蘇州市2023?2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷

高三數(shù)學(xué)2024.01.22

注意事項(xiàng)

學(xué)生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求；

1.本卷共6頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題~第12題）、填空題

（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）.本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘.答

題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回，

2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在各題

來(lái)的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效.作答必須

用0.5毫米黑色墨水的簽字筆，請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合U=R,集合{尤|logM<l},N={x|x>l},則集合{x[0<xWl}=

A.MUNB.MCNC.（CW）AND.（CW）rw

2.設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足（3—i）z=4+2i,貝!||z|=

A.V2B./C.2D.4

3.2023年9月28日，滬寧沿江高速鐵路開通運(yùn)營(yíng)，形成上海至南京間的第二條城際高速

鐵路，滬寧沿江高速鐵路共設(shè)8座車站（如圖）.為體驗(yàn)高鐵速度，游覽各地風(fēng)光，甲乙兩

人準(zhǔn)備同時(shí)從南京南站出發(fā)，甲隨機(jī)選擇金壇、武進(jìn)、江陰、張家港中的一站下車，乙

隨機(jī)選擇金壇、武進(jìn)、江陰、張家港、常熟中的一站下車.已知兩人不在同一站下車，

則甲比乙晚下車的概率為

■

AIPjUHLA速快路線蹄上向小公制

高三數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)（共7頁(yè)）

A'20B'4C'20D'8

TTTT

4.已知函數(shù)?X)=COS(S:+§)+1(G>0)的最小正周期為兀，則“X)在區(qū)間[0,習(xí)上的最大值

為

13

A.B.1C.D.2

7T

5.在梯形A3C0中，AD//BC,NABC=],5C=2AO=2A5=2,以下底5C所在直線為軸，

其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為

2兀4兀一5兀_

A.B.丁C.丁D.2兀

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A是圓G：N+。-3)2=1上的一點(diǎn)，B,C是圓C?：(無(wú)

—4)2+y2=4上的兩點(diǎn)，則/2AC的最大值為

兀兀—.兀2兀

丁

A.ToB.T3C.T2D.3

__,__.l2〃+13Z?+1,4c+1rt,,,

7.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足---=2a~a,-=3b~b,--------=4c~c,則a,b,c的大

abc

小關(guān)系為

A.c〈b〈aB.a<b<cC.a<c<bD.b〈a〈c

jr

8.若sin而是函數(shù)式x)=ax3—6x+l(a,b6N*)的一個(gè)零點(diǎn)，則式1)=

A.2B.3C.4D.5

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知a,bCR,貝Uaa>b"的充分不必要條件有

B.lga>lgb

A.Mab

C.〃3〉拄D.〃3>〃2匕

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線/：y=x—2經(jīng)過拋物線C：丁2=2〃刈9>0）的焦點(diǎn),

，與拋物線相交于A,8兩點(diǎn)，則

A.p—2B.|AB|=16

C.線段A3的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為6D.OALOB

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知函數(shù)>=5%>0)的圖象為曲線C,點(diǎn)3,所,

△A1&A2,△A223A3，

B3,…在C上，點(diǎn)4,A2,A3,…在x軸上，且△054,…分

高三數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)(共7頁(yè))

別是以S，B?,當(dāng)，…為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.記點(diǎn)4,5的橫坐標(biāo)分別為如

bi(i=i,2,3,n,?,?)>則

（第11題圖）

A.|AIB2|=^-B.的=2仍

1001

C.｛斯2｝為等差數(shù)列D?荀=1°

12.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—AiBCiQi中，已知AB=2,BC=小，AAi=l,P為棱CQi的

中點(diǎn)，。為底面ABC。上（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn).記點(diǎn)。軌跡的長(zhǎng)度為L(zhǎng)則下列說(shuō)法正確

的有

（第12題圖）

A.若尸。_L6C,則L=2

-J5

B.若尸。〃平面ABCi，貝ijL=V

C.若尸。=也，貝1］乙=兀

D.若C到平面4PQ的距離為為則L=2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.棉花的纖維長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在一批棉花中隨機(jī)抽測(cè)了20根棉花的纖維長(zhǎng)

度（單位：mm）,按從小到大排序結(jié)果如下：25283350525859606162

8286113115140143146170175195,則估計(jì)這批棉花的第45百分位數(shù)

為▲.

14.已知（X+〃）（X—1）7=〃0+〃1%+42/+…+〃福8,且0=13,則〃=▲.

