具，據(jù)史書記載，西周時期就已經(jīng)出現(xiàn)了漏刻，這是中國古代人民對函數(shù)思想的創(chuàng)造性應(yīng)用，小明同學(xué)依據(jù)漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)水位h(cm)是時間t(min)的一次函數(shù)，如下表是小明記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)，其中有一個h的值記錄錯誤，請排除后利用正確的數(shù)據(jù)確定當(dāng)時間t為8時，對應(yīng)的高度h為(

)t（min）……0123……h(huán)（cm）……0.71.21.51.9……A．3.3 B．3.65 C．3.9 D．4.7【答案】C【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)排除，錯誤，然后設(shè)水位與時間的關(guān)系式為，用待定系數(shù)法求出解析式即可．【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可知：，錯誤，設(shè)水位與時間的一次函數(shù)關(guān)系式為，代入表中數(shù)據(jù)得，解得：，水位與時間的一次函數(shù)關(guān)系式為．把代入到中，得，故選：C．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的知識，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·山東·濟南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心七年級期中）疫苗接種，利國利民．甲、乙兩地分別對本地各40萬人接種新冠疫苗．甲地在前期完成5萬人接種后，甲、乙兩地同時以相同速度接種．甲地經(jīng)過a天后接種人數(shù)達到30萬人，由于情況變化，接種速度放緩，結(jié)果100天完成接種任務(wù)，乙地80天完成接種任務(wù)，在某段時間內(nèi)，甲、乙兩地的接種人數(shù)y（萬人）與各自接種時間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，當(dāng)乙地完成接種任務(wù)時，甲地已接種疫苗的人數(shù)為______萬人．【答案】36【分析】由題意可得，甲乙兩地速度相同求得a=50，然后用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)表達式，然后甲地已接種疫苗的人數(shù)．【詳解】解：乙接種速度為4080=0.5（萬人/天）0.5a=30-5解得a=50設(shè)，將（50，30），（100，40）代入解析式得解得

