第一章集合與常用邏輯用語1.4充分條件與必要條件1.4.1充分條件與必要條件(1)內容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.通過對典型數學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系．2.通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系．3.通過對典型數學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數學定義與充要條件的關系．活動方案一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫作命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．中學數學中的許多命題可以寫成“若p，則q”“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，

q稱為命題的結論．下面我們將進一步考察“若p，則q”形式的命題中p和q的關系，學習數學中的三個常用的邏輯用語——充分條件、必要條件和充要條件．活動一理解充分條件、必要條件的概念思考1???下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；(3)若x2－4x＋3＝0，則x＝1；(4)若平面內兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b.思考2???在思考1中，哪些命題中的p是q的充分條件？

思考3???在思考1中，哪些命題中的q是p的必要條件？【解析】(1)(4)中q是p的必要條件，(2)(3)中q不是p的必要條件．1.p?q的含義(1)“若p，則q”形式的命題為真命題．(2)由條件p可以得到結論q.(3)p是q的充分條件或q的充分條件是p；q是p的必要條件或p的必要條件是q.(4)只要有條件p，就一定有結論q，即p對于q是充分的，q對于p的成立是必要的．(5)為得到結論q，具備條件p就可以推出．顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關系，即p?q，只是說法不同而已．2.對充分條件概念的理解“若p，則q”為假命題時，p推不出q，q不是p的必要條件，p也不是q的充分條件．3.對充分條件的理解(1)所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成立”．(2)充分條件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分條件．必要條件不是唯一的，如x>0，x>5等都是

x>9的必要條件．例

1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；【解析】

這是一條平行四邊形的判定定理，p?q，所以p是q的充分條件．(2)若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；【解析】

這是一條相似三角形的判定定理，p?q，所以p是q的充分條件．(3)若四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；【解析】

這是一條菱形的性質定理，p?q，所以p是q的充分條件．(4)若x2＝1，則x＝1；

(5)若a＝b，則ac＝bc；【解析】

由等式的性質知，p?q，所以p是q的充分條件．(6)若x，y為無理數，則xy為無理數．思考4???例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？【解析】

不唯一，兩組對邊分別平行，兩組對邊分別相等，一組對邊平行且相等．下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些？(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；【解析】

因為p?q，所以p是q的充分條件．(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形；

(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；【解析】

因為p?q，所以p是q的充分條件．(4)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分．【解析】

因為p?q，所以p是q的充分條件．例

2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；【解析】

這是平行四邊形的一條性質定理，p?q，所以q是p的必要條件．(2)若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；【解析】

這是三角形相似的一條性質定理，p?q，所以q是p的必要條件．(3)若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；

(4)若x＝1，則x2＝1；【解析】

p?q，所以q是p的必要條件．(5)若ac＝bc，則a＝b；

(6)若xy為無理數，則x，y為無理數．思考5???例2中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“這個四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的必要條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個其他必要條件嗎？【解析】

不唯一，兩組對邊分別平行，兩組對邊分別相等，一組對邊平行且相等．下列所給的各組p，q中，p是q的必要條件的有哪些？(1)p：|x|＝1，q：x＝1；【解析】

因為q?p，所以p是q的必要條件．(2)p：兩個直角三角形全等，q：兩個直角三角形的斜邊相等；

(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；【解析】

因為q?p，所以p是q的必要條件．(4)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分．【解析】

因為q?p，所以p是q的必要條件．思考6???下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根，則ac＜0；(4)若A∪B＝?，則A與B均是空集．活動二理解充要條件的概念【解析】

命題(1)(4)和其逆命題都是真命題．命題(2)是真命題，它的逆命題是假命題．命題(3)是假命題，它的逆命題是真命題．充分條件與必要條件：如果“p?q”，那么稱p是q的充分條件，也稱q是p的必要條件．思考7???什么情形下稱p是q的充分必要條件？即稱p是q的充要條件．【解析】

如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為p是q的充要條件．例

3下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；

(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；【解析】

因為“若p，則q”是相似三角形的性質定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均為真命題，所以p是q的充要條件．(3)p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；

(4)p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，q：a＋b＋c＝0(a≠0)．【解析】

因為“若p，則q”與“若q，則p”均為真命題，即p?q，所以p是q的充要條件．思考8???通過上面的學習，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？【解析】

“四邊形的兩組對角分別相等”“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”和“四邊形的對角線互相平分”既是“四邊形是平行四邊形”的充分條件，又是必要條件，所以它們都是“四邊形是平行四邊形”的充要條件．思考9???什么情形下稱p是q的充分不必要條件，必要不充分條件，既不充分也不必要條件？

如果p是q的充要條件，就記作p?q，稱為“p與q等價”或“p等價于q”．“?”和“?”都具有傳遞性，即如果p?q，q?s，那么p?s；如果p?q，q?s，那么p?s.例

4指出下列命題中，p是q的什么條件：(1)p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的對應角相等；活動三掌握充分條件、必要條件的判斷

(2)p：三角形的三邊相等，q：三角形是等邊三角形；【解析】

根據等邊三角形的定義，可知三邊相等的三角形是等邊三角形，所以p?q.反過來，根據等邊三角形的定義，可知等邊三角形的三邊相等，所以q?p.因此，p?q，即p是q的充要條件．(3)p：a2＝b2，q：a＝b；

(4)p：x＞y，q：x2＞y2.

性質定理是指某類對象具有的具體特征．例如，性質定理“平行四邊形的對角線互相平分”表明：“平行四邊形”具有“對角線互相平分”的特征，當然還有其他的特征，如“對角相等”“對邊相等”“對邊平行”等．性質定理具有“必要性”，

“對角線互相平分”是“四邊形是平行四邊形”的必要條件．下圖中條件1,2,3,4……都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件．判定定理是指對象只要具有某具體特征，就一定有該對象的所有特征．例如，判定定理“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”表明，只要四邊形具有“對角線互相平分”這個特征，就一定具有“平行四邊形”所有特征1,2,3,4……判定定理具有“充分性”，“四邊形對角線互相平分”是“四邊形是平行四邊形”的充分條件．下圖中條件1,2,3,4……都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件．我們發現，“四邊形對角線互相平分”是“四邊形是平行四邊形”的充要條件，即“四邊形對角線互相平分”與“四邊形是平行四邊形”等價，這與平行四邊形的定義“兩組對邊分別平行的四邊形”也等價．因此“對角線互相平分的四邊形”也可以作為“平行四邊形”的定義．同樣的，下列三個命題：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中的任何一個命題都可以作為平行四邊形的定義．指出下列命題中，p是q的什么條件．(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中選出一種)(1)p：x2＝1，q：x＝1；【解析】

p是q的必要不充分條件．(2)p：a≠0，q：|a|＞0；【解析】

p是q的充要條件．【解析】

p是q的充分不必要條件．(4)p：三角形的三邊互不相等，q：三角形是銳角三角形．【解析】

p是q的既不充分也不必要條件．檢測反饋245131.(2023·上海閔行區高一期末)已知集合A＝{x}，B＝{x2}，則“x＝1”是“A＝B”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

【解析】

由A＝B，得x＝x2，解得x＝0或x＝1，所以“x＝1”是“A＝B”的充分不必要條件．【答案】A245132.(2022·上海松江區一模)下面四個條件中，使a>b成立的充要條件是(

)A.a2>b2