3

15.已知單位向量m力的夾角為仇向量C=］方一°,若|c|￡Z,則8已=▲.（寫出一

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)（共7頁(yè)）

個(gè)可能值）

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：^-p=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為R過。

的直線/與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),若ZAFB+ZAOF^n,則

C的離心率為▲.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

霹靂舞在2023年杭州舉辦的第19屆亞運(yùn)會(huì)中首次成為正式比賽項(xiàng)目.某學(xué)校為了解

學(xué)生對(duì)霹靂舞的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)得到如下2X2列聯(lián)表：

男生女生總計(jì)

喜愛402060

不喜愛202040

總計(jì)6040100

（1）請(qǐng)你根據(jù)2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否喜愛霹靂舞與性

別有關(guān)”；

（2）學(xué)校為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，提高學(xué)生綜合素質(zhì)，按分層抽樣從調(diào)查結(jié)果為“喜愛”的學(xué)

生中選擇6人組建霹靂舞社團(tuán)，經(jīng)過訓(xùn)練后，再隨機(jī)選派2人參加市級(jí)比賽，設(shè)X

為這2人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：_i_;vLJX/_LA/A_LZA'其中w=a+6+c+d.

（〃十/7）（。十d）（〃十c）（。十o

P（群。⑹0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

▲▲▲

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)（共7頁(yè)）

18.(12分)

cosBcosA—3cosc

在AA3c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,已知

b3c—a

⑴求證：c=3〃；

(2)若點(diǎn)。在邊AB上，且8D=2D4,CD=2,AC=y[Tl,求△ABC的面積.

▲▲▲

19.(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,且dWO,設(shè)S,為｛斯｝的前項(xiàng)和，數(shù)列｛d｝滿足與=4S“一

2〃(〃￡N*).

(1)若〃1=-1,d=l,且為＜〃〃，求〃；

(2)若數(shù)列"優(yōu)｝也是公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列｛(—1)%“｝的前n項(xiàng)和Tn.

▲▲▲

高三數(shù)學(xué)試卷第5頁(yè)(共7頁(yè))

20.（12分）

如圖，在多面體ABCDE尸中，底面ABC。為平行四邊形，AB=2,AD=2巾,ZABD=

90°,矩形所在平面與底面ABC。垂直，M為CE的中點(diǎn).

（1）求證：平面〃平面AEF；

（2）若平面BDM與平面BCF夾角的余弦值為華，求CE與平面BDM所成角的正弦

（第20題圖）

▲▲▲

21.（12分）

田，\nx+1

已知函數(shù)八尤）=7.

（1）求小：）的極值;

（2）證明：

▲▲▲

高三數(shù)學(xué)試卷第6頁(yè)（共7頁(yè)）

22.（12分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓「：也+必=1（。>6>0）經(jīng)過點(diǎn)A（—4,0）,B（2,

3）,直線A3與y軸交于點(diǎn)尸，過P的直線/與「交于C,。兩點(diǎn)（異于A,B）,記直線AC和

直線B。的斜率分別為41，k2（k#2豐0）.

（1）求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

21

⑵數(shù)F的值;

（3）設(shè)直線AC和直線8。的交點(diǎn)為Q,求證：。在一條定直線上.

▲▲▲

高三數(shù)學(xué)試卷第7頁(yè)（共7頁(yè)）

蘇州市2023?2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷

高三數(shù)學(xué)參考答案2024.1

題號(hào)9101112

答案BDBCBCDACD

三'填空題：本題共4，'題，每小題5分，共20分.

13.61.514.215.-(或16.3at顯

442

四、解答題：本題共6小題，共70分.

17.(10分)

解：(1)由2x2列聯(lián)表得犬=*譬答瀘部=豈=2.778>2.706,?……3分

60x40x60x409

所以有90%的把握認(rèn)為“是否喜愛霹靂舞與性別有關(guān)”...................4分

(2)由題意得，選擇的6人中，有男生4人，女生2人，..................5分

所以X的所有可能取值為0,1,2,

C121a"2]

2

P(X=0)=-^-=—?P(X=1)=-32=—,P(X=2)=—y=—,..........8分

5C615C615

故X的分布列為

2812

￡(X)=0xy+lx-+2x-="..............................10分

18.(12分)

八、BdCOSBCOS/4-3COSCcos^cos/-3cosc

解:(l)因?yàn)橐?一=—：-------，由正弦定理知二二■=~—I分

b3c-asinB3sme-sin/

所以3sinCcos8-sinACQSB=sinBcos/-3cosCsin5>

所以3(sinCcosB+cosCsinB)=sin8cos/+sinAcosB?

即3sin(C+8)=sin(3+4),..........................................3分

因?yàn)閟in(C+8)=sin/,sin(8+4)=sinC.

高三數(shù)學(xué)參考答案第I頁(yè)(共5頁(yè))

所以3sin.4=sinC,所以r=3a.5分

+°」+4。,-4

(2)在AJCD中.

2BCBD~~=~~4n*

BCl+AB1-ACio1+9?,-ll511

在△中,

4BCcos8=IBCAB-一^一亍否

所以;-J=；一^^,所以/=2...................................................................8分

所以cosB=°,因?yàn)?w(0,功，所以sin8=Jl-co$?B=，,.....................10分

44

i

所以=5。，3。，$由8=-^—?......................................................................12分

19.(12分)

解：⑴由題意得生=-1+(〃-1)=〃-2,

=nx(-l)+^y^xl=1n2-1n,.................................2分

所以“=4S.-2n=2n2-8〃.