一次函數(shù)表達式為當(dāng)x=80時，y=36故答案為：36．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．【變式3】（2022·福建三明·八年級期中）秤是我國傳統(tǒng)的計重工具，方便了人們的生活．如圖1，可以用秤跎到秤紐的水平距離得出秤鉤上所掛物體的重量．稱重時，若秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為（厘米）時，秤鉤所掛物重為（斤），則是的一次函數(shù)．下表中為若干次稱重時所記錄的一些數(shù)據(jù)．（厘米）（斤）(1)在上表、的數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)有一對數(shù)據(jù)記錄錯誤．在圖2中，請通過描點、畫圖的方法，觀察判斷出錯誤的一對數(shù)是____________（用坐標(biāo)表示）．(2)根據(jù)表格和描點發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)秤桿上秤砣到秤紐的水平距離每增加1厘米時，秤鉤所掛物重的具體變化是_______________；②當(dāng)秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為厘米時，秤鉤所掛物重是_____________斤；③直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：____________________．(3)當(dāng)秤鉤所掛物重為斤時，求秤桿上秤砣到秤紐的水平距離是多少厘米．【答案】(1)(2)①；②；③(3)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，用描點法即可求解；（2）①當(dāng)時，，當(dāng)時，，由此即可求解；②當(dāng)，根據(jù)時的值，即可求解；③根據(jù)，，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，把已知點代入即可求解；（3）當(dāng)秤鉤所掛物重為斤時，根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，用描點法繪圖如下，∴出錯的一對數(shù)是（2）解：①當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，，∴，即秤桿上秤砣到秤紐的水平距離每增加1厘米時，秤鉤所掛物重的具體變化是斤；②當(dāng)時，，當(dāng)時，則有，∴，即秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為厘米時，秤鉤所掛物重是斤；③是的一次函數(shù)，設(shè)解析式為，把，代入得，，解方程組得，，∴是的一次函數(shù)解析式為：．（3）解：根據(jù)是的一次函數(shù)解析式可知，當(dāng)，則，∴，即當(dāng)秤鉤所掛物重為斤時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離是厘米．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的實際運用，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測】1．（2023秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點A、點B，過點A作直線將分成周長相等的兩部分，則直線的函數(shù)表達式為()A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線與軸交于點，由已知條件求出點的坐標(biāo)后利用待定系數(shù)法可以得到直線的函數(shù)表達式．【詳解】解：分別令和可得、的坐標(biāo)為()、()，，則三角形的周長為如圖，設(shè)直線與軸交于點)，則，即，，即的坐標(biāo)為()，設(shè)的函數(shù)表達式為，由經(jīng)過、可得：，解得：，的函數(shù)表達式為：，故選：D．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象、勾股定理的應(yīng)用及待定系數(shù)法求解析式的方法是解題關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）某天，小明到學(xué)校時發(fā)現(xiàn)有物品遺忘在家中，此時離上課還有分鐘，于是立即步行回家去取．同時，他爸爸從家里出發(fā)騎自行車以他倍的速度給他送遺忘的物品，兩人在圖中相遇，相遇后小明立即坐爸爸的自行車趕回學(xué)校．爸爸和小明在這個過程中，離學(xué)校的路程（米）與所用時間（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（假設(shè)騎自行車和步行的速度始終保持不變）．下列說法：①學(xué)校離家的距離是米；②小明步行速度每分鐘米；③爸爸騎自行車的速度是每分鐘米；④小明能在上課開始前到達學(xué)校．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)小華分鐘走的路程＋父親分鐘走的路程＝，列出方程求出兩人的速度，即可解決問題．【詳解】解：從圖像可以看出：學(xué)校離家米，故①正確，父子倆從出發(fā)到相遇時花費了分鐘，設(shè)小華步行的速度為米/分，則小華父親騎車的速度為米/分，依題意得：，解得：，∴（米/分），故②③正確，∴兩人相遇處離學(xué)校的距離為，小華和父親相遇后，趕往學(xué)校的時間為：∴小華來回花費的時間為：，∴小華能在上課前到達學(xué)校，故④正確．故選：D．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，學(xué)會正確利用圖像信息，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決是本題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將位于第三象限的點，和位于第二象限的點，先向下平移個單位，再向右平移個單位得到點和點，連接，過點作的垂線，在上任取一點，連接，則的最小值為，下列幾個結(jié)論：①直線與軸平行；②；③四邊形是菱形；④若點，是直線上的點，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由平移可得：，，，，推出軸．再由，軸軸，可得出直線軸，即可判斷①；根據(jù)垂線段最短，由的最小值為，可得點與點重合，可得出，即可判斷②；由平移可得出四邊形是平行四邊形，即可判斷③；利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，再由點，是直線上的點，即可判斷④．【詳解】解：如圖，設(shè)直線交于點，∵，，，≠兩點同時向右平移>個單位，再向下平移個單位得到，兩點點對應(yīng)點，一個點向右平移個單位，則該點的橫坐標(biāo)加；一個點向下平移個單位，則該點的縱坐標(biāo)減，∴，，，，∵此時點和點的縱坐標(biāo)相同，∴軸．∵軸，，軸軸，∴直線軸，故①正確；當(dāng)取最小值時，點與點重合，即，，∵的最小值為，∴DP=2，∴，即，故②正確；根據(jù)平移的性質(zhì)可知：，，∴四邊形是平行四邊形，故③錯誤；設(shè)直線的解析式為、為常數(shù)，且≠，把，，，分別代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，∵點，是直線上的點，∴，∴．故④正確，綜上所述，共有個正確結(jié)論；故選：C．【點睛】此題主要考查了平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，理解平移的性質(zhì)和求出點C和點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)校考期末）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車分別從甲地開往乙地（轎車的平均速度大于貨車的平均速度），如圖線段OA和折線BCD分別表示兩車離甲地的距離y（單位：千米）與時間x（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①兩車同時到達乙地②轎車在行駛過程中進行了提速③貨車出發(fā)3.9小時后，轎車追上貨車④兩車在前80千米的速度相等A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①根據(jù)函數(shù)的圖象即可直接得出結(jié)論②求得直線和的解析式求得交點坐標(biāo)即可；③由圖象無法求得的橫坐標(biāo)④分別進行運算即可得出結(jié)論．【詳解】由題意和圖可得，轎車先到達乙地，故①錯誤，轎車在行駛過程中進行了提速，故②正確，貨車的速度是：千米時，轎車在段對應(yīng)的速度是：千米時，故④錯誤，設(shè)貨車對應(yīng)的函數(shù)解析式為，，得，即貨車對應(yīng)的函數(shù)解析式為，設(shè)段轎車對應(yīng)的函數(shù)解析式為＋，，得，即段轎車對應(yīng)的函數(shù)解析式為，令，得，即貨車出發(fā)小時后，轎車追上貨車，故③正確，故選：B．【點睛】此題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用題中信息列出函數(shù)解析式．5．（2022秋·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的斜邊，點A，的坐標(biāo)分別是，，將沿第一象限的角平分線方向平移，當(dāng)點落在直線上時記作點，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意點C在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移，求出此直線的解析式與組成方程組，解之即可【詳解】解：∵點A，的坐標(biāo)分別是，，∴∴在中，，則∴∵沿第一象限的角平分線方向平移，∴點C在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移，∴設(shè)該直線的解析式為∴∴∴∵點落在直線上時記作點，∴解得：∴故選：A【點睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何變換—平移，涉及到求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系等知識，得出點C的在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移是解題的關(guān)鍵6．（2022春·河南開封·八年級統(tǒng)考期中）水果店購買一種葡萄所付款金額（元）與購買量（千克）情況如圖，萌萌一次購買6千克這種葡萄比她分三次購買每次購2千克這種葡萄可節(jié)省（

）元．A．18 B．12 C．9 D．6【答案】B【分析】先求出直線AB的解析式，當(dāng)時，可求得一次購買6千克這種葡萄的錢數(shù)，當(dāng)購買量不多于2千克時，每2千克葡萄的價格為38元，求差即可求解．【詳解】設(shè)直線AB的解析式為，將（2，38）、（4，70）代入得，，解得：，當(dāng)時，，即萌萌一次購買6千克這種葡萄需要元；她分三次購買每次購2千克這種葡萄需要(元)，∴(元)，萌萌一次購買6千克這種葡萄比她分三次購買每次購2千克這種葡萄可節(jié)省12元．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（2022秋·安徽馬鞍山·八年級校考期中）6月份以來，豬肉價格一路上漲．為平抑豬肉價格，某省積極組織貨源，計劃由A、B、C三市分別組織10輛、10輛和8輛運輸車向D、E兩市運送豬肉，現(xiàn)決定派往D、E兩地的運輸車分別是18輛、10輛，已知一輛運輸車從A市到D、E兩市的運費分別是200元和800元，從B市到D、E兩市的運費分別是300元和700元，從C市到D、E兩市的運費分別是400元和500元．若設(shè)從A、B兩市都派x輛車到D市，則當(dāng)這28輛運輸車全部派出時，總運費W（元）的最小值和最大值分別是（）A．8000，13200 B．9000，10000 C．10000，13200 D．13200，15400【答案】C【詳解】由題意可知A、B、C三市派往D市的運輸車的輛數(shù)分別是x、x、（18-2x）輛，派往E市的運輸車的輛數(shù)為10-x，10-x，2x-10，則總運費W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200．依題意有

0≤x≤10,0≤18-2x≤8,解得：5≤x≤9，當(dāng)x=5時，W

最大

=13200元，當(dāng)x=9時，W

最小

=10000元．故選C．點睛：選擇方案問題的方法（1）從不同的角度感知問題中的數(shù)量關(guān)系，對實際問題中的數(shù)量關(guān)系既可以用函數(shù)的圖像表示，也可以用方程和不等式表示，構(gòu)建不同的模型，用不同的方法解決問題．（2）在解決問題中，能適時調(diào)整思路，解決問題后，能對解決問題步驟、程序和方法進行總結(jié)提煉.8．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖是某種產(chǎn)品30天的銷售圖象，圖1是產(chǎn)品日銷售量y(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系，圖2是一件產(chǎn)品的利潤z(元)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系．則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．第24天銷售量為300件 B．第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元C．第27天的日銷售利潤是1250元 D．第15天與第30天的日銷售量相等【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象分別求出設(shè)當(dāng)0≤t≤20，一件產(chǎn)品的銷售利潤z（單位：元）與時間t（單位：天）的函數(shù)關(guān)系為z=-x+25，當(dāng)0≤t≤24時，設(shè)產(chǎn)品日銷售量y（單位：件）與時間t（單位；天）的函數(shù)關(guān)系為y=t+100，根據(jù)日銷售利潤=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤，即可進行判斷．【詳解】A、根據(jù)圖①可得第24