因?yàn)椋?lt;%，所以2--8〃<n-2,所以心叵<“<絲叵，

*44

又因?yàn)閚eN',所以"=1,2,3,4.....................................................................4分

(2)因?yàn)椋椋枪顬閐的等差數(shù)列，所以設(shè)&=dn+b,..........................5分

又因?yàn)闅v=14S._2n=^4{na,+里丁)d]-2n=小2加+(4q_2d_2)”,

所以dn+b=J2辦2+(4%_2d_2)n對(duì)任意”eN?恒成立，

21

即2dn+(4at-2d-2)n=//+2dbn+b對(duì)任意neN,恒成立,

2d=d1,d=2,

所以。-/一二加，又因?yàn)閐wO,所以O(shè)j=-?所以b.=4/,8分

b=0.

b=Ot

所以(-l)?.=4(-l)"7.

2

當(dāng)/I為偶數(shù)時(shí)，7；=4-1'+2’?3'+4'-------M-1)，+n]

=4(2-1)x(2+1)+(4-3)(4+3)+…一l))(n+n—1)]

=4(l+2+3+4+?，?+〃)=2〃M+l)?.....................................10分

當(dāng)/!為奇數(shù)時(shí)，7；=4[_p+2?-非+/-…+-/]

=4[-li(2-3)(2+3)+(4-5)(4+5)+…+((〃-1)_”)(〃-1+〃)]

柘三數(shù)學(xué)參與答案第2頁(yè)(共S貝)

二4(-1-2-3-4一…一〃)二-2”(，i+1).

綜上所述，7；=(-1)'2n(n+l)......................................................................12分

20.（12分）

解：（1）如圖，連接“C交于點(diǎn)G,連接MG.

因?yàn)榈酌妗癇CD為平行四邊形，

所以G為4C的中點(diǎn).

因?yàn)镸為CE的中點(diǎn)，所以MG//EA.

又因?yàn)镸G<Z平面/EF,EAu平面/EF.

所以MG〃平面W......................................2分

因?yàn)锽DEF為矩形，所以DB//EF,BD<Z平面/E尸,EFu平面4環(huán)，

所以平面花F.....................................................................................3分

因?yàn)锳??naD=G,MGu平面8DM,8Du平面BOM,

所以平面8。“〃平面的............................................4分

(2)因?yàn)?3=2,XD=2&,4BD=90°,所以BD=2,4BJ.3D.

因?yàn)槠矫?DEF1平面/BCD,平面BDEFA平面MCQ=BD,DELBD,

所以。E_L平................................................5分

分別以O(shè)B,DC,0E為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DE=2/(r>0),則麗=(0,1,。，麗=(2,0,0),而=(-2,2,0),而=(0,0,2，)，

設(shè)平面8DM的法向量為膽=(外,必,始，則卜上=°'

tn,DB=0,

即夏二°'令Z|=-l,則m=(0,f,-l),................................................7分

設(shè)平面8c尸的法向量為”=(三,%,zj,=°'

n-BF=Qt

即｛B不%=°'令,=1，則“=(1,1,0)，................................................8分

所以|cos<m,”>|==L=~^，解得‘=2,......................10分

I?|-I?lVP+1-V25

所以m=(0,2,-l),既=(0,-2,4).

設(shè)CE與平面BDM所成的角為0,

則sin0=|cos<而,/w>|=J2X(-2)+(/-1)X4|_4................................葭分

海三數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)（共5頁(yè)）

21.(12分)

解：(I)八仙J-.....................................................

e

設(shè)g(x),-lnx-l，因?yàn)間，(x)=-I」<0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

xXX

當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)>g⑴=0,故r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，g(x)<g(l)=o,故r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，................3分

所以/(力有極大值/(1)=1,無(wú)極小值.................................4分

e

/.、〃、21n2-11lnx+121n2-l1

(2)要證/(x)<——--+一，即a證-----<-------+一，

e4exe14

EPuEe1-4lnx+81n2-8>0.......................................5分

4

設(shè)A(x)=e*-41nx+81n2-8,則，(力=/?二,

x

顯然A'(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，又因?yàn)椤?l)=e-4<0,Ar(2)=e2-2>0,

所以存在唯一的(1,2),使%)=0,............................7分

4

即，所以%=2山2-lnx0...................................9分

當(dāng)xe(0,%)時(shí)，A'(x)<0,A(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(%,+8)時(shí)，A'(x)>0,A(x)單調(diào)遞增，

所以力(為)》6(％)=?"-41nx0+81n2-8=—+4x0-8=4(x0+—)-8,.....11分

又因?yàn)椴粈(1,2),所以4(X0+,)-8>8-8=0,

%

所以A(x)>0,即原不等式成立.......................................12分

22.(12分)

16=hz

解：⑴由題意知〃'所以卜：

4,9,Ih2=12,

l7+7=h

所以r的標(biāo)準(zhǔn)方程為.......................................2分

1612

(